專題37切線長定理（能力提升）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）

專題3.7切線長定理（能力提升）一、選擇題。1．（2021秋?中山市期末）如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．8 D．103．（2020秋?樊城區(qū)期末）如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周長等于3，則PA的值是（）A． B． C． D．4．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化6．（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．67．（2020?永州）如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心．其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021?東港區(qū)校級一模）如圖，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤擺放而成，點A為60°角與直尺交點，點B為光盤與直尺唯一交點，若AB＝3，則光盤的直徑是（）A．6 B．3 C．6 D．39．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．2010．（2020?河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π二、填空題。11．（2022?南安市一模）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，若∠APB＝60°，PO＝2，則⊙O的半徑等于．12．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為．13．（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，分別過⊙O上A、B、C三點作⊙O切線，切線兩兩交于P、M、N，PA＝9，則△PMN的周長為．14．（2022?相城區(qū)校級自主招生）一直角三角形的斜邊長為c，它的內(nèi)切圓的半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與三角形的面積的比是．15．（2021秋?金川區(qū)校級期中）如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA＝6，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是．16．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8cm，那么△PDE的周長為．17．（2021秋?興化市月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AD邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為．18．（2021?哈爾濱模擬）如圖，切線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，切線EF與⊙O相切于點C，且分別交PA、PB于點E、F，若△PEF的周長為6，則線段PA的長為．三、解答題。19．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，PO的延長線交⊙O于點C，連接BC，OA．（1）求證：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．20．如圖所示，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A，B．點Q為AB上一點．過點Q作⊙O的切線，分別交PA，PB于E，F(xiàn)兩點．已知PA＝12cm，∠P＝56°．（1）求△PEF的周長；（2）求∠EOF的度數(shù)．21．（2021秋?無為市校級月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．C是弧AB上任意一點，過點C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長．22．（2019秋?增城區(qū)期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為弦，BC為⊙O的直徑，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求證：△PAB是等邊三角形；（2）求AC的長．23．已知正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點，P不與M和C重合，以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F，切點為E．求四邊形CDFP的周長．24．如圖，PA，PB分別為⊙O的切線，切點分別為A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的長為cm．25．（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長；（2）∠COD的度數(shù)．26．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝20°，求∠P的度數(shù)．專題3.7切線長定理（能力提升）一、選擇題。1．（2021秋?中山市期末）如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D?！窘獯稹拷猓骸摺袿內(nèi)切于四邊形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故選：D．2．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．8 D．10【答案】D?！窘獯稹拷猓骸逷A、PB為圓的兩條相交切線，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周長＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周長＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周長＝10，故選：D．3．（2020秋?樊城區(qū)期末）如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周長等于3，則PA的值是（）A． B． C． D．【答案】A。【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周長等于3，∴PA+PB＝3，∴PA＝．故選：A．4．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B?！窘獯稹拷猓骸逜C、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故選：B．5．（2021秋?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【答案】B?！窘獯稹拷猓涸O(shè)E、F分別是⊙O的切點，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．6．（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A?！窘獯稹拷猓骸摺袿與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故選：A．7．（2020?永州）如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心．其中正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C?！窘獯稹拷猓骸逷A，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，∴PA＝PB，所以①正確；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正確；∵PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，∴四邊形OAPB有外接圓，所以③正確；∵只有當(dāng)∠APO＝30°時，OP＝2OA，此時PM＝OM，∴M不一定為△AOP外接圓的圓心，所以④錯誤．故選：C．8．（2021?東港區(qū)校級一模）如圖，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤擺放而成，點A為60°角與直尺交點，點B為光盤與直尺唯一交點，若AB＝3，則光盤的直徑是（）A．