廣東省廣州市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024年9月廣附高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)問卷

姓名:班級:.考號:

一.單選題（8道，共40分）

1.已知/={xhdx<2},5={xx<a},若“xe是“xe無，的充分不必要條件，則a的取

值范圍是（）

A.a<\B.“21C.D.a>2

2.已知z=l-i是方程i+2az-6=0(a,6eR)的根,則.+/?=

()

A.一3B.-1C.2D.3

已知=五,則

3.ae"=7t,blnb=n,c()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

2-21

cosa—sina=—

4.已知7,且3sin/=sin(2a+0)則a+’的值為（）

71兀7171

A.12B.6C.4D.3

71

--X小則（）.

已知函數(shù)/（x）=sin（2x+S）（0<。<兀）,

5.

A./（o）4

71

/（x）的圖象向左平移％個單位長度后關(guān)于y軸對稱

B.

[71271

/(X)在

C.上單調(diào)遞減

71

—+X=0

D.

6.在某種藥物實驗中，規(guī)定l0°ml血液中藥物含量低于20mg為“藥物失效力現(xiàn)測得實驗

動物血液中藥物含量為08mg/ml,若血液中藥物含量會以每小時20%的速度減少，那么

至少經(jīng)過（）個小時才會“藥物失效”.（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010）

A.4B.5C.6D.7

13」兀

7.已知圓臺的體積為3,母線長為3,高為石，則圓臺的側(cè)面積為（）

A.36兀B.24兀C.18兀D.⑵

而/_嫗___

8.已知O為的內(nèi)心，角/為銳角，sm—一「，若=+則〃+九的

最大值為（）

j_345

A.2B.4C.5D.6

二.多選題（3道，共18分）

9.已知心°力且。+6=1,則下列不等式成立的是（）

149

ab

A.-lB_7/25cG+Gw四口.aJa

10.如圖，已知棱長為2的正方體,88-44G2中，點p在線段與C上運動，現(xiàn)給出下

A.直線42與直線DP所成角的大小不變

B,平面網(wǎng)平面4CQ

2」

c.點尸到平面的距離為定值亍

71

D.存在一點尸，使得直線/P與平面8cqq所成角為§

11.一個同學(xué)投擲10次骰子，記錄出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，在下列情況中可能出現(xiàn)點

數(shù)6的有（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為4

B.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3

C.平均數(shù)為2,方差為2.1

D.中位數(shù)為3,方差為0.85

三.填空題(3道，共15分)

12.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖，則估計這

50名學(xué)生成績的75%分位數(shù)為分.

頻率

0.030

0.024

0.020

0.016

OO6

OS.OO4L

O

405060708090100成績/分

13.已知△"SC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,是△NBC的中線.若

4)=2,且62+C2+6C=(6COSC+CCOS8)：則△N2C面積的最大值為.

14.設(shè)函數(shù)/G)的定義域關(guān)于原點對稱且滿足：

X),/(%),/(無2)+1

⑴12"%)-/(王)；5)存在正常數(shù)a使/(4)=1.

則函數(shù)/(龍)的一個周期是.

四.解答題(13,15,15,17,17,共77分)

f(x)=V3sin(a)x+^)(0<0<1,|^|<^)N百］

15.已知函數(shù)2的圖象過I3),13帆點，將

171

/(X)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的5,縱坐標不變，再向右平移3個單位長度，得

到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

F(x)=g(x)-->0

(2)若函數(shù)2,求函數(shù)尸(%)的單調(diào)區(qū)間.

16.已知斜三角形/BC.

(1)借助正切和角公式證明：taM+tanS+tanC=taMtanStanC.

并充分利用你所證結(jié)論，在①②中選擇一個求值：

①tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°；

tan200+tan40°+tanl20°

②tan20°tan40°.

(2)若C=135。，求taM+tauB的最小值.

17.如圖，在平行四邊形N28中，APVBC,垂足為尸，￡為8中點,

⑴若N?就=32,求/P的長；

_叵

⑵設(shè)尸G,|/C尸石，cosABAC=—10,AP=XAE+yAC)求孫的值.

18.如圖，在四棱錐尸中，底面N2C。為平行四邊形，

ABAD=60°,PD=AD=1,PB=AB=2.

(1)證明：8。1平面尸/。；

(2)當(dāng)二面角D-PA-B的正切值為屈時，求直線BD與平面PBC所成角的大小.

