22-二次函數(shù)中的存在性問題-十二大題型

二次函數(shù)中的存在性問題【題型1二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例1】（2023春·甘肅張掖·九年級?？计谥校┤鐖D甲，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當0<x<3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究），并求出最大面積及E點的坐標．(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、【變式1-1】（2023秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=ax2+3x+ca≠0與x軸交于點A?2,0和點B，與y軸交于點C0,8，點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線

(1)求拋物線的解析式；(2)求△BCP的面積最大值；(3)點M是拋物線的對稱軸l上一動點．是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【變式1-2】（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0，B4,0兩點，與y軸交于點C，頂點為D．點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E

(1)求拋物線的表達式；(2)求線段PQ的最大值；(3)如圖2，過點P作x軸的平行線交y軸于點M，連接QM．是否存在點P，使得△PQM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【變式1-3】（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）交x軸于點A（﹣1，0），點B（4，0），交y軸于點C．連接BC，過點A作AD∥BC交拋物線于點D（異于點A）．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸，交AD于點E，過點E作EG⊥BC于點G，連接PG．求△PEG面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32個單位，得到新拋物線y1，在y1的對稱軸上確定一點M，使得△BDM是以BD為腰的等腰三角形，請寫出所有符合條件的點M【題型2二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例2】（2023秋·四川廣安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(?3,2)，B(0,?2)，其對稱軸為直線x=52，C(0,12

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)試在線段AD下方的拋物線上求一點E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【變式2-1】（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？计谥校┤鐖D，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E

(1)求拋物線的解析式；(2)在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的橫坐標；(3)點P是對稱軸上的一動點，是否存在某一點P使P、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；不存在，說明理由．【變式2-2】（2023春·廣東梅州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(?2,5)，B(?1,0)，與x(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點P直線AC下方拋物線上的一動點，求△PAC面積的最大值；(3)在拋物線對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【變式2-3】（2023春·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期中）平面直角坐標系中，拋物線y=a(x?1)2+92與x軸交于A，B(4，0)(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A，C的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BCP是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，是否存在點M使AM+OM最小，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由；【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例3】（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于點A?1,0和點B4,0，與y軸交于點C，過動點D0,m作平行于x軸的直線l，直線l與拋物線

(1)求拋物線的表達式；(2)求m的取值范圍；(3)直線l上是否存在一點P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．【變式3-1】（2023秋·福建漳州·九年級?？计谥校┤鐖D①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點B1,0，與y軸交于點A，其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的角平分線交線段AC于點(1)求拋物線的解析式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式3-2】（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?x+3交x軸于點B，交y軸于點C，直線AD交x軸于點A，交y軸于點D，交直線BC于點E?12(1)求直線AD解析式；(2)點P從B點出發(fā)沿線段BA方向以1個單位/秒的速度向終點A運動（點P不與A，B兩點重合），設點P的運動時間為t，則是否存在t，使得△AEP為等腰直角三角形？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，點P出發(fā)的同時，點Q從C點出發(fā)沿射線CO方向運動，當點P到達終點時，點Q也停止運動，連接AQ，PQ，設△APQ的面積為S，S與t的函數(shù)關系式為S=32t2?12t+【變式3-3】（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y1=ax2?2x+c的圖象與x軸交點為A和B，與y軸交點為D0,3，與直線(1)求拋物線的解析式；(2)在直線y2=?x?3上是否存在一點M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出點(3)若點E是x軸上一個動點，把點E向下平移4個單位長度得到點F，點F向右平移4個單位長度得到點G，點G向上平移4個單位長度得到點H，若四邊形EFGH與拋物線有公共點，請直接寫出點E的橫坐標xE【題型4二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】【例4】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線l，l

(1)求點A、B、C的坐標；(2)點P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥y軸于點M，點N在y軸上，且點N在點M上方，是否存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，若存在，請求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點，與

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知點Pm,n在拋物線上，當?1≤m<3時，直接寫出n(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點D坐標為2,3，試問在該拋物線上是否存在點P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-2】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A，B兩點，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線l，l

(1)求點A、B、C的坐標；(2)點P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥y軸于點M，點N在y軸上，且點N在點M上方，是否存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，若存在，請求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形（1）求該拋物線的解析式；（2）求點P的坐標；（3）求證：CE=EF；（4）連接PE，在x軸上點Q的右側是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+22=(2【題型5二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例5】（2023秋·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B3,0

(1)求拋物線的解析式；(2)若點D是拋物線上的一點，當△ABD的面積為10時，求點D的坐標；(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在一點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2023秋·山東東營·九年級校考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0、B3,0兩點，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為線段BC上的一動點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，點D是拋物線的對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點E，使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【變式5-2】（2023秋·重慶梁平·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=?2x2+4x+6與y軸交于點A，與x軸交于點E，B（E

