銳角三角函數(shù)（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練

專題26銳角三角函數(shù)

一、銳角三角函數(shù)概念

【高頻考點(diǎn)精講】

在RtZ\ABC中，NC=90°

1、正弦：我們把銳角A的對(duì)邊。與斜邊c的比叫做NA的正弦，記作sinA,即siM==^

c

2、余弦：銳角A的鄰邊6與斜邊c的比叫做/A的余弦，記作cosA,即cosA=k>

c

3、正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊6的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=^

b

4、三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù)。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?天津中考）tan45°的值等于（）

V2V3

A.2B.1C.—D.—

23

解：tan45°的值等于1,

答案:B.

2.（2022?淮南模擬）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，則tanA

的值是（）

1

C.2D.

2

則2￡>=&,AD=2近,

mu,BD421

則ta也=而=派=才

答案：D.

3.（2022?荊州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,5分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)。在08上，OC：

BC=1：2,連接AC,過(guò)點(diǎn)。作O尸〃A8交AC的延長(zhǎng)線于P.若尸（1,1）,則tanNOAP的值是（）

V3<21

A.—B.—C.-D.3

323

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸。，無(wú)軸于點(diǎn)。，

答案：C.

4.（2022?深圳模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,

3）,tanZABO=V3,則菱形ABC。的周長(zhǎng)為（）

y

B0

A.6B.6V3C.12V3D.8V3

解：?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,

.AO=3,

,tanZAB(9=V3,

AO

BO

3

BO

.BO=V3,

?△AOB是直角三角形,

.AB=yjAO2+B02=32+(V3)2=V12=2V3>

?菱形的四條邊相等,

.菱形ABCQ的周長(zhǎng)為2遍X4=8V3.

答案：D.

12

5.(2022?濱州中考)在中，若NC=90°,AC=5,BC=12,則sinA的值為一

—13―

解：如圖所示：?；NC=90°,AC=5,BC=12,

：.AB^V122+52=13,

.,.sinA=!|.

6.（2022?揚(yáng)州中考）在△ABC中，ZC=90°,〃、b、c分別為NA、NB、NC的對(duì)邊，若房=〃c,則sinA的值

為—J

解：在△ABC中，NC=90°,

.'.c1=(r+b2,

b2—ac,

??ca+ac,

等式兩邊同時(shí)除以得:

ca

=-+1,

ac

Aa

令一=x,則有一=x+L

CX

1?W+x-1=0,

解得：Xl=^2~,X2=一￥匹（舍去）,

當(dāng)％=與二時(shí)，x/0,

.?.%=空＞是原分式方程的解,

,..u—1

—

??siHzT.——Q

c2

田山V5-1

答案：。一.

7.（2022?綏化中考）定義一種運(yùn)算:

sin(a+P)=sinacosP+cosasinP,

sin(a-p)=sinacosp-cosasinp.

例如：當(dāng)a=45°,p=30°時(shí)，sin(45°+30°)=*x字+*xJ=耳色，則sinl5°的值為‘一?

zZZz4—4

解：sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°-cos45asin30°

_V2V3_V2

x

46V2

4—彳

V6-V2

-4-

V6-V2

答案:

4

8.（2022?湖州中考）如圖，已知在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3.求AC的長(zhǎng)和sinA的值.

解：VZC=90°,AB=5,BC=3,

：.AC=7AB2—8c2=V52-32=4,

.,BC3

sinA=AB=5-

3

答：AC的長(zhǎng)為4,sinA的值為J

二、解直角三角形

【高頻考點(diǎn)精講】

1、解直角三角形常用關(guān)系

(1)銳角、直角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

(2)三邊之間的關(guān)系：/+廬=02；

(3)邊角之間的關(guān)系

sinA=—,cosA=—,tmA-二包(〃，b,c分別是NA、ZB.NC的對(duì)邊)

b

=返；tan30°=返；

2、sin30°=—；cos30°

223

sin45°=①；cos45°=U；tan45°=1；

22

sin60°=Kcos60°=2；tan60°=V3;

22

【熱點(diǎn)題型精練】

1

9.(2022?樂(lè)山中考)如圖，在RtaABC中，NC=90°,BC=底點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD.右tanZA=2,

1

tanZABZ）=j,則CD的長(zhǎng)為（）

D.2

解：過(guò)。點(diǎn)作。ELA3于E,

../ADE1/AnnDE

?tanNA=,tanABD==

：.AE=2DE,BE=3DE,

；?2DE+3DE=5DE=AB,

在RtAABC中，tanZA=BC=V5,

.BCV51

"AC-AC-2’

解得AC=2V5,

：.AB=<AC2+BC2=5,

：.DE=1,

：.AE=2,

.'.AD=y/AE2+DE2—Vl2+22=V5,

/.CD=AC-AD=A/5,

答案：C.

