權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）（高階拓展、競賽適用）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第06講權(quán)方和不等式（含柯西不等式的應(yīng)用）

（高階拓展、競賽適用）

12.考情探究

本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階拓展，熟練掌握后能快速解決基本不等式中的最值問題，常在高考及競

賽中做到類型題的秒解！

知識講解

一、柯西不等式

1.二維形式的柯西不等式

(a2+62)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dGR,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時,等號成立.)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)Va2+b2-Vc2+d.2>\ac+bd\{a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立.)

(2)Va2+b2-7c2+d2>\ac\+\bd\(ia,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立.)

(3)(a+/))(c+cT)>(Vac+Vbd)2Qa,b,c,d>0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時，等號成立.)

2

3.擴(kuò)展：(山+期+送H-----1-端)(國+必+國+…+/>?)>(a/i+a2b2+a3b3+…+anb,l)

二、權(quán)方和不等式：

若a,b,x,y>0則—+—>（a+Z?）2當(dāng)且僅當(dāng)-=-時取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實(shí)現(xiàn)對一些問題的秒殺）

廣義上更為一般的權(quán)方和不等式：

設(shè)X],9,…,X"外

若…或…'則『『…+宗

m+1m+1/\w+l

占I9V(X1+X2+…+%)

若-1<m<0,則

y"'(必+了2

上述兩個不等式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)土=三=恐=-=區(qū)時取等

%%為y,,

注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征，分子分母均為正數(shù)，且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)多1,出現(xiàn)定值

是解題的關(guān)鍵，特別的，高考題中以777=1最為常見，此時這個不等式是大家熟悉的柯西不等式.

考點(diǎn)一、權(quán)方和不等式全解析

典例引領(lǐng)

例1：若正數(shù)x,y滿足工+工=1,則x+2y的最小值為

11_12_12（④）（1+3）

解:

xyx2yxl（23；）1（x+2v）'

1+V2「1J2「6

即^------+2y23+20，當(dāng)且僅當(dāng)一=J時取等號，即》=亞+1，y=注+1時取等號

（X+2V）1-x2y-2

所以x+2y的最小值為3+2行

13

例2：若x〉0,y>0,-----+-----=2,貝U6x+5y的最小值為_______________

2x+yx+y

13112I2（2碼（1+26）13+473

解:

2x+yx+y2x+y4（x+y）2x+y4（x+y）6x+5y6x+5y

即2>"+4百則用5了吟+2忖當(dāng)且僅當(dāng)一=合時取等號

6x+5y

4949

例3：已知正數(shù)滿足一+—=1,則小一+--的最小值為___________

xy2x+xy+y

494292

解:1

—?--------1—5X2X+J

2%+%y+歹4（2+）9（/+^）18

xyxy

491

—+—=1

49_X

y17

9

=T■時取等號.由?4x=——

當(dāng)且僅當(dāng)3T-，解得2,

8+-9+-X一）j=17

XV49

8+-9+-

Xy

12

例4：若a〉l,Z?>0,Q+Z?=2,則----+—的最小值為_______________

a-1b

212

解：1+.+(、b)〉(1+拒).3+2立，當(dāng)且僅當(dāng)工=也時取等號

a-\ba-\ba+b-l"1°

一入2

例5：若a〉l,b>l,則二」的最小值為______

b-1a-1

岳刀a2b1(a+b)2(/+2)24

解：+>A-----L=1——L=%+：+4>8

b—1a—1Q+b—2tt

ab

二a2b-

當(dāng)且僅當(dāng)b—1a—1時取等號，即a=b=2,所以出—+工一的最小值為8

Q+6-2=2b~-1a-1

222

例6:已知正數(shù)x,y,2滿足x+y+2=l,則---x----卜上「的最小值為

>+22z+2xx+2y

解：上+上—(f+Z了一

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y-3

XVz

當(dāng)且僅當(dāng)~~--\-c時取等號

y+2zz+2xx+2y

149

例7：已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+2=l,則一+一+一的最小值為______________

XyZ

鏟149_122232^(l+2+3)2_123

角牛：++—++2——：36，當(dāng)且僅當(dāng)一=一=一時取等號

xyzxyzx+y+zxyz

例8：已知正數(shù)1,V滿足x+y=l,則4+8

■—的最小值為______________

Xy

33

A18I2(1+2)3M

角壟?------〉--------------

用牛?21---2-=---2-1---2-—/\2=27'

xyxy(x+j?)