(1)如圖2，拋物線的頂點為點Q，求△BEQ的面積；(2)如圖3，過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D、交AC于點F，當點P在何位置時，PD+CF最大？求出最大值；(3)在（2）條件下，當PD+CF最大時，將拋物線y=?2x2+4x+6沿著射線AB平移，使得拋物線經(jīng)過點C，此時得到新拋物y′，點N是原拋物線對稱軸上一點，在新拋物線y′上是否存在一點M，使以點A，D，M【變式5-3】（2023秋·重慶江北·九年級重慶十八中?？计谀┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸正半軸交于點A，B，與y軸正半軸交于點C，且(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P為直線BC下方該拋物線上任意一點，點E為直線BC與該拋物線對稱軸的交點，求△PBE面積的最大值；(3)如圖2，將該拋物線沿射線CB的方向平移22個單位后得到新拋物線y′，新拋物線y′的頂點為D′，過（2）問中使得△PBE面積為最大時的點P作平行于y軸的直線交新拋物線y′于點M．在新拋物線y′的對稱軸上是否存在點N，使得以點P，D′【題型6二次函數(shù)中菱形的存在性問題】【例6】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點A、B（點B在點A左側），與y軸相交于點C(0,3)．已知點A坐標為(1,0)(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作直線BC的垂線，垂足為點E，過點P作PF∥y軸交BC于點F，求△PEF周長的最大值及此時點(3)如圖2，將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線y′，平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，點M為直線BC上的一點，點N是平面坐標系內(nèi)一點，是否存在點M，N，使以點B，D，M，N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M【變式6-1】（2023秋·甘肅慶陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C0,?3，點A在原點的左側，點B的坐標為3,0，點(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)連接PO、PC，并把△POC沿CO所在直線翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形PO(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的面積．【變式6-2】（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖：已知直線l:y=?2x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點B，且與x(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，四邊形OAMB的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；(3)若點P在平面內(nèi)，點Q在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點P使得以O，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式6-3】（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖：已知直線l:y=?2x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點B，且與x(1)求該拋物線的解析式；(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，四邊形OAMB的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；(3)若點P在平面內(nèi)，點Q在直線AB上，平面內(nèi)是否存在點P使得以O，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【題型7二次函數(shù)中矩形的存在性問題】【例7】（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．（1）求點A與點B的坐標；（2）若a＝13，點M是拋物線上一動點，若滿足∠MAO不大于45°，求點M的橫坐標m（3）經(jīng)過點B的直線l：y＝kx+b與y軸正半軸交于點C．與拋物線的另一個交點為點D，且CD＝4BC．若點P在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，以點B，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．【變式7-1】（2023·山東東營·東營市勝利第一初級中學校考三模）已知拋物線y=ax2+bx?4a≠0交x軸于點A4,0和點B

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線上位于直線AC下方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線AC于點D，交x軸于點E，當PD+PE取最大值時，求點P的坐標及PD+PE最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，對于平面內(nèi)任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且AC為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出M、N的坐標，不存在，請說明理由．【變式7-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(3,0),B(?1,0)兩點，交y(1)求拋物線的解析式和對稱軸．(2)若R為第一象限內(nèi)拋物線上點，滿足SΔRAC=(3)若點P在拋物線的對稱軸上，點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點P使得A、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．【變式7-3】（2023秋·廣東江門·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx?2a≠0交x軸于A?1，0、B(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ∥BP交x軸于點Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點(3)在（2）的條件下，將拋物線y=ax2+bx?2a≠0向右平移經(jīng)過點Q，得到新拋物線，點E在新拋物線的對稱軸上，是否在平面內(nèi)存在一點F，使得以A、P、E、【題型8二次函數(shù)中正方形的存在性問題】【例8】（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點，與y軸交于點C

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點D為直線y=x上的動點，當點P在第四象限時，求四邊形PBDC面積的最大值及此時點P的坐標；(3)已知點E為x軸上一動點，點Q為平面內(nèi)任意一點，是否存在以點P，C，E，Q為頂點的四邊形是以PC為對角線的正方形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【變式8-1】（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，已知拋物線y=?x2+2x+c與x軸交于點A3,0，

(1)求c的值及該拋物線的對稱軸；(2)若點D在直線AC上，點E是平面內(nèi)一點．是否存在點E，使得以點A,B,D,E為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【變式8-2】（2023·山西晉中·山西省平遙中學校?？寄M預測）如圖，二次函數(shù)y=?x2+2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．連接BC．點P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，設點P的橫坐標為m，過點P作直線PD⊥x軸于點D．交BC于點E．過點P作BC的平行線，交y(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；(2)在點P的運動過程中，求使四邊形CEPM為菱形時，m的值；(3)點N為平面內(nèi)任意一點，在（2）的條件下，直線PM上是否存在點Q使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式8-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)C1(1)有關二次函數(shù)C1①二次函數(shù)C1②二次函數(shù)C1的圖象的對稱軸是直線x③二次函數(shù)C1④函數(shù)值y隨著x的增大而減?。?2)當m=1時，①拋物線②將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，則拋物線(3)設拋物線C1與y軸相交于點E，過點E作直線l∥x軸，與拋物線C1的另一交點為F，將拋物線C1沿直線l翻折，得到拋物線C3，拋物線C1，C3的頂點分別記為P，Q．是否存在實數(shù)m，使得以點E，【題型9二次函數(shù)中面積問題的存在性問題組】【例9】（2023秋·四川廣安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A1,0,B

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△ACM的周長最??？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，連接BC，若在BC下方的拋物線上存在一點P，使得S△BCP=1【變式9-1】（2023春·江西九江·九年級?？计谥校┤鐖D，已知二次函數(shù)L1：y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，A點坐標(?1，0)，B點坐標(3,0)，與

(1)求二次函數(shù)L1的表達式及頂點P(2)二次函數(shù)L3與二次函數(shù)L1關于X軸對稱，直線L2與二次函數(shù)L①直接寫出二次函數(shù)L3②求出D點的坐標；③在直線L2上半部分的二次函數(shù)L3上，是否存在一點M，使得△AMD的面積最大？若存在，請求出【變式9-2】（2023春·山東東營·九年級東營市實驗中學?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與y軸交于點C0,4，與x

(1)求拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線上的一動點，且在直線BC的上方，當S△MBC取得最大值時，求點M(3)在拋物線上是否存在點P，使三角形ABP的面積為12？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式9-3】（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為E1，4的拋物線y=ax2+bx+c與x軸從左到右依次交于A，B兩點，與y軸的交點為(1)求此拋物線的解析式；(2)若直線BP與拋物線對稱軸交于點D，當BD?CD取得最大值時，求點P的坐標；(3)若直線BC與拋物線對稱軸交于點F，連接PC，PE，PF，記△PCF，△PEF的面積分別為S1，S2，判斷【題型10二次函數(shù)中線段問題的存在性問題】【例10】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級?？计谥校┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A?8,0，C2,0兩點，與y軸交于點D0,4．點E是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設點E的橫坐標為n，過點E作直線EB⊥x軸于點B

