2023-2024學年河北市張家口市高一第二學期期末考試數(shù)學試卷+答案解析

2023-2024學年河北市張家口市高一第二學期期末考試數(shù)學試卷?

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知一個總體中有N個個體，用抽簽法從中抽取一個容量為10的樣本，若每個個體被抽到的可能性是;,

4

則N=()

A.10B.20C.40D.不確定

2.已知復數(shù)2=7^(其中，為虛數(shù)單位)，則Z的虛部是()

2+2

44.77.

A.-B.-iC.——D.——i

5555

3.一組數(shù)據(jù)28,39,12,23,17,43,50,34的上四分位數(shù)為()

A.17B.20C.39D.41

4.如圖，在△ABC中，。是線段2。上的一點，且滿足36。=。。，則立=()

A.+|就B.|混+C.+:前D.|壽+

5.在△4BC中，內(nèi)角HB,C所對的邊分別為a,b,c,sillB=-.c=3,若△AB。有兩解，則6

3

的取值范圍為()

A.(\/3,3)B.(x/3,3]C.(v%+oo)D.[3,+oo)

6.如圖，水平放置的四邊形O/2C的斜二測畫法的直觀圖為直角梯形O'AB'C',已知O'A'=2，

O'C=B'C'=則原四邊形O48C的面積為()

第1頁，共18頁

A.3^/2B.3C.D.|

22

7.隨著暑假將近，某市文旅局今年為了使游客有更好的旅游體驗，收集并整理去年暑假60天期間日接待游

客量數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市今年日接待游客量的平均

數(shù)為（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（）

A.43.6萬人B.44.5萬人C.45萬人D.49.1萬人

8.如圖，某電子元件由4B,C三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復測試，A,

B,C三種部件不能正常工作的概率分別為:，；，：，各個部件是否正常工作相互獨立，則該電子元件能

543

正常工作的概率是（）

B?1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知復數(shù)zi,Z2,則下列說法正確的是（）

A.Zi?Zi=ElB.同?匐=⑸?⑻

C.zl=\zr\2D.⑶+Z2/+\Zi-=2氏+2假2『

7T

10.已知函數(shù)/⑵=2tan（2c—H），則下列說法正確的是（）

O

第2頁，共18頁

7T

A./(2)的最小正周期為萬

B.73)圖象的對稱中心為號+(0),kEZ

C./⑶的單調(diào)遞增區(qū)間為(1—7Tk7T5汗、1「

逐,丁+引'j

7T

D.為了得到g(±)=2tana;的圖象，可將/(2)的圖象向左平移a個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

O

11.如圖，已知正方體4BCD—4場。1。1的棱長為4,M是4。的中點，N是。G的中點，貝1J()

A.若尸是側(cè)面CCiDiD內(nèi)一動點，則滿足MP〃平面4Q1B的點P的軌跡長為?瓜

B.平面44〃歸內(nèi)不存在點H,使得平面AXCXB

C.三棱錐W-4aB的體積為16

D.若。是GB上一點，則4iQ+NQ的最小值為2而^^

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

7T3

12.已知aG(01),若cos(a+—)=—,則cosa=__________.

45

13.在正四棱錐P—ABC。中，4B=4,P3與平面ABCD所成角的余弦值為則四棱錐P—ABCD

3

外接球的體積為.

14.在△AB。中，/84。=90°，。是8C上一點，/。是的平分線，且2BD=3CD，=—，

5

則△ABC的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量才=(2,0),7=(與通)，且才—2萬).

(1)求苫的值及正,了的夾角；

(2)若(方+k了)〃(4卜才+了)，求》的值.

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16.(本小題15分)

已知某校高一年級1班、2班、3班分別有36人、48人、60人，現(xiàn)從這3個班用按比例分配的分層隨機抽

樣的方法抽取24人參加安全知識競賽.

(1)求這3個班分別抽取的人數(shù)；

(2)已知從1班抽取的人中有2名女生，若要從1班抽取的人中選2名同學作為組長，求至少有1名女生作

為組長的概率；

(3)知識競賽結(jié)束后，依據(jù)答題規(guī)則進行統(tǒng)計，甲同學回答5道題的得分分別為69,71,72,73,75,乙同

學回答5道題的得分分別為70,71,71,73,75,請問甲、乙兩名同學哪位同學的成績更穩(wěn)定？

17.(本小題15分)

如圖，在矩形A8CO中，AB=2,4D=4,E是4D的中點，將△4BE沿3E折起使點”到點尸的位置,

產(chǎn)是尸C的中點.

