2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念【五大題型】原卷版+解析版

專題4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念【五大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1終邊相同的角】...........................................................................4

【題型2象限角］.................................................................................4

【題型3弧度制及其應(yīng)用】........................................................................5

【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】.........................................................6

【題型5三角函數(shù)值符號的判定】..................................................................7

?考情分析

1、任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)了解任意角的概念和

弧度制任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

⑵能進行弧度與角度的2023年北京卷：第13題，5是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考

互化，體會引入弧度制的分內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主

必要性2024年北京卷：第12題，5要考察任意角的概念、三角函數(shù)的概念，

(3)借助單位圓理解三角分一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試

函數(shù)(正弦、余弦、正切)題比較簡單.

的定義

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的基本概念】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

(2)角的表示

如圖：

①始邊：射線的起始位置04;

②終邊：射線的終止位置。3；

③頂點：射線的端點。；

④記法：圖中的角可記為“角a”或“-a”或；/O8”.

%

2.象限角與終邊相同的角

(1)終邊相同的角

若角a終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角a的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時針或順時針)網(wǎng)左eZ)周即得角B.

一般地，我們有：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

S={夕/=a+左-360。,左GZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

(2)象限角、軸線角

①象限角、軸線角的概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與無軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在

第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限,

稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角{a\k-3600<a<k-360°+90°,左eZ}

第二象限角{a\k-360°+90°<ct<A;-360°+180°,左GZ}

第三象限角{a\k-360°+180°<a<k-3600+270。斥Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a<k-3600+360。,左GZ}

3.角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的高.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相關(guān)概念

①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.

②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.

4.任意角的三角函數(shù)

(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)

設(shè)a是一個任意角，aGR,它的終邊。尸與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即尸sina；

②把點尸的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa；

③把點尸的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值訓(xùn)做a的正切，記作tana,即「ana(#0).

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：

正弦函數(shù)y=sinx,xGR

余弦函數(shù)y=cosx,x￡R

TT

正切函數(shù)y=tanx,xW,+Ax（z左￡Z）

(2)用角的終邊上的點的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)a是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點。重合)的坐標(biāo)為(x,y),點P與原點的距離

為r.則sina=L,cosa=—,tana=—.

rrx

【知識點2任意角和弧度制的解題策略】

1.終邊相同的角的集合

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過集合中的參數(shù)網(wǎng)上GZ)賦值來求得所需的角.

2.確定ka,三依GN*)的終邊位置的方法

先寫出妹或假的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定桁或號的終邊所在的位置.

3.應(yīng)用弧度制解決問題的幾大要點

應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【知識點3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用的解題策略】

1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標(biāo)，及這點到原點的距離，確定這個角

的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

2.判定三角函數(shù)值的符號的解題策略

要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各

象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.

?舉一反三

【題型1終邊相同的角】

【例1】（2024?全國?模擬預(yù)測）下列與牛的終邊相同的角的表達式中，正確的是（）

A.2kn+手（kGZ）B.2kn+?（k&Z）

C.ku-*keZ）D.fcn+Y（fceZ）

【變式1-1]（23-24高一上?內(nèi)蒙古?期末）若角a與角-金的終邊相同，貝la可能是（）

12TT_10n22n_22n

AT.-B.---C.—D.一--

【變式1-2]（23-24高一下?河南駐馬店?階段練習(xí)）若角a的終邊在直線y=x上，則角a的取值集合為

（）

A.{a|a=k-360°+45°,kez]B.[a|a=fc-360°+135°,kez]

C.（a|a=fc-180o-135°,kEz}D.{a|a=/c-180°-45°,kez}

【變式1-3]（23-24高一下?安徽蚌埠?階段練習(xí)）將角a的終邊繞坐標(biāo)原點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。后與130。角的

終邊重合，則與角a終邊相同的角的集合為（）

A.{^|）?=/cx180°+90°,fceZ}B.{/?|）5=/cx360o+90o,fceZ}

C.[^|/?=fcxl80°+150°,/ceZ}D.{S『=kx36（r+70o,keZ}

【題型2象限角】

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）若a是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（）

A.90°—CLB.180°—ccC.270°—ccD.—CL

【變式2-1]（23?24高一上?河北唐山?期末）已知a=944。，貝!）仇是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知角a以x軸正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P（sin金,cos亨），

貝!J3n+a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【變式2-3]（2024?貴州?模擬預(yù)測）“a是第四象限角”是嗎是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【題型3弧度制及其應(yīng)用】

【例3】（2024?湖南?一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，

體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各

項數(shù)據(jù)（圖2）：AB?8cm,AD?2cm,AO?5cm,若sin37°《pn13.14,則璜身（即曲邊四邊形ABC。）面

D.22.4cm2

【變式3-1］（2024?新疆克拉瑪依?三模）擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖是一位擲鐵餅運動員在準(zhǔn)備擲

出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿的“弓”.經(jīng)測量此時兩手掌心之間的弧長是詈，“弓”所

6

在圓的半徑為1.25米，這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離為（）米.