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當△EFD是以FD為底邊的等腰三角形時，求點E的坐標；(3)如圖2，連接CD，過點E作直線l∥CD，交y軸于點H，連接BH．試探究：在點E運動的過程中，是否存在點E，使得FD=BH，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【變式10-1】（2023春·四川南充·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標系中的Rt△AOB和Rt△COD全等，直角邊OB、OD在x軸上．已知點C的坐標為4，2，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F，拋物線y=ax2+bx+c(1)寫出點A的坐標并求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)點G為拋物線上位于線段OC所在可直線上方部分的一動點，求G到直線OC的最大距離和此時點G的坐標；(3)點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM的邊AM與邊BP相等？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式10-2】（2023秋·云南曲靖·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A?1,0，B3,0兩點，與y(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在點M，使得B、C兩點到直線AM的距離相等，如果存在，求出點M的坐標，如果不存在，請說明理由；(3)點P為x軸上一動點，以P為旋轉中心，把線段BC逆時針旋轉90°，得到線段GH，其中點B的對應點為點G，當拋物線的對稱軸剛好經(jīng)過GH中點時，求此時點P的坐標．【變式10-3】（2023秋·安徽阜陽·九年級?？计谀┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=?2與x軸交于點C，直線y=?2x+1經(jīng)過拋物線上一點B2,m，且與y軸．直線x=?2分別交于點D、E(1)求m的值及該拋物線對應的函數(shù)關系式；(2)①判斷△CBE的形狀，并說明理由；②判斷CD與BE的位置關系；(3)若Px,y是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P【題型11二次函數(shù)中角度問題的存在性問題組】【例11】（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B4,0兩點，與y軸交于點C，點(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，連接OD，若OP平分∠COD，求點P的坐標；(3)如圖2，連接AC，BC，拋物線上是否存在點P，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式11-1】（2023秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點B、C，與x軸另一交點為A(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上是否存在一點M，使△MBC的面積為27？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．【變式11-2】（2023春·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=12x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點E是線段AC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDAF的面積最大?求出四邊形CDAF的最大面積及此時E點的坐標；(3)在y軸上是否存在點P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，請直接寫出P點的坐標，若不存在，請說明理由．【變式11-3】（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=12x?2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過A，(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當△ACP的面積與△ABC的面積相等時，求點P的坐標；(3)是否存在點P，使得∠ACP=∠ABC?∠BAC，若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【題型12二次函數(shù)中最值問題的存在性問題】【例12】（2023秋·甘肅慶陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線y=38x2?34x?3與x軸的交點為點A、D(點(1)直接寫出A、D、C三點的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；(3)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式12-1】（2023秋·浙江寧波·九年級校考期中）對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當x<0時，它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)；當x≥0時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為“伴隨”函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x?3，它的“伴隨”函數(shù)為y=?x+3(1)已知點M?2，1在一次函數(shù)y=?mx+1(2)已知二次函數(shù)y=?x①當點Aa，3②當?3≤x≤3時，函數(shù)y=?x【變式12-2】（2023秋·河南洛陽·九年級河南省洛陽市第二十三中學校考期中）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為?3,0，與y軸交于點C

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAD周長最小，若存在，求出P點的坐標及△PAD周長的最小值；(3)若點M是直線AC下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段AC交于點N，求線段MN的最大值．【變式12-3】（2023春·湖南長沙·九年級校考期末）已知拋物線y=a?1x2+2a?7x+a

(1)求a的值．(2)若點P8?t，s和點Qt?4，(3)設點A位于x軸的下方且在這個拋物線的對稱軸的左側運動，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，過點D作DC⊥x軸，垂足于點C，試問四邊形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值和對應的x值，如果不存在，請說明理由．

二次函數(shù)中的存在性問題【答案版】【題型1二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】【例1】（2023春·甘肅張掖·九年級校考期中）如圖甲，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x(1)求該拋物線的解析式；(2)當0<x<3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究），并求出最大面積及E點的坐標．(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、【答案】(1)y=(2)最大面積為278，(3)存在，見詳解【分析】（1）把B、（2）連接CE、BE，經(jīng)過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F，設點F（x，?x+3），則點代入求出即可．（3）先求出C、P的坐標，由勾股定理可求【詳解】（1）解：∵直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，∴B（3，∴c=30=9+3b+c，解得b=?4∴拋物線解析式為y=x（2）當0<x<3時，在此拋物線上任取一點E，連接CE、BE，過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點設點F（x，∴EF=?x∴S△CBE=S△CEF+S△BEF∵a=?32<0∴當x=32時，S△CBE有最大值27∴E3（3）∵y=x∴對稱軸為直線x=2，頂點坐標為P（∴CP=2?0設點M的坐標為（2，m），則PM=m+1則m+1=2∴m=?1±25∴點M2,?1?25或2,?1+2若CP=CM=25，則4+∴m=7，∴點M（若PM=CM，如圖，過點C作CH⊥PM于H，∴CH=2，PH=4，∵CH∴4+HM∴HM=3∴點M2,∴滿足條件的點M分別為M1（2，7），M22,?1?25，【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的最值，等腰三角形性質，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點的應用，綜合性比較強．【變式1-1】（2023春·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=ax2+3x+ca≠0與x軸交于點A?2,0和點B，與y軸交于點C0,8，點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線(1)求拋物線的解析式；(2)求△BCP的面積最大值；(3)點M是拋物線的對稱軸l上一動點．是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)△BCP的面積最大值為32(3)存在，M點坐標為3,0或3,?5或3,52+5【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）先求出直線BC的解析式，過點P作PG∥y軸交BC于G，設Pt,?12（3）分三種情況進行討論：當BE=BM時；當BE=EM時；當BM=EM時；進而得出答案．【詳解】（1）解：將A?2,0，C0,8代入∴4a?6+c=0c=8解得a=?1∴y=?1（2）令y=0，則?1解得x=?2或x=8，∴B8,0設直線BC的解析式為y=kx+b，∴b=88k+b=0解得k=?1b=8∴y=?x+8，過點P作PG∥y軸交BC于設Pt,?12∴PG=?1∴S△CBP∴當t=4時，△BCP的面積有最大值，最大值為32；（3）①存在點M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：∵y=?1∴拋物線的對稱軸為直線x=3，∴E3,5，設M∴BE=52，BM=25+m當BE=BM時，52解得m=5（舍）或m=?5，∴M3,?5當BE=EM時，52解得m=52+5或∴M3,52+5當BM=EM時，25+m解得m=0，∴M3,0綜上所述：M點坐標為3,0或3,?5或3,52+5或【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合－面積問題以及特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵．【變式1-2】（2023春·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0，B4,0兩點，與y軸交于點C，頂點為D．點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E