(1)證明：DF〃平面PBE;

⑵若CE上PB，證明：平面平面BCDE；

(3)在(2)的條件下，求二面角P—BC—E的余弦值.

18.(本小題17分)

請在①向量力=(cos。,2b—V^c)，7?=(cosA,V3a),且

求〃必;②sidg+sh?。—sin24=V^sinBsin。這兩個條件中任選一個，填入橫線上并解答.

在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.

(1)求角/的大?。?/p>

(2)若△ABC為銳角三角形，a=2,求△力面積的取值范圍.

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19.(本小題17分)

如圖是函數(shù)/(乃=Asin(5：+8)(a>0,3>0,0<\(p\<§圖象的一部分.

(1)求函數(shù)/(2)的解析式；

(2)求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

Q7rl77r

⑶記方程/⑶=—：在［一卷,卷上的根從小到大依次為血，%%…，x/neN*),若

772=+電+/3+,??+/幾，試求n與m的值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查抽簽法的抽樣比，屬于較易題.

根據(jù)抽簽法的等可能性，得出比例可得選項.

【解答】解：由題意得34解得N=4。，故選C

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

【解答】

蝌3-2i（3—21）（2—，）6-3?-42+2,4-77477

解…耳7=所以虛部為一:，故選C.

（2+，）（2—初4一1~5555

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用8x75%=6得到應取第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均值.

【解答】

解：從小到大排列：12,17,23,28,34,39,43,50,8x75%=6,

由百分位數(shù)的定義知，應取第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均值，

所以上四分位數(shù)為3藝94娶-4呼3=41.

故選D

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了平面向量的線性表示與運算問題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)平面向量的線性表示與運算性質(zhì)，進行計算即可.

【解答】解：：???330=0。，

第6頁，共18頁

：,A5=AS+^=AS+=AS+：(就-砌=+:前，

故選8.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查利用正弦定理判定三角形解的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用csinB<b<c即可求解.

【解答】

解：若△46。有兩解，則csin_B〈b〈c,

即3x通<b<3，所以遮<b<3.

3

故選4

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題.

將直觀圖還原為四邊形04BC,然后得到四邊形048。的面積為：x(1x2\/2+2x2松)=3方即可.

【解答】

解：如圖，將直觀圖還原為四邊形O4BC,則四邊形O4BC由兩個直角三角形構(gòu)成，

因為O'A=2，O'C=B'C=1>故0'8'=禽，0B=2y2-BC=1,OA=2,

所以四邊形04BC的面積為:x(1x2\/2+2x2^2)=3y/2,

【解析】【分析】

第7頁，共18頁

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

先利用(0.010+0.024+m+0,036)x10=1,得到m=0.030,然后計算

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10即可.

【解答】

解：由于(0.010+0.024+nz+0.036)x10=1,解得0.030,

所以該市今年日接待游客量的平均數(shù)約為

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10=43.6,

故選4

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題

【解答】

【分析】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

設(shè)上半部分正常工作為事件"，下半部分正常工作為事件N,

—9—11——

然后得到P畫=P(N)=—,然后利用該電子元件能正常工作的概率P=1-P(而)P(R)即可.

531)

【解答】解：設(shè)上半部分正常工作為事件下半部分正常工作為事件N,

11R一9

由題意知，F(xiàn)(M)=(l--)x(1--)=-,P(M)=

P(N)=(1--x-)x(1-,PIN}=―,

'''54，'3，30k'30

一_21164

所以該電子元件能正常工作的概率P=1-=l--x—=-,

53U75

故選C.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題主要考查復數(shù)的模及其幾何意義、共甄復數(shù)等，屬于中檔題.

設(shè)為=。+杭，Z2=c+di(a,b,c,deR),然后利用復數(shù)的模、共輾復數(shù)等一一判斷即可.

