銳角三角函數(shù)知識歸納與題型突破-2024-2025學(xué)年湘教版九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記（含答案）

第四章銳角三角函數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

銳角三角函數(shù)在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過程叫作解直角三角形。

三邊之間的關(guān)系

銳角之間的關(guān)系

之間的關(guān)系

已知斜邊和一^^邊

解直角三角形

已知兩直角邊

基本類型

已知斜邊和一銳角

改0一直角邊和一銳角

解與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問題

解與坡角、坡度有關(guān)的實(shí)際問題

簡單應(yīng)用

^有領(lǐng)實(shí)際問題

解與生活有關(guān)的其他實(shí)際問題

02知識速記

1.三角函數(shù)的定義:在RM8C中，如990。,那么2卷*3/號=2必號=%

7」

對a

2.余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如乙4+乙8=90。，那么:

shb4=cos5；cosZ=sir而taiL4=cot5；cot4=tan5.

3.同角三角函數(shù)關(guān)系:

sinA

sin224+cos2^4=1；taib4cot4=1.tanA=-------

cosA

4.函數(shù)的增減性：在銳角的條件下，正弦，正切函數(shù)隨角的增大，函數(shù)值增大；余弦，余

試卷第1頁，共23頁

切函數(shù)隨角的增大，函數(shù)值反而減小.

5.特殊角的三角函數(shù)值：如圖：這是兩個(gè)特殊的直角三角形，通過設(shè)公它可以推出特殊

角的直角三角函數(shù)值，要熟練記憶它們.

A

60°

K2K

30°

CV3KB

A

V2K

45°

CKB

Z-A30°45°60°

]_V2

sirU旦

2~T2

]_

cosA旦也

22

V3

tarU1G

~T

V3

cotAV31

3

6.解直角三角形：對于直角三角形中的五個(gè)元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少應(yīng)

該有一個(gè)是邊.

7.坡度：z=1：m=h/l=tana；坡角:a.

8.方位角:

北偏西30

南偏東71

9.仰角與俯角:

試卷第2頁，共23頁

03題型歸納

題型一正弦、余弦

例題1-1：（24-25九年級上?全國?單元測試）

1.如圖，在RtZk/BC中，ZACB=90°,CE是斜邊N3上的中線，過點(diǎn)￡作跖_(tái)1_/5交NC

于點(diǎn)尸，若2C=4,昉的面積為5,則/CM的正弦值為.

2.如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=24,45的垂直平分線Eb交ZC于點(diǎn)。，連接BD,

若cos/BOC=；,則8C的長是.

鞏固訓(xùn)練

（2024九年級下?全國?專題練習(xí)）

3.在中，ZC=90°,若A/BC的三邊都縮小5倍，則siM的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不變D.無法確定

（2024九年級下?全國?專題練習(xí)）

3

4.在中，ZC=90°,sin,則cosB的值為（）

（23-24九年級上?河南南陽?期末）

試卷第3頁，共23頁

5.在△/8C中，如果各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則銳角//的正弦值、余弦值的變化

情況是（）

A.都縮小為原來的1

B.都擴(kuò)大為原來的2倍

C.都沒有變化D.不能確定

（23-24九年級上?山西臨汾?期末）

6.如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測得

48=50。,8c=70cm,則點(diǎn)C到的距離為（）

7070

A.70cos50°B.70sin50°C.D.

cos50°sin50°

（24-25九年級上?云南?階段練習(xí)）

7.在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=3,AC=\,則sin4=()

A.迪

B.-C.VwD.Vio

33310

（23-24九年級上?河北石家莊?期中）

4

8.在RtZUBC中，ZC=90°,AC=6,sinN=1，則48的值為()

A.4.8B.9C.7.5D.10

（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

9.在△NBC中，ZC=90°,sinA=—,則cos5的值是（）

2

,1-V2nV3

A.1B.一C.—D.—

222

（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）

10.如圖，在中，ZC=90°,AC=4,BC=3,則cosB的值為()

試卷第4頁，共23頁

4

D.