A.迥B.也C.也D.也

6446

【變式3-2］（2024?貴州貴陽?三模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章

給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=：（弦X矢+矢2）,弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所

圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)已知弧田面積為4舊+2,且

弦是矢的2機倍，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田的弧長是（）

?Kc2n4n—8n

A.§B.-C.-D.-

【變式3-3］（2023?浙江嘉興?二模）相傳早在公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯就首次測出了

地球半徑.厄拉多塞內(nèi)斯選擇在夏至這一天利用同一子午線（經(jīng)線）的兩個城市（賽伊城和亞歷山大城）進

行觀測，當(dāng)太陽光直射塞伊城某水井S時，亞歷山大城某處4的太陽光線與地面成角8=82.8。，又知某商隊

旅行時測得4與S的距離即劣弧藍的長為5000古希臘里，若圓周率取3.125,則可估計地球半徑約為（）

A.35000古希臘里B.40000古希臘里

C.45000古希臘里D.50000古希臘里

【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】

【例4】（2023?福建福州?模擬預(yù)測）已知角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負半軸重合，cosa=等,P（zn,2）

為其終邊上一點，則（）

A.-4B.4C.-1D.1

【變式4-1］（2024?江西?二模）已知角a的終邊經(jīng)過點M（VX1）,貝i］cosa=（）

A.乎B.日C.V2D.孝

1

【變式4-2］（2023?河南開封?三模）設(shè)a是第二象限角，P（x,1）為其終邊上一點，且cosa=y,則tana=

（）

A.--B.--C.孝D.7

【變式4-3］（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知角a的頂點位于平面直角坐標(biāo)系xOy的原點，始邊在x軸的非

負半軸上，終邊與單位圓相交于點（-乎,乎），則sinacosa=（）

C1D.乎

【題型5三角函數(shù)值符號的判定】

【例5】（2024?河南?模擬預(yù)測）已知a是第二象限角，則點（cos（sina）,sin（cosa））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式5-1］（2023?四川宜賓?三模）已知角a的終邊上一點的坐標(biāo)Q,2）,其中。是非零實數(shù)，則下列三角

函數(shù)值恒為正的是（）

A.cosatanaB.sinacosaC.sinatanaD.tana

【變式5-2］（2023?河南?模擬預(yù)測）已知a是第二象限角,則點（cos（-a）,sin（-a））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【變式5-3］（2024?北京海淀?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以。x為始邊，終邊在第三象限.則（）

A.sina—coscr<tanaB.sina—cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-coscr>tana

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（23-24高三下?甘肅?階段練習(xí)）集合2=｛回戊=一2024。+人180。,卜62｝中的最大負角戊為（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

2.（202?河北衡水?模擬預(yù)測）“角％6的終邊在同一條直線上”是“5訪9-6）=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是（）

A.+2/CTT<a<(2k+l)n,/cGz|B.+/tit<ct<(fc+l)rt,kezj

C.^a|—+2fcn<a<(2fc—ez|D.^a|—+2kn<a<2ku,kezj

4.（2024?山東?模擬預(yù)測）已知角a的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與工軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P

sin或cos。則cos(a+?=()

1

A.0B.-C.返D.日

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕.源遠流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像

磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流

派.蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻

等建筑中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)力BCD,如圖（2）,磚雕厚度為6cm,AD=80

cm,CD=3AB,而所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：cm?）)

圖⑴圖⑵

A.3200nB.48011+960C.6880n+960D.3680n+960

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點與原點重合，始邊與無軸的非負半軸重合,

終邊經(jīng)過點P(3,4),則sEa+空0sg=()

\'7cosa—sina

A.11B.-10C.10D.-11

7.（2024?浙江?二模）古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函

數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)cot。=義1，正割函數(shù)sec。=21，余割函

數(shù)esc。正矢函數(shù)uersin。=l—cos。，余矢函數(shù)uercos。=1—sin。.如圖角6始邊為支軸的非負半軸，其

sine?

