2025年高中數(shù)學《平面向量與復數(shù)》綜合測試卷（含答案及解析）

第五章平面向量與復數(shù)綜合測試卷

（新高考專用）

（考試時間：120分鐘;滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?北京大興三模）設乙族是非零向量，噂=合是4=加的（）

\a\\b\

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（5分）（2024?西藏?模擬預測）已知復數(shù)z=2T,則（）

1111

A.--+iB.--iC.-+iD.---i

3.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知向量日%為單位向量，演=值且江+石+之=6,貝無與石的夾角

為（）

71717121T

A.34C.]D,—

4.（5分）（2024?重慶?二模）若復數(shù)2=（2-砌+（2￡1-1）葭￡1€7?）為純虛數(shù)，則復數(shù)2+￡1在復平面上的對

應點的位置在（）

A.第一象限內B.第二象限內

C.第三象限內D.第四象限內

5.（5分）（2024?四川?模擬預測）已知平行四邊形4BCD中，E為4C中點方為線段4。上靠近點4的四等分

點，設前=五，AD^b,則說=（）

A.——a——bB.——u——b

C告一至D.告一系

6.（5分）（2024?陜西商洛?模擬預測）法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設兩個復

數(shù)Z1=ri（cos0x+isin。。,z2=r2（cos02+isin02）（^i^2>0），則之/2=r1r2[cos（01+02）+isin（6i+02）]-

設2=--學，則Z2024的虛部為（）

A?一孚B?亨C.1D,0

7.（5分）（2024?北京大興?三模）已知平面向量2=（1,㈤，加=（2,-2m）,則下列結論一定錯誤的是（）

A.a//bB.albC.|同=2回D.a-b=（1,-3m）

8.（5分）（2024?四川成都?模擬預測）在矩形4BCD中，AB=5,4D=4,點E是線段4B上一點，且滿足

4E=4EB.在平面4BCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則而?前的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.（6分）（2024?山東?模擬預測）已知向量值=（1,8），3=（—2,0）,則下列說法正確的是（）

A.a-b=2B.方與3的夾角為三

C.a1（a+2b）D.2+法區(qū)上的投影向量為歲

10.（6分）（2024?山東荷澤?模擬預測）已知復數(shù)2=a+歷（/6€11）,下列說法正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則a+b=0

B.若z是巖的共軌復數(shù)，則a+b=T

C.若z=（1+i）（l-3i）,則a+6=2

D.若|z-i|=L則|z|取最大值時，a+b=2

11.（6分）（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它

的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自

然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口NBCDE凡它的邊長為1,點P是△￡>￡尸內部（包括邊界）

的動點，則（）

A.DE=AF-^AD

B.AC-BD^

C.若尸為EF的中點，則而在前上的投影向量為-逐而

D.|豆+而|的最大值為V7

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知復數(shù)z=3-i（i為虛數(shù)單位），貝匹的虛部為.

13.（5分）（2024?湖南長沙?三模）平面向量a,h,c滿足：ale,{ajb）=^,（b,c）=且|a|=|c|=3,

同=2,貝！IH+B+.

14.（5分）（2024?天津南開?二模）已知在平行四邊形4BCD中，DE=^EC,BF=^FC,記屈=2,AD=

b,用2和石表示荏=；若4E=2,AF=遍,則前?方值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?天津河北?模擬預測）已知向量五=（3,4）,1=（1,久），c=（1,2）.

⑴若求同的值；

（2）若2II（五-2勵，求向量石-23與2的夾角的余弦值.

16.（15分）（23-24高一下?上海松江?期末）已知i為虛數(shù)單位，=（m2—3m—4）+（m2+m）i.

（1）當實數(shù)m取何值時，z是純虛數(shù)；

（2）當TH=1時，復數(shù)z是關于％的方程%2+p%+q=0的一個根，求實數(shù)p與q的值.

17.（15分）（2023?黑龍江大慶?二模）己知石=（sin2x+l,cos2x）,b=（-1,2）,%G[o,.

⑴若313,求x的值；

（2）求f（久）=ai的最大值及取得最大值時相應的x的值.

18.（17分）（2024?湖南邵陽?一模）在中，內角4滿足gsin22—cos22=2.

（1）求角4的大?。?/p>

（2）若反=2而，求需的最大值.

19.（17分）（2024?陜西?模擬預測）等邊△ABC外接圓圓心為0,半徑為2,0。上有點明前=久瓦？+y

~BC.

（1）若M為弧4C中點，求x+y；

⑵求前?萬最大值.