3

（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）

11.如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)5處，再向正北方向走到。處，已知

ABAC=a,則A,。兩處相距（）

C.%一°sina米D./0cosa米

(2024九年級?全國?競賽)

12.已知//為銳角，則J(l-cos/)2).

A.cosA-1B.1-cosAC.1+cosAD.sinA

（2024?貴州?模擬預(yù)測）

13.在RtZUBC中，48是斜邊，AB=&,BC=6,則cosN=

（23-24九年級下?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）

3

14.如圖，在△4BC中，是邊上的高，2c=17,AD=9,cosZBAD^-,則線段C￡>

長為______

（23-24八年級下?江蘇淮安?階段練習(xí)）

4

15.RtZk/BC中，ZC=90°,/B=15,cosB=~,則5c的長為.

（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）

試卷第5頁，共23頁

3

16.在RtZk/CB中，ZC=90°,/C=8,sinA=~,貝l]BC=.

題型二正切

例題：（23-24九年級上?黑龍江大慶?期中）

17.構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合思想”的重要應(yīng)用，小康在計(jì)算tan22.5。時(shí)，構(gòu)

造出如圖所示的圖形：在RtzX48C中，ZC=90°,ZABC=45°,延長CB到。，BD=AB,

連接得4>=22.5。.根據(jù)此圖可求得tan22.5。的結(jié)果.

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?山東泰安?階段練習(xí)）

18.如圖，在△/BC中，NACB=9Q°,AB=5,4c=3,則tan/2的值為（）

A

4

C.D

3-1

（2024九年級上?山東濟(jì)南?專題練習(xí)）

19.中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股

定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”.若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1,a為

直角三角形中的較大銳角，則tana=（）

A.1B.2C.|D.y/5

（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）

試卷第6頁，共23頁

20.如圖，點(diǎn)/（2J）在第一象限，0/與x軸所夾銳角為a,tana=2,貝卜的值為（）

A.1B.2C.4D.V3

（2023?廣東清遠(yuǎn)?二模）

21.季華路文華公園里的電視塔是佛山城市中軸線的標(biāo)志性建筑物.如圖，在地面上的點(diǎn)

A,C處分別測得電視塔塔頂B的仰角均為1度，且點(diǎn)/,C,。在同一直線上，若測得NC=140

米，則塔高8。是（）

tanatana

（2024?廣東?模擬預(yù)測）

22.如圖所示，已知正方形的邊長為2,以點(diǎn)8為圓心，對角線AD的長為半徑畫

弧，交的延長線于點(diǎn)E,連接。E,貝Ijtan/5DE=.

（23-24九年級下?全國?單元測試）

3

23.在RtZ\48C中，ZC=90°,tanA=~,/2=10,則3c的長為

4

題型三特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

例題：（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）

24.（1）計(jì)算：2cos2450-6sin600+3tan450+4cos30°；

（2）計(jì)算:+J（l-tan60。）?

試卷第7頁，共23頁

鞏固訓(xùn)練

（2024?上海浦東新?一模）

3tan3O0-tan6(F+」廠-2024°

25.計(jì)算:

V3-V2

（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）

26.計(jì)算:

102

(l)3tan300.+V8cos45°+^(l-tan60)

cos60°

(2)2sin300+4cos30°-tan60°-cos245°.

(24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí))

27.計(jì)算：

(1)tan30°-tan60°+sin245°+cos245°;

(2)2cos30°-sin60°-tan45°-sin30°.

(23-24九年級上?黑龍江大慶?期中)

28.計(jì)算下列各題：

(1)(-2)°-2cos30°+|V3-2|.

(2)V3sin60°-3tan300+cos245°.

(24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí))

29.(1)計(jì)算：2sin30°+tan45°+cos2300-sin245°.

(2)$也45。一|2一四+(萬一1)。+]一￡].

(24-25九年級上?山東荷澤?期中)

30.計(jì)算：V8-2sin450+2cos600+11-VI|-cos230°-tan45°.