10.（2022?通遼中考）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)

2

c.一D心

131333

解：TAB為直徑,

AZACB=90°,

又?.,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

ZADC=ZABC,

在RtAABC中,

/口r_BC_3_3聞_/人八二

cosz_A4nC=.==-干5~=cos/A￡)C,

/iDI99ID

J3Z+2Z

答案：B.

11.（2022?宜賓中考）如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=5,8C=3,將△BCD沿8。折疊到△BE。位置，DE交

A5于點(diǎn)R則cosNA。尸的值為（

87158

A.——B.—C.——D.—

17151715

解：：四邊形ABCO是矩形,

ZA=90°,AB//CD,AD=BC=3,AB=CD=5,

：.ZBDC=/DBF,

由折疊的性質(zhì)可得/

:?/BDF=/DBF,

：.BF=DF,

設(shè)BF=x,則DF=x,AF=5-x,

在RtZ，4￡>/中，32+(5-x)2=x2,

?_17

,?x-T'

315

cosZADF=F=F，

T

答案：C.

12.(2022?濟(jì)寧中考)如圖，點(diǎn)A,C,D,8在O。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=a,tan/C8￡)=熱則

AD的長(zhǎng)是242a.

設(shè)AO交8C于點(diǎn)T.

VZACB=90°,

二?AB是直徑，

TEC是直徑，

：.ZCDE=90°,

?：NCBD=NE,

1

tan￡=tanZCBD=3,

.CD1

??=一,

ED3

:.DE=3a,

：.EC=AB=y/CD2+DE2=^a2+(3a)2=y/lOa,

：.AC=BC=5AB=V5a,

■:/CAT=/CBD,

1

tanNCAT=tanNCBD=3,

:.CT=*a,BT=^a,

.\AT=yjAC2+CT2=J(VSa)2+(-^a)2=

9：AB是直徑，

/.ZADB=90°,

DT1

VtanZZ)BT==可，

：.DT=鉀BT=寺a,

：.AD=AT+DT=2>j2a,

13.（2022?河池中考）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形A8CD沿長(zhǎng)邊8C,A。的中點(diǎn)E,歹對(duì)折，得到四邊形ABEF,

2

點(diǎn)G,H分別在BE,EF上,且BG=EH=^BE=2,AG與BH交于點(diǎn)、O,N為A尸的中點(diǎn)，連接ON,作。M_L

5

ON交AB于點(diǎn)、M,連接MN,貝Utan/AMN=___.

：.AF=BE=^BC,

?..四邊形ABC。是矩形,

；./A=90°,AD//BC,AD=BC,

：.AF=BE^^AD,

四邊形48跖是矩形，

由題意知，AD=2AB,

：.AF=AB,

矩形A2EF是正方形，

：.AB=BE,NABE=/BEF=9Q°,

,:BG=EH,

：.^ABG^ABEH(SAS),

NBAG=NEBH,

：.ZBAG+ZABO=/EBH+NABO=/ABG=90°,

AZAOB=90°,

2

■:BG=EH=^BE=2,

:?BE=5,

：.AF=5,

???ZOAB=ZBAG,ZAOB=AABG,

：.AAOBsAABG,

?OAOB

AB~BG'

tOAAB5

'*OB~AG~2

?：OM1ON,

：.ZMON=90°=/AOB,

NBOM=/AON,

,：ZBAG+ZFAG=90°,ZABO^-ZEBH=90°,NBAG=NEBH,

：.ZOBM=ZOANf

：./\OBM^/\OAN,

.OBBM

OA~AN'

???點(diǎn)N是A廠的中點(diǎn)，

：.AN=^AF=I，

5BM

A2=h

2

：.AM=AB-BM=4,

AN75

在RtZXMAN中，tanNAMN=*J=/=],

答案:I-

14.（2022?張家界中考）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三

角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.如圖，已知

3

大正方形相。的面積是1。。，小正方形跖GH的面積是4,那么tan/A近

A

B

解：：大正方形ABC。的面積是100,

：.AD=10,

,/小正方形EFGH的面積是4,

...小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2,

：.DF-AF=2,

設(shè)AF=x,則￡>F=x+2,

由勾股定理得，?+(x+2)2=1()2,

解得x=6或-8(負(fù)值舍去)，

：.AF=6,DF=8,

tanZADF=需=\=X，

答案：7.

