2024-2025學年上海市復(fù)興中學高一數(shù)學（上）10月考試卷附答案解析

-2025學年上海市復(fù)興中學高一數(shù)學（上）10月考試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.3.方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是（）A. B.C D.4.已知a，b，，若關(guān)于x不等式的解集為，則（）A.不存在有序數(shù)組，使得B.存在唯一有序數(shù)組，使得C有且只有兩組有序數(shù)組，使得D.存在無窮多組有序數(shù)組，使得二、填空題：本題共10小題，共42分．5已知集合，，則______6.已知集合，，且，則的值為________.7.若，則實數(shù)______．8.命題“，若，則”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為__________．9.若集合的子集只有兩個，則實數(shù)______．10.設(shè)命題p：集合，命題q：集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是______11.設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則=_____________12.設(shè)關(guān)于x的方程解集為M，關(guān)于x的不等式的解集為N，若集合，則________.13.集合任取這三個式子中至少有一個成立，則的最大值為________．14.設(shè)，若存在唯一的m使得關(guān)于x的不等式組有解，則a的取值范圍是______.三、解答題：本題共4小題，共42分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a取值范圍．16.⑴當時，求證：；⑵已知，．試證明至少有一個不小于．17.已知關(guān)于x的不等式的解集為M．（1）若，求x取值范圍；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)k，滿足：“對于任意正整數(shù)n，都有；對于任意負整數(shù)m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．18.記存在正整數(shù)n，且．若集合滿足，則稱集合A為“諧調(diào)集”．（1）分別判斷集合、集合是否為“諧調(diào)集”；（2）已知實數(shù)x、y，若集合為“諧調(diào)集”，是否存在實數(shù)z滿足，并且使得為“諧調(diào)集”？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)z，若不存在，請說明理由；（3）若有限集M為“諧調(diào)集”，且集合M中的所有元素均為正整數(shù)，試求出所有的集合．2024-2025學年復(fù)興中學高一數(shù)學（上）10月考試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A根據(jù)不等式的性質(zhì)求解【詳解】對于A.，，則，成立對于B.，，；對于C.，；對于D.若，則不成立故選A.2.已知全集，集合，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解絕對值不等式求出集合，陰影部分表示的集合為，根據(jù)交集、并集、補集的定義計算可得；【詳解】解：由，解得，所以，又，所以，，所以陰影部分表示的集合為，故選：C.3.方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用零點存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為一元二次方程在區(qū)間和各有一個根，令，則由題意可得，即，解得，則方程在區(qū)間和各有一個根的充要條件是.故選：B.4.已知a，b，，若關(guān)于x不等式的解集為，則（）A.不存在有序數(shù)組，使得B.存在唯一有序數(shù)組，使得C.有且只有兩組有序數(shù)組，使得D.存在無窮多組有序數(shù)組，使得【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解的問題，利用兩個一元二次不等式解集有交集的結(jié)論，得出兩個不等式解集的形式，從而再結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系確定結(jié)論．【詳解】由題意不等式的解集為，即的解集是，則不等式的解是或，不等式的解集是，設(shè)，，，所以，，和是方程的兩根，則，，又，所以是一根，所以存在無數(shù)對，使得．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查分式不等式的解集問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化一元二次不等式的解集，從而結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得出結(jié)論．二、填空題：本題共10小題，共42分．5.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】先解不等式，對集合A進行化簡，再求出集合A的補集.【詳解】即解得，故，又，所以.故答案為：6.已知集合，，且，則的值為________.【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)題意先得到限制條件，再根據(jù)限制條件求的值即可.【詳解】解：因為，，，所以，解得，故答案為：0【點睛】本題考查根據(jù)集合相等求參數(shù)的值，是基礎(chǔ)題.7.若，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解，利用集合中元素的互異性驗證．【詳解】當時，，不滿足元素的互異性，舍去.當時，解得或4，當時，不符合題意，當時，集合為，符合題意,所以．故答案為：．8.命題“，若，則”用反證法證明時應(yīng)假設(shè)為__________．【答案】.【解析】【詳解】分析：利用的否定為不都等于，從而可得結(jié)果.詳解：考慮的否定，由于都等于，故否定為不都等于，故答案為或.點睛：反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結(jié)論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況較少．