利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第05講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

證明函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第18題,17分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題

利用不等式求取值范圍

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）

2021年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問(wèn)題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

3能進(jìn)行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1基本方法

核心知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2常見(jiàn)類(lèi)型

考點(diǎn)1直接法證明簡(jiǎn)單不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)2構(gòu)造函數(shù)證明不等式

考點(diǎn)3轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類(lèi)型證明不等式

核心考點(diǎn)考點(diǎn)4數(shù)列類(lèi)型不等式的證明

考點(diǎn)5三角函數(shù)類(lèi)型不等式的證明

考點(diǎn)6切線放縮法證明不等式

知識(shí)講解

1.基本方法

在不等式構(gòu)造或證明的過(guò)程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與e葭Inx有關(guān)的常

用不等式等方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明.

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；

(3)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

(4)構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

2.常見(jiàn)類(lèi)型

與e,有關(guān)的常用不等式：

(1)ex>1+x(xGR)；(2)ex>ex(xeR).

與Inx有關(guān)的常用不等式：

x-l11

(1)------<Inx<x-1(x>0)；(2)------<lnx<—x(x>0)；

xexe

2(x—1)2(x—1)

(3)lnx<-^——乙(0<x<l),lnx>-^——(x>l)；

x+lx+1

(4)lnx>—|x-—|(0<x<l),lnx<—|x-—|(x>1).

xx

用x+l取代x的位置，相應(yīng)的可得到與ln(x+l)有關(guān)的常用不等式.

考點(diǎn)一、直接法證明簡(jiǎn)單不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求證：hwZl-L

X

2.(2022高三?浙江?專(zhuān)題練習(xí))證明以下不等式:

⑴e—x+l;

(2)lnx<x-l；

(3)e、T>ln(x+l).

即時(shí)性沖

1.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求證:

(l)ex>x2+1(x>0)；

(2)ex>ex；

(3)ex>ex+(x-l)2(x>0).

考點(diǎn)二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知。,6為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃x)=?7.若曲線>=/(x)在點(diǎn)(1J。))

處的切線方程為y

(1)求Q+Z?的值；

21

⑵求證：)(x)N------―一.

X+1X

2.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(》)=。(了+°)-1門(mén)(0€可

⑴討論函數(shù)/'(X)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí),/(x)>31na+2

3.(2024?山東濟(jì)南?二模)已知函數(shù)/(工)="2-111丫-1￡(力=工，一"2(0€11)?

(1)討論〃龍)的單調(diào)性；

(2)證明：/(x)+g(x)>x.

電，即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(%)=cosx+2%.

⑴當(dāng)》￡(-00,0)時(shí)，證明：/(x)<e\

⑵若函數(shù)g(x)=ln(x+l)+e=/(x),試問(wèn)：函數(shù)g(x)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

0.。(2024?河北保定?三模)已知函數(shù)/(%)=——Qx+lnx,x=1為/(%)的極值點(diǎn).

⑴求a；

(2)證明：/(x)<2x2-4x.

3.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e'+(a-l)x-1,其中a$R.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，證明：/(x)>xlnx-cosx.

考點(diǎn)三、轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)類(lèi)型證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=Q/lnx+曲線尸f(x)在點(diǎn)(1/⑴)處的切線方程為y=e(x-l)+2.

⑴求(2)證明：/?>1

1.(2024高三?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1-Inx+a*2x32-ax(ae7?).

(1)討論/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=0且%￡(0,1),求證：")+x<1.

ex

考點(diǎn)四、數(shù)列類(lèi)型不等式的證明

典例引領(lǐng)

L(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=xe*-el

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(%)<-1,求a的取值范圍；

111,,,、

(3)設(shè)〃eN*,證明：/,+/2+…+/2+

V?+lV22+2\ln2+n

2.(2023?天津?高考真題)已知函數(shù)/(x)='+￡|ln(x+l).

⑴求曲線尸在x=2處的切線斜率；

(2)求證：當(dāng)尤>0時(shí),/(x)>1；

⑶證明：|<ln(w!)-^?+1-^lnn+?<1.

3.(2024?北京三模)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)+Mx+l).

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)V-l恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

,ginzn(n-l}

⑶求證：V-----<-----------.(〃wN且“22)

Mi+l4

即時(shí)

1.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2+(2a-l)x-a+l(aeR).

⑴若/(x)<0在[1,+s)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：」一+」一+」一+…+—*—+工>1112.

77+1〃+2幾+3n+n4n

2.(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(x+2)ln(x+l).

(1)證明：x>0時(shí)，/(x)>2x；

(2)證明：ln(n+l)>^——-

匿2左+1

3.(2024?江蘇蘇州?三模)已知函數(shù)/(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

⑴a=l時(shí),求尸(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若/a"g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值；

⑶求證:jsin]?-3>，(〃-2左1左eR).

考點(diǎn)五、三角函數(shù)類(lèi)型不等式的證明

典例引領(lǐng)

I_________________________

1.(2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(xhe-M-x,/(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù)

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑶若6e]o,|j,證明：esin"-1+ecos"-1+ln(sin^cos61)<l.

1.2.3.4.2.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=alnx-x+1(aeR),g(x)=sinx-x.

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：(neN*);

(3)證明：ln2>sin^—+sin---+sin---+---+sin—(GN*).

n+1n+2n+32n

即阻性M

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)了(xhsinx-lMsinx),xe(l,2)

⑴求/(x)的最小值;

(2)證明：sinx-ex-sl,K-In(sinx)>1.

