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文檔簡介
專題04定弦定角(知識解讀)
【專莖餞明】
定弦定角題型的識別:有一個定弦,一個主動點,一個從動點,定弦所對的張
角固定不變。圖形中一般求一個從動點到一個定點線段長度最值問題,一般涉及
定弦定角最值問題
【知傭立】
若固定線段AB所對動角NP為定值,則點P運動軌跡為過A、B、P三點的圓。
備注:點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可。
原理:同弧所對的圓周角相等;同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。
請在上方后面的圖形中找到圓心。
【方放技巧】
解題技巧:構(gòu)造隱圓
定弦定角解決問題的步驟:
(1)讓動點動一下,觀察另一個動點的運動軌跡,發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡
為一段弧。
(2)找不變的張角(這個時候一般是找出張角的補角),(這個補角一般為60°、
45O)
(3)找張角所對的定弦,根據(jù)三點確定隱形圓,確定圓心位置
(4)計算隱形圓的半徑
(5)圓心與所求線段上定點的距離可以求出來
(6)最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑
【聘例令新】
【典例1]如圖,已知矩形
(1)如圖①,請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=45°的點尸的軌
跡;
(2)如圖②,請在矩形A3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=90°的點P的軌
跡;
(3)如圖③,請在矩形A3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=120°的點P的
軌跡.
圖①圖②圖③
【典例2】如圖,在AABC中,AC=3,3c=4&,ZACB=45°,AM//BC,
點P在射線AM上運動,連BP交△APC的外接圓于D,則AD的最小值為()
C.V2D.4M-3
【變式2】如圖,在等腰中,ZBAC=90°,AB=AC,BC=4點,點
。是AC邊上一動點,連接3D,以AD為直徑的圓交5。于點E,則線段CE
長度的最小值為
E
RC
【典例3】如圖,O。半徑為6,弦A3=6,點P為優(yōu)弧A3上一動點,AC1AP
交直線P3于點C,則△ABC的最大面積是()
A.6yfsB.9V3C.6A/2D.9
【變式3】如圖,O。的半徑為1,弦A3=l,點尸為優(yōu)弧金上一動點,AC±AP
交直線尸3于點C,則△ABC的最大面積是()
C.亨D.亨
【典例4】如圖,A(1,0)、3(3,0),以A3為直徑作OM,射線。R交
于E、R兩點,C為弧A3的中點,。為ER的中點.當(dāng)射線OR繞。點旋轉(zhuǎn)
時,CD的最小值為
【變式4](2022?肇源縣二模)如圖,A(2,0)、B(6,0),以A3為直徑
作OM,射線OR交OM于E、R兩點,C為弧A3的中點,。為ER的中點.當(dāng)
射線。R繞。點旋轉(zhuǎn)時,CD的最小值為.
【典例5】(2020秋?無錫期中)如圖,AB是O。的直徑,AB=2,C在。。上,
ZABC=60°,尸是O。上一動點,。是AP的中點,連接⑺,則CD的最
專題04定弦定角(知識解讀)
【專莖餞明】
定弦定角題型的識別:有一個定弦,一個主動點,一個從動點,定弦所對的張
角固定不變。圖形中一般求一個從動點到一個定點線段長度最值問題,一般涉及
定弦定角最值問題
【知傭立】
若固定線段AB所對動角NP為定值,則點P運動軌跡為過A、B、P三點的圓。
備注:點P在優(yōu)弧、劣弧上運動皆可。
原理:同弧所對的圓周角相等;同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。
請在上方后面的圖形中找到圓心。
【方放技巧】
解題技巧:構(gòu)造隱圓
定弦定角解決問題的步驟:
(1)讓動點動一下,觀察另一個動點的運動軌跡,發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡
為一段弧。
(2)找不變的張角(這個時候一般是找出張角的補角),(這個補角一般為60°、
45O)
(3)找張角所對的定弦,根據(jù)三點確定隱形圓,確定圓心位置
(4)計算隱形圓的半徑
(5)圓心與所求線段上定點的距離可以求出來
(6)最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑
【聘例令新】
【典例1]如圖,已知矩形
(1)如圖①,請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=45°的點尸的軌
跡;
(2)如圖②,請在矩形A3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=90°的點P的軌
跡;
(3)如圖③,請在矩形A3CD的內(nèi)部或邊上畫出使NAP3=120°的點P的
軌跡.
圖①圖②圖③
【解答】解:(1)如圖,作等腰直角三角形AOB,使NAOB=90°,以。為
圓心,。4為半徑畫圓,
―圖①
則而L即為所求;
(2)如圖,以43為直徑作圓,則篇即為所求(不與A、8重合);
圖②
(3)如圖,作等腰△AOB,使NAOB=120°,以。為圓心,。4為半徑畫圓,
則窟即為所求(不與A、3重合);.