12

當(dāng)且僅當(dāng)一二一時取等號

%y

14

例9：求一+一二的最小值為________

sin0cos0

14I222:(1+2)2「9

解?o19—,11W

sin2^cos2^卜i/dj(cos2^)1(sin28+cos?8)i

當(dāng)且僅當(dāng)一4/==式時取等號

sin6cos0

例10：求/(x)=———+——3——的最小值為______________

2sin-x+35cosx+6

解

“、585242(5+4)281

2sin2x+35cos2x+65(2sin2x+3)2(^5cos2x+6)10(sin2x+cos2xj+2737

54

2

當(dāng)且僅當(dāng)河…=2(5COSX+6)時取等號

例11：權(quán)方和不等式"是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的.其具體內(nèi)容為：設(shè)

/\m+l

(%++〃3+°,,+J

工+―+工+…+二2

an>0,">0,〃GN*,m>0,,當(dāng)且僅當(dāng)

坪螳隙b：((+4+4+…+4)"

a>2^^3a迪+」一取得最小值時，X的

=片時,等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式,若當(dāng)

b

入b2b3nsinxcosx

值為（）

71Tt715兀

A.——B.C.一D.—

126312

解：由題意得,sinx>0,cosx>0,

322

373137(3+1尸2

F7

貝！一十----T+1T=4=8,

sinxcosx

sin2xJcos2x2sin2x+cos2x2

當(dāng)且僅當(dāng)3=」，即cosx=1時等號成立，所以X=g.

sinxcosx23

49149

例12：已知正數(shù)X,V滿足一+—=1,則；^一+——的最小值為______

xy2x+xy+y

4292(49?

解：」-+」-=/4292工+上〉打》

1

22

2廠+xy+y4(2X+X)9(/+J)8+19+--+-+1718

xyxy

49

當(dāng)且僅當(dāng)」彳=一%時取等號

8+-9+-

xJ

例13：已知x+2y+3?+4M+5V=30,求x?+2y2+3z?+4/+5/的最小值為

解：

2222

X+2/+3Z+4M+5V=二+住￡+色上+把t+包

12345

（x+2y+3z+4"+5z『302

>-----------------=—=60

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=z=u=v時取等號

例14：已知Q>0,b>0,。+6=5,求Ja+l+"+3的最大值為

解:G+所=^±^+^4￡/"1+"3）5=。=30

1~2f2（1+1戶21

當(dāng)且僅當(dāng)a+l=b+3時取等號

2

例15：求/（x）=7X-3X+2+，2+3x-/的最大值為

解：

當(dāng)且僅當(dāng)3》+2=2+3》一》2時取等號

例16：已知正數(shù)。，b,。滿足。+6+。=1,求J3a+1+J36+1+J3c+1的最大值為

解：

_1__1__1_

I---------/———I-----（3tz+l）2（3Z?+1）2（3c+1）2

73a+1+J36+1+73c+1=

1

l-「5「

（3Q+1+3b+1+3c+1）2

=30

-21

（1+1+1戶

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c='時取等號

3

考點(diǎn)二、柯西不等式全解析

典例引領(lǐng)

例1：用柯西不等式求函數(shù)》=岳二1+岳+萬方的最大值為

A.722B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】配湊目標(biāo)函數(shù)，再利用柯西不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】由柯西不等式可得，

函數(shù)尸j2x-3+岳+j7-3xM而+(岡

I+12xd（2x-3）+x+（7-3x）=4

當(dāng)且僅當(dāng)外時,

即x=2時等號成立,

故該的最大值為4.

故選：C.

例2：由柯西不等式，當(dāng)x+2y+z=4時，求正+6+G的最大值為()

A.10B.4C.2D.V10

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得(x+2y+z)(4+2+4)2(24+2萬+2正了,即求.

