2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：存在性問(wèn)題

第76煉圓錐曲線中的存在性問(wèn)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1、在處理圓錐曲線中的存在性問(wèn)題時(shí)，通常先假定所求的要素（點(diǎn)，線，圖形或是參數(shù)）

存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成

立；否則即判定不存在

2、存在性問(wèn)題常見(jiàn)要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替

（1）點(diǎn)：坐標(biāo)（%,%）

（2）直線：斜截式或點(diǎn)斜式（通常以斜率為未知量）

（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

3、解決存在性問(wèn)題的一些技巧：

（1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過(guò)其中的特殊情況，解得所求要素的必

要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。

（2）核心變量的選?。阂?yàn)榻鉀Q存在性問(wèn)題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素

作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時(shí)候消去。

（3）核心變量的求法：

①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解

②間接法：若無(wú)法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變

量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。

二、典型例題：

例1：已知橢圓c：=+工=1（?！等f(wàn)〉0）的離心率為遮，過(guò)右焦點(diǎn)廠的直線/與C相交

ab"3

正

于A,3兩點(diǎn)，當(dāng)/的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)。至U的距離為X—。

2

（1）求的值

（2）C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)/繞E旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有麗=函+礪成立？若存

在，求出所有的P的坐標(biāo)和/的方程，若不存在，說(shuō)明理由

解：（1）e=—=a:b:c=y]3:^2:1

a3

則。=石。力=岳，依題意可得：F（c,O）,當(dāng)/的斜率為1時(shí)

l\y=x-c^>x—y—c=Q

do_l=-^==解得：c=l

22

：.a=?b=6~橢圓方程為：—+—=1

32

（2）設(shè)A（再,%）

當(dāng)/斜率存在時(shí)，設(shè)/:'=左（九一1）

X。=X]+x

-.-OP^OA+OB2

y0=%+%

聯(lián)立直線與橢圓方程：<'）消去y可得：2/+3/（x—1）-=6,整理可得:

2r+39=6

12

（3k+2）x-6k2x+3左2—6=0

6k2，/、c,6k3c,4k

x,+x7=-；-----y.+y2=klx,+x2）-2k=-------2k=-----------

123k2+212v1273k2+23k2+2

72kA+48左2=6（3F+27n24k?（3k2+2）=6（3k~+27

24k2=6（3k~+2）=女=±72

當(dāng)左=四時(shí)，仰

I:y=V2（x-1）,/H3F

當(dāng)左=一行時(shí)，/:y=-V2（x-l）,P

當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知/：x=l,則P（2,0）不在橢圓上

綜上所述：I:y=y/2（X-1）,P或/:y=—夜—P

（22J（22,

22

例2：過(guò)橢圓「：?+%=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)工的直線交橢圓于A3兩點(diǎn)，耳為其左

焦點(diǎn)，已知AAKB的周長(zhǎng)為8,橢圓的離心率為日

（1）求橢圓r的方程

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓「恒有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,且

0P，。。？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：（1）由△A/JB的周長(zhǎng)可得：4a=8=〃=2

e=—=nc=A/3b2=a2—c2=1

a2

r2c

橢圓r：一+V=1

4

（2）假設(shè)滿足條件的圓為爐+y2=六，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi)