(1)求拋物線的表達式；(2)求線段PQ的最大值；(3)如圖2，過點P作x軸的平行線交y軸于點M，連接QM．是否存在點P，使得△PQM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)3(3)存在一點P，當點P的橫坐標為83時，△PQM【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點C的坐標，進而求出直線BC的解析式，設Pm，?34（3）先證明PQ⊥PM，則當△PQM為等腰三角形，只存在PM=PQ這一種情況，設Pn，?34【詳解】（1）解：把A?1,0，B4,0代入y=ax∴a=?3∴拋物線解析式為y=?3（2）解：設直線BC的解析式為y=kx+b在y=?34x2+∴C0把C0，3，B4,0代入∴k=?3∴直線BC的解析式為y=?3設Pm，?∴PQ=?=?=?=?3∵?3∴當m=2時，PQ有最大值，最大值為3；（3）解：∵PQ⊥x軸，PM∥x軸，∴PQ⊥PM，∴當△PQM為等腰三角形，只存在PM=PQ這一種情況，設Pn，?同理可得PQ=?3又∵PM=n，∴?3解得n=83或∴存在一點P，當點P的橫坐標為83時，△PQM【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的定義等等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．【變式1-3】（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）交x軸于點A（﹣1，0），點B（4，0），交y軸于點C．連接BC，過點A作AD∥BC交拋物線于點D（異于點A）．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸，交AD于點E，過點E作EG⊥BC于點G，連接PG．求△PEG面積的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32個單位，得到新拋物線y1，在y1的對稱軸上確定一點M，使得△BDM是以BD為腰的等腰三角形，請寫出所有符合條件的點M【分析】（1）用待定系數(shù)法直接可得拋物線的函數(shù)表達式；（2）過點G作GH⊥PE于H，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，則AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根據(jù)等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，證明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系數(shù)法求出直線BC為y=?12x+2，根據(jù)AD∥BC得直線AD為y=?12x?12，設P（m，?12m2+32m+2），則E（m，?12m（3）求出點D的坐標D（5，﹣3），設點M的坐標為（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分兩種情況：①當BD＝BM時，②當BD＝MD時，根據(jù)等腰三角形的性質即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入拋物線y＝ax2+bx+2得：16a+4b+2=0a?b+2=0，解得a=?∴拋物線的函數(shù)表達式為y=?12x2（2）過點G作GH⊥PE于H，∵拋物線y=?12x2∴C（0，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC=12+22∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AD∥BC，EG⊥BC，∴AC＝BG=5∵PE∥y軸，∴∠OCG＝∠EFG，∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，∴∠ACO＝∠GEH，∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH（AAS），∴GH＝AO＝1，設直線BC為y＝kx+n，將C（0，2），B（4，0）代入得：4k+n=0n=2，解得k=?∴直線BC為y=?1∵AD∥BC，A（﹣1，0），∴直線AD為y=?12x設P（m，?12m2+32m+2），則E（m，∴PE=?12m2+2m∴△PEG面積為12PE?GH=?14m2+m+∵?1∴m＝2時，△PEG面積的最大值為94此時點P的坐標為（2，3）；（3）∵拋物線y=?12x2+32x+2=?12（x?32）2∴y1的對稱軸為x＝3，聯(lián)立直線AD為y=?12x?12，拋物線y=?12x2∴D（5，﹣3），設點M的坐標為（3，t），∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，①當BD＝BM時，∴BD2＝BM2，∴1+t2＝10，∴t＝±3，∴點M的坐標為（3，3）或（3，﹣3），∵點（3，3）與B，D共線，∴點M的坐標為（3，﹣3）；②當BD＝MD時，∴BD2＝MD2，∴t2+6t+13＝10，∴t＝﹣3±6，∴點M的坐標為（3，﹣3+6）或（3，﹣3?綜上所述，點M的坐標為（3，﹣3）或（3，﹣3+6）或（3，﹣3?【題型2二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】【例2】（2023春·四川廣安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(?3,2)，B(0,?2)，其對稱軸為直線x=52，C(0,12

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)試在線段AD下方的拋物線上求一點E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y=1(2)E(1,?223)，△ADE的面積S(3)存在，點F的坐標為F(52,13)或(52【分析】（1）根據(jù)點的坐標，運用待定系數(shù)法，建立方程組求解；（2）運用待定系數(shù)法，確定直線AD解析式為y=?12x+12，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求解得D(5,?2)，過點E作EF⊥x軸，交AD于點G，設E(m,16m2?5（3）存在．設點F(52,n)，則AF2=n2?4n+1374；D【詳解】（1）解：由題意，c=?29a?3b?2=2?∴y=1（2）解：設直線AD的解析式為y=kx+p(k≠0)，則?3k+p=2p=1∴直線AD解析式為y=?1聯(lián)立直線與拋物線解析式，得y=?12x+1∴D(5,?2)過點E作EF⊥x軸，交AD于點G，設E(m,16m2△ADE的面積S=∴S=?∴當m=1時，?3<m<5，△ADE的面積有最大值102此時，16∴E(1,?22

（3）解：存在．設點F(5AFDFAD①若∠FAD=90°，則DF∴n2+∴F(5

②若∠FDA=90°，則AF∴n2?4n+∴F(5

③若∠DFA=90°，則AD∴n2解得，n=±∴F(52

綜上，點F的坐標為F(52,13)或(52【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)圖象交點與方程組的聯(lián)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質；根據(jù)勾股定理建立方程是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·遼寧盤錦·九年級校考期中）如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E

