數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。已知a，b∈R+,ab=4,則a+b的最小值為(）A.4 B.2 C. D.不確定解析:(a+b）(a+b）≥（+)2=4ab,則a+b≥2=4,故選A。答案:A2。x，y,z∈R+，x+y+z=1，下列各式正確的是……()A。x2+y2+z2≥1B.x2+y2+z2≥2C。xy+yz+xz≥D.x2+y2+z2≥解析:由于x2+y2+z2≥xy+yz+xz，又1=（x+y+z）2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz),∴3(x2+y2+z2)≥1.則x2+y2+z2≥。故選D。答案：D3。a，b,c,d∈R+，則（a+b+c+d）（+++）的最小值為_(kāi)_________。解析:(a+b+c+d)(+++)≥（+++)2=16。答案：164.已知x2+y2+z2=1,則3x+4y+5z的最大值是…（）A.5 B.50 C. D.14解析：根據(jù)柯西不等式,有（3x+4y+5z)2≤(x2+y2+z2)(32+42+52）=50,∴3x+4y+5z≤5。∴選A。答案：A5.已知a,b是實(shí)數(shù),那么(a4+b4)(a2+b2)與(a3+b3）2的大小關(guān)系為_(kāi)_________。解析：根據(jù)柯西不等式,有（a4+b4）(a2+b2)≥(a2·a+b2·b）2=（a3+b3）2.答案：(a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3)26。a，b，c∈R+，a+b+c=1,求證:++≥9（a+b+c）.證明：構(gòu)造兩組數(shù)a,b,c；,，，則［（）2+（）2+()2］［()2+(）2+()2］≥(·+·+·）2=9=（a+b+c）·9,∴++≥9（a+b+c）。7.a，b，c,d為不全相等的正數(shù)，求證：+++>+++。證明：取兩組數(shù)+++；,，，，于是（+++)（+++）>（+++)2，則+++〉+++。8.已知a2+b2+c2=1，求證:ab+bc+ac≤1.證明：1=(a2+b2+c2）(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ac)2,則ab+bc+ac≤1.綜合運(yùn)用9。設(shè)a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求證:(a+）2+(b+）2+（c+)2≥.證明:左邊=(12+12+12）[（a+）2+（b+）2+（c+)2]≥（a++b++c+）2=(1+++)2=[1+（a+b+c）(++）］2≥［1+(·+·+·)2］2=(1+9）2=.10。已知x,y,z是正實(shí)數(shù)，求證:++≥。證明：因?yàn)閤,y，z是正實(shí)數(shù)，令a=(，,）,b=(，，)。∵|a·b｜2≤｜a|2·｜b｜2,∴（·+·+·)2≤(++）[(y+z)+（z+x）+(x+y)］.∴（x+y+z)2≤2（++)(x+y+z）。∴++≥。11.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5，試求a解:構(gòu)造函數(shù)f（x）=(2b2+3c2+6d2)x2-2(b+c+d)x=（2b2x2—2bx+)+（3c2x2-2cx+)+(6d2x2—2dx+）=（bx—）2+(cx-）2+(dx—)2.∵f（x)≥0恒成立,∴Δ=4（b+c+d)2-4(2b2+3c2+6d2∴2b2+3c2+6d2≥(b+c+d）2又由已知可得2b2+3c2+6d2=5-a2，b+c+d=3—a∴5—a2≥(3—a）2?！郺2-3a∴1≤a≤2.∴amax=2，amin=1.12。已知a，b,c是實(shí)數(shù)，且a+b+c=1,求證:++≤4。證明:因?yàn)閍,b,c是實(shí)數(shù),且a+b+c=1，令m=(,,）,n=(1,1,1）。則｜m·n｜2=（++）2，｜m｜2·|n｜2=3［(13a+1）+(13b+1）+（13=3［13(a+b+c）+3］=48.∵｜m·n｜2≤｜m|2·｜n|2,∴（++)2≤48.∴++≤4.拓展探究13.設(shè)xi〉0（i=1，2，…，n)，求證：++…+≥x1+x2+…+xn。證明：∵xi>0（i=1，2,…,n）,∴可構(gòu)造函數(shù)f（x)=(x2+x3+…+xn+x1）x2-2(x1+x2+…+xn)x+（++…+)=(x-)2+（x—)2+…+（x—）2.∵f(x）≥0恒成立,∴Δ=4（x1+x