2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的圖像

第6煉函數(shù)的圖像

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、做草圖需要注意的信息點(diǎn)：

做草圖的原則是：速度快且能提供所需要的信息，通過草圖能夠顯示出函數(shù)的性質(zhì)。在

作圖中草圖框架的核心要素是函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于一個(gè)陌生的可導(dǎo)函數(shù)，可通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的

符號(hào)分析得到單調(diào)區(qū)間，圖像形狀依賴于函數(shù)的凹凸性，可由二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定(詳見“知

識(shí)點(diǎn)講解與分析”的第3點(diǎn))，這兩部分確定下來，則函數(shù)大致輪廓可定，但為了方便數(shù)形

結(jié)合，讓圖像更好體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，有一些信息點(diǎn)也要在圖像中通過計(jì)算體現(xiàn)出來，下面以

常見函數(shù)為例，來說明作圖時(shí)常體現(xiàn)的幾個(gè)信息點(diǎn)

(1)一次函數(shù)：,=履+4若直線不與坐標(biāo)軸平行，通常可利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)來確

定直線

特點(diǎn)：兩點(diǎn)確定一條直線

信息點(diǎn)：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

(2)二次函數(shù)：y=a(x-h^+k,其特點(diǎn)在于存在對(duì)稱軸，故作圖時(shí)只需做出對(duì)稱軸一

側(cè)的圖像，另一側(cè)由對(duì)稱性可得。函數(shù)先減再增，存在極值點(diǎn)一一頂點(diǎn)，若與坐標(biāo)軸相交,

則標(biāo)出交點(diǎn)坐標(biāo)可使圖像更為精確

特點(diǎn)：對(duì)稱性

信息點(diǎn)：對(duì)稱軸，極值點(diǎn)，坐標(biāo)軸交點(diǎn)

(3)反比例函數(shù)：丁=4，其定義域?yàn)?-0,0)1^。,”)，是奇函數(shù)，只需做出正版軸圖

像即可(負(fù)半軸依靠對(duì)稱做出)，坐標(biāo)軸為函數(shù)的漸近線

特點(diǎn)：奇函數(shù)(圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱)，漸近線

信息點(diǎn)：漸近線

注：

(1)所謂漸近線：是指若曲線無限接近一條直線但不相交，則稱這條直線為漸近線。漸近

線在作圖中的作用體現(xiàn)為對(duì)曲線變化給予了一些限制，例如在反比例函數(shù)中，X軸是漸近線，

那么當(dāng)Kf+8,曲線無限向X軸接近，但不相交，則函數(shù)在X正半軸就不會(huì)有X軸下方的

部分。

(2)水平漸近線的判定：需要對(duì)函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)：若X—>+8(或-00)時(shí)，■常

數(shù)C,則稱直線y=C為函數(shù)的水平漸近線

例如：y=2X當(dāng)xf+00時(shí)，yf+8,故在x軸正方向不存在漸近線

當(dāng)JWD時(shí)，yf0,故在x軸負(fù)方向存在漸近線y=0

(3)豎直漸近線的判定：首先/(%)在x=〃處無定義，且當(dāng)xfa時(shí)，+8(或

Y0),那么稱X=Q為/(%)的豎直漸近線

例如：y=log2%在％=0處無定義，當(dāng)1―0時(shí)，所以x=0為y=log2%

的一條漸近線。

綜上所述：在作圖時(shí)以下信息點(diǎn)值得通過計(jì)算后體現(xiàn)在圖像中：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；對(duì)稱軸

與對(duì)稱中心；極值點(diǎn)；漸近線。

例：作出函數(shù)〃x)=x—工的圖像

分析：定義域?yàn)?-oo,0)U(0,十°°)，且/(%)為奇函數(shù)，1//

故先考慮x正半軸情況。：/

%)=1+4>0故函數(shù)單調(diào)遞增，/.

f(x)=一~g<0,故函數(shù)為上凸函數(shù)，當(dāng)％f+00時(shí)，/I

X

/(%)f+co無水平漸近線，X—>0時(shí)，/(%)->-(?,所以y軸為/'(尤)的豎直漸近線。

零點(diǎn)：(1,0),由這些信息可做出正半軸的草圖，在根據(jù)對(duì)稱性得到了(九)完整圖像：

2、函數(shù)圖象變換：設(shè)函數(shù)y=/(%),其它參數(shù)均為正數(shù)

