第03講 基本不等式（教師版） 備戰(zhàn)2025年高考數學一輪復習考點幫（天津專用）

PAGE1第03講基本不等式（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數量積基本不等式求積的最大值2021年天津卷，第13題,5分基本不等式求和的最小值2020年天津卷，第14題,5分基本不等式求和的最小值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題靈活，難度有高有低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握基本等式的基本內容2.能掌握基本不等式的解題方法3.具備函數與基本不等式思想意識，會利用函數的性質與基本不等式解決最值問題4.能夠在基本不等式與其他知識點結合時，靈活運用基本不等式的解題方法【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般最值問題，考慮使用基本不等式知識講解知識點.基本不等式1．基本不等式的形式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)稱為正數a，b的幾何平均數.2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術平均數與幾何平均數設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)考點一、直接法1．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（

）A．y=x2+2x+4C．y=2x+【答案】C【分析】根據二次函數的性質可判斷A選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合題意，C符合題意．【詳解】對于A，y=x2+2x+4=x+12對于B，因為0<sinx≤1，y=sinx對于C，因為函數定義域為R，而2x>0，y=2x+22?x對于D，y=lnx+4lnx，函數定義域為0,1∪1,+∞，而ln故選：C．【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解出．2．（2021·天津·高考真題）若a>0,b>0，則1a+a【答案】2【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】∵a>0,b>0，∴1當且僅當1a=ab2所以1a+a故答案為：221.（2024·寧夏銀川·二模）已知A(3,0),B(?3,0)，P是橢圓x225+y2【答案】25【分析】先根據條件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.【詳解】由已知可得A(3,0),B(?3,0)為橢圓x2根據橢圓定義知|PA|+|PB|=10，所以|PA|?|PB|≤|PA|+|PB|當且僅當|PA|=|PB|=5時等號成立，故|PA|?|PB|的最大值為25.故答案為：25.2.（2024·甘肅定西·一模）x2A．27 B．37 C．47【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由題意知x≠0，所以x2所以x2當且僅當x2=7故選：B.3.（2024·全國·模擬預測）若x>0,y>0,3x+2y=1，則8xA．2 B．22 C．32 【答案】B【分析】根據題意，由基本不等式代入計算，即可得到結果.【詳解】8x當且僅當23x=22y且故選：B.4.（2024·重慶·模擬預測）若實數a，b滿足ab=2，則a2A．2 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】借助基本不等式計算即可得.【詳解】a2當且僅當a2故選：D.5.（2024·安徽·模擬預測）若a>0，b>0，則“a+b≤2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗證必要性即可得.【詳解】當a=b=1時，a+b≤2故“a+b≤2當a+b≤1時，有a+b≥2ab，當且僅當a=b則a+故“a+b≤2故選：B.6.（2024·四川成都·三模）若正實數a,b滿足a2+b2=m，則a+b【答案】2m【分析】根據給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】因為a,b是正實數，a2+b當且僅當a=b=2m2時取等號，于是所以a+b的最大值為2m.故答案為：2m考點二、配湊法1.（2024高三·全國·專題練習）若函數fx=x+1x?3x>3在【答案】4【分析】利用配湊法可得fx【詳解】fx當且僅當x?3=1x?3即即x=4時取最小值，故a=4．故答案為：42.（2022·重慶·模擬預測）已知x>0，則2x+42x+1的最小值為【答案】3【分析】將原式變形為2x+1+4【詳解】解：2x+42x+1=2x+1+42x+1故答案為：3.1.（2023高三·全國·專題練習）若x>1，則x2+2x+2x?1【答案】25+4【分析】由已知可得x?1>0，變形可得x2【詳解】由x>1，則x?1>0.因為x2所以x2+2x+2x?1當且僅當x?1=5x?1，即故x2+2x+2x?1故答案為：252.（21-22高三上·安徽安慶·期末）下列函數的最小值為22A．