上傳人：1***

認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實名認(rèn)證）

IP屬地：河北

IP屬地：河北 上傳時間：2024-11-10 格式：DOCX 頁數(shù)：25 大小：325.17KB 積分：6 舉報 版權(quán)申訴

PAGE1第03講基本不等式（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值2021年天津卷，第13題,5分基本不等式求和的最小值2020年天津卷，第14題,5分基本不等式求和的最小值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有高有低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握基本等式的基本內(nèi)容2.能掌握基本不等式的解題方法3.具備函數(shù)與基本不等式思想意識，會利用函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式解決最值問題4.能夠在基本不等式與其他知識點結(jié)合時，靈活運用基本不等式的解題方法【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般最值問題，考慮使用基本不等式知識講解知識點.基本不等式1．基本不等式的形式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)考點一、直接法1．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A．y=x2+2x+4C．y=2x+【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合題意，C符合題意．【詳解】對于A，y=x2+2x+4=x+12對于B，因為0<sinx≤1，y=sinx對于C，因為函數(shù)定義域為R，而2x>0，y=2x+22?x對于D，y=lnx+4lnx，函數(shù)定義域為0,1∪1,+∞，而ln故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．2．（2021·天津·高考真題）若a>0,b>0，則1a+a【答案】2【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】∵a>0,b>0，∴1當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2所以1a+a故答案為：221.（2024·寧夏銀川·二模）已知A(3,0),B(?3,0)，P是橢圓x225+y2【答案】25【分析】先根據(jù)條件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.【詳解】由已知可得A(3,0),B(?3,0)為橢圓x2根據(jù)橢圓定義知|PA|+|PB|=10，所以|PA|?|PB|≤|PA|+|PB|當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=5時等號成立，故|PA|?|PB|的最大值為25.故答案為：25.2.（2024·甘肅定西·一模）x2A．27 B．37 C．47【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意知x≠0，所以x2所以x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=7故選：B.3.（2024·全國·模擬預(yù)測）若x>0,y>0,3x+2y=1，則8xA．2 B．22 C．32 【答案】B【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】8x當(dāng)且僅當(dāng)23x=22y且故選：B.4.（2024·重慶·模擬預(yù)測）若實數(shù)a，b滿足ab=2，則a2A．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】借助基本不等式計算即可得.【詳解】a2當(dāng)且僅當(dāng)a2故選：D.5.（2024·安徽·模擬預(yù)測）若a>0，b>0，則“a+b≤2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗證必要性即可得.【詳解】當(dāng)a=b=1時，a+b≤2故“a+b≤2當(dāng)a+b≤1時，有a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b則a+故“a+b≤2故選：B.6.（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)a,b滿足a2+b2=m，則a+b【答案】2m【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】因為a,b是正實數(shù)，a2+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2m2時取等號，于是所以a+b的最大值為2m.故答案為：2m考點二、配湊法1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)fx=x+1x?3x>3在【答案】4【分析】利用配湊法可得fx【詳解】fx當(dāng)且僅當(dāng)x?3=1x?3即即x=4時取最小值，故a=4．故答案為：42.（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知x>0，則2x+42x+1的最小值為【答案】3【分析】將原式變形為2x+1+4【詳解】解：2x+42x+1=2x+1+42x+1故答案為：3.1.（2023高三·全國·專題練習(xí)）若x>1，則x2+2x+2x?1【答案】25+4【分析】由已知可得x?1>0，變形可得x2【詳解】由x>1，則x?1>0.因為x2所以x2+2x+2x?1當(dāng)且僅當(dāng)x?1=5x?1，即故x2+2x+2x?1故答案為：252.（21-22高三上·安徽安慶·期末）下列函數(shù)的最小值為22A．y=cosx+C．y=2x【答案】B【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷A、D，利用基本不等式判斷C，將y=x+8?x【詳解】對于A：因為0<cosx≤1，又y=x+所以當(dāng)cosx=1時對于B：將y=x+8?x因為?x2+8x=?