(24-25九年級上?吉林長春?開學(xué)考試)

31.計(jì)算：

⑴2cos30。-2cos45°+tan60°+|1-四；

(2)2sin2450-tan45°.

(24-25九年級上?全國?單元測試)

32.計(jì)算：2cos60°+sin30°.tan450+4cos245°

題型四由特殊角三角函數(shù)值判斷三角形形狀

試卷第8頁，共23頁

例題：（九年級上?江蘇鹽城?期末）

33.在△4BC中，-都是銳角，且|2sin/-l|+（百-tanB）2=0,則△NBC的形狀是

三角形（填“等腰”、“等邊”或“直角”）.

鞏固訓(xùn)練

（23-24九年級下?福建龍巖?階段練習(xí)）

34.在△N8C中，若（2cos/—也『+|l-tana=0,則么△/8C一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

（23-24九年級下?湖南衡陽?期中）

35.在△4BC中，sin5=cos(90°-ZC)=|,那么△48C是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

（23-24九年級上?湖南株洲?期末）

36.如果△/8C中，siM=cos3=正，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ZUBC是等邊三角形B.△NBC是鈍角三角形

C.△4BC是等腰直角三角形D.△4BC是銳角三角形

（23-24九年級上?山東青島?階段練習(xí)）

37.在△4BC中，NA,/C都是銳角，且sin/=cos（90。-。）=學(xué)，則△ABC的形狀是

（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.直角三角形

（23-24九年級上?福建泉州?期中）

38.在△4BC中，若cosN-J+--一cosB=0,則△4BC的形狀是（）

2S

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

（2023九年級下?全國?專題練習(xí)）

39.(A/3tanA—3)2+12cosS-1|=0,貝！J△NBC是()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.含有60。的任意三角形

試卷第9頁，共23頁

D.頂角為鈍角的等腰三角形

（四川自貢?一模）

40.在△NBC中，若乙4,25滿足sin/-日2

+］；-cos8I=0,貝必/BC是____三角形.

題型五已知角度比較三角函數(shù)值大小

例題：（九年級下?全國?單元測試）

41.（1）試比較18。，34°,52°,65。，88。這些角的正弦值的大小和余弦值的大小.

（2）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大?。簊in10°,

cos30°,sin50°,cos70°.

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）

42.sin55o、cos55\tan55。的大小關(guān)系是（）

A.tan55°<cos55°<sin55°B.cos55°<tan55°<sin55°

C.sin55°<cos55°<tan55°D.cos55°<sin55°<tan55°

（23-24九年級上?廣東梅州?期末）

43.若。=cos20°,b=sin40°,c=cos80°,則（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

（23-24九年級上?山東東營?開學(xué)考試）

44.三角函數(shù)sin30。、cos16%sin43。之間的大小關(guān)系是（）

A.sin43°>cos16°>sin30°B.cos16°>sin30°>sin43°

C.cos16°>sin43°>sin30°D.sin43°>sin30°>cos16°

（23-24九年級下?湖北襄陽?開學(xué)考試）

45.sin77°,cos77°,tan77°的大小關(guān)系是（）

A.tan770<cos770<sin77°B.cos77°<tan770<sin77°

C.sin770<cos77o<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

（2022九年級下?浙江?專題練習(xí)）

46.三角函數(shù)sin31。、cos16°,cos43。之間的大小關(guān)系是（）

A.sin310<cos160<cos43°B.cos43°<sin310<cos16°

C.sin310<cos430<cosl6°D.sin160<cos310<cos43°

（23-24九年級下?上海楊浦?階段練習(xí)）

試卷第10頁，共23頁

47.sin37°—cos52°（選填或“〈”或“=”）

（23-24九年級上?浙江金華?階段練習(xí)）

48.tan35°tan22°（填”＞或＜”）.

題型六解直角三角形

例題：（24-25九年級上?全國?單元測試）

49.在RtA48c中，ZC=90°,/4、NB、/C的對邊分別為。、b、c,由下列條件解直

角三角形.

（1）已知°=4而，c=8V5；

（2）已知°，ZB=30°.

