2025年高考數(shù)學一輪復習：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學生版）

考點11指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(3種核心題型+基礎保分練+綜合提

升練+拓展沖刺練)

m【考試提醒】

i.理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握指數(shù)幕的運算性質(zhì).

2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象3理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特

殊點等性質(zhì)，并能簡單應用.

皿【知識點】

1.根式

(1)一般地，如果廿=〃，那么叫做〃的〃次方根，其中心1,且〃￡1^*.

(2)式子"G叫做，這里〃叫做根指數(shù)，Q叫做被開方數(shù).

(3)(〃)"=.

當〃為奇數(shù)時，，

當〃為偶數(shù)時，而尸廠’.既

V(―Q,6Z<0.

2.分數(shù)指數(shù)幕

m

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)累：a"—(a>0,m,"GN*,n>l).

-HLJ

正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)累：an==-；=(a>0,m,"GN*,n>l).

Vam

0的正分數(shù)指數(shù)幕等于,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

3.指數(shù)幕的運算性質(zhì)

aras=；(。'>=;(ab)r=(a>0,b>0,r,sGQ).

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：一般地，函數(shù)y=a工(a>0,且a=l)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域

是.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<6Z<l

yiy=axy=ax\

圖象(0,1)公

二1X1X

定義域

值域

性質(zhì)過定點________,即x=0時，y=l

當x>0時，_______；當x<0時，________；

當x<0時，_________當x>0時，__________

在(一8,+8)上是_______在(一8,+8)上是_______

【常用結(jié)論】

1.指數(shù)函數(shù)圖象的關鍵點(0,1),(1,a),(—1,3

2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(l)y=a*(2)y=〃，(3)y=cS(4?=#的圖象，則0分1>0>6>0,即

在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)>="(60,且aWl)的圖象越高，底數(shù)越大.

題型一指數(shù)塞的運算

(1)指數(shù)賽的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)賽統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)幕，以便利用法則計算，還應注

意：

①必須同底數(shù)森相乘，指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

(2)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).

【例題1】(2024?廣東?模擬預測)若盯=3,則

1Cx+n2+e*一5*

【變式1](2024高二下?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=(5)、」.二2八—，則

212(%+1)

/(log,6)+/(log,.

6

2、x<l(7、

【變式2】(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=；-?則/彳卜______

/x-2,x>l,[2)

【變式3】(2024高三?全國?專題練習)化簡下列各式:

2

(1)O.O64"一舊一無。=

y]a3b2y[ab^

(2)(11V_11(。>0,6>0=______

a4b2a3b3

7

（3設￡+丫4_a，貝Ux+%-1的值為

題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應用

對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、

對稱變換得到.特別地，當?shù)讛?shù)。與1的大小關系不確定時應注意分類討論.

【例題2】（2024高三?全國?專題練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)了=4，y=loga（尤

【變式1】（23-24高三下?江西,開學考試）

【變式2】（23-24高三上?山東濰坊?期中）

A.0<a<b<lB.0<a<l<b

C.Q<b<\<aD.a<O<l<b

【變式3］（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)y=￡,y=bx,V=log,%在同一平面直角坐標

系的圖象如圖所示，則（）

aa

Alogjc<b<sinZ?Blog}c<sinb<b

22

a

Csinb<〃<log】cDsin/）<logxc<b

22

題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用

⑴利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小

還可以借助中間量.

（2）求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，要明確復合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、

最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

命題點1比較指數(shù)式大小

【例題3】（2024?甘肅武威?模擬預測）^a=b=log050.8,c=log040.9,則。也c的大

小關系是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【變式1］（2024?全國?模擬預測）已知"logs?,b=lg4,0=2「，則。也c的大小關系為

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【變式2］（2024?北京房山?一模）已知〃,6,C￡R,則下列命題為假命題的是（）

A.若貝（Ja+c>b+cB.若a>b>0,貝lj〃以>陰,

C.若a>b,則已『<已『D.若a>6>0,c>0,則吼三

V2）（2）aa+c

15

【變式3］（2024?陜西西安?模擬預測）^a=0.31,b=log312,c=log26,d=3pi,則有

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

命題點2解簡單的指數(shù)方程或不等式

【例題4】(23-24高三上?陜西咸陽?階段練習)若函數(shù)/(x)="+l(a>0且"1)在區(qū)間

[1,2]上的值域為[3,5],則實數(shù)。的值為()