(x?4)2+16，所以y2所以ymin因為2x>0，所以y=2x+對于D：y=2x4+8x2+10所以當(dāng)x2+2=2，即x=0時故選：B．3.（2024·江西贛州·二模）已知y>x>0，則yy?x?4x【答案】2【分析】依據(jù)條件結(jié)構(gòu)特征利用分離常數(shù)法和配湊法思想對yy?x【詳解】由題y>x>0，所以y=y==≥2當(dāng)且僅當(dāng)2x+y2y?2x=2y?2x2x+y，即故答案為：23【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于巧妙變形分離?4x2x+y=?4.（22-23高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則1+2b+4cb?1【答案】8【分析】由題意可得Δ≤0化簡得c≥b24，所以【詳解】因為不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則因為b>1，所以b?1>0，∴1+2b+4cb?1≥b當(dāng)且僅當(dāng)b?1=4b?1，即故答案為：8考點三、常數(shù)“1”的代換1.（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知m,n∈0,+∞，1mA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.【詳解】?m,n∈0,+∞，當(dāng)且僅當(dāng)mn=9mn，即m=1，故選：B.2.（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足1a+1A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】將1a+1b=1【詳解】因為1a+1所以ab+3b=a+4b=a+4b當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=32時，等號成立，所以故選：B1.（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）若x>0，y>0，且x+y=1，則4x+1【答案】9【分析】利用“1”的變形，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】4x當(dāng)4yx=xy，即x=2y，聯(lián)立所以4x故答案為：92.（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）若實數(shù)a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a【答案】4【分析】根據(jù)a>1>b>0，將a2+2b=b【詳解】由a2+2b=b因為a>1>b>0，所以a?b≠0，即a+b?2=0，則a?1+b=1，則1a?1當(dāng)且僅當(dāng)ba?1=a?1b，即a=3故答案為：4.3.（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)a、b滿足1a+1b=1【答案】3+22/【分析】根據(jù)基本不等式求解．【詳解】由已知2a+b=(2a+b)(1a+1b)=3+2a故答案為：3+224.（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，若2a2+2abA．2?2 B．2+2 C．4+22【答案】D【分析】首先變形ab=ab×2a2+2ab+【詳解】ab=ab×2=2設(shè)ab則ab=2=x當(dāng)x=2x，即x=2所以ab的最大值為4?22故選：D5.（2024·寧夏·二模）直線ax+by?1=0過函數(shù)f(x)=x+1x?1圖象的對稱中心，則A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得fx的對稱中心，從而得到a+b=1【詳解】因為y=x+1x為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數(shù)所以fx的對稱中心為(1,1)，所以a+b=1所以4a當(dāng)且僅當(dāng)4ba=a所以4a+1故選：A6.（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點Px,y在以原點O為圓心，半徑r=7的圓上，則A．49 B．5+229 C．【答案】D【分析】由題可得點P滿足的圓方程x2+y【詳解】由題意可得點P的坐標(biāo)滿足x2+y因此，1=1當(dāng)且僅當(dāng)y2+1x故選:D．考點四、和積定值1.（2024·廣西·模擬預(yù)測）已知a,b∈(?∞,0)，且a+4b=ab?5，則A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．【答案】D【分析】首先確定0<ab<5，再由基本不等式得到ab+4ab?5≤0，從而求出【詳解】因為a,b∈(?∞,0)，a+4b=ab?5，則a+4b<0，所以又ab?5=a+4b=??a即ab+4ab?5≤0，即ab+5所以0<ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)?a=?4b，即a=4b=?2時，等號成立，即ab的取值范圍為0,1.故選：D．2.（2023·河南焦作·模擬預(yù)測）已知正數(shù)x，y滿足23x+2y?xy=0，則當(dāng)xy取得最小值時，A．4+83 B．2+43 C．3+63【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用基本不等式及取等號的條件，可得x=4，y=43【詳解】由題意可得3x+y=12xy≥當(dāng)且僅當(dāng)3x=y，即x=4，y=4故xy取得最小值時，x+2y=4+83故選：A.1.（2024·山東·模擬預(yù)測）已知兩個不同的正數(shù)a,b滿足(1+a)3a=(1+b)3【答案】0,【分析】本題將條件式化簡后結(jié)合基本不等式得出關(guān)于ab的不等式，再構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】將(1+a)3得到a2從而a2故a?ba+b+3?1ab故a+b+3?1ab=0故1ab從而2(設(shè)函數(shù)gx=2x觀察易得gx在0,+∞上單調(diào)遞增，故又a>0,b>0，所以0<ab<1故答案為：0,1【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與不等式的綜合，其關(guān)鍵是利用均值不等式構(gòu)造關(guān)于ab的不等式2(ab)2.（2024·湖北·模擬預(yù)測）若正數(shù)a，b滿足：a3+bA．13 B．14 C．2【答案】B【分析】根據(jù)條件等式及均值不等式求解即可.【詳解】因為a，b為正數(shù)，所以a3因為a3+b所以1≥2a，所以a≤14，當(dāng)且僅當(dāng)a=故選：B.考點五、消元法1.（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足x>3，且xy+2x?3y=12，則x+y的最小值為（