鞏固訓(xùn)練

（2024?廣東?模擬預(yù)測）

50.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,AB=2,BC=\,延長C/到點(diǎn)。，使=連

接BD.利用此圖，可算出tan75。的值是（）

二^4

DAC

D.皂

A.2+V3B.2C.

23

（24-25九年級上?重慶?階段練習(xí)）

51.如圖，點(diǎn)E在矩形48c。的邊CD上，將△/￡＞￡■沿4E1翻折,點(diǎn)。恰好落在邊8C的點(diǎn)尸

3

處，如果BC=10,sinZBAF=~,那么EC=______.

（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）

52.在△4BC中，ZC=90°.

（1）若4c=3,BC=4,貝iJcos/=,sinA=,tan5=

試卷第11頁，共23頁

（2）若48=15,sin,則/C的長為；

（3）若/B=3,44=60。，則8c的長為.

（24-25九年級上?山東泰安?階段練習(xí)）

53.根據(jù)下列條件解直角三角形.

⑴在RtA48C中，ZC=90°,Z>=5,c=10；

⑵在RtZX/BC中，ZC=90°,N4=30°,SAABC=2073.

（24-25九年級上?山東威海?階段練習(xí)）

4

54.在菱形/5C。中，DEJ.AB,sinN=1,BE=2,求cosNDBE.

（23-24九年級上?廣東深圳?階段練習(xí)）

3

55.如圖，△NBC中，ADJ.BC于點(diǎn)、D,BC=14,AD=12,tanNBAD=—,求sinC,

4

AB,AC,sinfi,cosC的值.

題型七解非直角三角形

例題：（九年級上?山東煙臺(tái)?期中）

56.如圖，在△NBC中，ZB=30°,ZBCA=45°,AC=4,求的

試卷第12頁，共23頁

鞏固訓(xùn)練

（2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）

57.在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，那么sin/NCB的值

為（）

（九年級上?江蘇南通?期末）

58.如圖，在△NBC中，44=30。，AC=2^,tan5=—,則48的長為（）

2

A.2+273B.3+V3C.4D.5

（九年級下?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí)）

59.如圖所示，某公路檢測中心在一事故多發(fā)地帶安裝了一個(gè)測速儀，檢測點(diǎn)設(shè)在距離公路

10俏的A處，測得一輛汽車從B處行駛到。處所用的時(shí)間為0.9s.已知乙8=30。，ZC=45°,

那么這輛汽車速度是m/s.（參考數(shù)據(jù)：V3=1.7,V2=1.4）

（九年級下?廣西桂林?階段練習(xí)）

60.如圖，△NBC的三個(gè)頂點(diǎn)都在邊長是1的小正方形的頂點(diǎn)上，則

tanABAC=.

試卷第13頁，共23頁

（23-24九年級上?安徽六安?階段練習(xí)）

61.如圖，在△/BC中，ZTI=30°,AB=45°,BC=342.

C

⑴求/c的值.

（2）求A/BC的面積（結(jié)果保留根號）

（23-24九年級上?江蘇泰州?期中）

]/?

62.如圖，是△/BC的中線，lanB=-,cosC=—,AC=y/2

52

求：

（1）8C的長；

（2）//OC的正弦值.

題型八仰角、俯角問題

例題：（24-25九年級上?上海?期中）

63.如圖，甲乙兩幢樓之間的距離CD等于45米，現(xiàn)在要測乙樓的高8C,（5C1CD）,所

選觀察點(diǎn)/在甲樓一窗口處，AD//BC.從/處測得乙樓頂端8的仰角為45。，底部C的

俯角為30。，求乙樓的高度（取百=1.7,結(jié)果精確到1米）.