【解答】

解：設(shè)zi=a+b，，Z2=c+di(a,b,c,dER),

對于選項4=a—bi,-z[=(abi)■(a-bi)=a2—62?2=a2+b2,\zi\2=a2+b2>

所以zi?衍=|zj,故N正確；

第8頁，共18頁

2

對于選項8,z「Z2=(a+歷)(c+而)=(ac-bd)+(ad+bc)1,\Z1-z2\=(ac-bdf+(ad+be)

=，a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,區(qū)].|匐=\/a2+b2?，。2+.2

=，Q2c2+b2d2+Q2d2+b2c2,所以區(qū)?Z2\=\z-[\-⑻，故B正確;

對于選項C,Z：=（Q+C）2=Q2—1+2Q楨，㈤2=Q?+-2,所以2法區(qū)『，故。錯誤;

對于選項。，由選項N可知，卜i+Z2『+|zi—Z2『

=（Z1+22）②+Z2）+（Z1-22）仿一Z2）

=（次+Z2乂藥+藥）+⑵-0）伉-罰

=Z1為+Z（Z2+Z2互+Z2Z2+21西—Z（Z2~?2西+乞2為=2[Z]「+2]22匕故。正確，

故選

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題主要考查正切型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

利用正切型函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】

E7r7r

解：對于選項/,7=丘|=]，故N正確；

對于選項8,令2式一鼻=粵,kEZ,解得工="+，，kEZ,

3246

所以/（2）圖象的對稱中心為（"+[0）,keZ,故3錯誤；

46

對于選項C,k7v-^-<2x-^<k7v+^,kez,解得也―￡<工（母：+空

kez,

232212212

7T/C7T57F

所以/（乃的單調(diào)遞增區(qū)間為1251"+12^kEZ,故C正確;

7T7T

對于選項D,將/⑶的圖象向左平移不個單位長度得到y(tǒng)=2tan（2①+學的圖象,

OU

7T

再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍可得y=2tanQ+a）的圖象，故。錯誤.

O

故選AC.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

第9頁，共18頁

本題主要考查線面平行、垂直，面面平行的判定以及多面體的做短距離問題，屬于中檔題.

取的中點E,CD的中點產(chǎn)，易得平面石〃平面可得點P的軌跡為跖,可判斷/；連接481

交48于點〃，則加8〃。耳，結(jié)合平面4a8,可判斷&利用棱錐的體積公式可判斷C；將

△小。正與△BQ。展開至同一平面，則4Q+NQ的最小值即為4N,結(jié)合余弦定理可判斷D

【解答】

解：如圖，

對于選項4取DDi的中點E,CD的中點/，連接ME,MF,EF,

則“石〃ADi，而ADi〃BCi，所以“E〃BCi，

又NEC平面4GB,Bau平面4a8,所以ME〃平面4GB,

同理MF〃平面4GB,MECMF=M,ME,"FU平面，

得平面EEM〃平面4GB,

所以點尸的軌跡為即，EF=2A/2?即點尸的軌跡長為2，^，故/正確；

對于選項8,連接481交于點"由于M,〃分別為/￡>,481的中點，所以〃?？凇?/p>

又因為。平面4GB,所以AfHLL平面4Q1B,故2錯誤；

又MH=：DBi=2^3,所以三棱錐Af—41aB的體積為工x工x4蓼x4調(diào)x0x2通=16,

故C正確；

對于選項。，將△4GB與△BG。展開至同一平面，如圖，

第10頁，共18頁

則AXQ+NQ的最小值即為AiN,

由余弦定理知，4N={A&+CW—241cLCiNcos105。，

而cos105°=cos(60°+45°)='4氓,

D

所以AiN=^32+4—2x4\/2x2x6-'，即AXN=2/7+2血，故正確，

故選4。。.

12.【答案】包7

10

【解析】【分析】本題主要考查兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

先利用cos(a+J)=|,a+；e(U),得到sin(a+1)=，，然后利用

4o44/43

cosa=cosr[/(a+—)——"i]=cos(/a+—"\)cos—7T+s.m(.a+—7T.)si,n—7Tgpn]*.

【解答】解：因為ae(0”所以a+打6號)，

又因為cos(a+1)=偌，所以0+彳6(疝5)，所以sin(a+=，，

所以cosa=cos[(a+[)—：]=cos(a+cos:+sin(a+[)sin:=

13.【答案】367r

【解析】【分析】本題主要考查球的切、接問題，屬于中檔題.