/.0<r<l

若直線PQ斜率存在，設(shè)尸Q:y=Ax+根，尸（%,乂）,。（々,％）

222

?/PQ與圓相切:4_1=.=r<=m=r（k+1）

OP.LOQ^OPOQ=G即為9+X%=0

,y=kx+m（八）9

聯(lián)立方程：f=>（l+4/）d+8初a+4機(jī)2-4二0

x+4y=4'7

8km4m2-4

12

4公+1I?4P+1

22

/.%%=（g+m）（Ax2+m）=kXyX2+加（石+x2）+m

...玉%2+M%=（k2+1）%%2+6（玉+%）+加2

4m2-48km)2

?（左之十1卜赤.4F+1J+m

4k2+1

5/7Z2-4^2-4

-4左2+1

2

5m之-4k-4=0對(duì)任意的私k均成立

將蘇=產(chǎn)（左2+1）代入可得:5/（產(chǎn)+1）—4儼+1）=0

（5/一4）（左2+］）=0...廠2=1

.??存在符合條件的圓，其方程為：x2+y2=-

5

當(dāng)尸Q斜率不存在時(shí)，可知切線「。為兀=±2也

若吟=|后"孚叫2除一苧|

:.OPOQ=Q;.PQ:x=|6符合題意

若PQ:x=-1行，同理可得也符合條件

4

綜上所述，圓的方程為：f0+y02=—

5

22

例3：已知橢圓A+%=l（a〉6〉0）的左右焦點(diǎn)分別為用片，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為AB,

且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形

FXAF2B

（1）求橢圓的方程

（2）若C,。分別是橢圓長(zhǎng)軸的左，右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)〃滿足

MDLCD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P,證明麗?麗是定

值

（3）在（2）的條件下，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)。的定

點(diǎn)。，使得以“。為直徑的圓恒過(guò)直線DP,"。的交點(diǎn)。若

存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：（1）?.?四邊形耳4工5是邊長(zhǎng)為2的正方形

，可得：b—c-V2a2=b2+c2=4

橢圓方程為土+匕=1

42

（2）由橢圓方程可得：C（—2,0）,￡＞（2,0）,由MD,CD可設(shè)“（2,%）,「（不弘）

二3-0一°

-2-（-2）-4

.?.CN:y=兀（x+2）,與橢圓方程聯(lián)立可得:

17./v

5券-42（尤-8）

由韋達(dá)定理可知:xcxx=------z—n玉=----------

1+2￡北+8

8

代入直線CM可得：%=一^

￥+8

2（券—8）雙

Tn+8熄+8

設(shè)Q（m,0）

:.MQ=（m-2,-y0）

若以兒。為直徑的圓恒過(guò)直線DP,M。的交點(diǎn)，則9?詼=0

二蕈絲=0恒成立，m=0

%+8

存在定點(diǎn)Q（0,0）

例4：設(shè)E為橢圓石：《+》=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)/>[1,|]在橢圓￡上，直線

/0:3x-4y-10=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓E的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切

（1）求橢圓E的方程

（2）過(guò)點(diǎn)尸的直線/與橢圓相交于A,3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于的直線與橢圓交于另一

點(diǎn)。，問(wèn)是否存在直線/,使得四邊形e短。的對(duì)角線互相平分？若存在，求出/的方程；

若不存在，說(shuō)明理由

解：（1）與圓相切

d,oT=-10=c2=r：.a=2C

將代入橢圓方程;+g=l可得：b=^3

22

橢圓方程為：—+^=1

43

（2）由橢圓方程可得：F（l,0）

3

設(shè)直線=—?jiǎng)tPQ:y_5=Mx_l）

聯(lián)立直線/與橢圓方程：

"（x-1）消去可得：（4左2+3）龍2—83%+4左2—12=0

3X2+4/=12、）

A[=（8左2J-4（4左②+3）（4左②-12）=144A+144

:.\AB\=+-x2|=Jl+二,?=12（，+1）

1111-14k2+34P+3

同理：

聯(lián)立直線P。與橢圓方程：

.3

<，-Mx—1）+5消去y可得：（4左2+3）尤2—（8左2—12左）％+4左2一12左一3=0

3%2+4/=12

22

A,=[(8左2—12左)，-4(442-12k-3)(4^+3)=144(^+k+k

2

144(\4-+k+k

四仁川‘罷r"7淳

2

/1/C-?4k+3

因?yàn)樗倪呅嗡茹@。的對(duì)角線互相平分

四邊形上鉆。為平行四邊形

.-.\AB\=\PQ\

144、+左+左2

.12仔+1)