試卷第14頁，共23頁

□□

□□

□□

□□

甲

一□□

口□□

口□□

口□□

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）

64.如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿。的高度，在地面離旗桿底部C處22米的/處放置高

度為L5米的測角儀N8,測得旗桿頂端。的仰角為32。，求旗桿的高度CD.（結(jié)果精確到

0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan320=0.62]

-----------------rE

A'-------------------------'C

（2024?湖南?模擬預(yù)測）

65.如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)為了測量學(xué)校旗桿EF的高度，在觀測點(diǎn)/

處觀測旗桿頂點(diǎn)K的仰角為45。，接著小明朝旗桿方向前進(jìn)了7nl到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)，在觀

測點(diǎn)。處觀測旗桿頂點(diǎn)E的仰角為60。.假設(shè)小明的身高為1.68m,求旗桿E尸的高

度.（結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：72=1.414,$1.732）

（2024?西藏?中考真題）

66.在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測量家附近的一座小山高度”的探究作

業(yè).如圖，次仁在/處測得山頂C的仰角為30。；格桑在2處測得山頂C的仰角為45。.已

試卷第15頁，共23頁

知兩人所處位置的水平距離MN=210米，/處距地面的垂直高度/"=30米，8處距地面

的垂直高度BN=20米，點(diǎn)M,F,N在同一條直線上，求小山CF的高度.（結(jié)果保留根號）

（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）

67.研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng)，同學(xué)們來到毛主席

東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀(jì)念碑的

相關(guān)數(shù)據(jù).

數(shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)N是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，4B的長表示點(diǎn)/到水平地面的距離.航模從紀(jì)

念碑前水平地面的點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測得點(diǎn)/的仰角

ZACD=18.4°；然后沿CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角/NCO=37。，當(dāng)?shù)竭_(dá)

點(diǎn)/正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測得/E=9米

數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E,A,8三點(diǎn)在同一直線上.請根據(jù)上述

數(shù)據(jù),計(jì)算紀(jì)念碑頂部點(diǎn)/到地面的距離A8的長.（結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：sin37。a0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75,sin18.4°~0.32,cos18.4°?0.95,tan18.4°?0.33）

//

Cr---D

MB

（2024?陜西?模擬預(yù)測）

68.小樂同學(xué)家住大樓甲中，某個(gè)周末，他站在陽臺(tái)眺望遠(yuǎn)方，當(dāng)看到正對面的大樓乙時(shí),

陷入了思考:對面的大樓乙有多高？于是小樂做了一個(gè)簡易的測角儀用來觀測大樓乙的頂端

與底端.如圖，小樂家在點(diǎn)尸處，當(dāng)他抬頭觀察大樓乙的頂端A時(shí)，記其仰角為a,觀測大

3

樓乙的底端8時(shí)，記其俯角為方，整理所測數(shù)據(jù)：?=60°,tan^=-.已知甲、乙兩棟大

樓的間距為48m.請根據(jù)題目數(shù)據(jù)幫助小樂計(jì)算出大樓乙的高度.（圖中所有點(diǎn)在同一個(gè)平

試卷第16頁，共23頁

面內(nèi)，ABICG,EFICG,結(jié)果保留根號）

DA

CBFG

M（24-25九年級上?江蘇淮安一階段練習(xí)）

69.如圖，一座古塔坐落在小山上（塔頂記作點(diǎn)4其正下方水平面上的點(diǎn)記作點(diǎn)8）,小李

站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機(jī)進(jìn)行測量，但由于

某些原因，無人機(jī)無法直接飛到塔頂進(jìn)行測量，因此他先控制無人機(jī)從腳底（記為點(diǎn)。出發(fā)

向右上方（與地面成45。，點(diǎn)B,C,O在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中。點(diǎn)處,

再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無人機(jī)的速度為5米/秒，

NAOC=75°,求小李到古塔的水平距離即的長.

題型九方位角問題

例題：（2024?海南?中考真題）

70.木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部

最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿NC方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海

峽航行，如圖所示.

試卷第17頁，共23頁

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的/處.

記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的3處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東15。方向.

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

⑴填空：ZPAB=°,NAPC=。，AB=海里；

（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計(jì)算說明.