【詳解】解：由柯西不等式，得(X+2J，+Z)(4+2+4)N(26+277+2G)2,

當(dāng)且僅當(dāng)廣當(dāng)=(,即x=2=時，等號成立.

因?yàn)閤+2y+z=4,所以(?+6+正)2V10,

貝！+6+,故4+77+正的最大值為.

故選：D

例3：已知x/e(0,y),若4+33〈4歷工恒成立，利用柯西不等式可求得實(shí)數(shù)上的取值范圍

是.

【答案】k>屈

【詳解】試題分析：由柯西不等式得(4+3/)24(l+32)(x+J)，所以4+3774VJ萬7^工7,即左〉

考點(diǎn)：柯西不等式

例4：已知2無+3y+6z=12,求x?+必+丫的最小值.(利用柯西不等式)

144

【答案】訪

【分析】利用柯西不等式進(jìn)行求解.

144

【詳解】由柯西不等式可知：(X2+/+Z2)(4+9+36)>(2x+3y+6z)2>——,

x_y_z

.一+1+八%當(dāng)且僅當(dāng),243672

2~7~6，即x=—?y=—,z=—

494949

2x+3y+6z=12

【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)最值的求法，主要通過消元和配方解決問題，也可以是利用柯西不等式進(jìn)行求

解.考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.

例5：已知正實(shí)數(shù)。，b,c,。滿足a+6+c+d=l,則一J—+-~~]--+—；—+,1，的最小值

a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b

是.

【答案】y/51

【分析】

利用配湊法及柯西不等式即可求解.

【詳解】

由題意可知，一j—+,1+—；—+,1〃

a+b+cb+c+ac+a+aa+a+b

=—[3(a+b+c+d)]xf----1---------1---------1--------]

3L」\a+b+cb+c+dc+d+ad+a+b)

=—「(q+6+c)+(6+c+d)+(c+d+a)+(d+a+6)]x[--------1--------1---------1--------|

3L」(a+b+cb+c+dc+d+ad+a+bj

>|(l+l+l+l)2=y,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c=d=；時取"=〃號.

所以原式的最小值為號.

故答案為：—.

例6：已知非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足ab+bc+cd+da=1,求證:

/+〃+d+d'J.

b+c+dc+d+ad+a+ba+b+c3

【答案】證明見解析

【分析】利用切比雪夫不等式的推論、柯西不等式及均值不等式即可求解.

【詳解】不妨設(shè)OWaVbVcWd,貝IJOw/w/vc2Vd2.

，己a+6+c+,=S,貝iJS-a2s-6NS-cNS-d>0,—

S—ciS—bS—cS—d

依次運(yùn)用切比雪夫不等式的推論1、柯西不等式、均值不等式得到

a3b3c3d3

--------1---------1---------1--------

b+c+dc+d+ad+a+ba+b+c

a2-ab2-bc1-cd2-c1/?

-----1------1------1-----2-~Ici+b7?+c?+屋)?(a+6+c+<7)

S-aS-bS-cS-d42v

2222x

>-L(a+b+c+d]-4

48v)

=、(/+62)+伍2+02)+卜2+/)+(/+/)]

>—(2ab+2bc+2cd+2da)

=g(ab+be+cd+da)=g,

故原不等式正確.

12.好題沖關(guān)

能力提

一、單選題

12

1.（2024?山西臨汾?三模）若0<無<1,則一+；—的最小值是（）

xl-x

A.1B.4C.2+2后D.3+2也

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式及"1"的妙用計算即可.

【詳解】因?yàn)椤?lt;無<1,所以l-x>0,

貝讓+二-=仕+[-].|\+（1_*=3+4+■23+2收，

Xl-xyXl-x）LJxl-x

1—Y0Y

當(dāng)且僅當(dāng)」=盧，即》=血-1時，等號成立，取得最小值3+2行，

XL-x

故選：D.

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則廿上的最小值為（）

xy

A.4B.4及C.6D.272+3

【答案】D

【分析】利用乘“甘法及基本不等式計算可得.

【詳解】因?yàn)閤>0,y>0,且2x+y=l,

2xy__2xy

所以—+—+3>2J----—+3=2拒+3,

中yy%yx

當(dāng)且僅當(dāng)在=2,即工=生變，y=1時取等號.

