人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：2 5 2 圓與圓的位置關(guān)系

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE12.5.2圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓與圓的位置關(guān)系.2.掌握圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3.能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡單問題．導(dǎo)語日食是一種天文現(xiàn)象，在民間稱此現(xiàn)象為天狗食日．日食只在月球與太陽呈現(xiàn)合的狀態(tài)時發(fā)生。日食分為日偏食、日全食、日環(huán)食、全環(huán)食．我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的？前面我們運(yùn)用直線的方程、圓的方程研究了直線與圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運(yùn)用圓的方程，通過定量計(jì)算研究圓與圓的位置關(guān)系．一、兩圓位置關(guān)系的判斷1．代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含2.幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|注意點(diǎn)：(1)利用代數(shù)法判斷兩圓位置關(guān)系時，當(dāng)方程無解或一解時，無法判斷兩圓的位置關(guān)系．(2)在判斷兩圓的位置關(guān)系時，優(yōu)先使用幾何法．例1已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．解圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3<|C1C2|<5，即3<a<5時，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|>5，即a>5時，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|<3，即0<a<3時，兩圓內(nèi)含．反思感悟判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在〖解析〗幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)圓C1：x2＋y2－4x＋3＝0與圓C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a的值是()A．4B．6C．16D．36〖答案〗C〖解析〗圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，∵兩圓有三條公切線，∴兩圓外切，∴eq\r(2＋12＋0－42)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.(2)到點(diǎn)A(－1,2)，B(3，－1)的距離分別為3和1的直線有________條．〖答案〗4〖解析〗到點(diǎn)A(－1,2)的距離為3的直線是以A為圓心，3為半徑的圓的切線；同理，到點(diǎn)B的距離為1的直線是以B為圓心，半徑為1的圓的切線，所以滿足題設(shè)條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半徑之和為3＋1＝4，因?yàn)?>4，所以圓A和圓B外離，因此它們的公切線有4條．二、相交弦及圓系方程問題例2已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．解(1)設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0，②))的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．又圓C1的圓心(－3,0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直線AB的距離d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即兩圓的公共弦長為5eq\r(2).(2)方法一解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點(diǎn)A(－1,3)，B(－6，－2)．設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))2＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.反思感悟(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．跟蹤訓(xùn)練2圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程為________________．〖答案〗(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)〖解析〗方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3，))所以圓x2＋y2－4x－6＝0與圓x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)分別為A(－1，－1)，B(3,3)，連接AB，則線段AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(3，－1)，半徑為eq\r(3－32＋3＋12)＝4，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法三設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化簡可得x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))在直線x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq\f(1,3)，所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.三、圓與圓的綜合性問題例3求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．解設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r(a－12＋b2)＝r＋1.①又所求圓過點(diǎn)M的切線為直線x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.延伸探究將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))的圓的方程”，如何求？解因?yàn)閳A心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，設(shè)半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，又因?yàn)榕c圓x2＋y2－2x＝0外切，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.反思感悟通過直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用方程思想，解決求圓的方程問題．跟蹤訓(xùn)練3圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2,1)．(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；(2)若圓O2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(2)，求圓O2的方程．解(1)因?yàn)閳AO1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為O1(0，－1)，半徑為2.又因?yàn)閳AO2的圓心O2(2,1)，所以圓心距|O1O2|＝eq\r(2－02＋1＋12)＝2eq\r(2)，由圓O2與圓O1外切，得圓O2的半徑為2eq\r(2)－2，所以圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq\r(2).(2)因?yàn)閳AO2與圓O1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(2)，所以圓心O1到直線AB的距離為eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2).當(dāng)圓心O2到直線AB的距離為eq\r(2)時，圓O2的半徑為eq\r(\r(2)2＋\r(2)2)＝2.此時，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.當(dāng)圓心O2到直線AB的距離為3eq\r(2)時，圓O2的半徑為eq\r(3\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(20).此時，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝20.綜上，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1．知識清單：(1)兩圓的位置關(guān)系．(2)兩圓的公共弦．(3)圓系方程．(4)圓與圓的綜合性問題．2．方法歸納：幾何法、代數(shù)法．3．常見誤區(qū)：將兩圓內(nèi)切和外切相混．1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是()A．外離 B．相交C．外切 D．內(nèi)切〖答案〗B〖解析〗把圓O1和圓O2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓O1：(x－1)2＋y2＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，則O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq\r(1－02＋0－22)＝eq\r(5)<r1＋r2，又r2－r1<eq\r(5)，所以兩圓相交．2．(多選)圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為()A．2B．－5C．－2D．5〖答案〗AB〖解析〗圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑為2.依題意有eq\r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是______________．〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x