第五章平面向量與復數(shù)綜合測試卷

（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?北京大興三模）設幣是非零向量，喘，”是心針的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.

【解答過程】由《=森示單位向量相等，貝皈方同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出五=九

由2=3表示需同向且模相等，則奇=

所以喻是"—的必要而不充分條件

故選：B.

2.（5分）（2024?西藏?模擬預測）已知復數(shù)z=2—i,則六=（）

A.--+iB.--iC.萬+iD.---i

【解題思路】根據(jù)共輾復數(shù)和除法法則進行計算，得到答案.

【解答過程】因為z=2—i,所以5=2+i,

所以^____________2+i_（2+i>i_-l+2i__l

物以z-2-2T-（2+i）—_2i—（-2i>i-2一2十L

故選:A.

3.(5分)(2024?陜西安康?模擬預測)已知向量為工為單位向量，|耳=四且2+5+2=6,貝值與茄勺夾角

為()

717171211

A.3B.IC.E—

【解題思路】利用轉化法求得己不，再利用兩個向量夾角的余弦公式即可得解.

【解答過程】因為向量13均為單位向量，即|句=|刃|=1,且2+1+不=6,|c|=V3,

則五+b=~C,兩邊平方可得同2+|耳2+2己?1=|?|2,

HP2ab=l,所以五-b—\a\'\b\'cos(a,fe)=cos(a,b)=

又0W〈林)Wn,所以2與茄勺夾角為］

故選：C.

4.(5分)(2024?重慶?二模)若復數(shù)z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)為純虛數(shù)，則復數(shù)z+a在復平面上的對

應點的位置在()

A.第一象限內B.第二象限內

C.第三象限內D.第四象限內

【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)的定義解出a,利用復數(shù)的幾何意義求解.

【解答過程】??,復數(shù)z=(2—a)+(2a—l)i(aeR)為純虛數(shù)，.??｛丈

復數(shù)z+a=3i+2在復平面上的對應點為(2,3),位置在第一象限.

故選：A.

5.(5分)(2024?四川?模擬預測)已知平行四邊形中，E為ZC中點尸為線段上靠近點人的四等分

點，設荏=五AD=b,則阮=()

【解題思路】利用向量的線性運算可得答案.

【解答過程】如圖所示，由題意可得而=荏+前=2+幾

而EF=EA+AF=^CA+^AD="(a+3)+節(jié)=~a—^b,

故選：C.

6.(5分)(2024?陜西商洛?模擬預測)法國數(shù)學家棣莫弗(1667/754年)發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設兩個復

數(shù)Zi=ri(cos01+isinOD，z2=r2(cos02+isin02)(^i^2>0)，則z/?=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

設2=*一爭，則Z2024的虛部為()

A.-B.坐C.1D.0

22

【解題思路】變形復數(shù)Z,根據(jù)題中定義進行計算，即可判定.

【解答過程】Z=-呆苧i=cosy+isiny,

411X2024..4nx2024

所以z2024=cos—------1-isin---

2n,2n1后

=COSy+ISiny=~+—1,

所以Z2024的虛部為當.

故選:B.

7.(5分)(2024?北京大興?三模)已知平面向量4=(1即)，9=(2,-2加，則下列結論一定錯誤的是()

A.a//bB.albC.同=2同D.a-b=(1,-3m)

【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標表示求出參數(shù)巾的值，即可判斷A；根據(jù)港1=0及數(shù)量積的坐標表示求

出山，即可判斷B：表示出同，回，即可判斷C；根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示判斷D.

【解答過程】對于A：若石/萬，則1x(-2m)=2m，解得加=0,故A正確；

對于B：若五19，貝頂?B=1X2—262=o,解得巾=±1,故B正確；

對于C：因為同=Vl+m2,|b|=02+(―2m)2=V4+4m2=2V1+m2,

顯然同=2同，故C正確；

對于D：a—b=(l,m)-(2,—2m)=(—1,3m)，故D錯誤.

故選：D.

8.(5分)(2024?四川成都?模擬預測)在矩形A8CD中，AB=5/。=4,點E是線段48上一點，且滿足

4E=4EB.在平面4BCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則而?尼的最大值為()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2,13—6

【解題思路】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算即可結合三角函數(shù)的性質求解.