19.已知有序數(shù)對X：5，/，%｝,有序數(shù)對,：｛%，%，％｝,定義“Q變換”：必=同一引，

%=同一工3|,%=上一再|(zhì),可以將有序數(shù)對X轉(zhuǎn)化為有序數(shù)對廠

⑴對于有序數(shù)對X：｛3'4,5｝,不斷進行“Q變換”，能得到有序數(shù)對｛°。0｝嗎？請說明理

由.

(2)設(shè)有序數(shù)對X：｛』,無2，W｝經(jīng)過一次“C變換”得到有序數(shù)對丫：加2,x｝(x2)),且有序數(shù)對

X

Y的三項之和為2024,求x的值.

⑶在(2)的條件下，若有序數(shù)對丫經(jīng)過〃次變換”得到的有序數(shù)對的三項之和最小，求

n的最小值.

1.D

【分析】利用充分不必要條件求參數(shù)，得到/U8,即可求解.

【詳解】因為“xe/”是“xeB”的充分不必要條件，所以/[臺，所以。22.

故選：D.

2.A

【分析】2=1-“弋入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出即可得解.

【詳解】由題意,得(17)2+241)-6=0,即2"6+(-2-2a)i=0,

所以2°-6=0,且-2-20=0,解得。=-11=-2,

所以Q+6=-3.

故選：A.

3.A

ea=-]nb=—c=—

【分析】將已知轉(zhuǎn)化為。，b,C,作出函數(shù)＞=^,y=lm,y=x,

n

y=~

X圖象，數(shù)形結(jié)合即可得大小關(guān)系.

/—eq=—兀1\n7b=?！猚=?！?/p>

[詳解]已知〃/二兀，61nb=兀，。=，兀，貝ija,b,c,

故選：A.

4.D

tanCL——

【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得2,利用兩角和與差的正弦公式化簡

3sin[(a+￡)-a]=sin[(a+0+a],可得tan(a+￡)=2tana=指，根據(jù)角的范圍，即可得

到答案.

2.712?2124.23

coscr-sina=—,cosa+sma=\cosa=—,sma=—

【詳解】因為7，所以77,

2V3tan"

aecosa--j=sma=—j=

因為吟，所以行，〃，所以2

由3sin/?=sin(2cr+4)，得3sin[(a+/)一a]=sin[(a+/7)+a],

即3sin(6Z+(3)cosa-3cos(a+/)sina=sin(a+0)cosa+cos(a+0)sina

所以sin(a+0cosa=2cos(a+p)sina,所以tan(a+尸)=2tana=VJ

Q<a+B<—

又2,所以

故選:D

5.D

71

=/（x）f（\x=A/(x)=si.n2Gx+.—

fxI3

【分析】根據(jù),即函數(shù)關(guān)于12對稱，可得

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換，逐項判斷.

7171

--X一/6），即函數(shù)/（X）X-----

【詳解】根據(jù)題意,關(guān)于12對稱,

.717177r

2x(D——Fkn.k￡Z八

即12,2,又0<0<兀，

sinf2x+y

(p=-/(^)=

所以3,

f(0)=sin—=

則32,A錯誤;

71

/（X）的圖象向左平移％個單位長度得,

兀

80)=小+.=sin2x+-+-=sin|2x+—

63I3

g(0)=sin-=*±1

而32所以B錯誤;

兀2兀c兀2兀5兀

XG2x+—G

6'T,則3T'T，則函數(shù)"x）先減后增，C錯誤;

=sin（7i-2x）+sin（兀+2x）=sin2x-sin2x=0

D正確.

故選：D

6.D

【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.

【詳解】物實驗中，100ml血液中藥物含量為20mg的濃度為0.2,

設(shè)至少經(jīng)過，個小時才會“藥物失效”，根據(jù)題意

0.8（1-0.2）’<0,2,兩邊取對數(shù)得"n0.8<Ina,

-2In2?c-21g221g221g22x0.3010

t>------=-2lnd2=----=---------------=------——?----------------?6.206

Ind|lgiIg5-lg4l-31g21-3x0.3010

可得55

所以至少經(jīng)過7個小時才會“藥物失效”.

故選：D.