Vx2

故選：D

3.（2024?江蘇南通二模）設(shè)％>0,y>0,-+2y=2則％+,的最小值為

f）

%y

3/—3rz

A.-B.2-\/2C.—+V2D.3

【答案】c

【分析】由不等式"1"的代換求解即可.

【詳解】因?yàn)?+2y=2,所以）+y=l,

x2x

因?yàn)椋?gt;0,V>°,所以=|XH—||-y\=—+xy+-F1

yIV八2x；22xy

△+2x也

22

xy=-----1+V2

2xyx=--------

當(dāng)且僅當(dāng)＜即2時取等.

—+y^\y=2-返

［2x

故選：C.

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若6是正實(shí)數(shù)，且+=貝普+方的最小值為）

3a+b2a+46

42

A.-B.-C.1D.2

53

【答案】A

【分析】觀察等式分母可知（3q+b）+（2q+4b）=5（q+b）,利用基本不等式中〃1〃的妙用可得結(jié)果.

［詳解］因?yàn)閍+6=；（5a+5b）=:［（3a+6）+（2a+4b）］=y［（3a+b）+（2a+

1（.2a+4b3a+by1f_12a+4b""3a+b）4

=-2+---------+---------->-2+2J---------------------=-

513a+b2a+4bJ5（N3a+b2a+46J5

當(dāng)且僅當(dāng)3=：1時取等號，

4

所以a+6的最小值為

故選：A

14

5.（2024?河南?模擬預(yù)測）己知點(diǎn)P（無/）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑r=J7的圓上，則-；---1；的最小值

x+1y+1

為（）

45+2直7

A.-nC.D.1

999

【答案】D

【分析】由題可得點(diǎn)P滿足的圓方程#+/=7,進(jìn)而(公+1)+(/+1)=9,然后利用基本不等式結(jié)合條件

即得.

所以，[2+1)+(/+1)=

【詳解】由題意可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足f+/=7,9.

/+1]+/+4]=§[(“2+1)+(/+1)]14

因此,—；17

x2+1y2+1

2

5+24(X+11

>—5+2,1.

-9X+1V+19x2+\/+1

2

「+14(X+1

當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=±0,y=±八時取等號.

x2+l-y2+l

故選:D.

設(shè)正實(shí)數(shù)小滿足2=2,則匚+擊的最小值為（）

6.（2024.全國.模擬預(yù)測）

34

AB.C.一D

-t45-1

【答案】C

【分析】由已知可得。+1+"2=5,根據(jù)《的代換化簡得出土+為=蛆+b+2。+1

-----1-----.進(jìn)而根據(jù)基

a+1b+2

本不等式，即可求得答案.

【詳角星】因?yàn)椤?b=2,所以〃+1+6+2=5,

(。+1+6+2)=12+6+2a+1

所以-----1-----——.-----1-----

6Z+1b+251。+1b+2tz+16+2

%+2_4

>-2+2.

-5

5、a+lb+27

31

當(dāng)且僅當(dāng)Q+1=6+2,Q+6=2,即Q=/=時，等號成立,

22

114

所以力+E的最小值為十

故選：C.

2

7.(2021?浙江?模擬預(yù)測)已知x>0,yeR,S.x+xy-x+5y=30f則萬工+,30-3y的最大值為

A.V3B.-\/6C.2A/6D.3y2

【答案】C

【分析】依題意得x+P=6,則萬工+J30-3/=萬1+6進(jìn)而由柯西不等式可得最大值.

【詳解】由一+孫一x+5y=30可得f一工一30+盯+5》=0,即(％+5)(x+y—6)=0.

由x>0可知x+y=6,以J2-x+J30-3y-J2-x+J12+3x=-x+-x/3,J4+x.

由x>0,2-x20可得0<x?2,

由柯西不等式得

(yll-x+V3-V4+X)2<[l2+(V3)2]-[(A/2-x)2+(V4+I)2]=24,

所以y/2-x+V3-j4+x<2娓,當(dāng)中*=必三即x=1時，取等號.