【典例2]如圖,在△ABC中,AC=3,BC=442,ZACB=45°,AM//BC,
點尸在射線AM上運動,連BP交△APC的外接圓于。,則AD的最小值為()
B7/
A.1B.2C.V2D.472-3
【答案】A
【解答】解:連接8,則NPDC=NB4C=NAC3=45°,ZBDC=135°
,:BC=4瓜
...點。在以為弦的一段圓弧上運動,圓心角為90°,
設(shè)圓心為。,連接3。、CO、DO,
則△3C。為等腰直角三角形,
."0=4,ZBCO=45°,
VZACB=45°,
ZACO=90°,
;?A°=VAC2-K;O2=^32+42=5,
:.AD^AO-DO=5-4=1(當(dāng)且僅當(dāng)。是AF與圓弧的交點時取等號),
線段AD的長的最小值為1,
故選:A.
【變式2】如圖,在等腰RtZXABC中,NA4c=90°,AB=AC,BC=如,點、
。是AC邊上一動點,連接3D,以AD為直徑的圓交3。于點E,則線段CE
長度的最小值為.
【答案】2我二2
【解答】解:連接AE,如圖1,
VZBAC=90°,AB=AC,BC=啦,
:.AB=AC=4,
:AD為直徑,
ZAED=90°,
AZAEB=90°,
.?.點E在以AB為直徑的O。上,
:O。的半徑為2,
...當(dāng)點。、E、C共線時,CE最小,如圖2,
在RtZXAOC中,\"OA=2,AC=4,
OC=VOA2+AC2=2芯,
:.CE=OC-OE=2娓-2,
即線段CE長度的最小值為2遙-2.
故答案為2爬-2.
【典例3】如圖,O。半徑為6,弦A3=6,點P為優(yōu)弧A3上一動點,AC1AP
交直線P3于點C,則△ABC的最大面積是()
A.6-75B.9MC.672D.9
【答案】B
作△ABC的外接圓O。,如圖1,
為等邊三角形,
AZAOB=60°,
AZAPB=1ZAOB=30°,
2
':AC±AP,
:.ZC=60°,
,:AB^6,要使△ABC的最大面積,則點C到AB的距離最大,
ZACB=60°,點C在上,
AZADB=120°,
如圖2,
當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時,點C到A3的距離最大,此時△ABC為等邊三角形,
且面積為返/162=9如,
4
△ABC的最大面積為973.
故選:B.
【變式3】如圖,O。的半徑為1,弦A3=l,點P為優(yōu)弧第上一動點,AC±AP
交直線P3于點C,則△ABC的最大面積是()
【答案】D
【解答】解:連接。4、0B,如圖1,
為等邊三角形,
AZAOB=60°,
AZAPB=1ZAOB=30°,
2
':AC±AP,
AZC=60°,
':AB=1,要使△ABC的面積最大,則點C到A3的距離最大,
ZACB=60°,點C在O。上,
AZADB=120°,
當(dāng)點C在優(yōu)弧A3的中點時,點C到A3的距離最大,此時△A5C為等邊三角
形,且面積為近A§2=返,
44
AABC的最大面積為運.
4
故選:D
【典例4】如圖,A(1,0)、3(3,0),以A3為直徑作OM,射線OR交OM
于E、R兩點,C為弧A3的中點,。為ER的中點.當(dāng)射線OR繞。點旋轉(zhuǎn)
時,CD的最小值為.
【解答】解:連接如圖,
?。為跖的中點,
:.MD±EF,
:.ZODM=90°,
.?.點。在以A點為圓心,1為半徑的圓上,
當(dāng)。點為CA與OA的交點時,CD的值最小,止匕時CD=AC-1=&-1,
即CD的最小值為圾-1.
故答案為:V2-1.
【變式4](2022?肇源縣二模)如圖,A(2,0)、3(6,0),以AB為直徑
作OM,射線OR交OM于E、歹兩點,C為弧A3的中點,。為ER的中點.當(dāng)
射線。R繞。點旋轉(zhuǎn)時,CD的最小值為.
【答案】2點二2
【解答】解:連接如圖,
,。為所的中點,
:.MD±EF,
.,.ZODM^90°,
.?.點。在以A點為圓心,2為半徑的圓,
當(dāng)。點為CA與OA的交點時,CD的值最小,此時CD=AC-2=2a-2,
即CD的最小值為26-2.
故答案為:2圾-2.
【典例5】(2020秋?無錫期中)如圖,A3是O。的直徑,AB=2,。在。。上,
ZABC=60°,P是。。上一動點,。是
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