三、解直角三角形的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1、坡度坡角問(wèn)題

(1)坡度是坡面的垂直高度力和水平寬度/的比，常用，表示。

(2)坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度i與坡角a之間的關(guān)系：i=/z:/=tana。

(3)解決坡度問(wèn)題，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角是銳角，坡度是銳角的正切值，水平寬度或垂直高度是

直角邊，本質(zhì)是解直角三角形問(wèn)題。

2、仰角俯角問(wèn)題

(1)概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角。

(2)解決此類問(wèn)題需要了解角之間的關(guān)系，找到與條件和所求相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí),

要通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決。

3、方向角問(wèn)題

(1)辨別方向角：以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。

（2）解決方向角問(wèn)題，要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，如果所給方向角不在直角三角形中，可以用“兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“余角”等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。

【熱點(diǎn)題型精練】

15.（2022?黑龍江中考）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°,小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)

小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°,山高為（）米

A.600-250V5B.600V3-250C.350+350百D.500V3

解：設(shè)所=5x米，

:斜坡BE的坡度為5：12,

：.BF=nx^z,

由勾股定理得：(5x)2+(12%)2=(1300)2,

解得：龍=100,

則斯=500米,B歹=1200米，

由題意可知，四邊形OCFE為矩形,

...￡）C=M=500米，DE=CF,

在Rt/VIDE中，tanNAED=罌，

則DE==烏AD,

tanot)3

AC

在RlAACB中，tanNA3C=釜，

500+4。V3

~=丁

1200+—3

3

解得：AO=600百一750,

山高AC=A￡)+￡)C=600^—750+500=(600b一250)米,

答案：B.

16.（2022?濟(jì)南中考）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑A2的高度.如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A

的仰角為22°,再向前70機(jī)至。點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°,點(diǎn)C,D,8在同一直線上，則該建筑物

AB的高度約為（）

（精確到1/77.參考數(shù)據(jù)：sin22°心0.37,tan22°心0.40,sin58°"0.85,tan58°七1.60）

解：由題意可知：AB-LBCf

在RtZkA￡>5中，ZB=90°,ZADB=5S°,

VtanZAZ)B=tan58°=麗，

??但麗麗—詢(m))

在RtZkACB中，ZB=90°,ZC=22°,

?:CD=7Um,

:.BC=CD+BD=(70+備)m,

AD

.,.AB=BCXtanC?(70+,)X0.40(m),

解得：AB^37m,

答:該建筑物AB的高度約為37日

答案：C.

17.（2022?柳州中考）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina="，堤壩高8c=30機(jī)，則迎水坡面A8的

長(zhǎng)度為_(kāi)J0m.

Q

解：Vsina=堤壩高5C=30m,

..3BC30

■'Sma=5=AB=AB'

解得：AB=5Q.

答案：50.

18.（2022?黃石中考）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：己知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30處當(dāng)無(wú)人機(jī)

飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°,繼續(xù)飛行20機(jī)到達(dá)8處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°,則旗桿的

高度約為12.7m.

（參考數(shù)據(jù)：舊=1.732,結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）

解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C,頂部為點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作交直線于點(diǎn)E.

則CE=30/7?,AB=2Qm,Z￡AD=30°,NEBD=60°,

設(shè)DE=xm,

在RtZ\BDE中，tan60°=撓=盤(pán)=百，

解得BE=亭x,

則AE=4B+BE=（20+等x）m,

在RtZXADE中，tan30°=~=—，?=孚,

AE20+號(hào)x3

解得x=10V3句7.3,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10^-17.3是原方程的解，且符合題意,

：.CD=CE-DE=\2.1m.

答案：12.7.

19.（2022?巴中中考）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航

行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的2處，此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里.（參考數(shù)

242

據(jù)：sin37°《耳，cos37°《耳，tan37°、4）

北

八

---A東

B

根據(jù)題意得，ZCAP=ZEB4=60°,ZCAB=30°,B4=30海里,

：.ZPAB=90°,ZAPB=180°-67°-60°=53°,

.,.ZB=180°-90°-53°=37°,

ADQf)Q

在RtZ\P4B中，sin37°=篝=需?。

解得PB-50,

此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里.

答案：50.

20.（2022?長(zhǎng)沙中考）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù).某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行

優(yōu)化改造.如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20根的斜坡，坡角NBA￡）=30°,2。LAD于點(diǎn)。.為方便通行，在

不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°.

（1）求該斜坡的高度BD；

（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離.（假設(shè)圖中C,A,。三點(diǎn)共線）

解：(1)在中，VZADB=90°,ZBAD=30°,BA=20m,

：.BD=1BA=10(m),

答:該斜坡的高度8。為10%;

(2)在△AC8中，ZBAD=30°,ZBCA=15°,

：.ZCBA=15°,

：.AB=AC=20（機(jī)），

答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m.

21.(2022?廣州中考)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽(yáng)光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度.如圖，在某一時(shí)刻，旗

桿AB的影子為2C,與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD標(biāo)桿CD的影子為CE,CD=I.6m,BC=5CD.

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求旗桿AB的高度.

條件①：CE=1.0m；條件②：從。處看旗桿頂部A的仰角a