（參考數(shù)據(jù):V2?1.41,73?1.73,76?2.45）

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?山東泰安?階段練習(xí)）

71.如圖為某景區(qū)平面示意圖，C為景區(qū)大門，A,B,。分別為三個(gè)風(fēng)景點(diǎn).經(jīng)測量，

A,B,C在同一直線上，且A,B在C的正北方向，48=240米，點(diǎn)。在點(diǎn)B的南偏東75°

方向，在點(diǎn)A的東南方向.（參考數(shù)據(jù)：72^1,414.V3-1,732）

（1）求8,。兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1米）

⑵大門C在風(fēng)景點(diǎn)。的南偏西60。方向，景區(qū)管理部門決定重新翻修8之間的步道，求C。

間的距離.

（24-25九年級上?重慶九龍坡?開學(xué)考試）

試卷第18頁，共23頁

72.小明和小玲游覽一處景點(diǎn)，如圖，兩人同時(shí)從景區(qū)大門A出發(fā)，小明沿正東方向步行

60米到一處小山B處，再沿著3c前往寺廟C處，在5處測得亭臺(tái)。在北偏東15。方向上，

而寺廟C在B的北偏東30。方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時(shí)間到達(dá)亭臺(tái)。處,

再步行至正東方向的寺廟C處.

⑴求小山8與亭臺(tái)。之間的距離；（結(jié)果保留根號）

⑵若兩人步行速度一樣，則誰先到達(dá)寺廟。處.（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：0yl.41,

V3?1.73,&a2.45）

（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）

73.某市要在東西方向N兩地之間修建一條道路.如圖，C點(diǎn)周圍180m范圍內(nèi)為文物

保護(hù)區(qū)，在上點(diǎn)/處測得C在/的北偏東60。方向上，從/向東走500m到達(dá)8處，測

得C在8的北偏西45。方向上，則是否穿過文物保護(hù)區(qū)？為什么？

（23-24九年級上?重慶榮昌?期末）

74.今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心/的正北方向的2處,

其中A8=2km,明明位于游客中心N的西北方向的C處.烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太

陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60。方向緩慢前

進(jìn).15分鐘后，他們再游客中心/的北偏西37。方向的點(diǎn)。處相遇.

（1）求媽媽步行的速度;

試卷第19頁，共23頁

（2）求明明從C處到D處的距離.

（24-25九年級上?安徽宣城?開學(xué)考試）

75.如圖，一艘船8:00從A處出發(fā)沿著正東方向航行，此時(shí)岸邊的瞭望塔C在A處的西北

方向上；當(dāng)天10:00到達(dá)8處，此時(shí)瞭望塔C在B處的北偏西60。方向上，已知該船的平均

速度是30海里/小時(shí)，問：A/BC的面積是多少平方海里？（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：

1.414,V3?1.732）

（九年級上?重慶沙坪壩?期中）

76.隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場，設(shè)立雷達(dá)塔.某日，

在雷達(dá)塔A處偵測到東北方向上的點(diǎn)B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測區(qū)域，且以30

海里/時(shí)的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1

小時(shí)10分到達(dá)點(diǎn)A南偏東53。方向的C處，與此同時(shí)我方立即通知（通知時(shí)間忽略不

計(jì)）與N、C在一條直線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測攔截，其中海警船

位于與A相距100海里的。處.

⑴求4c的距離和點(diǎn)D到直線5c的距離；

（2）若海警船航行速度為40海里/時(shí)，可偵測半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時(shí)時(shí)，是

434

否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：sin53。*1,cos53°?f,tan53°?-）

553

題型十坡度、坡比問題

例題：（2024?山西長治?模擬預(yù)測）

77.“暢游山西，逛代縣邊靖樓”成為今年山西旅游新特色，某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量邊

試卷第20頁，共23頁

靖樓的高度，測量方案如圖：在坡底。處測得塔頂/的仰角為45。，沿坡比為5:12的斜

坡CD前行26米到達(dá)平臺(tái)C處，在C處測得塔頂/的仰角為60。.

A

（1）求坡頂C到地面的距離;

⑵計(jì)算邊靖樓的高度.