"4F+34r+3

3

解得：k=-

4

存在直線/:3x—4y-3=0時(shí)，四邊形PABQ的對(duì)角線互相平分

例5：橢圓。：0+我=1（。〉6〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，心，右頂點(diǎn)為4,尸為橢圓G

上任意一點(diǎn)，且兩?班的最大值的取值范圍是[。2,302],其中°=JL—廿

（1）求橢圓q的離心率e的取值范圍

（2）設(shè)雙曲線G以橢圓G的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，8是雙曲線G在第一象限上任意

一點(diǎn)，當(dāng)e取得最小值時(shí)，試問(wèn)是否存在常數(shù)2（/1>0）,使得NB4月=%/6片4恒成立？

若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：（1）設(shè)尸c,0）,耳（c,0）

.?.困=（-c一—y）,至=（c-x,-y）

22

:.PFlPF^=^+y-c

由j=l可得：V-Jx?代入可得：

aba

_..（2

PF-PF=x2+y2-c2=1-----x2+b2-c2=-x2+b2-c2

X2一a）a

xa]「.（尸/尸鳥）=b2

（2c2<〃2

c1<b2<3c2=4>c2<?2-c2<3c2=>^C一

4c2>a2

1/2/1L/g

4222

（2）當(dāng)6=,時(shí)，可得：a=2c,b=y/3c

2

22

，雙曲線方程為5-友=1,A（2G0），4（-C,0），設(shè)3（%%），xo>O,yo>O

當(dāng)AB_Lx軸時(shí)，x0=2c,%=3c

3rTC7i

tanBEA=—=1二ZBF.A=-因?yàn)閆BAF.=-

13c1412

NBAF]=2NBRA

所以2=2,下面證明2=2對(duì)任意B點(diǎn)均使得/BA片A成立

考慮tanZBAF.=-k.=——匚,tanABF.A=k=

7'J1ADBr\71DFKiF

x0-2cxQ+c

2%

_2tanN5耳A_x0+c_2%（冗0+c）

=1—tad/B耳4=]（%j=（x°+c）2—3

由雙曲線方程f—\"二1，可得：y；=3x；—3c2

c3c

（%。+c）—yj=（%o+c）—3XQ+3c2=—2%；+2cxQ+4c?=2（x0+c）（2c—%（））

tan2ZBF.A=2%（：,+c）=%=tanZBAF

2（x0+c）（2c-x0）2c-x0

/.ZBAF,=2ZBF.A

結(jié)論得證

,2=2時(shí)，NBA"=4NBEA恒成立

例6：如圖，橢圓E：W+/=1（。〉萬(wàn)〉0）的離心率是乎，過(guò)點(diǎn)P（0」）的動(dòng)直線/與橢

圓相交于A3兩點(diǎn)，當(dāng)直線/平行于x軸時(shí)，直線/被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2J5

（1）求橢圓E的方程

（2）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得對(duì)于任意直線/,

4恒成立？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

儂附

解：（1）e=—=d-.u'.bc=:1:1

a2

二.橢圓方程為—-+=1

2b2b2

由直線/被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2立及橢圓的對(duì)稱性可得：

點(diǎn)（0,1）在橢圓上

^y+J=l=>/=2/.a2=4

x2y2

橢圓方程為一+L=1

42

（2）當(dāng)/與x軸平行時(shí)，由對(duì)稱性可得：|24|=|尸耳

IQAIIPAI....

.-.^4=一=1BPQA=QB

\QB\\PB\勺聯(lián)?