(1)平移變換：

/(x+?)：“X)的圖像向左平移a個(gè)單位

/(%-?)："%)的圖像向右平移a個(gè)單位

f(x)+b：的圖像向上平移a個(gè)單位

/(%)-/?：〃尤)的圖像向下平移a個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換：

/(-%)：與"％)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

-/(x)：與"％)的圖像關(guān)于X軸對(duì)稱

-/(-X):與“X)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

(3)伸縮變換：

/、/、1k>1：收縮

f(kx)：/(%)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓ぁ恪醋?lt;1

拉伸

k>1：拉伸

v(%)：圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼淖蟊?lt;

0〈左<1：收縮

(4)翻折變換:

/(x),x>0

川刈：〃忖)=?即正半軸的圖像不變，負(fù)半軸的原圖像不要，換上與正半

/(-x),x<0

軸圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像

/(x),/(x)>0

即X軸上方的圖像不變，下方的圖像沿X軸對(duì)稱的翻

-/(x)，/(x)<0

上去。

3、二階導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的凹凸性:

(1)無論函數(shù)單調(diào)增還是單調(diào)減，其圖像均有3種情況,

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為下凸函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)的增減圖像為則稱函數(shù)為上凸函數(shù)

(2)上凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越慢，減區(qū)間下降速度越來越快

下凸函數(shù)特點(diǎn)：增區(qū)間增長速度越來越快，減區(qū)間下降速度越來越慢

(3)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：設(shè)/?'(%)的導(dǎo)函數(shù)為了"(X)(即“X)的二階導(dǎo)函數(shù))，如圖所示：增

長速度受每一點(diǎn)切線斜率的變化情況的影響，下凸函數(shù)斜率隨x的增大而增大，即/'(X)為

增函數(shù)之0；上凸函數(shù)隨x的增大而減小，即/'(尤)為減函數(shù)0<0；

綜上所述:函數(shù)是上凸下凸可由導(dǎo)函數(shù)的增減性決定，進(jìn)而能用二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行求解。

二、方法與技巧：

1、在處理有關(guān)判斷正確圖像的選擇題中，常用的方法是排除法，通過尋找四個(gè)選項(xiàng)的不同，

再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)行排除，常見的區(qū)分要素如下：

(1)單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)圖像位于X軸上方的區(qū)域表示原

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，位于X軸下方的區(qū)域表示原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

(2)函數(shù)零點(diǎn)周圍的函數(shù)值符號(hào)：可通過帶入零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)來進(jìn)行區(qū)分

(3)極值點(diǎn)

(4)對(duì)稱性(奇偶性)一一易于判斷，進(jìn)而優(yōu)先觀察

(5)函數(shù)的凹凸性：導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性決定原函數(shù)的凹凸性，導(dǎo)函數(shù)增區(qū)間即為函數(shù)的下凸

部分，減區(qū)間為函數(shù)的上凸部分。其單調(diào)性可由二階導(dǎo)函數(shù)確定

2、利用圖像變換作圖的步驟：

(1)尋找到模板函數(shù)/(%)(以此函數(shù)作為基礎(chǔ)進(jìn)行圖像變換)

(2)找到所求函數(shù)與的聯(lián)系

(3)根據(jù)聯(lián)系制定變換策略，對(duì)圖像進(jìn)行變換。

例如：作圖：y=|ln(x+l)|

第一步尋找模板函數(shù)為：/(%)=ln%

第二步尋找聯(lián)系：可得y=Y(x+l)|

第三步制定策略：由|/(尤+1)|特點(diǎn)可得：先將了(%)圖像向左平移一個(gè)單位，再將x軸下

方圖像向上進(jìn)行翻折，然后按照方案作圖即可

3、如何制定圖象變換的策略

(1)在尋找到聯(lián)系后可根據(jù)函數(shù)的形式了解變換所需要的步驟，其規(guī)律如下：

①若變換發(fā)生在“括號(hào)”內(nèi)部，則屬于橫坐標(biāo)的變換

②若變換發(fā)生在“括號(hào)”外部，則屬于縱坐標(biāo)的變換

例如：y=/(3x+l):可判斷出屬于橫坐標(biāo)的變換：有放縮與平移兩個(gè)步驟

y=/(-X)+2:可判斷出橫縱坐標(biāo)均需變換，其中橫坐標(biāo)的為對(duì)稱變換，縱坐標(biāo)的

為平移變換

(2)多個(gè)步驟的順序問題：在判斷了需要幾步變換以及屬于橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)的變換后，

