立體幾何錯題

立體幾何一、選擇題：1．（石莊中學(xué)）設(shè)ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，則滿足（）A共線B共面C不共面D可作為空間基向量正確答案：B錯因：學(xué)生把向量看為直線。2．（石莊中學(xué)）在正方體ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點，則直線OM()A是AC和MN的公垂線B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直正確答案：A錯因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。3．（石莊中學(xué)）已知平面∥平面，直線L平面,點P直線L,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點P的距離為10，且到L的距離為9的點的軌跡是（）A一個圓B四個點C兩條直線D兩個點正確答案：B錯因：學(xué)生對點線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系不能靈活掌握。4．（石莊中學(xué)）正方體ABCD-ABCD中，點P在側(cè)面BCCB及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD,則動點P的軌跡（）A線段BCBBB的中點與CC中點連成的線段C線段BCDCB中點與BC中點連成的線段正確答案：A錯因：學(xué)生觀察能力較差，對三垂線定理逆定理不能靈活應(yīng)用。（石莊中學(xué)）下列命題中：若向量、與空間任意向量不能構(gòu)成基底，則∥。若∥，∥，則∥.若、、是空間一個基底，且=＋＋,則A、B、C、D四點共面。若向量+，+，+是空間一個基底，則、、也是空間的一個基底。其中正確的命題有（）個。A1B2C3D4正確答案：C錯因：學(xué)生對空間向量的基本概念理解不夠深刻。6．(磨中)給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a⊥b④有三個角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是()正確答案：①錯誤原因：空間觀念不明確，三垂線定理概念不清7．(磨中)已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等，把它們拼接起來，使一個表面重合，所得多面體的面數(shù)有()A、7B、8C、9D、10正確答案：A錯誤原因：4+8—2=108．(磨中)下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()RS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDRS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDQ·P·R··Q·P·R··Q·P·Q·Q·P·Q·AA正確答案：D錯誤原因：空間觀點不強(qiáng)9．(磨中)a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面()A、有且只有一個B、一個面或無數(shù)個C、可能不存在D、可能有無數(shù)個正確答案：C錯誤原因：過a與b垂直的夾平面條件不清10．（一中）給出下列四個命題：（1）各側(cè)面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一個簡單多面體的各頂點都有3條棱，則其頂點數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F－V=4.（3）若直線l⊥平面α，l∥平面β，則α⊥β.（4）命題“異面直線a、b不垂直，則過a的任一平面與b都不垂直”的否定.其中，正確的命題是 （） A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）正確答案：A11．（一中）如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）A．75°B．60°C．50°D．45°正確答案：C12．（蒲中）一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為α，β，則α+β滿足（）A、α+β<900B、α+β≤900C、α+β>900D、α+β≥900答案：B點評：易誤選A，錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況。13．（蒲中）在正方體AC1中，過它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個數(shù)為（）A、2個B、4個C、6個D、8個答案：B點評：易瞎猜，6個面不合，6個對角面中有4個面適合條件。14．（蒲中）△ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C，若，則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形答案：C點評：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜。15．（江安中學(xué)）設(shè)a，b，c表示三條直線，表示兩個平面，則下列命題中逆命題不成立的是（）。，若，則，，若，則，若，則，是在內(nèi)的射影，若，則正解：CC的逆命題是,若，則顯然不成立。誤解：選B。源于對C是在內(nèi)的射影理不清。16．（江安中學(xué)）和是兩個不重合的平面，在下列條件中可判定平面和平行的是（）。和都垂直于平面內(nèi)不共線的三點到的距離相等是平面內(nèi)的直線且是兩條異面直線且正解：D對于可平行也可相交；對于B三個點可在平面同側(cè)或異側(cè)；對于在平面內(nèi)可平行，可相交。對于D正確證明如下：過直線分別作平面與平面相交，設(shè)交線分別為與，由已知得，從而，則，同理，。誤解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側(cè)。17．（江安中學(xué)）一個盛滿水的三棱錐容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的（）正解：D。當(dāng)平面EFD處于水平位置時，容器盛水最多最多可盛原來水得1－誤解：A、B、C。由過D或E作面ABC得平行面，所截體計算而得。18．（江安中學(xué)）球的半徑是R，距球心4R處有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，則截面的最大面積是（）。正解：B。如圖，在中，于則即又以為半徑的圓的面積為誤解：審題不清，不求截面積，而求球冠面積。19．（江安中學(xué)）P已知AB是異面直線的公垂線段，AB=2，且與成角，在直線上取AP=4，則點P到直線的距離是（）。PAA4BB或正解：A。過B作BB’∥，在BB’上截取BP’=AP，連結(jié)PP’，過P’作P’Q連結(jié)PQ，PP’由BB’和所確定的平面，PP’ PQ即為所求。