11

A.-B.2C.3D.-

23

【變式1】(23-24高三上?河南周口?階段練習)己知函數(shù)/(x)=22、-幺2,+4,若/(x)20恒

成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-<?,4]B.(-0>,2]C.[4,+oo)D.[2,+a>)

【變式2】(2023?山東苗澤?三模)已知函數(shù)〃x)=siiw+無，若xeR,不等式

+2及j>0恒成立，則正實數(shù)用的取值范圍為()

A.(3,4)B.(2,+co)C.[3,+oo)D.(4,+<x>)

【變式3】2024高三?全國?專題練習)若集合A={x|log2xV1},集合8={昨-2},則/口5=

()

1x|0<x<ljC.1x|0<x<ln21D.1x|0<x<2j

命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用

【例題5】(23-24高三上?陜西?階段練習)已知函數(shù)=m。是奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)求在上的值域.

【變式1](23-24高三上?廣東茂名?階段練習)若函數(shù)/(x)=(2a-1廣3+6的圖象恒經(jīng)過定點

(3,-2).

(1)求6的值；

⑵當在R上是增函數(shù)，求a的范圍.

【變式2】（2024,全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=12x-4|+|x+3］.

（1）求不等式卜4,的解集；

（2）128

（2）若〃x）＞依+1恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

【變式3］（23-24高三上?江蘇淮安?期中）已知不等式Iog2（x+2）41og2（8-2x）.

⑴求不等式的解集A；

⑵若當xeZ時，不等式［；［［4口］+22加總成立，求加的取值范圍.

□【課后強化】

基礎保分練

一、單選題

1.（2024?四川綿陽?二模）的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.-5B.-10C.5D.10

V-/）

2.（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）已知〃x）=171r伍＞0）是奇函數(shù)，貝防=（）

A.4B.3C.2D.1

3.（23-24高三上?廣東梅州?期中）計算：1.1°+W-0.5-2+lg25+21g2=（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024高三下,全國?專題練習）已知〃x）=嘿，彳+xcosx（-IVXVI）,設函數(shù),⑴

的最大值是"，最小值是N,則（）

A.M+N=8B.M-N=S

C.M+N=6D.M-N=6

二、多選題

5.（23-24高三上?福建漳州?階段練習）小明同學對函數(shù)〃無）=「-版＞0且aR1）進得

研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（）

A.函數(shù)/'（X）的定義域為RB.函數(shù)/（x）有可能是奇函數(shù)，也有可能是偶

函數(shù)

C.函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D.函數(shù)/（無）不一定有零點

2

6.（2024?山東臨沂?一模）已知函數(shù)/（力=不~-+a（aeR）,則（）

2—1

A.〃》）的定義域為（-8,0川（0,+向

B.的值域為R

C.當。=1時，無）為奇函數(shù)

D.當。=2時,/（-x）+/（x）=2

三、填空題

7.（2023?上海金山?一模）若x＞0時，指數(shù)函數(shù)的值總大于1,則實數(shù)加的取

值范圍是.

8.（23-24高三上?江蘇連云港?階段練習）設xeR,用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則y=［x］

稱為高斯函數(shù).例如：［2』=2,-3.1］=-4.已知函數(shù)/.=蕓〉則［〃一1）］=，

函數(shù)y=［f(x)］的值域為.

四、解答題

9.(2024高三?全國?專題練習)畫下列函數(shù)圖像

⑴y=2工+2；

,、x+2

⑵尸”

10.(2024高三?全國?專題練習)化簡：

(1)(—P+(0.002p-10(V5-2r'+(V2-V3)°；

(2)^(1+V2)3+V(1-V2)4

11.(23-24高三上?安徽合肥?階段練習)已知函數(shù)/(X)=2、；2、,=

(1)若存在xe(O,+s),使得/(x)=/.2￡+g成立，求實數(shù)，的取值范圍；

(2)若不等式〃2x)+26g(x)N0,對任意的恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

12.23-24高三上?河南鄭州?階段練習)己知函數(shù)/(%)=優(yōu)+6,g(x)=log.x,

其中6均為實數(shù).

⑴若函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過點4(0,2),8(1,3),求凡6的值；

⑵如果函數(shù)/(x)的定義域和值域都是，求0+6的值.

⑶若。滿足不等式22)>25。-2,且函數(shù)g(2x-l)在區(qū)間［1,3］上有最小值-2,求實數(shù)。的

值.

