中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：圓（原卷版+解析）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》

（全國通用版）

第21年圓

圓的基本概念

1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形.

2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.

3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角.

6）弦心距：圓心到弦的距離.

2.注意

1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸，故圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；

2）3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè).

3）任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓.

核心考?：垂徑定理

1,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造

直角三角形.

2.推論

1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

圓心角、弧、弦的關(guān)系

1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)

系必須在同圓等式中才成立.

2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余

各組量都分別相等

:圓周角定理及其推論

1.定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

2.推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.2）直徑所對(duì)的圓周角是直角.

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周

角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

:與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.（1）/＜廠=＞點(diǎn)在。。內(nèi)；（2）d=ro點(diǎn)在。。上；（3）d＞ro點(diǎn)在。。外.

判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可.

2.直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系相離相切相交

G

圖形?

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)

數(shù)量關(guān)系d>rd-rd<r

由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.

:切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)

1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

利用切線的性質(zhì)解決問題時(shí)，通常連過切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.

2.切線的判定

1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）.

2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公

共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.

:三角形與圓

1.三角形的外接圓相關(guān)概念

經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)

接三角形.外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

2.三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外

切三角形.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等.

:正多邊形的有關(guān)概念

正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.

正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑.

正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角.

正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

:與圓有關(guān)的計(jì)算公式

1.弧長和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長/=—；扇形的面積s=Q=Lr.

1803602

2.圓錐與側(cè)面展開圖

1）圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.

2）若圓錐的底面半徑為r,母線長為/,則這個(gè)扇形的半徑為/,扇形的弧長為2nr,

圓錐的側(cè)面積為S國錮產(chǎn),"271廠=71〃.圓錐的表面積：SBI錐表二SBI錐惻+Sm錐底=TT〃+n/=TTr（/+r）.

2

在求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解..

圓中最重要的有三個(gè)考點(diǎn)：其一，圓周角定理；其二，切線的性質(zhì)與判定定理;其三，與圓有關(guān)的計(jì)算

型1——考查圓周角定理

1.如圖，OA,是。。的兩條半徑，點(diǎn)C在。。上，若NC=38。，則ZAQ5的度數(shù)為（

B

A

A.38°B.76°C.80°D.60°

倒【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可.

【詳解】MZAOB=2ZC,ZC=38°,

ZAOB=76。，

故選：B.

【反思】本題考查了圓周角定理，熟練掌握一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，RtAABC中，ABJ.BC,AB=4,BC=3,尸是"RC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

NPAB=/PBC,則線段CP長的最小值為（）

A.V13-2B.2C.而一2D.幣-2

窗【答案】A

【分析】首先證明點(diǎn)尸在以AB為直徑的0。上，連接OC交0。于點(diǎn)P,此時(shí)PC最小，再利用勾股定理

求出OC即可解決問題.

【詳解】解：AB1BC,

ZABC=90°,

ZABP-^-ZPBC=90°,

又ZPAB=NPBC,

ZABP+ZPAB=90°,

ZAPB=90°,

點(diǎn)尸在以A3為直徑的O。上，連接OC交。。于點(diǎn)尸，此時(shí)PC最小，

在RtZXBCO中，ZOBC=90°,BC=3,

AB=4,

OB=2,

OC=VOB2+BC2=A/22+32=V13，

CP=OC-OP=A/13-2,

???CP最小值為a-2,

故選：A.

【反思】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、動(dòng)點(diǎn)線段最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)尸

的位置，學(xué)會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型.

82考查直線與圓的位置關(guān)系

3.如圖，A3為。。的弦，點(diǎn)P在弦上，BP=9,AP=3,點(diǎn)。到A3的C距離為5,則0P長為

A.7B.8C.后D.741

畫【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作OCLAB,垂足為點(diǎn)C,根據(jù)垂徑定理得到AS=12,AC=3C=6,OC=5,從而得到

PC=3,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作OCLAB,垂足為點(diǎn)C,

因?yàn)?P=9,AP=3,點(diǎn)。到AB的距離為5,

所以AB=12,AC=BC=6,OC=5,

所以PC=AC—B4=6—3=3,

所以O(shè)P=J℃2+PC2=5/52+32;后■

故選：C.