在RtPQP’中，PP’=AB=2,P’Q=BP’,=AP=2,PQ=。誤解：D。認(rèn)為點P可以在點A的兩側(cè)。本題應(yīng)是由圖解題。20．（丁中）若平面外的直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）錯解：C錯因：直線在平面外應(yīng)包括直線與平面平行的情況，此時直線與平面所成的角為0正解：D21．（薛中）如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點，下列四個結(jié)論：（1）過P一定可作直線L與a,b都相交；（2）過P一定可作直線L與a,b都垂直；（3）過P一定可作平面與a,b都平行；（4）過P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（）A、0個B、1個C、2個D、3個答案：B錯解：C認(rèn)為（1）（3）對D認(rèn)為（1）（2）（3）對錯因：認(rèn)為（2）錯誤的同學(xué)，對空間兩條直線垂直理解不深刻，認(rèn)為作的直線應(yīng)該與a,b都垂直相交；而認(rèn)為（1）（3）對的同學(xué)，是因為設(shè)能借助于兩個平行平面襯托從而對問題的分析欠嚴(yán)密。22．（薛中）空間四邊形中，互相垂直的邊最多有（）A、1對B、2對C、3對D、4對答案：C錯解：D錯因：誤將空間四邊形理解成四面體，對“空間四邊形”理解不深刻。23．（案中）底面是正三角形，且每個側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐B、一定是正四面體C、不是斜三棱錐D、可能是斜三棱錐正確答案：（D）錯誤原因：此是正三棱錐的性質(zhì)，但很多學(xué)生憑感覺認(rèn)為如果側(cè)面是等腰三角形，則側(cè)棱長相等，所以一定是正三棱錐，事實上，只須考察一個正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D24．（案中）給出下列四個命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱若一個簡單多面體的各頂點都有三條棱，則其頂點數(shù)V，面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4若直線L⊥平面α，L∥平面β，則α⊥β命題“異面直線a,b不垂直，則過a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正確的命題是（）A、（2）（3）B、（1）（4）C、（1）（2）（3）D、（2）（3）（4）正確答案：（A）錯誤原因：易認(rèn)為命題（1）正確二填空題：（如中）有一棱長為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為__________.錯解：學(xué)生認(rèn)為球最大時為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為a，球的表面積為。這里學(xué)生未能弄清正方體骨架是一個空架子，球最大時與正方體的各棱相切，直徑應(yīng)為，所以正確答案為：。（如中）一個廣告氣球某一時刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個橢圓，橢圓的離心率為，則該時刻這平行光線對于水平平面的入射角為________。錯解：答。錯誤原因是概念不清，入射角應(yīng)是光線與法線的夾角，正確答案為：。（如中）已知正三棱柱底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是___________________。錯解：。學(xué)生用面積射影公式求解：。錯誤原因是沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形。正確答案是：。（如中）過球面上兩已知點可以作的大圓個數(shù)是_________個。錯解：1個。錯誤原因是沒有注意球面上兩已知點與球心共線的特殊情況，可作無數(shù)個。正確答案是不能確定。（如中）判斷題：若兩個平面互相垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作它們的交線的垂線，則此直線垂直于另一個平面。正確。錯誤原因是未能認(rèn)真審題或空間想象力不夠，忽略過該點向平面外作垂線的情況。正確答案是本題不對。（如中）平面外有兩點A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點P，且AP:PB=m:n，則點P到平面的距離為_________________.錯解為：。錯誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測的情況。正確答案是： 。（如中）點AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成的角，則AB的長等于_____.錯解：16.錯誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測的情況。正確答案是：16或64。（如中）判斷若a,b是兩條異面直線，p為空間任意一點，則過P點有且僅有一個平面與a,b都平行。錯解：認(rèn)為正確。錯誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面時恰好與b平行，此時就不能過P作平面與a平行。9．(磨中)與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有______個。正確答案：7個 錯誤原因：不會分類討論10．(磨中)在棱長為1的正方體ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分別為BB1，C1D1的中點，點F是正方形ADD1A1的中心，則四邊形BGEF在正方體六個面上的射影圖形面積的最大值為________。正確答案：錯誤原因：不會找射影圖形11．(磨中)△ABC是簡易遮陽板，A、B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為使遮陰的陰影面ABD面積最大，遮陽板ABC與地面所成角應(yīng)為_________。正確答案：50°錯誤原因：不會作圖12．(磨中)平面α與平面β相交成銳角θ，面α內(nèi)一個圓在面β上的射影是離心率為的橢圓，則角θ等于_______。αβαβ正確答案：30°錯誤原因：分析不出哪些線段射影長不變，哪些線段射影長改變。13．(磨中)把半徑為r的四只小球全部放入一個大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為__________。正確答案：()r錯誤原因：錯誤認(rèn)為四個小球球心在同一平面上14．（一中）AB垂直于所在的平面，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，點A到直線CD的距離為。正確答案：15．