終邊與單位圓交點P,4B分別是單位圓與x軸和y軸正半軸的交點，過點P作PM垂直無軸，作PN垂直y軸，

垂足分別為M、N,過點4作x軸的垂線，過點8作丫軸的垂線分別交。的終邊于7、S,其中AM、PS、BS、NB

A.versind=AMB.csc9=PS

C.cot3=BSD.sec3=NB

8.（2024?山東青島?一模）2024年2月4日，“龍行中華一甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館

舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就

是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S'型雙龍，造型精美.現(xiàn)要

計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：AB-8cm,AD?2cm,710~5cm,若sin37°2

j,a73.14,則璜身（即曲邊四邊形/5C。）面積近似為（）

一?O

圖1圖2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

二、多選題

9.（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.若sina=sin/?,貝！ja與0是終邊相同的角

B.若角a的終邊過點P（3k,4k）（k40）,則sina=?

C.若扇形的周長為3,半徑為1,則其圓心角的大小為1弧度

D.若sina?cosa>0,則角a的終邊在第一象限或第三象限

10.（2023?河北石家莊?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與X軸的非負半軸重

合，終邊經(jīng)過點P（浮%）,且sina=|x,則久的值可以是（）

A.±V2B.±1C.0D.±2

11.（2023?吉林?二模）如圖，A,2是在單位圓上運動的兩個質(zhì)點.初始時刻，質(zhì)點/在（1,0）處，質(zhì)點

8在第一象限，且乙4。8=也質(zhì)點/以*lad/s的角速度按順時針方向運動，質(zhì)點8同時以壬"ad/s的角速度按

逆時針方向運動，則（）

A.經(jīng)過Is后，扇形的面積為工

B.經(jīng)過2s后，劣弧痛的長為與

C.經(jīng)過6s后，質(zhì)點8的坐標(biāo)為

D.經(jīng)過年s后，質(zhì)點/,8在單位圓上第一次相遇

三、填空題

12.（2024?寧夏?二模）最美數(shù)學(xué)老師手表上的時針長度是1厘米，則時針4h（時）轉(zhuǎn)出的扇形面積是

平方厘米.

13.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知角。的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為久軸的非負半軸.若P（m,2）是角。終邊上一

點，且COS0=-￥1^，則爪=.

14.（2023?廣東佛山一模）若點力（（：05。⑼11。）關(guān)于原點對稱點為3（（：059-8）鳳119-。）｝寫出。的一個取

值為.

四、解答題

15.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）己知角a的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：

（嚙

a

（2后

16.（23-24高一?全國?隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式-720。</?<

360。的元素￡寫出來：

(1)60°；

(2)-45°；

(3)1303°18,；

(4)-225°.

17.(23-24高一?全國?隨堂練習(xí))利用單位圓，求適合下列條件的角a的集合.

(l)coscr=一亨；

(2)sina<1.

18.(23-24高一上?云南昆明?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓/+產(chǎn)=1與％軸的正半軸及負

半軸分別交于點4B,角a的始邊為x軸的非負半軸，終邊與單位圓交于無軸下方一點P

(1)如圖，若NPOB=120。，求點尸的坐標(biāo);

(2)若點P的橫坐標(biāo)為-容求sina的值.

19.(2024?上海黃浦?二模)某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)

面(由扇形04。挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知04=10,OF=x(0<%<10),線段氏4,CD與前，AD

的長度之和為30,圓心角為?；《?

(1)求。關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)記銘牌的截面面積為y,試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.

專題4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念【五大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1終邊相同的角】...........................................................................4

【題型2象限角］.................................................................................5

【題型3弧度制及其應(yīng)用】........................................................................6

【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】.........................................................9

【題型5三角函數(shù)值符號的判定】.................................................................10

?考情分析

1、任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)了解任意角的概念和

弧度制任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念

⑵能進行弧度與角度的2023年北京卷：第13題，5是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考

互化，體會引入弧度制的分內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，主

必要性2024年北京卷：第12題，5要考察任意角的概念、三角函數(shù)的概念，

(3)借助單位圓理解三角分一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試

函數(shù)(正弦、余弦、正切)題比較簡單.

的定義

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的基本概念】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

(2)角的表示

如圖：

①始邊：射線的起始位置04;

②終邊：射線的終止位置。3；

③頂點：射線的端點。；

④記法：圖中的角可記為“角a”或“-a”或；/O8”.

%

2.象限角與終邊相同的角

(1)終邊相同的角

若角a終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角a的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時針或順時針)網(wǎng)左eZ)周即得角B.