【反思】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

窗3——考查垂徑定理

4.如圖，CO是。。的直徑，弦AB垂直C。于點(diǎn)E,連接AC,BC,AD,BD,則下列結(jié)論于7足成

立的是（）

A.AE=BEB.CE=OEC.AC^BCD.AD=BD

窗【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：：CD是。。的直徑，弦AB垂直C。于點(diǎn)E,

AE=BE,AC=BC，AD=BD，

AC=BC,AD=BD,

而CE=OE不一定成立，

故選：B.

【反思】本題考查的是垂徑定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的

關(guān)鍵.

5.如圖，已知。C的半徑為百，正三角形A3C的邊長為6,P為A3邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作。C的切線

PQ,切點(diǎn)為Q,則尸。的最小值為（）

畫【答案】A

【分析】連接C。、CP,過點(diǎn)C作S，AB于根據(jù)切線的性質(zhì)得到CQLP。，根據(jù)勾股定理求出

尸2,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CH,根據(jù)垂線段最短解答即可.

【詳解】解：連接C。、CP,過點(diǎn)C作于H,

PQ是。C的切線，

CQ1PQ,

22

???PQ=4CP2-CQT=JCP-(V2),

當(dāng)CP,Afi時(shí)，CP最小，PQ取最小值，

??,△ABC為等邊三角形，

4=60。，

/BCH=30°,

：.BH=-BC=3

2

CH=-寸=3后-

P2的最小值為：何=5,

故選：A.

【反思】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的

半徑是解題的關(guān)鍵.

冒5——考查切線的性質(zhì)定理

6.如圖，是。。的切線，8為切點(diǎn)，連接49交。。于點(diǎn)C,延長49交。。于點(diǎn)D連接8。.若

ZA=2ZD,且AB=3,則AC的長度是()

A.1B.3A/2-3C.3-V2口.3

【答案】B

【分析】如圖，連接。3,由圓周角定理可得々OC=2ND,等量代換可得NA=N3OC,進(jìn)而可得

6?=互=3,根據(jù)切線的定義得出利用勾股定理求出04=3后，貝

AC=OA-OC=3y[2-3-

【詳解】解：如圖，連接.

由圓周角定理可得NBOC=2ND,

ZA=2ZD,

ZA=ZBOC,

OB=AB,

??,AB=3,

OB=OC=3.

A3是。。的切線，

???ABYOB,

OA=yJOB2+AB2=A/32+32=372-

AC=OA-OC=3y/2-3-

故選B.

【反思】本題主要考查圓周角定理、切線的定義、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，利用圓周角

定理得出ZBOC=2ZD是解答本題的關(guān)鍵.

考查正多邊形與圓

7.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。，。。的半徑為2,則邊心距。AZ的長為（）

~一

A.1B.6C.2y/3D.473

【分析】證明鉆是等邊三角形，得出筋=。4=2,由等邊三角形的性質(zhì)求出AM,再由勾股定理求

出OM即可.

【詳解】解：如圖所示，連接。4,OB,

六邊形ABCDE廠為正六邊形，

???OA=OB,

「?△045是等邊三角形，

?*-AB—OA=2,

OMA.AB,

AM=BM=-AB=l,

OM=-sJo^-AM2=V22-l2=A/3

故選：B.

【反思】本題考查了正多邊形和圓，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.

8.圓錐的底面半徑為40cm,母線長80cm,則它的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（）

A.180°B.150°C.120°D.90°

甯【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑求得圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長，再利用已知的母線長求得圓錐的側(cè)面展

開扇形的面積，再利用扇形的另一種面積的計(jì)算方法求得圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可.