7.D

【分析】利用母線長和高，求出上底面半徑和下底面半徑的等式關(guān)系，然后利用體積求出

上底面半徑和下底面半徑的另一個等式關(guān)系，然后求出上下底面半徑，再用側(cè)面積公式即

可求解.

設(shè)上底面半徑為人下底面半徑為尺,

如圖，根據(jù)題意"=3,BG=,00『小CO、=BO=rAO=RAB=R-r>

在中，（R.r）2+gj=3［即火―=2----------①，

13囪兀y=—7rh（R2+Rr+戶）=>兀x也義（R2+Rr+r）=^石兀

又因為圓臺的體積為3,所以3'73'73

gpR2+Rr+r2=13----------②

由①②方程可得：氏=3,〃=

所以圓臺的側(cè)面積為成(滅+')=兀x3x*+l)=⑵.

故選：D.

8.C

【分析】方法一：先得到點。是△NBC內(nèi)心的充要條件是：aOA+bOB+cOC=Q,其中

b+c1a7

〃+4==1+------cosA=—

BC=a,4c=b,AB=c,從而得到a+b+c4+4b+c,求出8

15

a

b+c

b1+c2——be=a2X+2

利用余弦定理得到4,求出。b,由基本不等式求出最大值,

得到答案;

方法二：作出輔助線，得到'°=孫/8+武1-v)NC,得到方程組，得到2+〃=x,作出

sin3.A1

sin—二一

內(nèi)切圓，根據(jù)8,求出24,設(shè)出內(nèi)切圓半徑，故/°=4/，由圖知

AO4r

x=

AD4r+|0D|4

OD>OE=rf從而求出

【詳解】方法一：點。是△Z3C內(nèi)心的充要條件是：aOA+bOB+cOC=0,其中BC=a,

AC=b,AB=c

理由如下：^adA+bdB+cOC=Q,貝廣方+60+而冰@+及）=%

整理得（Q+6++bAB+cAC=6

、

04=―—1-AB1-AC

a+b+c

所以FlPI.),即點。在N8NC的角平分線上,

同理可證，點。在NZ8C,的角平分線上，即點。為△NBC的內(nèi)心.

AO=-1—AB+^^AC

故a+b+ca+b+c

b+c11Q

//+4==1+------

故a+b+c/z+2b+c

因為角4為銳角，8

222

,b+c-a1,,7,2

cos^ZcosA=--------------=——b+c2——bc=a

所以8.由定理得到2bc84

故

又因為cd（當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取等號）,

1515

1____4>?_4_,—

X+2-2+2-16-J-=1+^>1+JI=A

所以cb,所以〃+幾b+c'164,

//+2<-

故5

方法二：如圖，延長交BC于點、D,

^CD=yCB；^AD-AC=y(AB-AC^故AD=y/8+(l-y)/C

、兒AO-xAD=x^yAB+(1—y)/C)=xyAB+x(1—y)AC

J”孫

則卜=x(17).

二.4+〃=x,

作△/5C的內(nèi)切圓與5c邊切于點E,與45切于點尸,

設(shè)圓。半徑為片

15

,/sinA=

8且4為銳角,

「

2sm—4cos—42ctan—4

...AA22

smA=2sin—cos—=------差----J_____2_

22.2AA2A?

sm—+cos2—tan—+1

222

2tan-

2

2/1

tan—FI

故2

sm幺姮A

cos—

故2152

.2%2'-I.AI

sin——Feos,sin—=

又22，解得24,負值舍去,

OF1

OA4,即/O=4r,由圖知OZ)2O￡=r,

AO4r4

-----=--------<—

AD4r+\0D\~5

故選：C.

【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后

根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；

②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的

解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.

9.BCD

【分析】利用基本不等式可判斷ABC；由。的范圍可判斷D.

【詳解】對于A,因為。>°力>°,所以1=。+北2而，所以油故A錯誤;

對于B,所以

—=—a=—,b——

當(dāng)且僅當(dāng)。b,即55等號成立，故B正確；

對于C,要證&+64亞即證a+6+2V^Kw2

所以2&/6W1,即證4,由A可知4,故C正確；

對于D,因為〃>0，6>0,且a+6=l,所以0<°<1,

所以所以故D正確.

故選：BCD.

10.ABC

【分析】求得直線與直線。尸所成角判斷選項A；利用面面垂直判定定理判斷選項B；

求得尸到平面4Go的距離判斷選項C；求得直線/P與平面8CG占所成角的范圍判斷選項

D.