一般地，我們有：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

S={夕/=a+左-360。,左GZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

(2)象限角、軸線角

①象限角、軸線角的概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與無軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在

第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限,

稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角{a\k-3600<a<k-360°+90°,左eZ}

第二象限角{a\k-360°+90°<ct<A;-360°+180°,左GZ}

第三象限角{a\k-360°+180°<a<k-3600+270。斥Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a<k-3600+360。,左GZ}

3.角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的高.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相關(guān)概念

①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.

②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.

4.任意角的三角函數(shù)

(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)

設(shè)a是一個任意角，aGR,它的終邊。尸與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即尸sina；

②把點尸的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa；

③把點尸的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值訓(xùn)做a的正切，記作tana,即「ana(#0).

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：

正弦函數(shù)y=sinx,xGR

余弦函數(shù)y=cosx,x￡R

TT

正切函數(shù)y=tanx,xW,+Ax（z左￡Z）

(2)用角的終邊上的點的坐標(biāo)表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)a是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點。重合)的坐標(biāo)為(x,y),點P與原點的距離

為r.則sina=L,cosa=—,tana=—.

rrx

【知識點2任意角和弧度制的解題策略】

1.終邊相同的角的集合

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集

合，然后通過集合中的參數(shù)網(wǎng)上GZ)賦值來求得所需的角.

2.確定ka,三依GN*)的終邊位置的方法

先寫出妹或假的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定桁或號的終邊所在的位置.

3.應(yīng)用弧度制解決問題的幾大要點

應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意：

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【知識點3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用的解題策略】

1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標(biāo)，及這點到原點的距離，確定這個角

的三角函數(shù)值.

(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

2.判定三角函數(shù)值的符號的解題策略

要判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各

象限的符號確定值的符號.如果不能確定角所在象限，那就要進行分類討論求解.

?舉一反三

【題型1終邊相同的角】

【例1】(2024?全國?模擬預(yù)測)下列與？的終邊相同的角的表達式中，正確的是()

A.2kn+手(kGZ)B.2kn+?(k&Z)

C.ku-*keZ)D.fcn+Y(fceZ)

【解題思路】利用終邊相同角的定義即可求得與?的終邊相同的角.

【解答過程】與牛的終邊相同的角為2加+?(kez).

故選：B.

【變式1-1](23-24高一上?內(nèi)蒙古?期末)若角a與角-金的終邊相同，則a可能是()

12TT_10K22n_22n

A.—B.—―C.—D.——

【解題思路】根據(jù)a=-g+2kiT,keZ觀察選項得答案.

【解答過程】由已知a=-冷+2kn,keZ

觀察選項可得只有一等=-?-4冗，所以a可能是一等.

故選：D.

【變式1-2](23-24高一下?河南駐馬店?階段練習(xí))若角a的終邊在直線y=x上，則角a的取值集合為

()

A.{a|a=k-360°+45°,kEZ)B.[a|a=fc-360°+135°,kEz}

C.[a|a=fc-180°-135°,k&z}D.{a|a=fc-180°-45°,kez]

【解題思路】根據(jù)角a的終邊在直線y=x上，利用終邊相同的角的寫法，考慮角的終邊的位置的兩種情況,

即可求出角a的集合.

【解答過程】由題意知角a的終邊在直線y=x上，

故a=k?360°+45°,fceZ或a=k-360°+225°,fc6Z,

即a=(2k+1)-180°-135°,fcGZ或a=(2fc+2)-180°-135°,kEZ,

故角a的取值集合為{ala=k-180°-135°,fceZ).

故選：C.

【變式1-3]（23-24高一下?安徽蚌埠?階段練習(xí)）將角a的終邊繞坐標(biāo)原點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。后與130。角的

終邊重合，則與角a終邊相同的角的集合為（）

A.{0|￡=kx180。+90。加62}B.{/?|^=fcx360O+90°,fcGZ}

C.{）?|/?=fcx180°+150°,/ceZ}D.[^|）S=/cx360o+70o,/ceZ}

【解題思路】根據(jù)題意設(shè)。+60。=360。卜+130。/62,解出即可；

【解答過程】設(shè)a+60°=360°k+13（T,keZ,

解得&=360。卜+70。流€2,

所以與角a終邊相同的角的集合為{0/=kx360°+70°,fcGZ},

故選：B.

【題型2象限角】

【例2】（2024?全國?模擬預(yù)測）若a是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（）

A.90°—ccB.180°-ccC.270°—ccD.—cc

【解題思路】根據(jù)象限角的概念判斷即可.