【詳解】???圓錐的底面半徑為40cm

二圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為2TZT=2X40?=8。1

母線長80cm

.1圓錐的側(cè)面展開扇形的面積為Lr=lx80萬x80=3200萬

22

絲?=3200萬

360

解得，H=180

，側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為180°

故答案選A.

【反思】本題考查圓錐的底面半徑，側(cè)面積，明確圓錐的側(cè)面展開扇形與圓錐的側(cè)面關(guān)系解題的關(guān)鍵.

07—考查切線的判定定理

9.如圖，A3是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，C是30的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作的垂線

⑴求證：CE是。。的切線；

⑵若2^二A/6,求cosZABD的值.

DF

窗【答案】（1）見解析

⑵2忘

【分析】（1）連接OC交8。于點(diǎn)G,可證明四邊形EDGC是矩形，可求得/ECG=90。，即可得證；

（2）連接8C,設(shè)FG=x，OB=r,利用空=卡,設(shè)DC=-j6t,利用Rt4^CGsRt△班C的

DF

性質(zhì)求出CG,OG,利用勾股定理求出半徑，進(jìn)而求解.

【詳解】（1）證明：連接。。交于點(diǎn)G,

點(diǎn)C是BD的中點(diǎn),

???0C垂直平分BD,

??.NDGC=90。,

AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

ZEDB=90°,

CE±AE,

NE=90。，

二四邊形EOGC是矩形，

ZECG=90°,

二CE1OC,

VOC是。。的半徑，

?e?C七是。。的切線；

(2)解：連接5C,設(shè)FG=x,OB=一

設(shè)DF=t,DC-y/6t,

由（1）得，BC=CD=j6t,BG=GD=x+t,

VAB是。。的直徑，

NACB=90。，

???/BCG+/FCG=90°,

..NDGC=90。,

???ZCFB+ZFCG=90°,

NBCG=/CFB,

RtABCG^RtABFC,

???BC2=BGBF,

=（x+，）（2%+，）

解得士=f，無2=-［，（不符合題意，舍去），

???CG=^BC--BG2=J（后y一⑵『=⑤,

?*,OG-r—^2t,

在RtAOBG中，由勾股定理得OG2+BG2=OB2,

（r一萬）+（2z）2=r2,

解得空,

2t2A/2

cosZABD=——

?OB3y/2t~3

【反思】本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是能夠利用圓的

對(duì)稱性，得到垂直平分，利用相似與勾股定理的性質(zhì)求出邊，即可解答.

10.如圖1,是。。的直徑，點(diǎn)。，尸在。。上，ODLAB,延長A3至點(diǎn)C,連接。/，交A3于點(diǎn)

E,連接CF,CF=CE.

⑴證明：Cb是0。的切線；

(2)如圖2,連接AD,G是AD的中點(diǎn)，連接3G,若B=5,BC=3,求tan/ABG的值.

倒【分析】(1)如圖L連接。由等邊對(duì)等角可得/ODb=NOED,NCFE=NFEC.由對(duì)頂角相

等可得/OED=/FEC,則NOED=NCFE.由題意知/DOE=90。，可證

ZCFE+ZOFD=ZOED+Z.ODE=90°,則NOPC=90。，即OF_LCF,進(jìn)而結(jié)論得證.

(2)如圖2,過點(diǎn)G作于點(diǎn)H.由題意知，ZDAB=45。,ZGHA=90°,貝IJ/AGH=45。，有

AH=HG,由DO1AB,可得"G〃QO,進(jìn)而可證用為A4DO的中位線，即

HG^AH^-DO^-OB^-OA,=OA-AH=AH,BH=OH+OB=3AH,在RtaBG〃中，

222

tanNA8G=M3=咎，計(jì)算求解即可.

BH3AH

【詳解】(1)證明：如圖，連接0月.

圖1

「OD=OF,

ZODF=ZOFD.

?「FC=CE,

ZCFE=ZFEC.

又「ZOED=ZFEC,

「?ZOED=ZCFE.

