海南省?？谑泻？谥袑W(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（A）

?？谥袑W(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（A卷）時(shí)量：120分鐘分值：150分命題：李昌平審題：吳錦坤一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則A. B. C. D.2.直線的傾斜角為A. B. C. D.3.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為A. B. C. D.4.已知圓，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A. B.3 C. D.5.若正數(shù)，滿足，則的最小值為A.2 B. C.3 D.6.給出關(guān)于雙曲線的三個(gè)命題：①雙曲線的漸近線方程是；②若點(diǎn)在焦距為4的雙曲線上，則此雙曲線的離心率；③若點(diǎn)、分別是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)一定不在此雙曲線的漸近線上.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.37.設(shè)函數(shù)，則A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減8.已知圓在橢圓的內(nèi)部，為橢圓上的點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，且切線交橢圓于另一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則橢圓的離心率為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間10.對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到11.已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確的是A.曲線有4條對(duì)稱軸 B.的最小值是C.曲線圍成的圖形面積為 D.的最大值是1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_____.13.已知，，若同時(shí)滿足條件：①，或；②，.則的取值范圍是_____.14.已知圓，直線，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、，則四邊形的面積的最小值為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，.（l）求角及邊的值；（2）求的值16.（15分）如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)在上，且，.（1）若是線段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.17.（15分）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線、，設(shè)與軌跡相交于點(diǎn)、，與軌跡相交于點(diǎn)、，求的最小值.18.（17分）甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立的求解某道數(shù)學(xué)題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為.（l）求乙、丙各自解出該題的概率；（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題的概率.19.（17分）已知橢圓的離心率為，，是它的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線（不與軸重合）與相交于、兩點(diǎn)，的最大面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線與直線的交點(diǎn).（i）證明為定值；（ii）試探究：點(diǎn)是否一定在以線段為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論.

高二數(shù)學(xué)A卷參考答案一、選擇題：1.【答案】A2.【答案】B【解析】直線方程可化為，所以直線的斜率為，即傾斜角的正切，又，所以.故選B.3.【答案】B【解析】設(shè)它們的底面半徑均為，圓錐的母線長為，則，解得，在圓錐中，，則圓錐的體積為.故選B.4.【答案】C【解析】圓即，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑，直線，即，恒過定點(diǎn)，易知點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，此時(shí)，則的最小值為.故選C.5.【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選B.6.【答案】C【解析】對(duì)于①：雙曲線的漸近線方程應(yīng)是，故①錯(cuò)；對(duì)于②：雙曲線的焦點(diǎn)為、，，，從而離心率，所以②正確；對(duì)于③：，，的中點(diǎn)坐標(biāo)均不滿足其漸近線方程，所以③正確.故選C.7.【答案】D【解析】由已知，函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，排除A、C；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故選D.8.【答案】D【解析】設(shè)，，，則，.又所以，所以，即.連接，則，所以直線的斜率，所以直線的斜率，即.又，所以，所以，所以橢圓的離心率.故選D.二、選擇題：9.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.10.【答案】BC【解析】，最小正周期為，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍為，故C正確；函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故D錯(cuò)誤.故選BC.11.【答案】ACD【解析】當(dāng)，時(shí)，原方程化為，其圖形是圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由于圖象關(guān)于軸，軸對(duì)稱，所以曲線如圖所示.對(duì)于A，由圖可知：軸，軸，都是它的對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，表示曲線上的點(diǎn)到直線：的距離的倍，如圖，顯然當(dāng)是時(shí)距離最小，為，所以最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線圍成的圖形由四個(gè)直徑為的半圓和一個(gè)邊長為的正方形組成，故面積為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，它表示點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線的斜率，設(shè)該直線方程為，根據(jù)圖象，可知當(dāng)，，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時(shí)，該切線的斜率是的最大值，則由，得，解得或（舍）.則的最大值為1，故D正確.故選ACD.三.填空題：12.【答案】8【解析】因?yàn)?，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，，由橢圓的定義可得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積為.13.【答案】【解析】易知時(shí)，，時(shí)，，所以由①得時(shí)，，由②得，.顯然不滿足條件，當(dāng)時(shí)是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)知應(yīng)滿足的條件是，解得.14.【答案】【解析】將圓方程化為，知其圓心，半徑，又易知，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)最小時(shí)，即直線與直線垂直時(shí)，四邊形面積最小，而，所以.四.解答題：15.【解析】（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，即，解得；?）由（1）得，，.16.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋?，所以，從而，又，所以四邊形為平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，所以平面，而，平面，故，，而，故以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為和.（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為.由，得，設(shè)、，則，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是，.因?yàn)椋缘男甭蕿?設(shè)、，則同理可得，，故.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16.18.【解析】（1）設(shè)“甲解出該題”為事件，“乙解出該題”為事件，“丙解出該題”為事件，則，，相互獨(dú)立，由題意得，，所以，，所以，即乙、丙各自解出該題的概率為，.（2）設(shè)“甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題”為事件，則，且事件、、兩兩互斥，因?yàn)椋?，，，，相互?dú)立，所以.即甲、乙、丙3人中恰有2人解出該題的概率為.19.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題設(shè)知，且當(dāng)點(diǎn)在橢圓的短軸端點(diǎn)處時(shí)的面積最大，所以，即，又，從而解得，，故