【詳解】連接4°,則由正方體”38中,

ADX1A、D,ADX1CD,AXDC\CD=DZQ,CDu平面ABCD,

可得,平面4瓦。。，

又DPU平面AACD,則AD\1DP,

則直線與直線。尸所成角的大小不變.故選項A判斷正確;

連接4cl，3D,BP,BD[,PD],

由正方體ABCD_中，BDi1平面4G。.

又2〃u平面PBD\,則平面PBD\,平面.

故選項B判斷正確；

由4?！ㄓ?。，4。u平面4。]。耳。二平面4G。

可得4c〃平面4G。，

則點尸逃到平面的距離相等，設(shè)該距離為d,

v_v-xlx2x2x2=-x—x(2V2^.￡/

由'o-4與G—4G。，可得3234'/

J2百2A/3

d-------

解之得3,則點尸到平面4Go的距離為定值3

故選項C判斷正確；

正方體ABCD_4用。1。1中,

直線NP與平面8CG4所成角為//四,

AB=2,BPe

由△4P5中，ABLBP

tanNNP8=4^e「l,0]‘a(chǎn)n尸

則8尸L」，由//尸2為銳角,

兀,兀

—<<—

則4ZAPB3.

故不存在一點尸，使得直線4P與平面2CG4所成角為1選項D判斷錯誤.

故選：ABC

11.ABD

【分析】ABD舉例，C用反證法證明不能出現(xiàn)6.

【詳解】對于A：10次點數(shù)為11，1，1，4,4,4,4,4,6符合題意，故A正確;

對于B：10次點數(shù)為333,3,4,4,4,6,6,6符合題意，故B正確;

對于C：設(shè)10次點數(shù)為，，12，x3，14，工5，%6，工7，%8，工9，再0且

X1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<xs<x9<x10；平均數(shù)為機,

假設(shè)有一次點數(shù)為6,不妨設(shè)再。=6,由方差公式

2X：+%2+￥+%：+%；+X；+X；+Xg+Xg+X^Q2

S-iom，代入相關(guān)數(shù)據(jù)得：

Xy+x；+x；+x：+x；+Xg+Xy+Xg+Xg+36

2.1=----------------------------------------4

1。,即

X\+X2+X3+X4+X5+X6+X7+Xl+X9=25,顯然與最大只能取4,

不妨設(shè)X9=4得才+4+考+立+片+北+只+君=9,此時方程無解，所以須*4,

當(dāng)％=3時得：x；++%；+%：+%；+篇+*+%；=16,/最大只能取3,

不妨設(shè)4=3得玉2+考+考+說+*+、；+后=7,此時方程有唯一解，

再—X?~工3=x4=%5="6=Xq~1

即10次點數(shù)為1』，1」」」，1，3,3,6,但此時平均數(shù)為1.9不合題意，所以無9*3,

當(dāng)Xg—2彳曰X；+%2+X；+X；+X；+X；+X；+X；—21gyX5=%="7=*8=2彳曰X；+X；+X；+X：—5

此時方程無解（其余情況也均無解），所以居*2,

當(dāng)尤9=1時，平均數(shù)為L5不合題意.

綜上所述，假設(shè)有一次點數(shù)為6不成立，故C錯誤；

對于D：10次點數(shù)為333,3,3,3,3,4,4,6符合題意,故D正確.

故選：ABD

12.86.25

【分析】利用給定的頻率分布直方圖，借助頻率估計75%即可.

【詳解】依題意，前四個小矩形的面積之和為（0-004+0.006+0.020+0.030）X10=0.6,

前五個小矩形的面積之和為0.6+0.024X1O=0.84>0.75,

r。80+10xS75-S6=8625

因此75%分位數(shù)位于［80,90）內(nèi)，0.84-0.6,

所以估計這50名學(xué)生成績的75%分位數(shù)為86.25分.

故答案為：86.25

13.

【分析】利用正弦定理將邊化角，由兩角和的正弦公式化簡，結(jié)合余弦定理求出A,最后

AD=-AB+-AC

根據(jù)22,利用數(shù)量積的運算律及基本不等式求出稅的最大值，即可求出面

積的最大值.