「OD±AB,

ZDOE=90°,

???NOED+/ODE=9U：

ZCFE+ZOFD=90°,即ZOFC=90°,

OF1.CF.

又丁。尸是半徑，

??.C尸是。。的切線.

(2)解：如圖2,過點(diǎn)G作于點(diǎn)

由題意知，Zn4B=45°,NGHA=90,

??.ZAG"=45。,

AH=HG,

vGH.LAB,DO.LAB,

HG//DO,

G為AD中點(diǎn),

???陽為八位＞。的中位線，

/.HG=AH=-DO=-OB=-OA,

222

??.OH=OA-AH=AH,BH=OH+OB=3AH,

AH1

在RtZkBG"中,tanNA5G=----

BH3AH3

「.tan——

3

【反思】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理，中位線，正切等知識(shí).解題的關(guān)鍵在

于對(duì)知識(shí)的熟練掌握并靈活運(yùn)用.

11.如圖，以A46C的BC邊上一點(diǎn)。為圓心的圓，經(jīng)過A、8兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E,。為BE的下

半圓弧的中點(diǎn)，連接AO交BC于E^AC=FC.

A

D

⑴求證：AC是。。的切線；

(2)若ZAD5=60。，BD=1,求陰影部分的面積.

【分析】(1)連接。4、0D,易得〃0尸=90。，證明NQ4C=90。，即可得證；

⑵連接50,利用S陰影=S〃AC—S扇形QAE,進(jìn)行求解即可.

???。為弧班的中點(diǎn)，

???OD1BC,

ZDOF=90°,

ZODF+ZOFD=90°,

AC=FC,OA=OD,

ZCAF=/CFA,ZOAD=ZODA,

ZCFA=ZOFD,

ZOAD-^-ZCAF=90°,

OA±AC,

??.Q4為半徑，

???AC是。。切線；

(2)解：連接3D

A

B

D

,/ZADB=60°,

ZAOB=120°,

ZAOC=60°,

..OA±AC,

ZC=30°,

在RtaBOD中，BD=1

OB=OD=OA=—,

2

在Rt^AOC中，ZC=30°,OA=—

2

,,OC=V2>AC=-^―

2

60n%國----

3石-萬

S-Q_Q_XX1_

3陰影—J/XQACJ扇形222360-12-

【反思】本題考查圓周角定理，垂徑定理的推論，切線的判定和性質(zhì)，求陰影部分的面積.熟練掌握相

關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

秘高

卜籍分

——學(xué)會(huì)一題多解，一題多解

很多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),感覺數(shù)學(xué)很難，其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并不像你想像的那樣難，只要你做到從不同角度思

想同一個(gè)問題，做到學(xué)會(huì)一題多解一題多解，你的數(shù)學(xué)成績一定會(huì)突飛猛進(jìn)！

秘籍十五：學(xué)會(huì)一題多解，一題多解

訓(xùn)題

練組

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)A,B,。是OO上的點(diǎn)，AO=3,ZC=30°,則AB的長是（）

A.冗B.2〃C.3冗D.4〃

2.如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A,B,C,AE的延長線經(jīng)

過格點(diǎn)D則勢片的長為（）

_5〃

D.——

4

3.如圖，在圓內(nèi)接四邊形A5CD中,AD=CD,AC為直徑,若四邊形ABCD的面積是S,8。的長是

尤，則S與x之間的數(shù)關(guān)系式是（）

1o

A.S=x2B,S=y/2x2C.S=-rD.S=-x2

4.如圖，在AABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于DE兩點(diǎn),

作直線OE；分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于￡G兩點(diǎn)，作直線

尸G.直線小與歹G相交于點(diǎn)。，若以點(diǎn)。為圓心，Q4為半徑作圓，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

E

F

2￡A

十

A.點(diǎn)2在。。上B.。。是AABC的外接圓

C.A3是。。的弦D.AC是。。的切線

5.如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，AC=2AB,ZABC=38°,連接。4交8c于點(diǎn)M,則NA0C的度數(shù)