A/312

所以j2-x+,30-3y的最大值為2指■

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在得出萬匚+937=拒金+6?百行之后，關(guān)鍵在于根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用柯西

不等式求最大值.

8.(高三上?浙江寧波?期中)設(shè)q,b為正實(shí)數(shù)，且。+26+上1+：2=?13,則上1+2：的最大值和最小值之和為

ab2ab

9

2U9

-13一

A.B.22D.

【答案】C

2「(112

【分析】根據(jù)題意可得77。+26+—+工=1，再由〃1〃與上+：相乘利用基本不等式轉(zhuǎn)化為

131_\ab)\ab

2「(12Y]12

-9+-+-4―+=，解不等式即可求解.

13\abJab

i?la2

【詳解】由〃+26+-+工==,則百

ab213

所以

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=也時，即或］時，等號成立,

ba23

即19+1+|[+]解得+

所以上1+：2的最大值為9;；最小值為2；

ab2

所以最大值和最小值之和為彳.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，運(yùn)用基本不等式求最值需驗(yàn)證等號成立的條件，屬于中檔

題.

ryim

9.（2024?遼寧?一模）已知加>2〃〉0,則-----H—的最小值為（）

m-2nn

A.3+2亞B.3-2V2C.2+3后D.372-2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，加=（加-2〃）+2〃，將所求式子變形，利用基本不等式求解.

【詳解】由機(jī)>2〃>0,

:.m-2n>0fm=（m_2n）+2n,

m+加_（冽-2〃）+2〃+（冽一2〃）+2〃_3+2n^m-2n>^+242

m-2nnm-2nnm-2nn

當(dāng)且僅當(dāng)上）=竺二女，即機(jī)=（2+亞）〃時等號成立.

m—2nn'7

故選：A.

1Y24V之

10.（23-24高一上?甘肅蘭州?期末）對任意實(shí)數(shù)不等式---^+~2~r—恒成立，則實(shí)數(shù)

。的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

2

【答案】D

【分析】

首先不等式變形為/4^^+三恒成立，再利用兩次基本不等式求t=+工的最小值，即可求解。

2y—1x—12y—1x—1

的取值.

Y4v

【詳解】不等式F―n+2Jn21恒成立,可轉(zhuǎn)化為

aa(x-lj

4J21

/vd+三恒成立，其中

2y-lx-12

令t=X?+4/_=(x-l)-+2(x7)+[*(2j]]+2(2jl)+l

2)—1x—12y—1x—1

第二次使用基本不等式，等號成立的條件是x-l=—1且2y-1=7」，

x-12y-1

得x=2且y=l,此時第一次使用基本不等式(A1+2(xT)+l=(2y(+2(2)，-1)+1,說明兩次基本不

2》—1x—1

等式能同時取得，

所以7-1■-J的最小值為8,

27-1x-1

即/W8,則一2后Wa42后，

所以實(shí)數(shù)。的最大值為2VL

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是再求f二或7+今二的最值時，需變形為

2y-lx-1

x24y2(x—1)+2(x—1)+1(2y—1)+2(2y—1)+1壬、田一亦、為甘*/卒一卡目/古

t=-------+二一=——----———+」~----」——一，再通過兩次基本不等式求最值.

2y—lx-12y—1x-1

二、填空題

10

11.(2024?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測)已知孫〃e(0,+(?),一+〃=4,則加+一的最小值為.

mn

【答案】4

【分析】利用乘"1"法及基本不等式計算可得.

【詳解】因?yàn)榧?"e(0,+<?),—+?=4,

m

b,,9If9Y1If9

所以加+—=—m+———\-n=—mn-\-------FlO

n4vn)\mJ4(mn

9

當(dāng)且僅當(dāng)加〃=—，即加=1,〃=3時取等號.

mn

故答案為：4

12.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知實(shí)數(shù)]>0,6>2,且--+--=4,則2。+6的最小值是

a+1b-23

【答案】24

【分析】變形后，利用基本不等式“1〃的妙用求出最小值

191

【詳解】因?yàn)椤?gt;01>2,且--+

a+1b-23

所以言+占f

廠/、/、i363（6-2）12（（2+1）

所以2〃+b=「2（Q+l）+（b-2）］——+——=6+6+己————L

L'7v〃|_a+lb-2\a+1b-2

30-2）12（a+l）

>12+2J——L?———=24，

VQ+lb-2

當(dāng)且僅當(dāng)3伍—2）J2（a+l）,即b_2=2（a+l）,a=5,6=14時等號成立，

。+1b—2

故答案為：24

41

13.（2024?河南?三模）在“3C中，角4瓦。的對邊分別為6,c,若a+6+c=2,則一7+―的最小值

a+bc

為.