??.Q在AB的中垂線上，即。位于y軸上，設(shè)Q（O,y°）

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，則A（0,⑹,網(wǎng)0,-⑹

:.\PA\=42-1,\PB\=42+1儂=卜?！?，3=卜0+四

PA%-④J9-1

以lL-=可解得%=1或%=2

儂附一%+血V2+1

不重合，%=2

???2（0,2）

下面判斷Q（0,2）能否對(duì)任意直線均成立一￡

若直線/的斜率存在，設(shè)/:丁=五+1,

4（%，%），3（%2，%）

聯(lián)立方程可得：\X+2y=4^（l+2^2k2+4fcc-2=0

由座L網(wǎng)

可想到角平分線公式，即只需證明。尸平分NBQA

3\PB\

只需證明kQA=-kQB=>kQA+左0=0

???人（七,乂）倒%2。2）

%—2%—2_々（％-2）+%（%-2）_尤2乂+玉%—2（/+w）

I——

/、/、fy=區(qū)+1

因?yàn)锳（x1,y1）,B（x2,y2）在直線y=kx+l_L,代入①可得:

[y2=3+1

%2（g+1）+X1（AX2+1）—2（石+%2）2kxiX?一（玉+%2）

聯(lián)立方程可得：\

y=kx+X

24k

------7--------7

1+2尸1+2左2二。

kQA+kQB=0成立

平分NBQA.?.由角平分線公式可得：因=24

\QB\\PB\

例7：橢圓0:?+搟=1(?！?〉0)的上頂點(diǎn)為4,是C上的一點(diǎn)，以AP為

直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F

(1)求橢圓C的方程

(2)動(dòng)直線/與橢圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直

線/的距離之積等于1?若存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：由橢圓可知：A(O,Z?),F(c,O)

?.?A?為直徑的圓經(jīng)過(guò)/:.FA±FP

:.FAFP=OFA=(-c,b),FP=\^-c,^

4c^+—=0^c2--c+—=0

333

4b

由「在橢圓上，代入橢圓方程可得:

J_16J_

=]=>〃2二2

24/

c——c-\----=0,

33n6T=c=l

b2+c2=a2=2

橢圓方程為,+y2=i

(2)假設(shè)存在x軸上兩定點(diǎn)陷(4,0),弧(4，。)，(4<4)

設(shè)直線/:y=kx+m

\k\+m|\k\+m|

所以依題意:

M1"=VFTT

\k\+m|\k\+m|+/^)+m2

①

因?yàn)橹本€/與橢圓相切，.?.聯(lián)立方程:

‘O=>(2k2+l)x2+4kmx+lm2-2=0

%2+2y2=2'7

由直線I與橢圓相切可知A=（4加7—4（2左2+川2療—2）=0

化簡(jiǎn)可得：nr=2k2+l,代入①可得:

左+左〃，(4+4)+2k~+1

=1nk~AqA~,+左〃，(4+4)+24-+1=k+1

k2+l

.?"2（44+1）+版（4+4）=0,依題意可得：無(wú)論左，機(jī)為何值，等式均成立

44=-]

4=-1

4+4=o=><

4=1

,

所以存在兩定點(diǎn)：陷（—I,O），M（I,O）

例8：已知橢圓￡:必+4產(chǎn)=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，耳，點(diǎn)尸是G上任意一點(diǎn)，。是坐

標(biāo)原點(diǎn)，OQ=PFY+PFl，設(shè)點(diǎn)。的軌跡為。2

（1）求點(diǎn)。的軌跡。2的方程

（2）若點(diǎn)T滿足：OT^MN+2OM+ON,其中M,N是C2上的點(diǎn)，且直線OM,ON的

斜率之積等于-；，是否存在兩定點(diǎn)，使得|7X|+|7B|為定值？若存在，求出定點(diǎn)A3的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

（1）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（龍,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（如陽(yáng)），則其+4北=1

由橢圓方程可得：

2

__（/?）_，（也\

?.?麗=所+%且困=一方—X。,一%,尸乙=--x0,-y0

\\）

X

X-

..x=-2x0°29,

:.Q(-2x0,-2y0)°n/代入到焉+4需=1可得:

丁=-2%V

%一二

（2）設(shè)點(diǎn)T（x,y）,M（xl,y1）,?/（x2,y2）

??OT=MN+2OM+ON

二（蒼y）=（%—/，％—%）+2（%,x）+（9,%）

x=2X2+再

。=2%+%

設(shè)直線OM,ON的斜率分別為kOM,kON,由已知可得：kOM-k0N=^=--

x2Xj4

/.玉元2+4）1,2-0

2

考慮無(wú)2+4y=（2X2+玉『+4（2%+%『=（片+4N）+4（考+44）+4xtx2+16%%

入2+4y2=4

???M,N是G上的點(diǎn)「X:1

博+5=4

2

x+4y2=4+4x4=20

2222

即T的軌跡方程為土+匕=1,由定義可知，T到橢圓工+匕=1焦點(diǎn)的距離和為定值

205205

?,.A3為橢圓的焦點(diǎn)AA（-AA5,0）,B（^5,0）

所以存在定點(diǎn)AB

22/lQ

例9：橢圓E:5+當(dāng)=1（。〉6〉0）的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離為天一，離心率為

a"b2

半，拋物線6:丁2=2〃%（〃>0）的焦點(diǎn)與橢圓￡的焦點(diǎn)重合，斜率為左的直線/過(guò)G的

焦點(diǎn)與E交于A3,與G交于C,。

（1）求橢圓E及拋物線G的方程

11

（2）是否存在常數(shù)2,使得~：一為常數(shù)？若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

1\AB\\CD\^

明理由

解：（1）設(shè)瓦G的公共焦點(diǎn)為b（G。）

一旦一巫

FT-5-5-

e———2非=a=/.b2=a2—c2=1

a5

E:—+y2=1

5

y2=Sx

（2）設(shè)直線/:y=左（％—2）,A（菁,％）,5（%2，%），0（%3，%），。（％4，%）

與橢圓聯(lián)立方程：Jy-—2）=（5父+l）x2一20k2x+20k2-5=0

x2+5y2=5''

20k220k2-5

：.X1+%22=---------------1---2---------------丁

1+5V1+5左2

：.\AB\=Ji+左2J（%1+/）2-4中2-——2~~~

1十DK

直線與拋物線聯(lián)立方程：＜；一"：—2）二42工2—（442+8卜+4左2=0

4左2+8、、..8仔+1）

二.%3+%4=^2?.,CD是焦點(diǎn)弦.，JC。［=%3+%4+4=

1一_1+5左2,［2_4+20.2+6］左2_4+倒0+&）左2

"\AB\+\CD\275（^2+1）+8（^+1）-8百儼+1）—8A/5（^2+1）

+占為常數(shù)，則20+盾=41675

廿A=—

西35

22

Vy=l（a>b>0）的離心率為手,

例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0y中，橢圓C：r+

a

直線/與x軸交于點(diǎn)石，與橢圓。交于A,3兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸且點(diǎn)石為橢圓。的

/7

右焦點(diǎn)時(shí)，弦43的長(zhǎng)為2*

1

3

(1)求橢圓C的方程

11

(2)是否存在點(diǎn)E,使得為定值？若存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由

解：（1）依題意可得：e=—=abc—y/3:1;yf2

a3

當(dāng)/與x軸垂直且E為右焦點(diǎn)時(shí)，為通徑

?平回=-=孚"痛力=0

22

—+—=1

62

(2)思路：本題若直接用用字母表示A,E,B坐標(biāo)并表示|EA|,|EB|,則所求式子較為復(fù)雜,

不易于計(jì)算定值與E的坐標(biāo)。因?yàn)镋要滿足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出E點(diǎn)

11

及定值，再取判定(或證明)該點(diǎn)在其它直線中能否使得育+市為定值。

解：(2)假設(shè)存在點(diǎn)E,設(shè)￡(5,0)

若直線與％軸重合，貝|]4—C,0),網(wǎng)面,0)

|￡4|=|x()+Ve|,|EB\=|x0-閩

11112焉+12

22

I可即2(xo+V6)(x0-V6)芯-6『

若直線|A4與x軸垂直，則A3關(guān)于x軸對(duì)稱

???設(shè)4(%力鞏%-丁),其中y〉0,代入橢圓方程可得:

22ITIT

費(fèi)+g=iny=F2T

1126

--T---

倒班I22孟6-%

3

北+

,212_62(x；+6)(6—只)=6(焉—6?？山獾?