【解答過程】以E為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，

動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，故設P(cosasin。)，

則4(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0—4,sin0—4)1(4,-5)=4(cos0-4)-5(sin0-4)=V41cos(0+(p)+4,其中銳角⑴滿足tan^=

5

4,

故而■前的最大值為WT+4,

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.(6分)(2024?山東?模擬預測)已知向量2=(1,g),b=(-2,0),則下列說法正確的是()

A.a-b-2B.3與辦的夾角為三

C.a1(a+2b)D.五+刃在刃上的投影向量為歲

【解題思路】利用向量的坐標運算即可，其中五+石在石上的投影向量公式為喟耳福.

【解答過程】對于A,由向量五=(1,何，b=(-2,0),則方不=1x(—2)+遙義0=-2,故A是錯誤的；

對于B,由向量的夾角公式得：，所以2與3的夾角為與，故B是錯誤的；

對于C,由2+2辦=(1,K)+2(—2,0)=(―3,遍)，所以a(a+2b)=(l,g>(—3,V^)=—3+3=0,即3_L

(2+2b),故C是正確的；

對于D,由2+至=(1，回+(—2,0)=(—1，回，貝皈+石在刃上的投影向量為：

弟國?普(T，丹(T。).亨2=(-1,0)=歲,故D是正確的；

網(wǎng)\b\2乙、，乙

故選：CD.

10.（6分）（2024?山東荷澤?模擬預測）已知復數(shù)2=。+歷（。/ER）,下列說法正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則a+b=0

B.若z是罟的共朝復數(shù)，則a+b=—|

C.若z=（1+i）（l—3i）,則a+b=2

D.若|z-i|=L則|z|取最大值時，a+b=2

【解題思路】根據(jù)復數(shù)的類型求解參數(shù)的值判斷A,利用復數(shù)的除法運算及共輾復數(shù)的概念求解參數(shù)判斷

B,利用復數(shù)的乘法運算求解參數(shù)判斷C,根據(jù)復數(shù)模的運算結合三角換元求解最值即可判斷D.

【解答過程】對于A：復數(shù)z=a+bi的實部為a,虛部為b,若z為純虛數(shù)，貝小片：&,

故a+b=bH0,錯誤；

對于B：因為罟第詈Y+|i,所以z=—（—芻，則a+b=T，錯誤：

1—3131）（1?+31）55555

對于C：z=（1+i）（l-3i）=4-2i,則a+b=2,正確；

對于D：因為|z—i|=1,所以JQ2+（為―1）2=1,即小+（b—i）2=1,

令｛力=74°shi0，貝"z|=Va2+b2=^/cos2^+（14-sin0）2=V2+2sin0,

因為JER,所以—lWsinJWL所以當sin6=l時，|z|取到最大值2,

所以a+6=2,正確.

故選：CD.

11.（6分）（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它

的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自

然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口N8CDER它的邊長為1,點尸是△￡>￡尸內部（包括邊界）

的動點，則（）

B.AC-BD=l

c.若尸為環(huán)的中點，則而在詼上的投影向量為-如■麗

D.|而+而|的最大值為V7

【解題思路】對于A：根據(jù)正六邊形的性質結合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)CEJ.EF結合投影向量

的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標運算求解.

【解答過程】對于選項A：因為無=而-赤=而-切，故A正確；

對于選項C：由題意可知：CE1EF,

若尸為點的中點，所以而在正上的投影向量為-阮，故C錯誤；

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，

則，（一3，一苧），璀，一苧）李），或，一外F（T，。），

可得而=（|,苧），麗=（0怖，所以更而=|,故B錯誤；

設P（x,y）,可知-1WxW今0WyW容

則麗=&亨），而=（%+l,y），可得而+而=（x+|,y+空）,

可知當x=T，y=孚，即點P與點。重合時，|而+而|的最大值為V7，故D正確；

故選：AD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

⑵（5分）（2024?陜西安康?模擬預測）已知復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位），則2的虛部為—今

【解題思路】根據(jù)復數(shù)的運算法則可得Z=9-手，進而萬=9+》，結合復數(shù)的有關概念即可求解.

【解答過程】2=吉7=君高T=＞全

所以萬=[+2,

則》的虛部為5

故答案為：

13.(5分)(2024?湖南長沙?三模)平面向量a,b,c滿足：ale,(a,b)—(b,c)=p且|a|=|c|=3,

\b\=2,貝!]\a+b+c\=_3.V2±1_.

【解題思路】結合數(shù)量積的定義和性質求出港人石%和九3利用忖+3+工|=]億+辦+。2即可求出答

案.