在安排順序時(shí)注意以下原則：

①橫坐標(biāo)的變換與縱坐標(biāo)的變換互不影響，無先后要求

②橫坐標(biāo)的多次變換中，每次變換只有X發(fā)生相應(yīng)變化

例如：y=/(%)->y=/(2x+l)可有兩種方案

方案一：先平移(向左平移1個(gè)單位)，此時(shí)/(%)-/(%+1)。再放縮(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

的；)，此時(shí)系數(shù)2只是添給X,即/(x+l)f/(2x+l)

方案二：先放縮(橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?，此時(shí)/(力一/(2力，再平移時(shí)，若平移a個(gè)單

位，則/(2(_x+a))=/(2x+2a)(只對(duì)x加a),可解得a=；,故向左平移g

個(gè)單位

③縱坐標(biāo)的多次變換中，每次變換將解析式看做一個(gè)整體進(jìn)行

例如：y=/(x)—>y=2/(x)+l有兩種方案

方案一：先放縮：y=f(x)^y=2f(x),再平移時(shí)，將解析式看做一個(gè)整體，整體加1,

即y=2〃x)->y=(2〃x))+l

方案二：先平移：y=/(x)^y=/(x)+l,則再放縮時(shí)，若縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?。倍，?/p>

么V=+V=a(/(x)+l)，無論a取何值，也無法達(dá)到y(tǒng)=2/(x)+l,所以需

要對(duì)前一步進(jìn)行調(diào)整：平移,個(gè)單位，再進(jìn)行放縮即可(a=2)

2

4、變換作圖的技巧：

(1)圖像變換時(shí)可抓住對(duì)稱軸，零點(diǎn)，漸近線。在某一方向上他們會(huì)隨著平移而進(jìn)行相同

方向的移動(dòng)。先把握住這些關(guān)鍵要素的位置，有助于提高圖像的精確性

(2)圖像變換后要將一些關(guān)鍵點(diǎn)標(biāo)出：如邊界點(diǎn)，新的零點(diǎn)與極值點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)等

三、例題精析：

例1：己知函數(shù)/(%)=狽3+法2+c,其導(dǎo)數(shù)/'(%)的圖象如圖所示，則函數(shù)八％)的極

大值是()「

A.a+b+cB.8a+4Z?+cC.3a+2bD.c\

思路：由圖像可知：］￡(0,2)時(shí)，>0,單調(diào)遞增，一----\---2^—

x￡(2,+oo)時(shí)，f(%)<0,單調(diào)遞減，所以/(%)的極大值為〃2)=8a+4Z?+c

答案：B

小煉有話說：觀察導(dǎo)函數(shù)圖像時(shí)首要關(guān)注的是函數(shù)的符號(hào)，即是在X軸的上方還是下方，導(dǎo)

函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性

例2：設(shè)函數(shù)y=/(x)可導(dǎo)，y=/(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=:(幻的圖像可能為

()

思路:根據(jù)原函數(shù)的圖像可得：“X)在(-oo,0)單調(diào)遞增，在正半軸先增再減再增，故/(%)

在負(fù)半軸的符號(hào)為正，在正半軸的符號(hào)依次為“正負(fù)正”，觀察四個(gè)選項(xiàng)只有D符合

答案：D

小煉有話說：本題可直接由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來排除其他選項(xiàng)，若選項(xiàng)中也有符合D中“負(fù)半

軸的符號(hào)為正，在正半軸的符號(hào)依次為‘正負(fù)正’"，那么可觀察第二條標(biāo)準(zhǔn)：從圖上看在x

負(fù)半軸中，函數(shù)增長的速度越來越快，則說明切線斜率隨X的增大而增大，進(jìn)而導(dǎo)函數(shù)在X

負(fù)半軸也單調(diào)遞增，依次類推可得到正半軸的情況，D選項(xiàng)依然符合特征

例3：函數(shù)/(x)=e=2—1的部分圖象為()

思路：f(x)=exx2+e2(2x)=x(^x+2)ex,可得在(-oo,-2),(0,+oo)單調(diào)遞增，

在(一2,0)單調(diào)遞減，且可估計(jì)當(dāng)％—>YO,必，=^f0即/(X)―>—1,所以y=—1

為函數(shù)7（%）的漸近線，當(dāng)％f+8,y->+8由此可判斷出圖像A正確

答案：A

小煉有話說：（1）本題考查的是通過分析函數(shù)性質(zhì)作圖，單調(diào)性是非常重要的一個(gè)要素，通

過單調(diào)性也可排除其他三個(gè)選項(xiàng)