是（）

&

B

A.108°B.109°C.110°D.112°

6.如圖，在邊長為4正方形ABC。中，點(diǎn)E在以3為圓心的弧AC上,射線。石交A5于尸，連接CE,

若CELDF,則￡>E=()

OB'----------------------

A.2B.-C.—V5D.|V5

55

7.如圖，正五邊形MCDE內(nèi)接于0。，其半徑為1,作OF_L3C交0。于點(diǎn)E，則FA的長為（）

D

8.如圖，扇形。鉆中，ZAOS=90°,OA=4,點(diǎn)C為08的中點(diǎn)，將扇形OAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到扇形one,則圖中陰影部分的面積為（）

B'

B.—+273-4

3

n448\/3.

33

9.已知圓錐的底面半徑為5cm,設(shè)圓錐的母線與高的夾角為。（如圖所示），且sin。的值為三，則側(cè)面

積為（）

A.36^cmB.45?cm'C?65?cmD.78兀cm

10.如圖，直線y=_*+g與X軸、y軸分別相交于A、3兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為（-1,0）,。尸與y軸

相切于原點(diǎn)o,若將圓P沿x軸向右移動(dòng)，當(dāng)。尸與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

D.5

二、填空題

11.如圖，AABC中，ZC=90°,NA4c=30。，AB^2,點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8停止，過

點(diǎn)8作射線AP的垂線，垂足為。，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長為

12.如圖，尸是矩形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PC長為半徑作。P.若人。=:且

3

tanZACB=-,當(dāng)。尸與矩形A3CD的邊相切時(shí)，PC的長為_____.

4

13.如圖，"LBC的內(nèi)切圓（圓心為點(diǎn)。）與各邊分別相切于點(diǎn)。，E,F,連接斯，DE,DF.以

點(diǎn)8為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交A3,BC于G,"兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)G,H為圓心，以大于

〃的長為半徑作弧，兩條弧交于點(diǎn)P；作射線3P,下列說法正確的是.（填代碼即可）

B.點(diǎn)。是ADEF三條中線的交點(diǎn)

C.若AABC是等邊三角形，則=

D.點(diǎn)。是"）防三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

14.如圖，正方形A5CD和等邊△AEF都內(nèi)接于圓。，EF與BC,CD分別相交于點(diǎn)GH.^AE=6,

則EG的長為.

15.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=4,3c=6,點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，連接AE,點(diǎn)。是線段AE上一點(diǎn),

的半徑為L如果。。與矩形ABCD的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段4。長的取值范圍是_.

16.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=8,。為矩形ABCZ）的對(duì)角線的交點(diǎn)，以。為圓心，半徑為

1作O。，P為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、0P,則AAO尸面積的最大值為

p

A

B

三、解答題

17.如圖，A3為。。的直徑，為0O上的兩點(diǎn)，C為BH的中點(diǎn)，ADJ-DE于。.

⑴求證：DE是。。的切線；

(2)^￡F±AE,EF=6,BE=4,求A￡)的長.

18.如圖，BC是。。的直徑，加是。。的切線，切點(diǎn)為2,連接尸。，過點(diǎn)C作AC〃PO交。。于點(diǎn)

A,連接上4.

⑴求證：AP是。。的切線；

4

(2)若cos/A尸。=《，O。的半徑為3,求AC的長.

19.如圖，AB是。。的直徑，C,E在0O上，AC平分NE4B,CDYAE,垂足為。，DC,AB的延

長線交于點(diǎn)F.

D

(1)求證：8是。。的切線；

⑵若￡>E=1,4E=2,求圖中陰影部分的面積.

20.如圖，AB,BC,CD分別與。。相切于￡,F,G三點(diǎn)，且EG為。。的直徑.

(1)延長OREB交于點(diǎn)P,若BE=LNEBF=2NOPC,求圖中陰影部分的面積；

(2)連接3G,與OF交于點(diǎn)若BE=1,OE=2,求絲的值.