6 B．3 C．6 D．3【答案】A。【解答】解：設(shè)三角板與圓的切點為C，連接OA、OB，由切線長定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，∴光盤的直徑為6，故選：A．9．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C。【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長為16．故選：C．10．（2020?河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【答案】C?！窘獯稹拷猓涸O(shè)⊙O與正方形ABCD的邊CD切于E，與BC切于F，連接OE，OF，則四邊形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面積為4π，故選：C．二、填空題。11．（2022?南安市一模）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，若∠APB＝60°，PO＝2，則⊙O的半徑等于1．【答案】1?！窘獯稹拷猓骸逷A、PB是⊙O的兩條切線，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∵PO＝2，∴AO＝1．故答案為：1．12．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為S1+S3＝S2+S4．【答案】S1+S3＝S2+S4?！窘獯稹拷猓喝鐖D設(shè)切點分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，設(shè)DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1＝r（a+b），S2＝r（b+c），S3＝r（c+d），S4＝r（a+d），∴S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d），S2+S4＝r（a+d）+r（b+c）＝r（a+b+c+d），∴S1+S3＝S2+S4．故答案為S1+S3＝S2+S4．13．（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，分別過⊙O上A、B、C三點作⊙O切線，切線兩兩交于P、M、N，PA＝9，則△PMN的周長為18．【答案】18?！窘獯稹拷猓骸逷A、PB、MN分別與⊙O切于A、B、C，∴PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC，∴△PMN的周長＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝9+9＝18，故答案為：18．14．（2022?相城區(qū)校級自主招生）一直角三角形的斜邊長為c，它的內(nèi)切圓的半徑是r，則內(nèi)切圓的面積與三角形的面積的比是．【答案】?！窘獯稹拷猓涸O(shè)直角三角形的兩條直角邊是a，b，則有：S＝，又∵r＝，∴a+b＝2r+c，∴直角三角形的面積是r（r+c）．又∵內(nèi)切圓的面積是πr2，∴它們的比是．故答案是：．15．（2021秋?金川區(qū)校級期中）如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA＝6，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是12．【答案】12。【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周長＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝12．故答案為：12．16．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8cm，那么△PDE的周長為16cm．【答案】16cm?！窘獯稹拷猓骸逷A、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周長為16cm．故答案為16cm．17．（2021秋?興化市月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AD邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為14．【答案】14?！窘獯稹拷猓涸O(shè)AE的長為x，正方形ABCD的邊長為a，∵CE與半圓O相切于點F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的邊長為4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周長為14．故答案為：14．18．（2021?哈爾濱模擬）如圖，切線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，切線EF與⊙O相切于點C，且分別交PA、PB于點E、F，若△PEF的周長為6，則線段PA的長為3．【答案】3?！窘獯稹拷猓骸逧A，EC都是圓O的切線，∴EC＝EA，同理FC＝FB，PA＝PB，∴△PEF的周長＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，∴PA＝3；故答案為：3．三、解答題。19．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，PO的延長線交⊙O于點C，連接BC，OA．（1）求證：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．【解答】證明：（1）連接OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，在Rt△POA和Rt△POB中，∵，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴∠POA＝∠POB，∵∠POB＝2∠PCB，∴∠POA＝2∠PCB；（2）過B作BE⊥PC于E，∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，∴PO＝5，∴PO?BE＝OB?PB，∴BE＝，由勾股定理得：OE＝＝，∴CE＝OC+OE＝3+＝，在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．20．如圖所示，PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A，B．點Q為AB上一點．過點Q作⊙O的切線，分別交PA，PB于E，F(xiàn)兩點．已知PA＝12cm，∠P＝56°．（1）求△PEF的周長；（2）求∠EOF的度數(shù)．【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切線，過點Q作⊙O的切線，PA＝12cm，∴EA＝EQ，F(xiàn)Q＝FB，PA＝PB＝12cm，∴△PEF的周長＝PE+EQ+FQ+PF＝PA+PB＝24（cm）；（2）∵PA，PB是⊙O的切線，切點分別是點A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝56°，∴∠AOB＝124°，∵PA，PB是⊙O的切線，過點Q作⊙O的切線，∴∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∠EAO＝∠EQO＝90°，∠FQO＝∠FBO＝90°，∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠FOB，∴∠EOF＝∠AOB＝62°．21．（2021秋?無為市校級月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．C是弧AB上任意一點，過點C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．22．（2019秋?增城區(qū)期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為弦，BC為⊙O的直徑，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求證：△PAB是等邊三角形；（2）求AC的長．【解答】解：（1）∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∴PA＝PB，且∠P＝60°，∴△PAB是等邊三角形；（2）∵△PAB是等邊三角形；∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，∵BC是直徑，PB是⊙O切線，∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，∴∠ABC