(1)求拋物線的解析式；(2)在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的橫坐標；(3)點P是對稱軸上的一動點，是否存在某一點P使P、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；不存在，說明理由．【答案】(1)y=?(2)?3?(3)存在，?1,83【分析】（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A，與y軸的交點B的坐標，再將A，B兩點坐標代入y=?x（2）設第三象限內(nèi)的點F的坐標為m,?m2+2m+3，運用配方法求出拋物線的對稱軸和頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，再根據(jù)S△AEF=S△AEG（3）設點P坐標為?1,n，先由B，C兩點坐標運用勾股定理求出BC，再分兩種情況討論：①若∠PBC=90°，根據(jù)勾股定理列出關于n的方程，求出n值，得出P點坐標；②若∠BCP=90°，同①可求出對應的P點坐標，進而得出結果．【詳解】（1）∵y=x+3與x軸的交點A，與y軸的交點B的坐標，∴當y=0時，x=?3，即點A的坐標為?3,0，當x=0時，y=3，即點B的坐標為0,3，將A?3,0，B0,3代入得?9?3b+c=0c=3∴b=?2∴拋物線的解析式為y=?（2）如圖1，設第三象限內(nèi)的點F的坐標為m,?m

則m<0，?m∵y=?x∴對稱軸為直線x=?1，頂點D設拋物線的對稱軸與軸交于點G，連接FG，則G?1,0，AG=2∵直線AB的解析式為y=x+3，∴當x=?1∴E點坐標為?1,2.∵S==∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m2解得：m1=?3?當m=?3??=?=?3+m+3=m=∴點F的坐標為?3?21（3）設點P坐標為?1,n，∵B0,3，∴B分兩種情況①如圖2，

若∠PBC=90°，則PB2+B∴n=8∴點P的坐標為?1,8②如圖3，

若∠BCP=90°，則BC2∴n=?∴點P的坐標為?1,?2綜上所述，P點坐標為?1,83或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，函數(shù)圖像上的點的坐標特征，拋物線的頂點坐標和三角形面積的求法，直角三角形性質和勾股定理，其中利用面積的和差表示出S△AEF【變式2-2】（2023春·廣東梅州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(?2,5)，B(?1,0)，與x(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點P直線AC下方拋物線上的一動點，求△PAC面積的最大值；(3)在拋物線對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y(2)S(3)存在，Q1(1,8),Q2(1,?2)【分析】（1）直接把點A(?2,5)，B(?1,0)代入y=x2+bx+c,求出b、c的值即可得出拋物線的解析式；（2）先求出點C的坐標，根據(jù)S△PAC=1（3）設點Q的坐標為(1,y)，然后分三種情況討論：①∠QAC=90°；②∠QCA=90°；③∠CQA=90°．由勾股定理得到關于y的方程，解方程求出y的值即可．【詳解】（1）解：將A(?2,5)，B(?1,0)代入y=得4?2b+c=5解得b=?2c=?3∴二次函數(shù)的解析式為y（2）將y=0代入y=x2?∴點C(3,0)∵點P直線AC下方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸交AC于點E，如圖所示：

則S由A(?2,5)，C(3,0)得直線AC的解析式為：y=?x+3∴設P(x,x2∴xPE=y∴S∵x=?b將x=12代入S△PAC（3）解：存在，Q1(1,8)，Q2(1,?2)∵y=x∴對稱軸是直線x=1．∵A(?2,5)，C(3,0)，∴AC設點Q的坐標為(1,y)，分三種情況：①如果∠QAC=90°，那么QA則1+22+y?5所以點Q的坐標為(1,8)；②如果∠QCA=90°，那么QC則1?32+y?0所以點Q的坐標為(1,?2)；③如果∠CQA=90°，那么QC則1?32+y?02+所以點Q的坐標為Q(1,?1)或Q(1,6)．綜上所述，所求點Q的坐標為Q1(1,8)，Q2(1,?2)，【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質，勾股定理等知識．熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式2-3】（2023春·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期中）平面直角坐標系中，拋物線y=a(x?1)2+92與x軸交于A，B(4，0)(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A，C的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BCP是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，是否存在點M使AM+OM最小，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由；【答案】(1)y=?12(x?1)2+92，(2)存在，P(1，5)，(1，?3)，(1，2+7)，(1，2?7)(3)存在，M(85，125【分析】（1）將B(4，0)代入y=a(x?1)2+（2）根據(jù)題意y=?12(x?1)2+92，對稱軸為直線x=1，設P1,n，根據(jù)勾股定理BC2=（3）存在點M使AM+OM最小，作O點關于BC的對稱點Q，連接AQ交BC于點M，連接BQ，求得直線AQ的解析式y(tǒng)=23x+43【詳解】（1）解：將B(4，0)代入y=a(x?1)即0=9a+92，解得：∴y=?1令x=0，則y=?1令y=0，則?1解得：x1A(?2,0)，C(0，4)（2）解：存在點P，∵y=?12(x?1)設P1,n∵B(4，0)，C(0，4)，∴BC2=4①當∠BCP=90°時，BP∴4?12+n2=32解得：n=5②當∠CBP=90°時，PC∴12+4?n2=4?1解得：n=?3③當∠BPC=90°時，BC32=4?12+n2解得：n=2?7或n=2+綜上所述：P(1，5)，(1，?3)，(1，2+7)，(1，2?7)（3）存在點M使AM+OM最小，理由如下：作O點關于BC的對稱點Q，連接AQ交BC于點M，連接BQ，由對稱性可知，OM=QM，∴AM+OM=AM+QM≥AQ，當A、M、Q三點共線時，AM+OM有最小值，∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB=OC，∴∠CBO=45°，由對稱性可知∠QBM=45°，∴BQ⊥BO，∴Q(4，4)，設直線AQ的解析式為y=kx+b，∴?2k+b=04k+b=4解得k=2∴直線AQ的解析式y(tǒng)=2設直線BC的解析式為y=mx+4，∴4m+4=0，∴m=?1，∴直線BC的解析式為y=?x+4，聯(lián)立方程組y=?x+4y=解得x=8∴M(85，125【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)求解析式，勾股定理，軸對稱的性質求線段長的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】【例3】（2023春·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx?2與x軸交于點A?1,0和點B4,0，與y軸交于點C，過動點D0,m作平行于x軸的直線l，直線l與拋物線(1)求拋物線的表達式；(2)求m的取值范圍；(3)直線l上是否存在一點P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=1(2)m>?25(3)存在，2或4．【分析】（1）把點A?1,0和點B4,0代入（2）將拋物線解析式化成頂點式，求得y的最小值為?258．由直線l與拋物線有兩個交點，即可得出（3）分兩種情況：①當∠BCP=90°，BC=PC時，②如圖，當∠CBP=90°，BC=BP時，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?2經(jīng)過點A∴a?b?2=0，解得a=∴拋物線的表達式為y=1（2）解：y=1∴y的最小值為?25∵直線l與拋物線有兩個交點，∴m>?25（3）解：存在．當x=0時，y=1∴點C的坐標為0,?2．①如圖，當∠BCP=90°，BC=PC時，過點P作PG⊥y軸于G，∴∠BOC=∠CGP=90°．∵∠BCO+∠PCG=90°，∠GPC+∠PCG=90°，∴∠BCO=∠CPG．在△BCO和△CPG中，∠BOC=∠CGP，∴△BCO≌△CPG．∴CG=BO=4．∵CO=2，∴m=OG=4?2=2．延長PC至P′使得CP′易得，此時m=?6．（不合題意，舍去）②如圖，當∠CBP=90°，BC=BP時，過點P作PM⊥x軸于M，