y=cosx+C．y=2x【答案】B【分析】利用對勾函數的性質判斷A、D，利用基本不等式判斷C，將y=x+8?x【詳解】對于A：因為0<cosx≤1，又y=x+所以當cosx=1時對于B：將y=x+8?x因為?x2+8x=?(x?4)2+16，所以y2所以ymin因為2x>0，所以y=2x+對于D：y=2x4+8x2+10所以當x2+2=2，即x=0時故選：B．3.（2024·江西贛州·二模）已知y>x>0，則yy?x?4x【答案】2【分析】依據條件結構特征利用分離常數法和配湊法思想對yy?x【詳解】由題y>x>0，所以y=y==≥2當且僅當2x+y2y?2x=2y?2x2x+y，即故答案為：23【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于巧妙變形分離?4x2x+y=?4.（22-23高三下·上海浦東新·階段練習）若關于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則1+2b+4cb?1【答案】8【分析】由題意可得Δ≤0化簡得c≥b24，所以【詳解】因為不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則因為b>1，所以b?1>0，∴1+2b+4cb?1≥b當且僅當b?1=4b?1，即故答案為：8考點三、常數“1”的代換1.（2024·安徽·模擬預測）已知m,n∈0,+∞，1mA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解.【詳解】?m,n∈0,+∞，當且僅當mn=9mn，即m=1，故選：B.2.（23-24高三下·重慶·階段練習）已知正數a，b滿足1a+1A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】將1a+1b=1【詳解】因為1a+1所以ab+3b=a+4b=a+4b當且僅當a=3,b=32時，等號成立，所以故選：B1.（2024·遼寧鞍山·模擬預測）若x>0，y>0，且x+y=1，則4x+1【答案】9【分析】利用“1”的變形，結合基本不等式即可求解.【詳解】4x當4yx=xy，即x=2y，聯立所以4x故答案為：92.（2024·廣西河池·模擬預測）若實數a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a【答案】4【分析】根據a>1>b>0，將a2+2b=b【詳解】由a2+2b=b因為a>1>b>0，所以a?b≠0，即a+b?2=0，則a?1+b=1，則1a?1當且僅當ba?1=a?1b，即a=3故答案為：4.3.（2024·上海徐匯·二模）若正數a、b滿足1a+1b=1【答案】3+22/【分析】根據基本不等式求解．【詳解】由已知2a+b=(2a+b)(1a+1b)=3+2a故答案為：3+224.（2024·浙江·模擬預測）已知a>0，b>0，若2a2+2abA．2?2 B．2+2 C．4+22【答案】D【分析】首先變形ab=ab×2a2+2ab+【詳解】ab=ab×2=2設ab則ab=2=x當x=2x，即x=2所以ab的最大值為4?22故選：D5.（2024·寧夏·二模）直線ax+by?1=0過函數f(x)=x+1x?1圖象的對稱中心，則A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】先利用函數圖象平移與奇函數的性質求得fx的對稱中心，從而得到a+b=1【詳解】因為y=x+1x為奇函數，所以函數圖象關于(0,0)中心對稱，函數圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數所以fx的對稱中心為(1,1)，所以a+b=1所以4a當且僅當4ba=a所以4a+1故選：A6.（2024·河南·模擬預測）已知點Px,y在以原點O為圓心，半徑r=7的圓上，則A．49 B．5+229 C．【答案】D【分析】由題可得點P滿足的圓方程x2+y【詳解】由題意可得點P的坐標滿足x2+y因此，1=1當且僅當y2+1x故選:D．考點四、和積定值1.（2024·廣西·模擬預測）已知a,b∈(?∞,0)，且a+4b=ab?5，則A．[25,+∞) B．[1,+∞) C．【答案】D【分析】首先確定0<ab<5，再由基本不等式得到ab+4ab?5≤0，從而求出【詳解】因為a,b∈(?∞,0)，a+4b=ab?5，則a+4b<0，所以又ab?5=a+4b=??a即ab+4ab?5≤0，即ab+5所以0<ab≤1，當且僅當?a=?4b，即a=4b=?2時，等號成立，即ab的取值范圍為0,1.故選：D．2.（2023·河南焦作·模擬預測）已知正數x，y滿足23x+2y?xy=0，則當xy取得最小值時，A．4+83 B．2+43 C．3+63【答案】A【分析】根據條件，利用基本不等式及取等號的條件，可得x=4，y=43【詳解】由題意可得3x+y=12xy≥當且僅當3x=y，即x=4，y=4故xy取得最小值時，x+2y=4+83故選：A.1.（2024·山東·模擬預測）已知兩個不同的正數a,b滿足(1+a)3a=(1+b)3【答案】0,【分析】本題將條件式化簡后結合基本不等式得出關于ab的不等式，再構造函數并利用函數的單調性求解即可.【詳解】將(1+a)3得到a2從而a2故a?ba+b+3?1ab故a+b+3?1ab=0故1ab從而2(設函數gx=2x觀察易得gx在0,+∞上單調遞增，故又a>0,b>0，所以0<ab<1故答案為：0,1【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數與不等式的綜合，其關鍵是利用均值不等式構造關于ab的不等式2(ab)2.（2024·湖北·模擬預測）若正數a，b滿足：a3+bA．13 B．14 C．2【答案】B【分析】根據條件等式及均值不等式求解即可.【詳解】因為a，b為正數，所以a3因為a3+b所以1≥2a，所以a≤14，當且僅當a=故選：B.考點五、消元法1.（23-24高三下·浙江·階段練習）已知實數x，y滿足x>3，且xy+2x?3y=12，則x+y的最小值為（