116

xQ=±V3----1----=----=2

|￡A|2\EBf6一片

???若存在點(diǎn)E,則E(土"0)。若網(wǎng)60),設(shè)4(3(%,%)

x1+3y2=6

設(shè)A3:x=my+百，與橢圓C聯(lián)立方程可得：＜，消去y可得:

x=my+13

2

my+I+3y2=6=>(加之+3)y2+2s/3my-3=0

2y/3m3

???…:一加”一

m2+3

]

11,1「，同理:11

222

-七『+才〃廣工+y；m2+1)%]EB「—(蘇+1)￥

1111弁+

2W

2m+l)y"+22

(加2+1)式(m+1)才￡(m+1)y；￡

2y/3m3

代入%+%=一可得:

12m2+6(加2+3)

2

1m2+3)18m2+18

=2

9(m2+l)9(m2+l

2

m2+,

11

所以了為定值，定值為2

11

若E(-Ao),同理可得了為定值2

11

綜上所述：存在點(diǎn)可士后0)

，使得|￡A|2+怛8「為定值2

三、歷年好題精選

1、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E:j+%=l（a〉6〉0）過(guò)點(diǎn)P百，

離心率為過(guò)直線/：x=4上一點(diǎn)〃引橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別是A3

2

（1）求橢圓E的方程

22

（2）若在橢圓1r+方=1（?！?〉0）上的任一點(diǎn)N（x0,y0）處的切線方程是

■+曄=1,求證：直線A3恒過(guò)定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)

ab~

（3）是否存在實(shí)數(shù)2,使得|AC|+忸a=X|Aq?忸q恒成立？（點(diǎn)C為直線A3恒過(guò)的

定點(diǎn)），若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

22

2、已知橢圓。：^+方二??！等恕?。）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線V=4x的焦點(diǎn)重合，

是橢圓C上的一點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)分別是橢圓C的左右頂點(diǎn)，P,Q是橢圓C上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線

ARAQ的斜率之積為-；，設(shè)AAP。與ABP。的面積分別為5”邑，請(qǐng)問(wèn)：是否存在常數(shù)

2（2e7?）,使得H=2邑恒成立？若存在，求出2的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

3、已知橢圓3+5=1（?！?〉°）經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率為:，左，右焦點(diǎn)分別為

月（—c,0）和下（c,0）

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)橢圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)回（T,0）作斜率為左（左中0）的直線/,交橢

圓。于瓦。兩點(diǎn)（3在之間），N為BD中點(diǎn)、,并設(shè)直線。N的斜率為左

①證明：左人為定值

②是否存在實(shí)數(shù)左，使得々N，A。？如果存在，求直線/的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由

4、已知圓M:（x+石y+丁=36,定點(diǎn)N（6,0）,點(diǎn)尸為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在NP

上，點(diǎn)G在上，且滿足而5=2而，詼?而=0

（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程

（2）過(guò)點(diǎn)（2,0）作直線/,與曲線C交于A8兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)痂=況+礪，

是否存在這樣的直線/,使得四邊形。AS5的對(duì)角線相等（BP|O5|=|AB|）?若存在，求

出直線/的方程；若不存在，試說(shuō)明理由

22

5、（2014,福建）已知雙曲線E:j—==1（?！?]〉0）的兩條漸近線分別為4:y=2x,

ab

l2'.y--2x

（1）求雙曲線E的離心率

（2）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線/分別交直線/]/于A,8兩點(diǎn)（A,8分別在第一、四象

限），且AOAB的面積恒為8,試探究：是否存在總與直線/有且只有八

一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在請(qǐng)

說(shuō)明理由

習(xí)題答案:

1、解析：(1)e=—=—=>a:Z?:c=2；V3:l

a2

?橢圓過(guò)點(diǎn)P

—亍H----不—1,再由a:6:c=2:-\/3:1可解得：a=2,b=yf3

a~4/r

22

.,.橢圓方程為：——F2-=1

43

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為人（七,%）,3（%2，%），直線上一點(diǎn)四（4,。，依題意可得:

兩條切線方程為:

至+鴕=1Y=1

43

由切線均過(guò)M可得:

型+9=1W+與=1

.43

74(國(guó),%),6(%2，%)均在直線=1上

因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線

:.AB-.x+^y=l,即過(guò)定點(diǎn)(1,0),即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0)

?IIIII?IIACl+1JBC|11

(3)AC+5C=4AC.BC=LJ_1__

.......Mcq=\AC\+\BC\

x+型=1

聯(lián)立方程：|3二(/+12)/—6a—27=0

3x2+4y2=12

6/27

：?%+%=不二^，%%=一不廠7,不妨設(shè)為>0,為<°

J.乙IIA.乙IL

lACl=J(%-if+才=，9二%,忸c|=J(%2+=一，91%

3h-X)

ii3%一X

而十國(guó)

[9+』I%%?79+r%%

H--------------y

12+t2n+t2i&44/+9x1444

\l9+t23

12+f

4

皿="使得aq+忸q=川人。.忸q恒成立

2、解析：(1)拋物線/=4x的焦點(diǎn)為(1,0):.c=l

191

--------1----------=1

依題意可知：<a24b2=>"=4,/?2=3

a2—b2=c2=1

22

二.橢圓方程為：-----F2-二1

43

(2)由(1)可得：A(—2,0),5(2,0),若直線尸。斜率存在

設(shè)尸。：y="+根,P(xl,y1),Q(x2,y2)

A到直線PQ的距離4=卜，一時(shí)8到直線PQ的距離d,

J1+42'J1+42

.5-；忖a4_41—2左+時(shí)

S2g.|p0d2"2\^k+m\

y=kx+mz_9

聯(lián)立方程：1°,n(3+4左2)/+8左如+4m2-i2=o

3x2+4y2=12'7

8km4加2—12

12

4左2+3124左2+3

KAP,KAQ="—-Jn4yly2+E+2)(9+2)=。(*)

為+2%2+24

、22m

yxy2-(kx+m)(fcr2+m)=kxxx2+km^xx+x2)+m=32""

22

/c、/c、7\16^-16^m+4m八、、天|/、一,口

X

(%1+2)(2+2)=xrx2+2(Xj+x2)+4=----------------------,代入至!j(*)可得:

.\m=2k^m=—k

當(dāng)加=2左時(shí)，尸Q:y=履+2左=左(1+2),交點(diǎn)與A重合，不符題意

:.m=-k,代入到凡可得:

邑

—二?,J=3=>5.=3s2，即之=3

3、解：(1)依題意可知：e=￡=」可得：a:b:c=2;j3:l

a2

22

.,.橢圓方程為：4?7+'^~2=L可得：c=l

22

，橢圓方程為：1-=1

43

(2)①證明：設(shè)3(%,%),￡>(%,%)，線段班>的中點(diǎn)N(%,%)

設(shè)直線/的方程為：丁=左(x+4),聯(lián)立方程:

y=k(x+4)

化為：(3+4左2)兀2+32左2尤+64左2—12=0

3X2+4J2=12

-32k26442—12

由A〉。解得：k1<-且=—；---,x,x=-----；

41'4^+312~4公+3

%+/_16左2%=/。+4)=￡

24k2+3

33

占=&=-2k.k=-----k=—

1

xQ4k4k4

②假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得FXNLAD,則kFiN-kAD^-l

12k

左24k

,k—y03+4

一、F[N—

16k2左2

xn0+l,1—4

----------------7+1

3+4左2

一一_M-+4)

AD

X2+2X2+2

_4左M9+4）_i

kpN,AD-y,——1

F'N仞1—4公赴+2

即4左2%+16左2=（4左2-1）無(wú)2+8左2—2=%=一2—8k2<-2

因?yàn)椤Ｔ跈E圓上，所