∵∠BOC=∠BMP=90°，∠BCO+∠OBC=90°，∠PBM+∠OBC=90°，∴∠BCO=∠PBM．∴△BCO≌△PBM．∴PM=BO=4．∴m=PM=4．延長PB，使得BP′=BP同理可得，m=?4．（不合題意，舍去）綜上所述，直線l上存在一點P，使得△BCP是以BC為直角邊的等腰直角三角形．m的值為2或4．【點睛】本題屬二次函數(shù)綜合題目，主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質，二次函數(shù)圖象與直線交點問題，全等三角形判定與性質，等腰直角三角形性質，屬中考?？荚囶}目，要求學生熟練掌握相關性質并能靈活運用是解題的關鍵，注意（3）問要分類討論，以免漏解．【變式3-1】（2023春·福建漳州·九年級?？计谥校┤鐖D①，已知拋物線y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點B1,0，與y軸交于點A，其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的角平分線交線段AC于點(1)求拋物線的解析式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連接PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；(3)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)當m=52時，四邊形AOPE面積最大，最大值為(3)P點的坐標為：P1(3+52,1?52)，P2(3?52,1+52)，P3(5+【分析】（1）根據(jù)對稱軸可得x=?b2a=2（2）設P(m，m2?4m+3)，根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．【詳解】（1）解：依題意，x=?b∴b=?4a，∴拋物線解析式為y=ax將點B1,0代入得解得：a=1，∴拋物線的解析式；y=x（2）如圖2，設P(m，∵OE平分∠AOB，∠∴∠∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，設直線OE的解析式為y=kx，∴3=3k，解得：k=1，則直線OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點∴G(m,m)，∴PG=m?(m∴S=12×3×3+12=92+12=?32m2+15=32m?52∵?32<0∴當m=52時，S有最大值是75（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，∵∠OMP=∠OPF=∠FNP=90°∴∠MOP=90°?∠OPM=∠NPF∴△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P(m,m則?m解得：m=5+52∴P的坐標為(5+52,1+52)或(5?52如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，連接PF．同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則?m解得：x=3+52P的坐標為(3+52，1?52)或(3?綜上所述，點P的坐標是：P1(3+52,1?52)，P2(3?52,1+52)，P3(5+5【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，解第(2)問時需要運用配方法，解第(3)問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題．【變式3-2】（2023春·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?x+3交x軸于點B，交y軸于點C，直線AD交x軸于點A，交y軸于點D，交直線BC于點E?12(1)求直線AD解析式；(2)點P從B點出發(fā)沿線段BA方向以1個單位/秒的速度向終點A運動（點P不與A，B兩點重合），設點P的運動時間為t，則是否存在t，使得△AEP為等腰直角三角形？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，點P出發(fā)的同時，點Q從C點出發(fā)沿射線CO方向運動，當點P到達終點時，點Q也停止運動，連接AQ，PQ，設△APQ的面積為S，S與t的函數(shù)關系式為S=32t2?12t+【答案】(1)y=x+4(2)存在t=72使得(3)a=?32【分析】（1）先求出點C的坐標，再根據(jù)CD=1求出點D的坐標，再根據(jù)點D和點E的坐標利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點A和點B的坐標，得到OA=OD=4，則∠OAD=45°，推出當△AEP為等腰直角三角形時，只存在∠APE=90°或∠AEP=90°兩種情況，當∠APE=90°時，此時EP⊥AP，即EP⊥x軸，當∠AEP=90°時，則點E在線段AP的中垂線上，則此時點A和點P關于直線x=?1（3）將3，12代入S=at?1t?7中即可求出a的值；再根據(jù)當1<t<7時，S是關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的對稱性得到當t=4時，S有最大值，最大值為272，進而求出AP=3【詳解】（1）解：當x=0時，y=?x+3=3，∴點C的坐標為0，∵CD=1，∴點D的坐標為0，設直線AD的解析式為y=kx+b，∴?1∴k=1b=4∴直線AD的解析式為y=x+4；（2）解：當y=?x+3=0時，x=3，∴點B的坐標為3，當y=x+4=0時，x=?4，∴A?4∴OA=OD=4，又∵∠AOD=90°，∴∠OAD=45°，∴當△AEP為等腰直角三角形時，只存在∠APE=90°或∠AEP=90°兩種情況，當∠APE=90°時，此時EP⊥AP，即EP⊥x軸，∵E?∴P?∴BP=3??∴t=7當∠AEP=90°時，則點E在線段AP的中垂線上，∴此時點A和點P關于直線x=?1∴點P的坐標為3，0（舍去，此時點P與點綜上所述，存在t=72使得（3）解：將3，12代入S=at?1∴a=?3∵當1<t<7時，S=?32t?1t?7，即∴由對稱性可知，當t=1+72=4時，∴BP=4，∴AP=3??4∵S△APQ∴12∴OQ=9，∴AQ=O【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)的性質，勾股定理等等，正確理解題意并讀懂函數(shù)圖象是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y1=ax2?2x+c的圖象與x軸交點為A和B，與y軸交點為D0,3，與直線(1)求拋物線的解析式；(2)在直線y2=?x?3上是否存在一點M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出點(3)若點E是x軸上一個動點，把點E向下平移4個單位長度得到點F，點F向右平移4個單位長度得到點G，點G向上平移4個單位長度得到點H，若四邊形EFGH與拋物線有公共點，請直接寫出點E的橫坐標xE【答案】(1)y=?(2)存在，M(3)?2【分析】（1）先求得A?3,0，然后將A?3,0，D0,3（2）設Mm,?m?3，根據(jù)△ABM（3）設點E的橫坐標xE，分別求出，F(xiàn)xE，?4，GxE+4，?4，HxE+4，0，當F【詳解】（1）解：由y=?x?3得，y=0時，x=?3，∴A?3,0∵拋物線y=ax2?2x+c經(jīng)過A?3,0∴9a+6+c=0c=3，解得∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：由y=?x2?2x+3，令y=0解得：x1∴B1,0∵A?3,0∴AB=4，∵M是直線y2=?x?3上的點，設當AB為斜邊時，BM=2∴m?12解得：m1∴M當AB為直角時，BM=2∴m?1解得：m1∴M綜上所述，存在M（3）解：∵點E的橫坐標xE∴Ex由題可知，F(xiàn)xE，?4，當F點在拋物線上時，?x解得xE=?1+22當G點在拋物線上時，?（解得xE=?5+22∴?22?5<x【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，正方形的性質，數(shù)形結合解題是關鍵．【題型4二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】【例4】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A、B兩點，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線l，l