（2）關(guān)于漸近線的判斷：對(duì)于尤.ro,x2ex=———>0可這樣理解，Xf+QO時(shí)，x2,e~x

e~x

均趨向正無窮，但的速度更快，進(jìn)而伴隨著X―十元，6一”將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于進(jìn)而比值趨

于0,當(dāng)％f+0。，增長速度的排名為：直線（一次函數(shù)）〈二次函數(shù)<指數(shù)函數(shù)

例4：函數(shù)〃月=網(wǎng)引的圖像可能是（）

\x\

jclnx\

思路：觀察解析式可判斷出=1~為奇函數(shù)，排除A,C.當(dāng)x>0時(shí)，

/（%）>O=lnx,故選擇B

答案：B

小煉有話說：/（月=叫區(qū)有兩點(diǎn)可以優(yōu)先觀察：一個(gè)是奇偶性，則圖像具有對(duì)稱性，

IxI

只需考慮正半軸的情況即可；二是含有絕對(duì)值，可利用X的符號(hào)去掉絕對(duì)值，進(jìn)而得到正半

軸的解析式。

例5（2015浙江文）：函數(shù)=》VxV犯xW0）的圖像可能為（）

A.B.C.D.

思路：觀察4個(gè)選項(xiàng)的圖像，其中A,B圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，C,D圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。

所以先判斷函數(shù)奇偶性,可判斷出/(-%)=

所以了(%)為奇函數(shù)，排除A,B,再觀察C,D的區(qū)別之一就是/(乃)的符號(hào)，經(jīng)過計(jì)算可得

/(?)=(?-，］cos?=，一乃<0,所以排除C

V71)n

答案：D

例6：已知〃x)=；x2+sin|^+x］，r(x)為/"⑴的導(dǎo)函數(shù)，則r(x)的圖像是()

思路:可判斷了'(x)為

奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，排除民。。因?yàn)榱?/p>

排除C。故A正確。

答案：A

小煉有話說：/(x)=gx-sinx可優(yōu)先判斷出奇偶性，進(jìn)而排除一些選項(xiàng)，對(duì)于A,C選

項(xiàng)而言，其不同之處有兩點(diǎn)，一點(diǎn)是從％=0處開始的/'(%)符號(hào)，解析的思路也源于此，

但需要代入特殊角進(jìn)行判斷，A選項(xiàng)的圖中發(fā)現(xiàn)在x軸正半軸中靠近y軸的函數(shù)值小于零，

TT

從而選擇最接近0的特殊角一，除此之外，AC圖像的不同之處還在于從x=0開始時(shí)

6

f(%)的單調(diào)性，所以也可對(duì)/(%)求導(dǎo)，f(%)二g—cos%,則X￡［0,(^時(shí)，

/(%)<0,即/(%)應(yīng)先減再增。所以排除C

例7：下面四圖都是在同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定不正確的序號(hào)

是()

A.①②B.③④C.①③D.①④

思路：如圖所示：在圖①、②在每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是正確的，即

單調(diào)增區(qū)間導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)減區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于零；在③中顯示在區(qū)間（0,/?）上導(dǎo)函數(shù)的值

為負(fù)值，而該區(qū)間上的函數(shù)圖象顯示不單調(diào)，二者不一致，所以③不正確；在④圖象顯示在

區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的值總為正數(shù)，而相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖象卻顯示為減函數(shù)，二者相矛盾，

所以不正確.故選B.

答案：B

小煉有話說：要注意導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的聯(lián)系：導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)的單調(diào)性相對(duì)

應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)的增減與原函數(shù)的凹凸性相對(duì)應(yīng)。

例8：已知R上可導(dǎo)函數(shù)/（%）的圖象如圖所示，則不等式（爐―2%-3）/'（%）＞0的解集

為（）

A.(-a)-2)U(1,^>)B.(-a),-2)U(l,2)

C.(^o,—l)U(—h0))J(2,+°o)D.(—oo,—1)U(—h1)0(3,-^^)

思路：由圖像可得：入￡(-00,-1),(1,+00)時(shí)，f(x)>0,時(shí)，f(X)<0,所

%2-2x—3>0%2—2x—3<0

以所解不等式為：<或V，可得：(T?,—1)U(—Ll)U(3,+w)

/(x)>0/(x)<0

答案：D

例9:函數(shù)〃%)=%3+區(qū)2+5+4的大致圖象如圖所示,則片+工；等于()

84

10C

9-B.9一D.5-

思路：由圖像可得：再,9為/(%)的極值點(diǎn),x=—l,x=0,%=2為函數(shù)的零點(diǎn)

,2b

2

f(x)=3x+2bx+c,即是方程3%2+2Zzx