如圖，連接/C,3。交于點01，連接P01，設(shè)四棱錐P—43。。外接球球心為0,半徑為凡然后得到

岳=8+|4—AR解得尺=3即可.

【解答】解：如圖，連接4C,8。交于點01，連接POi，

設(shè)四棱錐P—ABCD外接球球心為。，半徑為R，則。在POi上,

第H頁，共18頁

由題知OiB=2，^，NP801為P3與平面ASC3所成角，即cos/PBQ=匕，

3

所以PB=2述，？。1=4,。01=|4-冏，因此店=8+性—A，，解得尺=3,

所以四棱錐P—48。。外接球的體積為*岳=367r.

O

14.【答案】3

【解析】【分析】本題主要考查利用正弦定理解三角形、三角形面積公式，屬于中檔題.

由正弦定理得強=黑=1設(shè)43=32，AC=2x，然后禾!1用5盤8。=5.8。+5想。。，即可.

JT.C>（_yly/

【解答】解：因為ND是乙BA。的平分線，所以乙N4OB+乙40。=180°，

RnAD

所以sin皿八sin/C3sin/3=sin/C,由正弦定理得而百而;而小,

CD4。，所以出

sinACADsinZAWACCD2

設(shè)AB=3x>AC=2x>由題知，SAABC=S/\ABD+S^ACD,

即工°八1c6^/2\/21八6%/2V2反汨1

?3N?2/=一?3①----------1---2x----------,角牛何力=1，

2252252

所以△ABC的面積為3.

15.【答案】解：（1）因為—2了）.所以—27）=0,即才2—2寸?了=0,

所以4—2（2/+0）=0,解得工=1,

則了=（1,通），所以cos〈才，=

7T7T

因為<N,T>e[o,7r],所以<N,7〉=可，即定,7的夾角為市

OO

（2）由（1）可得/+k~b=（2+k,V^k）,4k/+~b=（8k+1,通），

第12頁，共18頁

因為(記+kb)//(4k~CL+b)，所以(2+k).■(8k+1)，

解得k=:或k=一；.

【解析】本題主要考查向量平行(共線)關(guān)系的坐標表示、利用向量數(shù)量積的坐標運算求向量的夾角、向量

數(shù)量積的坐標表示與向量的垂直關(guān)系等，屬于中檔題.

(1)利用7nm-2了)得到4-2(22+0)=0,解得2=1,

元2=:得到力，7T

然后利用cos<a>,T>=-了的夾角為市

10*11^1272O

(2)由(1)可得/+k了=(2+k,，4kN+了=(8k+1,回),

然后利用(/+k7)//(4k才+~b)得到(2+k)?通=V^k?(8k+1)即可.

2411

16.【答案】解：(1)因為樣本容量和這3個班總?cè)藬?shù)的比為=!所以抽樣比為石，

36+48+6066

所以從1班、2班、3班抽取的人數(shù)分別為36x：=6,48x1=8,60x=10.

000

即1班、2班、3班抽取的人數(shù)分別為6,8,10.

⑵由⑴知，從1班抽取了6人，設(shè)2名女生為a,b,剩余4名男生為c,d,e,f,

則從6人中選取2人的基本事件為

(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),(a"),(b,c),(6,d),(6,e),(b,/),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,/).

(e,f),共15種,

其中至少有1名女生的共9種，

Q3

所以至少有1名女生作為組長的概率為4I

155

(3)甲同學成績的平均數(shù)為69+71+?+73+75=了?,

5

22

方差為(69-72)2+(7172)2+⑺72y+(7372)+(75-72)_彳

乙同學成績的平均數(shù)為70+71+?+73+75=72,

5

方差為(70-72)2+(71_72)2+(71-72)2+(73-72)2+(75-72)2_16

'5=E'

由于4>孚，所以乙同學成績更穩(wěn)定.

5

【解析】本題主要考查分層隨機抽樣、古典概型及其計算、方差，屬于中檔題.

(1)先得到抽樣比為然后得到從1班、2班、3班抽取的人數(shù)分別為36x工=6,48x1=8,60x1=10.

6666

第13頁，共18頁

（2）由（1）知，從1班抽取了6人，設(shè)2名女生為eb,剩余4名男生為c,d,e,f,然后利用古典概型即

可；

（3）分別計算出甲同學成績的方差為4,乙同學成績的方差為坐，然后比較即可.