(1)求點A、B、C的坐標；(2)點P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥y軸于點M，點N在y軸上，且點N在點M上方，是否存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，若存在，請求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A2,0，B6,0(2)存在，P12,0、N10,1或P2?2,8、N20,9【分析】（1）根據(jù)題意，令y=0，解方程即可得到A2,0，B6,0，將一般式化為頂點式即可得到定點坐標（2）作出圖形，根據(jù)題意，要求以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，找出等邊或者等角，分類討論：①PM與BD是對應邊；②PM與CD是對應邊，列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵拋物線y=14x2?2x+3與x∴令y=0，則14x2?2x+3=0，解得∴A2,0，B∵拋物線y=1∴C4,?1（2）解：如圖所示：

∵C4,?1∴對稱軸l:x=4，∴l(xiāng)交x軸于點D2,0，則CD=1，BD=2根據(jù)題意可得∠CDB=∠PMN=90°，若以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，則點M與點D是對應點，設點P的坐標為m,14m①當PM與BD是對應邊時，則PM=BD=2，MN=DC=1，即m=2∴m=2或?2，當m=2時，14當m=?2時，14∴P12,0、N10,1，②當PM與CD是對應邊時，則PM=CD=1，MN=BD=2，即m=1∴m=1或?1，當m=1時，14當m=?1時，14具體情況，如圖所示：∴P31,54、N3綜上所述，存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，點P、N的坐標為P12,0、N10,1或P2?2,8、N20,9或【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標、二次函數(shù)中三角形全等問題，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質，理解二次函數(shù)綜合問題的解法是解決問題的關鍵．【變式4-1】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點，與

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知點Pm,n在拋物線上，當?1≤m<3時，直接寫出n(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點D坐標為2,3，試問在該拋物線上是否存在點P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y(2)?4≤n≤0(3)存在，點P的坐標為0,?3或2,?3【分析】（1）將A，C兩點的坐標代入解析式可得拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可求n的取值范圍；（3）在x軸上方的P不存在，點P只可能在x軸的下方，按照題意，分別求解即可．【詳解】（1）解：將A?1,0、C0,3代入拋物線c=?31?b+c=0解得：b=?2c=?3∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=（2）令y=x解得：x=3或?1，即A?1,0、B∴拋物線的對稱軸為x=1，當m=?1時，n=(?1)當m<3時，函數(shù)的最小值為頂點縱坐標的值：y=1?2?3=?4，故n的取值范圍為?4≤n≤0；（3）∵D(2，3)到x軸的距離為3，由圖象可知，