【解答過程】因為所以HU=o,

因為|磯=?=3,|同=2,(標)=]伍")=》

所以2-b=|同國cos位3)=3X2Xcos^=3,

b-c=|b||c|cos(fa,c)=2x3xcos]=3V3,

因為B+b+c|2=(a++c)2,

22

(a+b+c)-|由2+國之+同2+2(方-b+a-c+b-c)-28+6V3=(3V3+l),

所以|五+9+引=J(a+ft+c)2=J(3V3+l)2=3y/3+1.

故答案為：3V3+1.

14.(5分)(2024?天津南開?二模)已知在平行四邊形4BCD中，DE=^EC,BF=^FC,記屈=2,AD=

b,用石和石表示荏=_、五+5_;若2E=2,AF=在,則尼?麗值為

【解題思路】對于空1,由麗="得方=死=冠，結合荏=詬+而即可得解；對于空2,利用已

知條件將向量前和而轉換成向量而和荏來表示即可得解.

【解答過程】因為麗="，所以方=那=拂，

所以族=前+方=前+抽+

因為麗=河，所以麗=河=料，

所以尼=AB+AD=（而-而）+（XE-DE）=AF+荏一*屈+詬）=而+AE-^AC,

故次=而+族，即衣=涉+海=?（而+族），

又麗=AB-AD=（赤-而）-（左-函=AF-AE+（OE-FF）=AF-AE+|（^4S-AD）=AF-AE+海,

故|麗=AF-AE,即麗=|而-1族=|（赤-淳），

因為力E=2,AF=*）,

所以說?麗=，（而+AEyl（AF-AE）=l（JF2-AE2）=（X（6-4）=.

故答案為：+b；j.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.（13分）（2024?天津河北?模擬預測）己知向量3=（3,4）,3=（1,久），c=（1,2）.

（1）若求同的值；

（2）若工II（a-2b）,求向量五-23與五的夾角的余弦值.

【解題思路】（1）根據(jù)向量垂直的坐標表示求羽再代入模的公式，即可求解；

（2）首先根據(jù)兩向量平行求X,再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.

【解答過程】（1）由五1加得3+4x=0,解得x=—*

"石=(1，一則IE=J1?+(_')=

(2)由題意不一2刃=(1,4—2久)，

又2||(五一2%)，1x2-1x(4—2%)=0,解得x=l,

則五一2辦=(1,2),|a—2d|=Vl2+22-V5,|a|-V32+42=5,

伍_卷

cos(H—2fo,a)=21)1X3+2X411V5

|a-2h||a|-V5x525'

即向量2-21與H的夾角的余弦值為嘿.

16.（15分）（23-24高一下,上海松江,期末）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=（病―3m—4）+（*+m）i.

(1)當實數(shù)m取何值時，z是純虛數(shù)；

(2)當771=1時，復數(shù)z是關于％的方程%2+p%+q=0的一個根，求實數(shù)p與q的值.

【解題思路】(1)由z是純虛數(shù)得到實部為0,虛部不為0,解方程組得到皿的值；

(2)將z=-6+2i代入方程，實部和虛部均為0,解方程組得到p和q的值.

【解答過程】⑴由Z是純虛數(shù)得1%鬻，解得皿=4.

所以當TH=4時，Z是純虛數(shù).

(2)當7H=1時，z=-6+2i,

因為z是關于汽的方程%2+p%+q=0的一個根，所以z2+pz+q=0,

即(-6+2i)2+p(-6+2i)+q=0,整理得(32-6p+q)+(2p-24)i=0,

所以代力2普U,M?：40-

17.(15分)(2023,黑龍江大慶,二模)已知五二(sin2%+Leos?%),b=(—1,2),

(1)若五1反求x的值；

(2)求/(%)=a?石的最大值及取得最大值時相應的x的值.

【解題思路】(1)由平面向量的數(shù)量積為0可得近sin(2%-；)=0,再由％的范圍求得x值;

(2)/(%)=-魚sin(2%-：),結合x的范圍及正弦函數(shù)的最值求解.

【解答過程】(1)a=(sin2x+l,cos2x),b=(—1,2),

22

若五1b,則(sin2%+l;cosx),(—1,2)=-sin2x—1+2cosx=-sin2x+cos2x=0,

.,.sin2x—cos2x=0,即V^sin(2x-=0,

.?.2%—在[一：,用，可得2%—；=0,即％=余

(2)/(%)=a-b=—sin2x+cos2x=—V^sin(2%—；),

vxe[o,f]J,，,2x-ZG[~pT],可得當2%—：=一：，即％=o時，/(%)