0

17.【答案】解：（1）如圖，延長CZ）交于點連接

因為四邊形/BCD是矩形，E是/。的中點，所以AEMDSABMC,

所以憂=MD黑=《,所以￡,。分別是MC的中點,

~MC2

又尸是尸C的中點，所以DF//PM,

因為平面尸BE,PMu平面P3E,所以。F〃平面PBE.

(2)證明：在平面8CDE中，BE=2瓜CE=25，BC=4,

所以3后2+。石2=3。2,所以BE_LCE，

又因為CELLPB,PBCBE=B,PB,BEU平面PBE,所以CE_L平面尸

又因為CEC平面所以平面平面BCD石.

⑶如圖，取中點“，過，作HQLBC于點。，連接/W,PQ,

因為PB=PE,所以PH_LBE,由⑵可知，平面PBELL平面8CDE,

又因為平面PBEn平面=PHU平面PBE,

所以PHL平面2CDE,且強，BCU平面BCDE,所以PHUXQ,PH1BC，

因為PHCiHQ=H,PH,HQu平面尸〃。，所以平面刊①，

又因為PQU平面P80,所以RCLPQ,所以/PQH為二面角P—BC—E的平面角,

由題意可知HQ=1,PH=V2<PQ=g，所以COSNPQH=喋=3=^,

PQv33

第14頁，共18頁

即二面角P—BC—E的余弦值為遺

3

【解析】本題主要考查線面平行的判定、面面垂直的判定、二面角等，屬于中檔題.

(1)如圖，延長BE,CD交于點連接尸”，然后證明。F〃尸即可；

(2)先證明平面PBE,然后利用CEU平面BCDE即可；

⑶如圖，取3E中點77,過女作HQrBC于點0,連接尸X,PQ,

然后得到/PQH為二面角P—BO—E的平面角，然后計算cos/PQH=，g即可.

18.【答案】解：(1)若選①，由于求〃記，

所以V^acos。=(2b-\/3c)cosA,

由正弦定理得sinAcosC=(2sinB—A/3sinC)cosA,

即\/3(cosCsinA+sinCcosA)=2sinBcos4

即sin(A+C)=2sinBcos4,

即VssinB=2sinBcosA，

因為Be(0/),

所以sin,

所以cosA=，

2

因為4e(0,7r),

所以4=/；

6

若選②，因為sin2B+sin2C-sin24=J^sinBsin。，

由正弦定理得廬+。2—Q2=，^C，

由余弦定理得cos4='+、—乙=遮，

26c2

因為4e(0,7r),

第15頁，共18頁

7T

所以4=K；

6

bca2

(2)因為0=2,由正弦定理得sin_BsinCsinA1

2

所以b=4sin，c=4sin。，

所以AABC的面積S=|bcsinA=4sinBsinC

=4sinBsin(B+:7T)=4sinB(-^-sinB+-]cosB)

=2sinBcosB+2A/3sin2B

=sin2B+\/3(1—cos2B)

=2sin(2B—￡)+禽，

3

因為△ABC為銳角三角形,

7T7T

0<A<|0<-<-

62

7Tc7T

所以<0<B<-即《0<B<-

0<C<|c5江—7T

0<T-B<2

7T7T

所以可<B<2；

o

,7T八-7T27r

所以萬<2B——<---，

ooo

所以sin(2B_3)C(gl],

o/

所以/XABC面積的取值范圍為(273,2+\/3].

【解析】本題考查正弦定理及變形、利用余弦定理解三角形、利用正弦定理解三角形、三角形面積公式、

三角恒等變換的綜合應用、求正弦型函數(shù)的值域或最值、逆用兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.

(1)選①，利用向量共線得坐標表示，得出8acosC=(2b-ec)cos4,再利用正弦定理和兩角和與差的

正弦公式化簡，求出COS4=Y2,即可求出結(jié)果；

2

選②，利用正弦定理化簡已知式子為廬+。2_(12=孤兒，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；

(2)由正弦定理得出b=4sinB，c=4sin。，表示出△48。的面積

S=16csinA=4sinBsinC==2sin(2B-^)+\/3＞求出角2的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的最值的求解,

/O

即可求出結(jié)果.

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19.【答案】解：(1)由圖可得4=f(c)=a、

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