9.若集合的子集只有兩個，則實數(shù)______．【答案】0或【解析】【分析】根據(jù)題意知道A有一個元素，然后討論a是否為0，然后得出a的值即可．【詳解】的子集只有兩個，有一個元素，①時，，滿足題意；②時，，解得，或．故答案為：0或．10.設(shè)命題p：集合，命題q：集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得命題p是命題q的充分條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則命題p是命題q的充分條件，則，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故答案：11.設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則=_____________【答案】2024【解析】【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求出，再將轉(zhuǎn)化后求出．【詳解】，是方程的兩個根，，，又，，故答案為：202412.設(shè)關(guān)于x的方程解集為M，關(guān)于x的不等式的解集為N，若集合，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由或，所以或，當時，由，可得，當時，由，可得，因此有，當時，；當時，，故答案為：13.集合任取這三個式子中至少有一個成立，則的最大值為________．【答案】7【解析】【分析】假設(shè)且集合有4個正項，結(jié)合已知條件得到矛盾，即可確定集合中正項的個數(shù)，同理推出負項個數(shù)，即可確定的最大值.【詳解】不妨假設(shè)若集合中的正數(shù)個數(shù)大于等于，故為正項，則和均大于于是有從而矛盾！所以集合中至多有3個正數(shù)，同理集合中最多有個負數(shù)，取滿足題意，所以的最大值為．故答案為：714.設(shè)，若存在唯一的m使得關(guān)于x的不等式組有解，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定m的最小值，再由函數(shù)不等式有解得當時不等式組有解，當時不等式組無解，求出a的范圍作答.【詳解】依題意，，由不等式有解知，，而，因此，因存在唯一m使得關(guān)于x的不等式組有解，則當且僅當時，不等式組有解，且當時不等式組無解，由有解得有解，于是得，解得，由無解得無解，于是得，解得，因此，所以a的取值范圍是.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，若，使得成立，則；若，使得成立，則.三、解答題：本題共4小題，共42分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當時，化簡集合A，集合B，再根據(jù)集合的并集運算可得解；（2）即，抓住集合A是否為空集討論，再根據(jù)子集關(guān)系運算得解.【小問1詳解】若，由，解得，則，又，即等價于，解得，則，.【小問2詳解】由等價于，當時，集合，符合；當時，由，解得，即，又，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.16.⑴當時，求證：；⑵已知，．試證明至少有一個不小于．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【詳解】試題分析：⑴由，當時，可得，即可證明結(jié)論；⑵可用反證法：假設(shè)都小于，即，可得，進而，即可得到矛盾，即可作出證明．試題解析：⑴∵x>1∴∴⑵假設(shè)a,b,c都小于，即則有①而②①與②矛盾故a,b,c至少有一個不小于．17.已知關(guān)于x的不等式的解集為M．（1）若，求x的取值范圍；（2）若，求實數(shù)k的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)k，滿足：“對于任意正整數(shù)n，都有；對于任意負整數(shù)m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）直接求解不等式，即可得到結(jié)果.（2）討論二次項系數(shù)及不為0時，求出原不等式的解集為時的取值范圍．（3）根據(jù)題意得出解集，討論的取值，求出原不等式的解集，判斷是否滿足條件即可．【小問1詳解】當時，不等式為，即，解得，即x的取值范圍為.【小問2詳解】當時，解得，或，①當時，不等式化為，時，解集為；②當時，不等式化為，對任意實數(shù)不等式不成立；③當時，可得，則k的取值范圍為；綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為.【小問3詳解】根據(jù)題意，得出解集，，當時，解得，或，時，不等式的解集為，滿足條件，時，恒成立，不滿足條件，當時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，當時，此時對應(yīng)的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不滿足條件，綜上，存在滿足條件的值為5．18.記存在正整數(shù)n，且．若集合滿足，則稱集合A為“諧調(diào)集”．（1）分別判斷集合、集合是否為“諧調(diào)集”；（2）已知實數(shù)x、y，若集合為“諧調(diào)集”，是否存在實數(shù)z滿足，并且使得為“諧調(diào)集”？若存在，求出所有滿足條件的實數(shù)z，若不存在，請說明理由；（3）若有限集M為“諧調(diào)集”，且集合M中的所有元素均為正整數(shù)，試求出所有的集合．【答案】（1）E不是，F(xiàn)是（2）不存在，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可判斷；（2）若存在符合題意實數(shù)z，根據(jù)題意可得的關(guān)系式，求解后，檢驗，即可判斷；（3）不妨設(shè)A中所有元素滿足，從而可得，進而可得，再分三種情況求解即可．【小問1詳解】∵，∴E不是“諧調(diào)集”，∵，∴F是“諧調(diào)集”.【小問2詳解】若存在符合題意的實數(shù)z，則，∴，即，解得或或，當時，則，不符合題意.當時，，由此，x、y是方程的實數(shù)解．但，方程無實數(shù)解，所以不符合題意.同理，當時，不符合題意，綜上，不存在符合題意的實數(shù).【小問3詳解】不妨設(shè)A中所有元素滿足，則，于是，