【解答過程】若a是第一象限角，則M360°<a<90°+k-360°,kCZ,

—90°—k-360°<—a<-k,360°,fc6Z,則—a是第四象限角，故D錯誤；

-k-360°<90°-a<90°-fc-360°,fceZ,貝的0。一戊是第一象限角，故A錯誤；

90°-/c-360°<180°-a<180°-fc-360°,fceZ,則180。一。是第二象限角，故B錯誤；

180°-k-360°<270°-a<270°-fc-360°,fcGZ,則270°-a是第三象限角，故C錯誤.

故選：C.

【變式2-1]（23-24高一上?河北唐山?期末）己知a=944。，貝布是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解題思路】&=944。=224。+2x360。，再根據(jù)終邊相同的角的集合，判斷224。是第幾象限角，即可求

出結(jié)果.

【解答過程】因為戊=944。=224。+2x360。，又224。是第三象限角，

所以a是第三象限角，

故選：C.

【變式2-2]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）已知角a以x軸正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P（sing,cos亨），

貝lj3n+a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解題思路】先確定點P在第四象限，即角a的終邊在第四象限，3TT+a的終邊為角a終邊的反向延長線,

即可得出答案.

【解答過程】sin與=當(dāng)cos^=-i即P伴,_￡）,

故點尸在第四象限，即角a的終邊在第四象限，

3TT+a的終邊為角a終邊的反向延長線，那么3Tt+a的終邊在第二象限.

故選：B.

【變式2-3］（2024?貴州?模擬預(yù)測）“a是第四象限角”是嗎是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由象限角的知識結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.

【解答過程】當(dāng)a是第四象限角時，~+2kn<a<2n+2kn,kEZ,則?+/ot<慨<兀+eZ,即，是第

二或第四象限角.當(dāng)f=?為第二象限角，但戊=與不是第四象限角，故"a是第四象限角”是嗎是第二或第四象

限角”的充分不必要條件.

故選：A.

【題型3弧度制及其應(yīng)用】

【例3】（2024?湖南?一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻勾云紋，

體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各

項數(shù)據(jù)（圖2）：AB?8cmfAD?2cm,AO?5cm,若sin37°右.豆、3.14,則璜身（即曲邊四邊形4BCD）面

積近似為（）

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【解題思路】根據(jù)給定圖形求出圓心角再利用扇形面積公式計算即得.

【解答過程】顯然△AOB為等腰三角形，。4=。8=5/8=8,

則COSNC4B=^=：sin"*，又疝3T

所以乙。48a37°,于是N40B=180°-2x37°=106°=黃，

所以璜身的面積近似為YaOB,（O42_o￡）2）=gx票X（52-32）~14.8（cm2）.

故選：C.

【變式3-1］（2024?新疆克拉瑪依?三模）擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖是一位擲鐵餅運動員在準(zhǔn)備擲

出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿的“弓”.經(jīng)測量此時兩手掌心之間的弧長是等，“弓”所

在圓的半徑為1.25米，這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距離為（）米.

【解題思路】由已知結(jié)合弧長公式可求an,進而可得答案.

【解答過程】根據(jù)題意作出下圖，弧4c的長為3，Z71OC=JL=p

121,253

所以4B=2AD=2x1.25-sin3=2.

34

故選：C.

【變式3-2】（2024?貴州貴陽?三模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章

給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=,（弦x矢+矢2）,弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所

圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)已知弧田面積為+2,且

弦是矢的2百倍，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田的弧長是（）

【解題思路】根據(jù)弧田面積可求得CD,利用勾股定理可構(gòu)造方程求得半徑r,并根據(jù)長度關(guān)系得到圓心角弧

度數(shù)，利用扇形弧長公式可求得結(jié)果.

【解答過程】如圖，

由題意得：AB=2^CD,

弧田面積=9乂（26（?。?。。+。。2）=48+2,解得：CD=2.

設(shè)圓半徑為r,則有4。2=4。2+002,即尹=（2百）+（r—2產(chǎn)，解得：r=4,

0D=2,貝悔Rt2\4。。中，/.A0D=1,：-/.AOB=y,

???所求弧長為4x與=岑.

故選：D.