∵△ABP≌△ABD，則點P在x軸下方，點P到x軸的距離為3，（關于x軸對稱，或關于點M中心對稱），當y=?3時，x2解得：x=0或x=2，∴點P的坐標為0,?3或2,?3．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握是解題的關鍵．【變式4-2】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=14x2?2x+3與x軸交于A，B兩點，拋物線的頂點為C，對稱軸為直線l，l(1)求點A、B、C的坐標；(2)點P是拋物線上的動點，過點P作PM⊥y軸于點M，點N在y軸上，且點N在點M上方，是否存在這樣的點P、N，使得以點P、M、N為頂點的三角形與△BCD全等，若存在，請求出點P、N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A(2，0)，(2)存在，點P和點N的坐標分別為：P2,0,N0,1或P?2,8,N0,9或P1,【分析】（1）令y=0，得14x2?2x+3=0,解方程求出x的值，可得（2）分△PMN?△BDC和△PMN?△CDB兩種情況，依據(jù)全等三角形的性質討論求解即可．【詳解】（1）對于y=14x2解得，x∵點A在點B的左側，∴A(2，又y=∴C4,?1（2）由（1）知，A(2，0)，∵l交x軸于點D∴D∴BD=2,CD=1,∵PM⊥y軸,∴∠PMN=∠BDC=90°,分兩種情況討論：①當△PMN?△BDC時，PM=BD=2，MN=DC=1∴點P的橫坐標為2或?2；當x=2時，y=1∴P∴M∴N當x=?2時，y=1∴P∴M∵MN=1,∴N②當△PMN?△CDB時，PM=CD=1,MN=BD=2,∴點P的橫坐標為1或?1；當x=1時，y=1∴P∴M∵MN=2,∴N當x=?1時，y=1∴P∴M∴N綜上所述，點P和點N的坐標分別為：P2,0,N0,1或P?2,8,N0,9或P1,【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質，正確進行分類討論是解答本題的關鍵．【變式4-3】（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形（1）求該拋物線的解析式；（2）求點P的坐標；（3）求證：CE=EF；（4）連接PE，在x軸上點Q的右側是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+22=(2【答案】（1）y=14(x?2)2+1；（2）（2+2【詳解】試題分析：根據(jù)拋物線的頂點是（2，1），因而設拋物線的表達式為y=a(x?2)2試題解析：（1）設拋物線的表達式為y=a(x?2)2解這個方程，得a=14，∴拋物線的表達式為y=14（2）將x=2代入y=x，得y=2

∴點C的坐標為（2，2）即CG=2，∵△PCQ為等邊三角形∴∠CQP=60°，CQ=PQ，∵PQ⊥x軸，∴∠CQG=30°，∴CQ=4，GQ=23．∴OQ=2+23，PQ=4，將y=4代入y=14(x?2)2+1，得4=14解這個方程，得x1=2+23=OQ，x2=2﹣23∴點P的坐標為（2+23，4）；（3）把y=x代入y=14(x?2)2+1，得x=14解這個方程，得x1=4+22，x2=4﹣22＜2（不合題意，舍去）∴y=4+2∴點E的坐標為（4+22，4+22）∴OE==4+42，又∵OC==22，∴CE=OE﹣OC=4+22，∴CE=EF；（4）不存在．如圖，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，則CM=CE，∠QCM=∠PCE∵∠QCP=60°，∴∠MCE=60°，又∵CE=EF，∴EM=EF，又∵點E為直線y=x上的點，∴∠CEF=45°，∴點M與點F不重合．∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，∴原假設錯誤，滿足條件的點M不存在．考點：二次函數(shù)綜合題【題型5二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】【例5】（2023春·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)若點D是拋物線上的一點，當△ABD的面積為10時，求點D的坐標；(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在一點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：y(2)點D的坐標為4,5或?2,5(3)存在滿足條件的Q點的坐標為2,?3或4,5或?2,5【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設點D的坐標為x,x2?2x?3（3）分情況討論，當BC為四邊形的對角線時或當BC為邊時，分別求解即可．【詳解】（1）將A?1,0、B3,0代入a?b?3=09a+3b?3=0解得：a=1b=?2∴拋物線的解析式為：y=（2）設點D的坐標為x,x∵A?1,0、B∴AB=4，∴S△ABD即x2∴x2?2x?3=5或解得：x1=4，∴點D的坐標為4,5或?2,5；（3）拋物線y=x2假設存在，設Pxp,∴x分兩種情況討論：當BC為四邊形的對角線時，PB∥CQ，∴xB即2=x此時點Q的坐標為2,?3；②當BC為邊時，PQ∥BC，∴xQ?x解得：xQ=4或此時點Q的坐標為4,5或?2,5．綜上所述，存在滿足條件的Q點的坐標為2,?3或4,5或?2,5．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求解析式，三角形面積問題，以及二次函數(shù)中平行四邊形存在問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．【變式5-1】（2023春·山東東營·九年級?？计谀┤鐖D，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0、B3,0兩點，與y(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為線段BC上的一動點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，點D是拋物線的對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點E，使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)3(3)存在，點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，點E的坐標是?32,?9【分析】（1）根據(jù)題意將A，B兩點的坐標代入y=ax（2）求出直線BC的解析式，設點P坐標為t,?t+3，則M點坐標為t,?t2+2t+3，可表示出PM的長，則△BCM的面積=12（3）分三種不同的情況進行討論，利用平行四邊形的性質及平移規(guī)律即可求出點E的坐標．【詳解】（1）解：依題意得：a?b+3=09a+3b+3=0解得：a=?1b=2∴拋物線的解析式為y=?x（2）解：將x=0代入y=?x2+2x+3∴點C的坐標為0,3，設直線BC的解析式為y=kx+b，將0,3和3,0代入y=kx+b，得：3k+b=0b=3解得：k=?1b=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，設點P坐標為t,?t+3，則M點坐標為t,?t∴PM=?t∴===?3∴當t=32時，此時點P的坐標為32（3）解：存在，由（2）得：P3∵y=?x∴對稱軸為直線x=1，當四邊形APDE為平行四邊形時，則AP∥ED，AP=ED，∵A?1,0，P∴x∵x∴x將x=?32代入y=?x∴E?當四邊形APED為平行四邊形時，則AP∥DE，AP=DE，∴x∵x∴x將x=72代入y=?x∴E7當四邊形ADPE為平行四邊形時，則AE∥DP，AE=DP，∴x∵x∴x將x=?12代入y=?x∴E?存在點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，點E的坐標是?32,?94【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，用函數(shù)的思想求最值，平行四邊形的性質等，解題的關鍵是能夠根據(jù)題意利用平移規(guī)律進行分類討論求出存在的點的坐標．【變式5-2】（2023春·重慶梁平·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=?2x2+4x+6與y軸交于點A，與x軸交于點E，B（E(1)如圖2