鞏固訓(xùn)練

（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）

78.如圖，某山坡的坡面A8=200米，坡角Nb4c=35。,則該山坡的高度3c是（）米

C.200cos35°D.200sin35°

cos35°sin35°

（2024九年級下?河南駐馬店?學(xué)業(yè)考試）

79.過街天橋的出現(xiàn)，解決了“過街”難題,也已成為一道獨(dú)特的風(fēng)景線，下圖是某過街天

橋的截橫面，橋頂力D平行于地面2C,天橋斜面CD的坡度為i=l：＞萬，CD長10m,天

橋另一斜面AB的坡角NABC=45°.

AD

⑴求點(diǎn)。到地面的距離；

（2）為了更方便過路群眾，若對該過街天橋進(jìn)行改建，使斜面AB的坡角變?yōu)?0。，改建后斜

面為/尸，則斜面NP的坡角/尸=30。，試計(jì)算此改建需占路面的寬度五8的長（結(jié)果精確到

0.1m）（參考數(shù)據(jù)百名1.73）

（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）

試卷第21頁，共23頁

80.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD,小明在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的

仰角為60。.沿坡面48向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡的坡度

i=l：5/8=10米，NE=15米.

⑴求點(diǎn)B距水平面AE的高度即7；

（2）求廣告牌CD的高度.（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):

收。1.414,V3-1.732）

（九年級上?重慶?階段練習(xí)）

81.某商場為方便顧客使用購物車，將滾動(dòng)電梯的原坡面/C改造為坡面已知改動(dòng)后

電梯的坡面長ND=13m,原坡面坡角//C3=30。，新坡面4D的坡度i=1:2.4.

（1）求斜坡底部增加的長度CD；（結(jié)果保留根號）

（2）電梯頂部水平線/E=7m,電梯上方點(diǎn)E處有懸掛廣告牌EF,EF1BD,EF=\m.若

高度L9m的物品乘電梯上行，行進(jìn)過程中是否會(huì)碰到廣告牌的下端尸？請通過計(jì)算說明理

由.

（24-25九年級上?河北石家莊?開學(xué)考試）

82.如圖，已知點(diǎn)C與某建筑物底端8相距306米（點(diǎn)C與點(diǎn)8在同一水平面上），某同學(xué)

從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡頂。處，斜坡。的坡度（或坡比）

i=1:2.4,在。處測得該建筑物頂端/的俯角為20。，則建筑物48的高度約為多少米？（精

確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.342,cos20°~0.940,tan20°?0.364）

試卷第22頁，共23頁

D

y1-^Tno—"

z=l：2.4

（23-24八年級下?全國?單元測試）

83.如圖，扶梯48的坡比為4:3,滑梯C￡）的坡比為1:2,3c平行于地面，BELAD

于點(diǎn)E,CFLAD于點(diǎn)尸.若NE=30dm,8c=40dm,一男孩從扶梯走到滑梯的頂部,

然后從滑梯滑下，他所經(jīng)過的總路程是多少（結(jié)果保留根號）？

BC

（24-25九年級上?福建泉州?階段練習(xí)）

84.風(fēng)能是一種清潔無公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保.如圖1所示，是一種風(fēng)

力發(fā)電裝置；如圖2為簡化圖，塔座建在山坡。廠上（坡比i=3:4,OE垂直于水平地

面砂，O,D,E三點(diǎn)共線），坡面。尸長10m,三個(gè)相同長度的風(fēng)輪葉片。4,OB,OC

可繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，每兩個(gè)葉片之間的夾角為120。；當(dāng)葉片靜止，。/與重合時(shí)，在坡底尸

處向前走25米至點(diǎn)M處，測得點(diǎn)。處的仰角為53。，又向前走23.5米至點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A

處的仰角為30°（點(diǎn)￡,F,M,N在同一水平線上）.