）A．1+26 B．8 C．62 【答案】A【分析】由題意得y=12?2xx?3=?2+【詳解】因為x>3，且xy+2x?3y=12，所以y=12?2x從而x+y=x?2+6x?3=所以x+y的最小值為1+26故選：A.2.（2024·云南·模擬預(yù)測）已知正數(shù)x,y滿足x+y=4，則1x?y【答案】0【分析】根據(jù)題意，化簡得到1x【詳解】由正數(shù)x,y滿足x+y=4，可得y=4?x，所以1x?y所以1x?y故答案為：0.1.（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．【答案】42?1【分析】依題意可得x=y+10【詳解】因為x>0，y>0且xy+2x?y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10當(dāng)且僅當(dāng)8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值為42故答案為：422.（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知a,b>0,ab=1，求S=1【答案】2【分析】根據(jù)條件，b=1a代入消去b，將S的表達(dá)式分離常數(shù)得【詳解】∵a,b>0，ab=1，∴S===1?1∵a+2a≥2a?2所以S≥1?1故S的最小值為223.（2024·山西·三模）已知正實數(shù)x，y滿足x2+3xy?2=0，則A．2103 B．103 C．2【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知2x+y=5x【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足x2+3xy?2=0，則則2x+y=2x+2當(dāng)且僅當(dāng)5x3=2所以2x+y的最小值為210故選：A.考點六、雙換元1.（2024·四川成都·三模）設(shè)a>b>0，若a2+λbA．2+22 B．4 C．2+2 【答案】A【分析】由不等式可得λ≤a3+【詳解】因為a>b>0，若a2+λb設(shè)t=ab>1則1+(令s=t?1>0，可得t=s+1，所以1+(s+1)2s=s+2所以λ≤2+22即λ的最大值為2+22故選：A．2.（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）正數(shù)a，b滿足a>b，ab=4，則a3A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】已知條件化簡可得：a3【詳解】由題意得a3令t=a?b>0，則a3+b故選:C．1.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x>y>0，6x+y+2x?y=1【答案】12【分析】令a=2x+y，b=2x?y，從而可得x=1【詳解】令a=2x+y，b=2x?y，則x+y=2a，所以x=1a+又3a+b=1，所以2x?y=2=3+b當(dāng)且僅當(dāng)a=16，b=12，即故答案為：122.（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x,y滿足x>23,y>2，不等式9【答案】16【分析】利用換元法，將不等式左邊轉(zhuǎn)化為a,b的表達(dá)式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得解.【詳解】因為x>23，y>2，所以3x?2>0，令a=3x?2，b=y?2，則a>0，b>0，x=a3+所以9==2ab當(dāng)且僅當(dāng)a2b=b2a且4ab即x=43，又不等式9x2y?2+y23x?21．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）若正實數(shù)x，y滿足1x+y=2，則A．4 B．92 C．5 【答案】B【分析】本題利用“1”的妙用技巧進(jìn)行替換，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為x，y是正實數(shù)，所以xy>0故有x+4當(dāng)且僅當(dāng)xy=4xy，即x=3故選：B.2．（2024·天津·二模）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，拋物線上的點M4,y0到F的距離為6，雙曲線x2a2A．2 B．3 C．5 D．3【答案】A【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求p、F、F【詳解】設(shè)雙曲線右焦點F2，易知Fp2即F2,0,F易知F1H=bca由雙曲線的性質(zhì)可知S△H由基本不等式可知ab≤a2+故選：A3．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知a>0，b>0，則“a+b>2”是“ab>1”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】若a=1.5,b=0.6，滿足a+b>2，但ab<1，若a>0,b>0，ab>1，則a+b≥2ab>2，即所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分條件.故選：B4．（2023·天津南開·一模）已知實數(shù)a>0,b>0,a+b=1，則2a+2【答案】2【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴2a+2b≥2故答案為：225．