）A．1+26 B．8 C．62 【答案】A【分析】由題意得y=12?2xx?3=?2+【詳解】因為x>3，且xy+2x?3y=12，所以y=12?2x從而x+y=x?2+6x?3=所以x+y的最小值為1+26故選：A.2.（2024·云南·模擬預測）已知正數x,y滿足x+y=4，則1x?y【答案】0【分析】根據題意，化簡得到1x【詳解】由正數x,y滿足x+y=4，可得y=4?x，所以1x?y所以1x?y故答案為：0.1.（2024·陜西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x?y=10，則x+y的最小值為．【答案】42?1【分析】依題意可得x=y+10【詳解】因為x>0，y>0且xy+2x?y=10，所以x=y+10所以x+y=y+10當且僅當8y+2=y+2，即y=22故x+y的最小值為42故答案為：422.（2024·浙江·模擬預測）已知a,b>0,ab=1，求S=1【答案】2【分析】根據條件，b=1a代入消去b，將S的表達式分離常數得【詳解】∵a,b>0，ab=1，∴S===1?1∵a+2a≥2a?2所以S≥1?1故S的最小值為223.（2024·山西·三模）已知正實數x，y滿足x2+3xy?2=0，則A．2103 B．103 C．2【答案】A【分析】根據題意分析可知2x+y=5x【詳解】因為正實數x，y滿足x2+3xy?2=0，則則2x+y=2x+2當且僅當5x3=2所以2x+y的最小值為210故選：A.考點六、雙換元1.（2024·四川成都·三模）設a>b>0，若a2+λbA．2+22 B．4 C．2+2 【答案】A【分析】由不等式可得λ≤a3+【詳解】因為a>b>0，若a2+λb設t=ab>1則1+(令s=t?1>0，可得t=s+1，所以1+(s+1)2s=s+2所以λ≤2+22即λ的最大值為2+22故選：A．2.（23-24高三上·河南·階段練習）正數a，b滿足a>b，ab=4，則a3A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】已知條件化簡可得：a3【詳解】由題意得a3令t=a?b>0，則a3+b故選:C．1.（2024·全國·模擬預測）已知x>y>0，6x+y+2x?y=1【答案】12【分析】令a=2x+y，b=2x?y，從而可得x=1【詳解】令a=2x+y，b=2x?y，則x+y=2a，所以x=1a+又3a+b=1，所以2x?y=2=3+b當且僅當a=16，b=12，即故答案為：122.（2024高三·全國·專題練習）設正實數x,y滿足x>23,y>2，不等式9【答案】16【分析】利用換元法，將不等式左邊轉化為a,b的表達式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得解.【詳解】因為x>23，y>2，所以3x?2>0，令a=3x?2，b=y?2，則a>0，b>0，x=a3+所以9==2ab當且僅當a2b=b2a且4ab即x=43，又不等式9x2y?2+y23x?21．（2022·福建泉州·模擬預測）若正實數x，y滿足1x+y=2，則A．4 B．92 C．5 【答案】B【分析】本題利用“1”的妙用技巧進行替換，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為x，y是正實數，所以xy>0故有x+4當且僅當xy=4xy，即x=3故選：B.2．（2024·天津·二模）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，拋物線上的點M4,y0到F的距離為6，雙曲線x2a2A．2 B．3 C．5 D．3【答案】A【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求p、F、F【詳解】設雙曲線右焦點F2，易知Fp2即F2,0,F易知F1H=bca由雙曲線的性質可知S△H由基本不等式可知ab≤a2+故選：A3．（23-24高三下·北京順義·階段練習）已知a>0，b>0，則“a+b>2”是“ab>1”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】若a=1.5,b=0.6，滿足a+b>2，但ab<1，若a>0,b>0，ab>1，則a+b≥2ab>2，即所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分條件.故選：B4．（2023·天津南開·一模）已知實數a>0,b>0,a+b=1，則2a+2【答案】2【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴2a+2b≥2故答案為：225．