【答案】|

【分析】a,6,c是。8C的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘"工"法結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)閍+b+c=2,

所以」^+'=；（-y+9]（a+6）+c]

a+bc2\a+bc」

1（.4ca+b}1（__I4ca+b\9

2Ia+bcJ2[\a+bc）2

4cab41Q

當(dāng)且僅當(dāng)三=即a+6=2c時等號成立，故」7+士的最小值為;.

a+bca+bc2

9

故答案為：—.

14.（2024?廣西河池?模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)。>1>6>0,且/+26=/+2a,則工+?的最小值為____.

a-1b

【答案】4

【分析】根據(jù)。>1>6>0,將/+26=62+20化簡可得。+6-2=0,再根據(jù)基本不等式"1"的巧用求解最值

即可.

【詳解】由/+26=/+2a可得("9(。+6-2)=0,

因?yàn)閝>l>b>0,所以a-bwO,即a+b-2=0,貝！Ja-1+6=1,

則」：

-7+==4,

a-1b

當(dāng)且僅當(dāng)一<即”=!時等號成立，故一1+。的最小值為4.

a-1b22a-\b

故答案為：4.

21

15.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知x>l,y>0,且x+—=2,則—>的最小值是________,

yx-1

【答案】3+20/2及+3.

【分析】利用"1"的巧用及基本不等式即可求解.

22

【詳解】由'+—=2,得%—1+—=1,

yy

因?yàn)閤>l,>>o,

所以x—1>0/>0,

所以7+〉=j1-1+—-+J|=3+(x-l)^+--->3+2(x-l)y--——=3+272,

x—ll歹八xT)(xTRV(xT)歹

2

當(dāng)且僅當(dāng)a-1)歹=T——,即％=血，尸2+五時，等號成立，

所以占+y的最小值是3+2日

故答案為：3+272.

62

16.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知x>y>0,------+-------=1,則2x-y的最小值為_____.

x+yx—y

【答案】12

【分析】令°=/一，b=—,從而可得》=工+；,y=--1,再根據(jù)2x_y=j，+：］（3a+6）,結(jié)合基

x+yx-yababyab）

本不等式求解即可.

2222

【詳角軍】令。=，b=,貝?。?+>=—，x~y=~且a〉0,b〉0,

x+yx-yab

所以％=—+—,y=-------

abab

又3〃+6=l,所以2%—y=20+口一仕一口」+；=0+：］(34+6)

\ab)\abJab\abJ

_b9a八__b

3H----1------1-326+2,%=12,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)a=J,b=1,即x=8,>=4時，等號成立.

62

故答案為：12

17.（21-22高三上?天津南開?期中）己知正實(shí)數(shù)a,6滿足。+6=1,則,+三的最小值為________.

ab+\

【答案】1/2.5

1414

【分析】將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一+--2,應(yīng)用柯西不等式求—+「的取值范圍，進(jìn)而可得目標(biāo)式的最小值,

aP+1ab+\

注意等號成立條件.

【詳解】由題設(shè)，a=l-b,貝lj^+工='+^^=L+工一2,

aP+1aP+1a/7+1

X（?+^+l）（-+7^7）=[Va--^+V^+l--7==]2=9,

ab+\yjaJb+1

1+49當(dāng)且僅當(dāng)。=A號+i時等號成立，

ab+\22

+=當(dāng)且僅當(dāng)a=[時等號成立.

ab+12223

.J+二的最小值為:

故答案為：—.

22

18.（2024?江西?一模）已知正數(shù)無，y滿足x+y=6,若不等式+J恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范