（2022·天津南開·模擬預(yù)測）若實數(shù)x，y滿足x>y>0，且xy=4，則x?yx+y2的最大值為【答案】18【分析】令x?y=t，對不等式變形得到x?yx+y【詳解】令x?y=t，則t>0，x?yx+y當(dāng)且僅當(dāng)t=16t，即所以x?yx+y2故答案為：16．（21-22高三上·天津南開·階段練習(xí)）若a，b>0，且ab=a+b+3，則ab的最小值是．【答案】9【分析】利用基本不等式得a+b=ab?3≥2ab【詳解】因為a+b=ab?3≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b所以(ab所以(ab?3)(ab+1)≥0，所以所以ab的最小值為9.故答案為：97．（2024·天津·模擬預(yù)測）若a>0，b>0，且a+b=1，則a+1ab+【答案】25【分析】先對a+1ab+1b進(jìn)行等式變形，利用a+b=1把原式化簡為ab+2ab?2，再利用均值不等式可得【詳解】由a+1因為a+b=1，所以上式=ab+1?2ab又因為a>0，b>0，由均值不等式得：0<ab≤a+b利用函數(shù)y=x+1x在區(qū)間(a+1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1故答案為：251．（2024·天津河西·三模）已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=A．3+3 B．5+32 C．【答案】C【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：x2a12+y2b12=1，x【詳解】解：如圖所示：設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：x2a1由題意得a1設(shè)PF1=m,解得m=a在△PF1F即2c2=a則1e所以e1≥1當(dāng)且僅當(dāng)e22e故選：C2．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a∥A．2+1 B．2+2 C．4 【答案】A【分析】根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出x2【詳解】∵a=1,1，b=2x+y,2，其中∴2x+y=2，∴x2當(dāng)且僅當(dāng)y=2x即∴x2+yxy故選：A.3．（2024高三·天津·專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列an中，a4，3a3，a5成等差數(shù)列．若數(shù)列an中存在兩項amA．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】先根據(jù)題意求出首項及公比，再根據(jù)等比中項的定義求出m+n，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列an公比為q，由a4，3a有6a3=a4由q>0，解得q=2，若數(shù)列an中存在兩項am，an則2a12=am?1m當(dāng)且僅當(dāng)nm=4m所以1m故選：B4．（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S8A．10 B．14 C．20 D．24【答案】D【分析】設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，推導(dǎo)出q>1，S4=6q【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q，則q>0所以，S=S則S8?2S4=S4所以，a=6當(dāng)且僅當(dāng)q4?1=1故a9+a故選：D.5．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，則向量AE在向量CB上的投影向量的模為；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且AM?AN=【答案】22；【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解投影向量的模；再設(shè)BM=λBC=?λ,λ，CN=μCE=【詳解】根據(jù)題意，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因為AB=2CD=2AD=2，所以A0,0所以，AE=所以，向量AE在向量CB上的投影向量為AEcos故其模為?1因為M，N分別為線段BC，CE上的動點，所以，設(shè)BM=λBC=?λ,λ，所以AM=所以AM?AN=2?λ+λ+λμ=所以MD=所以MD?當(dāng)且僅當(dāng)λ=12λ，即故答案為：22；6．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知正△ABC的邊長為3，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點M、N，AM=λAB，AN=μ（1）若AN=2NC，則AD（2）△AMN與△ABC的面積之比的最小值為.【答案】?34/?0.75【分析】根據(jù)AD?BN=12(AB【詳解】（1）AD=1（2）因為AO=23因為M，O，N三點共線，故13λ+1又因為S△AMNS△ABC=1則1λ+1μ=3≥2所以△AMN與△ABC的面積之比的最小值為49故答案為：?34；7．（23-24高三下·天津·開學(xué)考試）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg【答案】3?32【分析】由x>0,y>0,lg2x+lg【詳解】解：∵lg∴x+2y=1,2x+4y+1=3，1x=133+當(dāng)且僅當(dāng)2(4y+1)2x又∵x+2y=1，∴2x∵2y=1?x>0,∴x<1，∴x=3?3即當(dāng)x=3?322時，1故答案為：3?31．（2020·天津·高考真題）已知a>0,?b>0，且ab=1，則12a【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為a+b2【詳解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴=a+b2+結(jié)合ab=1,解得a=2?3,b=2+3故答案為：4【點