（2022·天津南開·模擬預測）若實數x，y滿足x>y>0，且xy=4，則x?yx+y2的最大值為【答案】18【分析】令x?y=t，對不等式變形得到x?yx+y【詳解】令x?y=t，則t>0，x?yx+y當且僅當t=16t，即所以x?yx+y2故答案為：16．（21-22高三上·天津南開·階段練習）若a，b>0，且ab=a+b+3，則ab的最小值是．【答案】9【分析】利用基本不等式得a+b=ab?3≥2ab【詳解】因為a+b=ab?3≥2ab（當且僅當a=b所以(ab所以(ab?3)(ab+1)≥0，所以所以ab的最小值為9.故答案為：97．（2024·天津·模擬預測）若a>0，b>0，且a+b=1，則a+1ab+【答案】25【分析】先對a+1ab+1b進行等式變形，利用a+b=1把原式化簡為ab+2ab?2，再利用均值不等式可得【詳解】由a+1因為a+b=1，所以上式=ab+1?2ab又因為a>0，b>0，由均值不等式得：0<ab≤a+b利用函數y=x+1x在區(qū)間(a+1當且僅當a=b=1故答案為：251．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=A．3+3 B．5+32 C．【答案】C【分析】設橢圓和雙曲線的方程分別為：x2a12+y2b12=1，x【詳解】解：如圖所示：設橢圓和雙曲線的方程分別為：x2a1由題意得a1設PF1=m,解得m=a在△PF1F即2c2=a則1e所以e1≥1當且僅當e22e故選：C2．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a∥A．2+1 B．2+2 C．4 【答案】A【分析】根據兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關系，之后得出x2【詳解】∵a=1,1，b=2x+y,2，其中∴2x+y=2，∴x2當且僅當y=2x即∴x2+yxy故選：A.3．（2024高三·天津·專題練習）已知正項等比數列an中，a4，3a3，a5成等差數列．若數列an中存在兩項amA．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】先根據題意求出首項及公比，再根據等比中項的定義求出m+n，再根據基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】設正項等比數列an公比為q，由a4，3a有6a3=a4由q>0，解得q=2，若數列an中存在兩項am，an則2a12=am?1m當且僅當nm=4m所以1m故選：B4．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知正項等比數列an的前n項和為Sn，且S8A．10 B．14 C．20 D．24【答案】D【分析】設正項等比數列an的公比為q，推導出q>1，S4=6q【詳解】設正項等比數列an的公比為q，則q>0所以，S=S則S8?2S4=S4所以，a=6當且僅當q4?1=1故a9+a故選：D.5．（2024·天津武清·模擬預測）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，則向量AE在向量CB上的投影向量的模為；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且AM?AN=【答案】22；【分析】根據題意，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解投影向量的模；再設BM=λBC=?λ,λ，CN=μCE=【詳解】根據題意，如圖，建立平面直角坐標系，因為AB=2CD=2AD=2，所以A0,0所以，AE=所以，向量AE在向量CB上的投影向量為AEcos故其模為?1因為M，N分別為線段BC，CE上的動點，所以，設BM=λBC=?λ,λ，所以AM=所以AM?AN=2?λ+λ+λμ=所以MD=所以MD?當且僅當λ=12λ，即故答案為：22；6．（2024·天津·模擬預測）已知正△ABC的邊長為3，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點M、N，AM=λAB，AN=μ（1）若AN=2NC，則AD（2）△AMN與△ABC的面積之比的最小值為.【答案】?34/?0.75【分析】根據AD?BN=12(AB【詳解】（1）AD=1（2）因為AO=23因為M，O，N三點共線，故13λ+1又因為S△AMNS△ABC=1則1λ+1μ=3≥2所以△AMN與△ABC的面積之比的最小值為49故答案為：?34；7．（23-24高三下·天津·開學考試）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg【答案】3?32【分析】由x>0,y>0,lg2x+lg【詳解】解：∵lg∴x+2y=1,2x+4y+1=3，1x=133+當且僅當2(4y+1)2x又∵x+2y=1，∴2x∵2y=1?x>0,∴x<1，∴x=3?3即當x=3?322時，1故答案為：3?31．（2020·天津·高考真題）已知a>0,?b>0，且ab=1，則12a【答案】4【分析】根據已知條件，將所求的式子化為a+b2【詳解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴=a+b2+結合ab=1,解得a=2?3,b=2+3故答案為：4【點