（1）求葉片0/的長；

⑵在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90。時(shí)（如圖3）,求葉片OC頂端C離水平地面

434

斯的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?j,小\.7,結(jié)果保留整數(shù)）

試卷第23頁，共23頁

【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE=4E=3E=；/8,進(jìn)而得到

NBEC=2NA=NBFC,從而有NCEF=NC8尸，根據(jù)三角形的面積公式求出4尸，由勾股定理,

在Rt^FBC中，求出CF,再求出/8=/2+如2=45最后根據(jù)/C跖=/E8C結(jié)合

銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】如圖，連接B尸，

：.AA=AACE,

-EFLAB,

??.EF是AB的垂直平分線，

???BF=AF,

**-S.AFE=S&BFE=5,AFBA=AA,

???S”q=1°=；//BC，/A=NFBA=NACE,

???BC=4,

AF=5=BF,

在Rt△尸5C中，BC=4,BF=5,

???CF7BF2-BC2=3,

y,-ZBCA=90°=ZBEFfZA=ZFBA=ZACE,

??.ZCBF=90°-ZBFC=90°-2ZA,

ZCEF=90°-ABEC=90°-2AA,

???/CEF=/FBC,

CF3

sin/CEF=sinZFBC=-----=—.

BF5

答案第1頁，共49頁

3

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)

以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

2.476

CD5

【分析】此題考查三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)cos/BOC=訪=,設(shè)CD=5x,BD=7x,

求出x=2,再根據(jù)勾股定理求出5C.

【詳解】在"△3C。中，ZC=90°,

CD5

???cos/BDC=——二—,

BD7

設(shè)CD=5x,BD=7x,

???E尸垂直平分45,

*'.AD=BD=7x,

5x+7x=24,

角軍得x=2,

...CD=5x=10,m=7x=14,

???BC=^BD2-CD2=4>/6，

故答案為4卡.

3.C

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在中，ZC=90°.銳角工的對邊。與

斜邊c的比叫做//的正弦，記作siM.直接利用銳角的正弦的定義求解.

【詳解】解:?.*"=90。,

?1.sirU=ZA的對邊與斜邊的比，

???△4BC的三邊都縮小5倍，

???一/的對邊與斜邊的比不變，

?1?sirk4的值不變.

故選：C.

4.B

【分析】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正弦和余弦的定義.

答案第2頁，共49頁

【詳解】解：-cos^-1sin.=-=?

cosB=sin4=—.

5

故選：B.

【分析】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確銳角三角函數(shù)的定義，知道變化前

后的兩個(gè)三角形相似.根據(jù)一個(gè)銳角△/BC的三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，可知擴(kuò)大后

//的度數(shù)沒有發(fā)生變化，可以判斷是否變化.

【詳解】解：,??一個(gè)△N8C的三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，

?-?//的度數(shù)沒有發(fā)生變化，

，銳角一/的正弦值、余弦值沒有變化，

故選：C

6.B

【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離等知識點(diǎn)，熟練掌握三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵.

如圖：過點(diǎn)C作CDLA8于點(diǎn)。，由三角函數(shù)定義可得CD=BCxsin8=70sin50。，即可解

答.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)C作CDLA8于點(diǎn)。

在RtA5C￡>中，sinZS=—,

BC

CD=BCxsin8=70sin50°,

.?.點(diǎn)C到AB的距離為CD=BCxsinB=70sin50°,故B正確.

故選：B.

答案第3頁，共49頁

7.A

【分析】根據(jù)正弦：我們把銳角A的對邊。與斜邊c的比叫做//的正弦，記作sin/進(jìn)行計(jì)

算即可.此題主要考查了銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握正弦定義.

【詳解】解：,?,NC=90。，AB=3,AC=1,

?1?BC=siAB2-AC2=V9^1=2V2，

.,BC2V2

sinA-----=------,

AB3

故選：A.

8.D

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可直接求解，解題的關(guān)鍵

是掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰

邊.

【詳解】解：如圖,

??.sm—4

AB5

,設(shè)5C=4x,AB=5x,

???由勾股定理得：4c=LB?_BC?=&5x）2_（4x）2=3X=6,

解得：x=2,

AB=5x=10,

故選：D.

9.D