【詳解】因為62+/+6c=0cosC+ccos'）2,

由正弦定理可得sin2'+sin?C+sin'sinC=（sinBcosC+sinCeos'）

又sinBcosC+sinCcos3=sin（3+C）=sin（兀-4）=sin4

所以sin2B+sin2C+sin5sinC=sin2A,

由正弦定理可得從+,+bc=a\

,1

222c7iCOSZ—

由余弦定理°=b7'+c--2bccosA,所以2,

2兀

又Ze(O,7t),所以=y；

AD=-AB+-AC

因為/。是△/BC中8C邊上中線，則22

----?--?-->2->2---2------

即240=45+4C,所以44。=AB+AC+2AB-ACf

22

^16=b+c-bc>2bc-bcf可得bc〈16,當(dāng)且僅當(dāng)6=。=4時等號成立,

1k

S八ARC=—bcsinZ=——be<4^/3

故24,

即MBC面積的最大值為4月.

故答案為：4公

14.4a

【分析】令”=占一尤2,根據(jù)題意可證得了（x）是奇函數(shù)，根據(jù)條件/（。）=1,結(jié)合抽象函數(shù)

的關(guān)系以及周期的定義進行推導(dǎo)即可.

【詳解】令x=S

/(尤2)/(%)+1/(網(wǎng))/(馬)+1

f(7x)=f(x2-xi)=

/(Xj)-/(X2)")-"無2)

.?J（x）是奇函數(shù).

/(一a)/(x)+l-/⑺/(x)+l

/(X+O)=/[x-(-<2)]=

--/(X)

=公＞）二］）

“x)T1

f(x+2a}=+=’夕)+1——=

'JLkJJ〃尤)t11/(x)

/(x)+l

f(x+4a^—/[(x+2a)+2a]=_/(x+2a)=/(x)

是以4。為周期的周期函數(shù).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性和周期性的判斷

和求解，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義并能熟練應(yīng)用.

15.q)g(x)=Gsinx

(2)

答案見詳解

-+kT=na)=-(-,V3)

【分析】(1)根據(jù)題目條件可得4，由可得2,再將3代入解

(p=—/(x)=V3sin(—x+—)

析式解得3,故23,最后根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮平移變換即可求

出g(x)的解析式；

(71_.5兀-7

F{x)—A/3sinx—tv、、cXG—+2左兀,——+2/cji

(2)由(1)可得2,根據(jù)尸(x)>°,可得(66

斤eZ,再根據(jù)正弦函數(shù)sinx的單調(diào)區(qū)間即可求出廠(%)的單調(diào)區(qū)間.

/(x)=>/3sin(?x+67)(0<?<1,1?!<—),0)(―,V3)

【詳解】(1)因為函數(shù)112的圖象過'3,3，兩

點，

T[,7、2兀1.._

—+K1=71(一+左)X——=71a)=—+K,kGZ

所以4，即40,解得2,

1

。=-

又因為則2.

A/3sin(—x—+0)=V3

所以32,

—(P——F2左兀,keZ(p——F2ATI,左￡Z

所以6*2，則3,

\(p\<—(z?=—/(x)=V3sin(—x+—)

又因為2,所以"3,即’23,

]_

所以將4工)的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的5,縱坐標不變,

71

再向右平移3個單位長度得g(x)=Gsinx.

F(x)=V3sinx------

(2)由(1)知，2,

?、八A/3smx------>0sinx>—

因為尸(x)>°,所以2,即2,

71_.571c77r

---\~2nJl<X<F2nJl,左￡Z

解得66,

|—+2kn,—+2kn],keZ

所以尸(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為162),單調(diào)遞減區(qū)間為

(71…5兀?

—F2ATI,----F2,/CTI|,左￡Z

(26y

16.(1)證明見解析，①5②一6；

(2)2-72-2

【分析】(1)由內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式得到tanC=-tan(/+2),然后根據(jù)兩角和的正切公式即

可得證；然后根據(jù)結(jié)論即可求出①②的值；

(2)可得出tan/+tan8=l-tan/tanB,然后根據(jù)基本不等式即可得出關(guān)于

tan/+tan2的一元二次不等式，從而得出tan/+tan2的最小值.