一、選擇題

1.如圖，。。是“IBC的外接圓，若NB4C=45。，。。半徑為2,則劣弧8c的長為()

A.2點(diǎn)B.4

2.如圖，點(diǎn)A、B、C是。。上的三點(diǎn)，連接AB,AC,BC,若。。的半徑是13,且AB=13,sinZACB

的值是()

B

A--2-1

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°v中,點(diǎn)A在X軸的正半軸，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸，經(jīng)過A、B、O、C

四點(diǎn)，若ZACO=120。,AB=2,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

A.（0,-1）

4.如圖，在AABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交3C于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。的切線，交A3于

3

點(diǎn)￡,交AC的延長線于點(diǎn)/；若半徑為3,且sin/CFD=m，則線段AE的長是（）

A2422

A.——B.5D.——

5-75

5.如圖，是O。的直徑，QC是0。的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)0,過點(diǎn)A的直線與。。交于點(diǎn)C,則下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

A.ZBOD=2Z.BAD

B.如果AT）平分NC?C,AD=COD

C.如果平分/R4C,那么AC，DC

D.如果COLAD,那么AC也是。。的切線

6.如圖，不等邊AABC內(nèi)接于。。，/是其內(nèi)心，BI1OI,AC=14,3c=13,AABC內(nèi)切圓半徑為

75

A.4B.—,\/2C.—A/3D.3^3

7.如圖，在正方形ABCL）中，E、尸分別是AD、AB上一點(diǎn)，CE交對(duì)角線8。于點(diǎn)G,FG1CE,交

CE于點(diǎn)G,現(xiàn)給出下列結(jié)論：①NFCG=45。；（2）GH2=BH2+DG2；③CH2=HGHD；@AFHG^

NBCH.其中正確的是（）

A.?2）④B.（m@c.?（2XWD.?（2X3）@

8.如圖，。。是四邊形ABC。的外接圓，點(diǎn)E在CD的延長線上，若NADE=80。，則/ABC的度數(shù)是

（）

A.60°B.80°C.90°D.100°

9.如圖，邊長為2近的正方形ABCD內(nèi)接于OO,PA,尸。分別與。。相切于點(diǎn)A和點(diǎn)。，尸。的延長

線與BC的延長線交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10—萬B.10—2%C.54D.5—2乃

10.如圖，扇形紙片AQB的半徑為2.沿A3折疊扇形紙片,點(diǎn)。恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部

—7T—\[3C.—7i—21\/3D.-71-243

333

二、填空題

11.如圖1是博物館展出的戰(zhàn)國時(shí)期車輪實(shí)物，《周禮?考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車

之輪六尺有三寸…”據(jù)此，為驗(yàn)證博物館展出車輪類型，我們可以通過計(jì)算車輪的半徑推斷.如圖2所

示，在車輪上取A、2兩點(diǎn)，設(shè)AB所在圓的圓心為。，半徑為wm.作弦A3的垂線OC,。為垂足，經(jīng)

測量，=120cm,CD=30cm,則此車輪半徑為cm.通過單位換算（在戰(zhàn)國時(shí)期，一尺大約是

23cm左右），得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為兵車之輪.

12.如圖，四邊形A5CD是。。的內(nèi)接四邊形，若々8=121。，則/3O。的度數(shù)為

AD

13.已知。。的半徑為4cm,圓心。到直線/的距離為30mm,則直線/與。。的位置關(guān)系是.

14.如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，連接。尸交于點(diǎn)APN與相切

于點(diǎn)N,點(diǎn)P,A,O均在格點(diǎn)上.

(I)切線長PN等于；

(II)請(qǐng)用木刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中作。。的切線PM并簡要說明切點(diǎn)M的位置是如何找到

的(不要求證明).