綜合提升練

一、單選題

1.（2023?廣東珠海?模擬預測）己知。>0且“N1,下列等式正確的是（）

6

A.2.。3=。-6B.—=a2

a

N1

C.a6+a3=a9D.a2=-?=

2.（23-24高三下?重慶?階段練習）已知為奇函數(shù)，貝丫⑴二（）

22

A.-B.——C.2D.-2

33

3.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=3，,若a=〃log36）/=/（log510）,c=/1|],則

（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

2%+2-x,x<3

4.（2024?江蘇南通?二模）已知函數(shù)〃x）=（x）.,則〃bg?9）=（）

]/匕/>3

8108082

A.-B.—C.—D.—

3399

5.（2023?江西南昌三模）設函數(shù)〃可=優(yōu)（0<。<1）,g（x）=k>gr（6>l）,若存在實數(shù)加

滿足：①/（加）+g（承）=0；②/（XHgShO，③|加-小1,則;機-〃的取值范圍是

（）

6.（23-24高三上?福建莆田?階段練習）函數(shù)7=優(yōu)~+2（。>0且awl）的圖象恒過定點化6）,

91

若加+〃=6—左且加〉0,〃〉0,則一+一的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.D.

22

7.（23-24高三上?云南楚雄?期末）設衿的小數(shù)部分為x,則/+6工2+12、=（）

32

A.1B.-C.2D.-

23

8.（23-24高三上?河南鄭州?階段練習）下列結(jié)果正確的是（）

B.log。(MN)=log。M+logflN

D.(log32+log92)?(log43+log83)=|

9.（2024?廣西柳州?三模）若。＞6,則（

A.a3-b3>0B.ln("b)〉0C.ea-b>1D.同一例>0

_i

10.（23-24高三上?浙江溫州?期末）已知函數(shù)/⑴=1^^,則（）

A.不等式的解集是

B.VxeR,都有〃-x）=/（x）

C.〃x）是R上的遞減函數(shù)

D./（x）的值域為

11.（22-23高三上?河北邯鄲?期中）設函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）

A.伏刈是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

c./W[/（X）|是奇函數(shù)D.7（|x|）/w是偶函數(shù)

三、填空題

12.（2024?北京房山?一模）若對任意私"eR,函數(shù)/（x）滿足/（，"）/（〃）=/（加+功，且當加〉〃

時，都有/＞）＜/（〃），則函數(shù)〃x）的一個解析式是.

x

13.（2024?全國?模擬預測）已知16嘀2X—9*X=X,1610g"一口嗨丁=y,則一=.

2丫+1

14.（23-24高三下?江西?階段練習）已知函數(shù)/（》）=2.+2「'「I-。，存在實數(shù)與工2,…，必使

得力（x,）=/（x」成立，若正整數(shù)"的最大值為8,則正實數(shù)。的取值范圍是.

1=1

四、解答題

15.（23-24高三上?內(nèi)蒙古通遼?階段練習）求值或化簡

⑴計算:0.0643+2-+o.r2；

⑵化簡(用分數(shù)指數(shù)幕表示):

16.(2023高三?全國?專題練習)已知/(x)=2"的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由/(x)的圖

象通過怎樣的變換得到的.

(i)y=2"

(2)y=2'+l；

⑶y=2T；

⑷>=2忖.

17.(23-24高三上?安徽?階段練習)已知募函數(shù)/(x)=(/-5加+5)/一2M在(0,+動上單調(diào)

遞減，函數(shù)g(x)=2~.

(1)求加的值；

⑵記集合么=例》=/(x),xe[l,2]},集合8=卜卜=8(月,工?-1,1]},若/p|2=/,求實

數(shù)上的取值范圍.

18.(23-24高三上?陜西西安?階段練習)解不等式:

⑴log1^一x-2)>logjx-1)-1

22

(2)1<4A-3-2v+3<7.

3="a<>

19.(23-24高三下?全國咱主招生)S[=<aa<2>,S2=\aloga1-<2L53j^'

求(HCS2)US3

拓展沖刺練

一、單選題

1.（2024,寧夏固原?一模）已知函數(shù)/（x）的部分圖像如圖所示，則〃x）的解析式可能為

()

D-"A右

2.(2024?河北滄州?一模)下列命題為真命題的是()

A.Vx>0,ex>cosxB.\/a>b,a1>b2

C.Bx>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

3.(2024?陜西西安?一模)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，滿足〃x+2)=-7凸，且一24x40

時，/(x)=-2,若關于