【詳解】(1)■-C=n-(A+B))

tanC=tan[兀一(4+5)]=-tan(4+B)

「tan^4+tanB

tanC=----------------------

1-tan4tan8,

z.tanC(l-tanAtanB)=-(tanA+tanB)

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

①tan200+tan40°+Gtan20°tan40°

=tan200+tan400+tan120。+Gtan20°tan40°+V3

=tan20°tan40°tan120°+V3tan20°tan40°+百

=-V3tan20°tan40°+6tan20°tan40°+V3=V3.

tan200+tan40°+tan120°tan20°tan40°tan120°A

---------------------------------=-----------------------------=tan120°=-V3

②tan20°tan40°tan20°tan40°.

(2)vC=135°,則0。</<45。，0°<5<45°,且4+8=45。,

所以tan4>0,tan3>0,

/.tanA+tanB=-tan135°+tanAtanBtan135°=1-tanAtanB>\-(匕11"+tan

4,

z.(tanA+tanB)2+4(tan74+tan5)-4>0

解得tanZ+tan3N2近一2或tan/+tanB<-2/—2(舍去)，

tan+tan5>272-2?當(dāng)且僅當(dāng)tanZ=tanB=血一1時取等號

tan+tan5的最小值為2行一2.

17.⑴40

20

⑵一9

【分析】（1）利用投影向量來求向量的數(shù)量積即可；

（2）先解三角形得到各邊長，再利用向量知識來求解即可.

【詳解】⑴,?.4^8。../是就在不方向上的投影向量，

.,AP.AC=AP=網(wǎng)=32,即N44也；

法二：■：APIBC,-,AP-7c=\APAC\cosAPAC=\AP\-\APf\AF\=32

即AP=442.

（2）在△ABC中，BC2=AB^AC22AB-AC-cosABAC=

=2+5-2xV2xV5x-^^）=9

所以8c=3,

BC2+AB2-AC22+9-5近

cosB—一2xABxBC—=2x3x亞=,

B=-

因為Be（0,乃），所以4,AP=ABsinB=].,BPABcssB尹PC邙CPB2,

以P為坐標原點，PC，尸區(qū)所在直線分別為x軸，y軸，建系如圖：

易知P(0,0>>4(01),C(20)D(31)因為￡為C。中點，

所以唱)，

AP=(O,-l)AE=[^~1]次=(2,-1)

'9，

-JB~TpI(&_=)、44；)尸(2l)=(1x,+2j；-^-x-y)

???AP=x4E+yZC2222

4

—x+2y=0x=——

3

11=520

—x—y=—I孫

2,解得:y~3,所以:=-3

法二:

=2+5-2xV2xy/~5x-------=9

在ZUBC中，BC-AB^AC22AB-AC-cosABAC=I10J

所以8c=3,

BC2+AB--AC12+9-5歷

cosB~2xABxBC=2x3xV2=T,

B=-

因為Be(0,哈,所以4,AP=ABsinB=l,若PAB3sBtP€3cPB2,

AP=AB+JP=AB+-JC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC

因為PC=2尸5,所以3J33,

AP=xAE+yAC=x(AC+CE)+yAC=x(AC--AB)+yAC=--AB+(x+y)AC

又???22

由平面向量基本定理得：

12[4

—x=—x——

233

__1_520

x+y-TWxy=一_

〔3,解得：13,所以：9

18.(1)證明見詳解

71

⑵6

【分析】(1)由余弦定理，結(jié)合勾股定理的逆定理證得8。，借助三角形全等得

PD1BD,再利用線面垂直的判定推理即得；

(2)取尸/中點"，由給定二面角結(jié)合勾股定理的逆定理證得尸。，/。，再利用線面垂直

的判斷性質(zhì)求出線面角的正弦.

【詳解】(1)在中，由余弦定理得

BD2=AD2+AB2-2AD-ABcosA=l+4-2x\x2x-=3

2,

顯然/。2,+8。,2=/8,2,貝1JZADB=2-,即

7t

ZPDB=-

由40=尸Q,AB=PB,BD=BD,得△軸自PBD,貝ij2,即7V)_L5Z),

又ADC\PD=D,尸平面R4。，所以瓦平面P4Z).

(2)取尸/中點E,連接BE,DE,如圖,

由/8=尸8,AD=PD,則DE1PA,即N8ED為二面角。一尸/一8的平面角,

由(1)知，平面P4D,DEu平面PAD,則80=百，

tanABED==&DE=-^―

于是