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=2sinx-ax

⑴若函數(shù)在［0,兀］內(nèi)點(diǎn)A處的切線斜率為-,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)①當(dāng)。=1時(shí)，求g(x)=/(x)-ln(x+1)在0,y上的最小值;

6

.1.1.1,n+\,z、

②證明:sin—+sin—H-------1-sin—>In-----\ne>

23n2v

考點(diǎn)六、切線放縮法證明不等式

典例引領(lǐng)

1.(2024高三■全國(guó)■專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e，-辦+2(aeR),g(x)=xe*+3.

(1)求函數(shù)的極值；

⑵當(dāng)x20時(shí)，/(x)Wg(x)恒成立，求證：a>0.

即時(shí)便測(cè)

1.(2023高二?上海?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(刈=蛆￥(后為常數(shù)，e=2.7182&.是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線

e

V=〃x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與X軸平行.

⑴求上的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶設(shè)g(x)=(x2+X)八X),其中/'(X)為了(X)的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意x>0,g(x)<1+e-2.

2.(2023?山東濟(jì)南?一模)已知函數(shù)〃尤)=上詈.

(1)求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若求證：aev>|1+—|(l+lnx).

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))求證：若xwO,則e"〉l+x.

2.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))證明：當(dāng)Ovxvl時(shí)，x-x2<sinx<x;

3.(22-23高二下?河北滄州?階段練習(xí))求證：,”,,<字

Ina-lnb2

x-2

4.(2022高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))討論函數(shù)/(刈=0片的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時(shí)，(x-2)e'+x+2>0.

12

5.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xlnx-ox,證明：對(duì)一切xe(0,+oo),都有l(wèi)nx+l>17r--—

成立.

6.(22-23高二下?北京?期中)已知函數(shù)/(尤)=皿-匕

XX

(1)求曲線了=在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

⑵求證：/(x)<2x-3.

7.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e-x(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=1x2+l.

⑴求證：/(x)>l；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，求證：/(x)>g(x).

8.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知/(x)=-T(l)/+x+21nx.

⑴求/'⑴并寫(xiě)出了(無(wú))的表達(dá)式；

(2)證明:f(x)<x-l.

9.(2023?吉林長(zhǎng)春■模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無(wú)-Inx.

⑴求〃x)的最小值;

47

(2)證明：ln§>豆.

10.(2023?廣西南寧?一模)/(x)=x-dn(l+x),

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)4=1時(shí)，證明/(1)之0；

⑶證明對(duì)于任意正整數(shù)〃，都有一+7H------7-1--------------+>21n2.

nn+ln+24〃-14〃

能力提升

1.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=lnx+"+l,awR.

⑴討論f(x)的單調(diào)性;

2x

(2)當(dāng)aW2時(shí)，證明：^l<e.

X

2.(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=e，-；x2—x.

⑴求函數(shù)/(x)在x=1處的切線方程.

⑵證明：VXG[0,+oo),/(x)>sinx.

3.(2024?青海西寧?二模)已知函數(shù)/(%)=工2+(2-2〃卜一2〃1111：(4￡11).

⑴若a=2,求的極值；

(2)^g(x)=f(x)+2a2-2x+ln2x,求證：g(x)2；.

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=Tnx+eX-(e-l)x-l.

⑴求/(x)的最小值;

?+1

(2)證明：V〃￡N*/n(〃+l)+〃<￡e，.

Z=1

1.2.3.4.5.(2024,河北邢臺(tái)?二模)已知函數(shù)〃尤"電詈+e'T-a,

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)y=〃x)在x=：處的切線方程；

1

(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

QQ

(3)證明：ln(?+l)!>/i+-----(?>2).

Zin+1)z

6.(2024局三,全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知/(x)=(%-1)e'+5a二2.

⑴當(dāng)a=e時(shí)，求〃x)的極值；

(2)對(duì)Vx>l,求證：/(x)>-1ax2+x+l+ln(x-l).

7.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+ax2-x(a>0).

(1)討論)(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(x)=x-ln(l+x),證明：g(sin?)+g(coscir)<1.

8.(2024?北京昌平?二模)已知函數(shù)/(x)=x+￡.

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)(oj(o))處的切線方程；

⑵求/⑺在區(qū)間[0川上的最小值；

⑶若a>0,當(dāng)x>0時(shí)，求證：/(lna-x)>/(lna+x).

9.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知函數(shù)<(x)=x"+x"T+…+x-l(〃eN+).

(1)判斷并證明力(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(2)記力(x)在(0,+s)上的零點(diǎn)為匕，求證；

(i){%}是一個(gè)遞減數(shù)列

/..、〃+1n,

(ii)-^-<xx+x2+---+xw<-+1.

10.(2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=l-x[(lnx)"-x],aeR.

12

⑴若函數(shù)/(%)在'=-處切線的斜率為一，求實(shí)數(shù)。的值；

ee

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，Vxw[l,+e)J(x)-加xNO恒成立，求實(shí)數(shù)加的最大值；

(3)當(dāng)。=2時(shí)，證明：￡/>ln(2"+l)”N*.

?V(2z)7

真題感知

I___________________

1.(2019,北京,高考真題)已知函數(shù)/'(x)=-x~+x.

4

(I)求曲線了=/(好的斜率為1