人教版四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第八講巧妙求和（含答案）

第八講巧妙求和第一部分：趣味數(shù)學(xué)高斯與等差數(shù)列一位教師布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。1+2+3+4+……+98+99+100=?老師起初并不在意這一舉動(dòng)，心想這個(gè)小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的笞案屬于那個(gè)男孩時(shí)，才大吃一驚。而更使人吃驚的是男孩的算法……老師發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)是101,第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)的和也是101，……共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計(jì)算等差數(shù)列的方法，高斯的才華使老師一—彪特耐爾十分激動(dòng)，下課后特地向校長(zhǎng)匯報(bào)，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教這位男孩的了。此男孩叫高斯，是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。（一）數(shù)列的基本知識(shí)：(1)1、2、3、4、5、6……(2)2、4、6、8、10、12……(3)5、10、15、20、25、30……像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)；第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)；最后1項(xiàng)稱為末項(xiàng)；在第幾個(gè)位置上的數(shù)就叫第幾項(xiàng)；有多少項(xiàng)稱為項(xiàng)數(shù)；等差數(shù)列的基本知識(shí)(1)1、2、3、4、5、6……（公差=1）(2)2、4、6、8、10、12……（公差=2）(3)5、10、15、20、25、30……（公差=5）通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個(gè)數(shù)列中，從第一項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都是相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)差稱為這個(gè)數(shù)列的公差。等差數(shù)列的相關(guān)公式（1）通項(xiàng)公式：某一項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差（2）項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)一首項(xiàng))÷公差+1（3）求和公式：總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2在等差數(shù)列中，如果已知首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差。求總和時(shí)，應(yīng)先求出項(xiàng)數(shù)，然后再利用等差數(shù)列求和公式求和。?第二部分奧數(shù)小練【例題1】下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由。①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；【思路導(dǎo)航】①是，公差d=4.②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).練習(xí)1：下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說明理由。①1，2，4，8，16，32，64；②9，8，7，6，5，4，3，2；③3，3，3，3，3，3，3，3；④1，0，1，0，l，0，1，0；【例題2】求等差數(shù)列3，5，7，…的第10項(xiàng)，第100項(xiàng)。【思路導(dǎo)航】我們觀察這個(gè)等差數(shù)列，已知：首項(xiàng)=3,公差=2，所以由通項(xiàng)公式，得到第10項(xiàng)：第幾項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1）×公差第10項(xiàng)=3+(10-1)×2=21第幾項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1）×公差第100項(xiàng)=3+(100-1)×2=201練習(xí)2：數(shù)列2、5、8、11、14……求它的第10項(xiàng)是多少?它的第98項(xiàng)是多少?5、8、11、14、17、20、……這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)？它的第201項(xiàng)是多少？【例題3】等差數(shù)列3，5，7，……求出前100項(xiàng)的和。【思路導(dǎo)航】前100項(xiàng)的和：總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2前100項(xiàng)的和=3+5+7+……201=(3+201)×100÷2=10200練習(xí)3：等差數(shù)列，1+4+7+…+100=（

）2.等差數(shù)列，求和：2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝3.等差數(shù)列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝【例題4】等差數(shù)列3+5+7+9+...+101，有多少項(xiàng)？【思路導(dǎo)航】已知首項(xiàng)=3，末項(xiàng)=101，公差=5-3=2，根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)一首項(xiàng))÷公差+1（101-3）÷2+1=50(項(xiàng))練習(xí)4：1.已知等差數(shù)列2,5,8,11,14……，求47是其中的第幾項(xiàng)?1.數(shù)列1,5,9,13,17，……，201，問：101是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？這個(gè)數(shù)列一共有幾項(xiàng)？第三部分：數(shù)學(xué)史話數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事高斯是德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。1795～1798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。高斯7歲那年，父親送他進(jìn)了耶卡捷林寧國(guó)民小學(xué)，讀書不久，高斯在數(shù)學(xué)上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點(diǎn)的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計(jì)算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初并不在意這一舉動(dòng)，心想這個(gè)小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于高斯時(shí)，才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的算法，他發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)是101，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)的和也是101，……共有50對(duì)這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計(jì)算等級(jí)數(shù)的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動(dòng)，下課后特地向校長(zhǎng)匯報(bào)，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教高斯的了。參考答案：練習(xí)1：①不是，因?yàn)?-2≠2-1.②是，公差d=l.③是，公差d=0④不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng)。練習(xí)2：1.第10項(xiàng)：2+3×(10-1)=29第98項(xiàng)：2+3×(98-1)=2932.它是一個(gè)無限數(shù)列，所以項(xiàng)數(shù)有無限多項(xiàng)，求某一項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1），所以第201項(xiàng)=5+3×（201-1）=605.練習(xí)3：1.分析：項(xiàng)數(shù)：（100-1）÷3+1=34和：（1+100）×34÷2=17172.21123.分析：提公因數(shù)，數(shù)列中所有數(shù)字都是3的倍數(shù)和＝3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5＋3×6＋3×7＋3×8＋3×9＋3×10＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10