（蒲中）在平面角為600的二面角內(nèi)有一點P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱l的距離為____________答案：cm點評：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題利用正弦定理求解，轉(zhuǎn)化能力較弱。16．（蒲中）已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點，且∠DPA=450，∠DPB=600，則∠DPC=__________答案：600 點評：以PD為對角線構(gòu)造長方體，問題轉(zhuǎn)化為對角線PD與棱PC的夾角，利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，構(gòu)造模型問題能力弱。17．（蒲中）正方體AC1中，過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等，試寫出滿足條件的一個截面____________答案：面AD1C點評：本題答案不唯一，可得12條棱分成三類：平行、相交、異面，考慮正三棱錐D-AD1C，易瞎猜。18．（江安中學(xué)）一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直三面角，則兩直角邊所夾角的余弦值為_____議程。正解：。設(shè)為二面角的平面角，誤解：折疊后仍然判斷不了，找不到的長求不出。19．（江安中學(xué)）某地球儀上北緯，緯線的長度為，該地球儀的半徑是_____cm，表面積是_____cm2。正解：設(shè)地球儀的半徑為R，緯線的半徑為r。由已知，。誤解：誤將20．（江安中學(xué)）自半徑為R的球面上一點P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則=_____。正解:,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接矩形的三度,則應(yīng)是矩形對角線的平方,即球直徑的平方。誤解：沒有考慮到球內(nèi)接矩形，直接運算，易造成計算錯誤。21．（丁中）直二面角α－－β的棱上有一點A，在平面α、β內(nèi)各有一條射線AB，AC與成450，AB，則∠BAC=。錯解：600錯因：畫圖時只考慮一種情況正解：600或120022．（丁中）直線與平面α成角為300，則m與所成角的取值范圍是錯解：[300,1200]錯因：忽視兩條直線所成的角范圍是正解：[300,900]23．（丁中）若的中點到平面的距離為，點到平面的距離為，則點到平面的距離為_________。錯解：2錯因：沒有注意到點A、B在平面異側(cè)的情況。正解：2、1424．（薛中）已知直線L∩平面=O，A、B∈L，=4，；點A到平面距離為1，則點B到平面的距離為。答案：1或3錯解：3錯因：考慮問題不全面，點A，B可能在點O的同側(cè)，也可能在O點兩側(cè)。25．（薛中）異面直線a,b所成的角為，過空間一定點P，作直線L，使L與a,b所成的角均為，這樣的直線L有條。答案：三條錯解：一條錯因：沒有能借助于平面襯托，思考問題欠嚴(yán)謹(jǐn)。過P作確定一平面，畫相交所成角的平分線m、g，過m,g分別作平面的垂面，則在中易找到所求直線共有3條。26．（薛中）點P是ABC所在平面外一點，且P在ABC三邊距離相等，則P點在平面ABC上的射影是ABC的心。答案：內(nèi)心或旁心錯解：內(nèi)心錯因：P在平面ABC內(nèi)的正射影可能在ABC內(nèi)部，也可能在ABC外部。27．（案中）四面體的一條棱長為x，其它各棱長為1，若把四面體的體積V表示成x的函數(shù)f(x)，則f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為。正確答案：（0，錯誤原因：不能正確寫出目標(biāo)函數(shù)，亦或者得到目標(biāo)函數(shù)以后，不能注意x的隱藏范圍。28．（案中）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AD的中點，則點A1到平面為EF的距離為正確答案：錯誤原因：不少學(xué)生能想到用等積法解，但運算存在嚴(yán)重問題。29．（案中）點P在直徑為2的球面上，過P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長是另一條弦長的2倍，則這三條弦長之和為最大值是正確答案：錯誤原因：找不到解題思路三、解答題：（如中）由平面外一點P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC，O為⊿ABC的外心，求證：。錯解：因為O為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因為PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝RT，所以。錯解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄剡@里缺少必要的證明。正解：取BC的中點D，連PD，OD，（如中）一個棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。錯解：認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。錯誤原因是空間想像力不夠。正解：在正方體的8個頂點處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為。其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為：。3．（石莊中學(xué)）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M為B1C1上一點，且B1M=2，點N在線段A1D上，A1D⊥AN，求： (1)； (2)直線AD與平面ANM所成的角的大?。?(3)平面ANM與平面ABCD所成角（銳角）的大小. 解：(1)以A為原點，AB、AD、AA1所在直線為x軸，y軸，z軸. 則D(0,8,0)，A1(0，0，4)，M(5,2,4) ) ∵ ∴ (2)由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足為N. 因此AD與平面所成的角即是 易知 (3)∵平面ABCD，A1N平面AMN， ∴分別成為平面ABCD和平面AMN的法向量。 設(shè)平面AMN與平面ABCD所成的角（銳角）為，則4．（一中）點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大?。唬á颍┣蠖娼堑拇笮。瓵BCDEFOOFABCDE解法一：（Ⅰ）如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為GABCDEFOOFABCDEGHMGHMABCDEFODCMMHGOFABE因為二面角D－AC－B為直二面角，又在中，，．．（Ⅱ）過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．在RtEGM中，，，，∴．∴．所以，二面角的大小為．xyzAxyzABCDEFO則，．．．（Ⅱ）設(shè)平面OEF的法向量為．由得解得．所以，．又因為