15.劉徽是我國魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出‘‘割圓術(shù)"，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近

似計(jì)算圓周率，方法如圖：作正六邊形A8CDEF內(nèi)接于取A8的中點(diǎn)G,0G與A8交于點(diǎn)H；連

接4G、8G；依次對(duì)剩余五段弧取中點(diǎn)可得一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為跖，正六邊

s

形的面積為Sz,則，=.

三、解答題

16.如圖，已知點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑54的延長線上，班與。。相切，交8的延長線于點(diǎn)

E,且BE=DE.

(2)若AC=4,sinC=g,

①求。。的半徑；

②求3D的長.

17.如圖，已知等邊AABC,以AB為直徑的。。與邊AC相交于點(diǎn)。.過點(diǎn)。作DE垂足為E；

過點(diǎn)E作EF_L",垂足為尸.

⑵若EF=25求直徑的長.

18.如圖，以線段A3為直徑作。。，交射線AC于點(diǎn)C,AD平分/C4B交。。于點(diǎn)D過點(diǎn)。作直線

。石/43于點(diǎn)￡,交A8的延長線于點(diǎn)F.連接3￡)并延長交AC于點(diǎn)M.

(2)若Nb=30。，ME=1,求。欣的長.

19.如圖，半圓。與AABC的AC邊相切于點(diǎn)C,與A3,5c邊分別交于點(diǎn)。，E,DE//OA,CE是半

圓。的直徑.

⑴求證：是半圓0的切線；

(2)若3￡>=4,EC=6,求AC和。￡的長.

20.如圖，點(diǎn)。在/APF的平分線上，0。與相切于點(diǎn)C.

B

⑴求證：，陽是的切線；

⑵。尸與。。相交于點(diǎn)O,直線。交PB于點(diǎn)E,若CELPfi,CE=4,求。。的半徑.

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

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第方錦圖

■,但猗制律解

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)A,B,C是。。上的點(diǎn)，AO=3,ZC=30°,則A8的長是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，得出2403=60。，代入弧長計(jì)算公式即

可.

【詳解】；A8所對(duì)的圓周角NC=30。，所對(duì)的圓心角為NAO3,

ZAOB=60°,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系及弧長的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是求

出NAO3=60。.

2.如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A,B,C,

AE的延長線經(jīng)過格點(diǎn)，則注E的長為（）

iJ：：jn

c

【答案】D

【分析】如圖，作AB、BC的垂直平分線，兩線交于。，尸為AB的中點(diǎn)，連接

OA,OE、OC,由垂徑定理可得AP=”A8=2。尸=[,再運(yùn)用勾股定理求得04=]再

根據(jù)NAOE=90。和弧長公式即可解答.

【詳解】解：如圖，作AB、3c的垂直平分線，兩線交于。尸為A3的中點(diǎn)，連接

OA,OE、OC、AB,BC、CD

13

由垂徑定理得：AF=-AB=2,OF=-

22

OA=^AF2+OF2=^22+=|

.?ZABC=90°

AC是直徑

根據(jù)網(wǎng)格圖形可知：AC=CD=V32+42=725.AD=/+f=屈

AC2+CD2=A￡)2=50,

△ACD是等腰直角三角形，

ZACZ)=90°,ZCAE=45°,

NEC4=45。，

外后所對(duì)的圓心角是90。，

二弧AE的長是9°x2"xg_5

-------------——71

360--------4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意找到圓心是解答本題的

關(guān)鍵.

3.如圖，在圓內(nèi)接四邊形A8CD中，AD=CD,AC為直徑，若四邊形ABCD的面積是

S,8。的長是x,則S與龍之間的數(shù)關(guān)系式是()