【變式3-3]（2023?浙江嘉興?二模）相傳早在公元前3世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家厄拉多塞內(nèi)斯就首次測出了

地球半徑.厄拉多塞內(nèi)斯選擇在夏至這一天利用同一子午線（經(jīng)線）的兩個城市（賽伊城和亞歷山大城）進

行觀測，當(dāng)太陽光直射塞伊城某水井S時，亞歷山大城某處4的太陽光線與地面成角8=82.8。，又知某商隊

旅行時測得4與S的距離即劣弧席的長為5000古希臘里，若圓周率取3.125,則可估計地球半徑約為（）

A.35000古希臘里B.40000古希臘里

C.45000古希臘里D.50000古希臘里

【解題思路】利用1°圓心角所對應(yīng)的弧長是仁辭即可求解.

【解答過程】設(shè)圓周長為C,半徑長為R,兩地間的弧長為I,對應(yīng)的圓心角為n°,

360。的圓心角所對應(yīng)的弧長就是圓周長C=2TTR,

??.1°的圓心角所對應(yīng)的弧長是1=鬻，即蕓，

□OUlow

于是在半徑為R的圓中，71°的圓心角所對的弧長[為：/=粵，

n180/

???R=--.

nn

當(dāng)（為5000古希臘里，72=90°—仇即72=7.2°時,

180x5000

R=—=40000古希臘里.

nn3.125x7.2

故選：B.

【題型4任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】

【例4】(2023?福建福州?模擬預(yù)測)已知角a的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸非負半軸重合，cosa=￡,P(m,2)

為其終邊上一點，則()

A.-4B.4C.-1D.1

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解.

【解答過程】始邊與%軸非負半軸重合，cosa=^,P(zn,2)為其終邊上一點，

則；^^=弓，且?。?，解得爪=1.

故選：D.

【變式4-1](2024?江西?二模)已知角a的終邊經(jīng)過點貝！Jcosa=()

A.當(dāng)B.苧C.V2D.孝

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.

【解答過程】根據(jù)題意r=\0M\=J（V2）2+12=V3,

由三角函數(shù)的定義得cosa=?=嚕=乎.

'V33

故選：A.

【變式4-2］（2023,河南開封三模）設(shè)a是第二象限角，尸（x,1）為其終邊上一點，且cosa=（x,貝i］tana=

（）

A.--B.--C.*D.空

2424

【解題思路】利用三角函數(shù)的定義先解得X,再求正切值即可.

【解答過程】由三角函數(shù)定義可知：85。=天言=京=刀=±2&，又a是第二象限角，

故x=-2&,所以tana=?=-￥.

故選：B.

【變式4-3］（2023?湖南岳陽?模擬預(yù)測）已知角a的頂點位于平面直角坐標(biāo)系xOy的原點，始邊在x軸的非

負半軸上，終邊與單位圓相交于點（-容冬），貝Usinacosa=（）

A.B.--C.1D.孝

【解題思路】根據(jù)終邊所在的象限，可以分別求出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值，代入即可.

【解答過程】因為終邊與單位圓交于點（-苧,孝），則終邊落在第二象限，

所以sina=￥，cosa=一孝，sinacosa=-

故選：A.

【題型5三角函數(shù)值符號的判定】

【例5】（2024?河南?模擬預(yù)測）已知a是第二象限角，則點（cos（sina）,sin（cosa））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的正負，即可求解.

【解答過程】因為a是第二象限角，所以0<sinaVl,-1<cosa<0,

進而石甬定cos（sina）>0,sin（cosa）<0.

所以點(cos(sina),sin(cosa))在第四象限.

故選：D.

【變式5-1](2023?四川宜賓?三模)已知角a的終邊上一點的坐標(biāo)(a,2),其中。是非零實數(shù)，則下列三角

函數(shù)值恒為正的是()

A.cosatanaB.sinacosaC.sinatanaD.tana

【解題思路】先根據(jù)定義求出sina,cosa,tana,然后逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.

【解答過程】因為角a的終邊上一點的坐標(biāo)(a,2)且。是非零實數(shù)，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義知，sina=

2a2

而,cosa=^=,tana=1

2

選項A,cosatana=——>0,故選項A正確；

Va2+4

選項B,sinacosa=忌;，因為a的正負不知，故選項B錯誤；

4_

選項C,sincrtana=-—,因為a的正負不知，故選項C錯誤；

aVra2+4

7

選項D,tana=1因為a的正負不知，故選項D錯誤；

故選：A.

【變式5-2](2023?河南?模擬預(yù)測)已知a是第二象限角，則點(cos(-a),sin(—a))所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡再確定象限.

【解答過程】由題意知：cosa<0,sina>0,進而得到cos(-a)=cosaV0,sin(-a)=-sincr<0,

所以點(cos(-a),