D

i2

A.S=x2B.S=y/2x2C.S=-x2D.S丁

【答案】C

【分析】延長胡到E,使AE=CB,連接DE,先證明△D4E/△OCB(SAS),得到

BD=DE=x,SADAE=SMCB，NADE=NCDB,再證明

S四邊形ABC。二S,BDE,ZCAE=ZBAD=90\最后得到S四邊形g=s△皿=/“=/2

【詳解】解：如圖，延長B4到￡使AE=C8,連接。E,

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

ZDAB+ADCB=180°=ZDAB+ADAE,

:.ZDAE=ZDCB,

在△八鉆和中，

AD=CD

<ZDAE=ZDCB

AE=CB

AZME^ADCB(SAS),

/.BD=DE—x,SADAE=S^DCB，NADE=Z.CDB,

=

S叢DAE+S^BDSADCB+S^ABD.^ADE+AADB=NCDB+AADB

即S四邊形ABCD=S△皿，NCAE=/BAD=90°,

一S四邊形ABC。=S4BDE=~X'X=~X>

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助

線，構(gòu)造△ZME四△DC5.

4.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心，大于1A8的長為半徑作弧，兩弧相交

于。，E兩點(diǎn)，作直線DE；分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓，>大于g3C的長為半徑作弧，兩弧

相交于￡G兩點(diǎn)，作直線尸G.直線DE與尸G相交于點(diǎn)。若以點(diǎn)。為圓心，Q4為半徑

作圓，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)B在。。上B.是AABC的外接圓

C.A2是。。的弦D.AC是。。的切線

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖可得直線OE與FG分別為A5,BC的垂直平分線，從而得到。。是“BC

的外接圓，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：直線DE與FG分別為的垂直平分線，

???點(diǎn)0到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

二。。是“LBC的外接圓，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

，點(diǎn)A、B、C在。。上，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

AB,AC是。O的弦，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形的外接圓，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

5.如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，AC=2AB,ZABC=38°,連接。4交BC于點(diǎn)則

-AWC的度數(shù)是（）

c

B

A.108°B.109°C.110°D.112°

【答案】B

【分析】連接08,OC由已知條件求得/AC?,由OC=O3,得/OCB=NO3C,繼而

求得NAAfC=NQWB=109。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求得4MC.

【詳解】如解圖，連接。8,OC,

■■/ABC=38。，

ZAOC=2ZABC=76°.

AC=2AB，

：.ZAOB--ZAOC=38°.

2

OC=OB、

：.NOCB=ZOBC=|x(18O°-76°-38°)=33°,

AOMB=180°-ZAOB-Z.OBC=180°-38°-33°=109°,

■■ZAMC^ZOMB=109°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，熟悉以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在邊長為4正方形ABCD中，點(diǎn)E在以8為圓心的弧AC上，射線DE交AB于

F,連接CE,若CELDF,則DE=()

AD

a

B'-----------------

A.2B.-75C.-V5D.-75

555

【答案】C

【分析】設(shè)射線。尸交。8于點(diǎn)G,連接3G,證明NDCE=NG,勾股定理得出G。，進(jìn)

而根據(jù)sinNOCE=sinNG,列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)射線。尸交。5于點(diǎn)G,連接3G,

GC是。8的直徑,

BC=2BC=8,

???四邊形ABC。是正方形，

CD=BC=4,NDCG=90°,

22

???ZDCE=90°-ZGDC=NG,GD=^CD+GC=4也，

：.sinNDCE=@=sinG=8,

CDGD

.mCD2164A/5

…ED=--=—=--,

GD4君5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角所對(duì)的弦是直角，正弦的定義，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。0,其半徑為L作上，8。交。。于點(diǎn)則厚的

長為（）

D

232

A.?B.—7iC.—7iD.—7T

553

【答案】c

【分析】求出弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，代入弧長公式即可求得.

【詳解】解：?多邊形AB8E為正五邊形，

BA,BC的度數(shù)相等=丁=72。，

VOF±BC,

二?在5的度數(shù)=《-=36。,

???E4的度數(shù)=108。，

108°x^xl3

FA的長度=二一兀.

180°5

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解題關(guān)鍵.

8.如圖，扇形。鉆中，ZAOB=90°,Q4=4,點(diǎn)C為03的中點(diǎn)，將扇形Q鉆繞點(diǎn)C順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到扇形OAE,則圖中陰影部分的面積為（）