2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第1節(jié) 基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第一節(jié)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖.3.知道球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.近三年高考考查了空間幾何體的體積及外接球的相關(guān)知識(shí)．預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)繼續(xù)考查空間幾何體的體積，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相eq\x(\s\up1(01))平行且eq\x(\s\up1(02))全等多邊形互相eq\x(\s\up1(03))平行且eq\x(\s\up1(04))相似側(cè)棱eq\x(\s\up1(05))平行且相等相交于eq\x(\s\up1(06))一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于eq\x(\s\up1(07))一點(diǎn)側(cè)面形狀eq\x(\s\up1(08))平行四邊形eq\x(\s\up1(09))三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，eq\x(\s\up1(10))垂直于底面相交于eq\x(\s\up1(11))一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于eq\x(\s\up1(12))一點(diǎn)軸截面eq\x(\s\up1(13))矩形eq\x(\s\up1(14))等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖eq\x(\s\up1(15))矩形eq\x(\s\up1(16))扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用eq\x(\s\up1(17))斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\x(\s\up1(18))45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面eq\x(\s\up1(19))垂直；②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別eq\x(\s\up1(20))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\x(\s\up1(21))不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼膃q\x(\s\up1(22))一半．3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝eq\x(\s\up1(23))2πrlS圓錐側(cè)＝eq\x(\s\up1(24))πrlS圓臺(tái)側(cè)＝eq\x(\s\up1(25))π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝eq\x(\s\up1(26))Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\x(\s\up1(27))eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝eq\x(\s\up1(28))4πR2V＝eq\x(\s\up1(29))eq\f(4,3)πR31．求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．2．求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．3．錐體中平行于底面的截面的性質(zhì)在錐體中，用平行于底面的截面截原錐體，得到一個(gè)小錐體，則小錐體與原錐體有如下比例關(guān)系：eq\f(S小錐底,S大錐底)＝eq\f(S小錐全,S大錐全)＝eq\f(S小錐側(cè),S大錐側(cè))＝對(duì)應(yīng)線段(如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等)的平方之比．這個(gè)比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程．在求臺(tái)體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，將臺(tái)體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式．4．有關(guān)棱柱直截面問題在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及與底面平行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長(zhǎng)有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)＝C直截l(其中C直截，l分別為棱柱的直截面周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng))，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長(zhǎng))．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)斜三棱柱的側(cè)面積也可以用c·l來求解，其中c是底面周長(zhǎng)，l為側(cè)棱長(zhǎng)．()(4)底面積相等且高相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題8.1T6改編)下列說法正確的個(gè)數(shù)為()①圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等；②棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面都是平行四邊形；③底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．A．1 B．2C．3 D．4答案C解析對(duì)于①，由圓柱的性質(zhì)知，母線長(zhǎng)相等，故①正確；對(duì)于②，所有棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)相等，側(cè)面都是平行四邊形，故②正確；對(duì)于③，底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐是正棱錐，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，用平行于底面的平面去截棱錐可得到棱臺(tái)，所以棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故④正確．故選C.(2)如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是()A．4 B．10eq\r(2) C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)答案B解析平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′sin30°＝5×2×eq\f(1,2)＝5，所以原平面圖形的面積是S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×5＝10eq\r(2).故選B.(3)(人教A必修第二冊(cè)8.3.2練習(xí)T1改編)已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為()A．2π B．3πC．4π D．5π答案C解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l·eq\f(2π,3)＝2π，解得l＝3，則該圓錐的表面積為π×1×3＋π×12＝4π.故選C.(4)(2023·江蘇常州一模)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為3eq\r(5)π，則該圓臺(tái)的體積為()A．eq\f(8π,3) B．eq\f(14π,3)C．5π D．eq\f(16π,3)答案B解析如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，則S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l＝π(1＋2)l＝3eq\r(5)π，解得l＝eq\r(5)，所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(（\r(5)）2－（2－1）2)＝2，則V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)(π＋4π＋eq\r(π×4π))×2＝eq\f(14π,3).故選B.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一基本立體圖形(多考向探究)考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(2024·河北唐山階段考試)下列說法錯(cuò)誤的是()A．球體是旋轉(zhuǎn)體B．圓柱的母線平行于軸C．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形D．用平行于正棱錐底面的平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)答案C解析球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體，即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于軸，B正確；如圖，斜平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，若AD⊥平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，則AD⊥AA1，側(cè)面四邊形ADD1A1是矩形，C錯(cuò)誤；由正棱臺(tái)的定義知，D正確．故選C.【通性通法】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．【鞏固遷移】1．(2024·湖北襄陽五中月考)下列說法正確的是()A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)答案B解析對(duì)于A，雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對(duì)于C，以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤．故選B.考向2平面圖形與其直觀圖例2已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(6),16)a2 B．eq\f(\r(3),32)a2C．eq\f(\r(3),16)a2 D．eq\f(\r(6),8)a2答案A解析解法一：根據(jù)題意，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測(cè)畫法畫出△ABC的直觀圖，如圖2所示．由斜二測(cè)畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選A.解法二：根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長(zhǎng)度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×S＝eq\f(\r(2),4)S.本題中易得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，則S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.故選A.【通性通法】利用斜二測(cè)畫法解題的策略策略一在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半策略二按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系為S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形【鞏固遷移】2．(2023·益陽調(diào)研)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖O′A′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為()A．eq\r(2) B．4eq\r(2)C．8eq\r(2) D．2eq\r(2)答案C解析由S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖，得S原圖形＝2eq\r(2)×4＝8eq\r(2).考向3空間幾何體的展開圖例3(2024·黑龍江哈九中期末)如圖，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的底面邊長(zhǎng)為1cm，側(cè)面積為9cm2，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A′的最短路線的長(zhǎng)為________cm.答案3eq\r(2)解析將正三棱柱ABC－A′B′C′沿側(cè)棱展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，依題意，AB＝BC＝CA1＝1cm，由側(cè)面積為9cm2，得C△ABC·AA′＝9，則AA′＝3cm，依題意，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)A′的最短路線的長(zhǎng)為AA1′＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋AA1′2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)cm.【通性通法】多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．【鞏固遷移】3．(2024·貴州黔東南期末)如圖1的平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形組成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖2的“正六面體”，則SS′＝________．答案eq\f(2\r(6),3)解析該六面體是由兩個(gè)全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長(zhǎng)為1，如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體S－ABC中，取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，則AD＝SD＝eq\f(\r(3),2)，OD＝eq\f(1,3)AD＝eq\f(\r(3),6)，SO＝eq\r(SD2－OD2)＝eq\f(\r(6),3)，所以SS′＝2SO＝eq\f(2\r(6),3).考向4空間幾何體的截面圖例4(多選)如圖，從一個(gè)正方體中挖掉一個(gè)四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是()答案BCD解析對(duì)于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開，但此時(shí)剖面中間應(yīng)該是一個(gè)正方形，因此A圖形不可能是該幾何體的截面；對(duì)于B，當(dāng)從正方體底面的一組相對(duì)棱的中點(diǎn)處剖開時(shí)，截面正好通過四棱錐頂點(diǎn)，如圖1，此時(shí)截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對(duì)于C，當(dāng)截面不經(jīng)過底面一組相對(duì)棱的中點(diǎn)處，并和另一組棱平行去剖開正方體時(shí)，如圖2中截面PDGH位置，截面形狀如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；對(duì)于D，如圖3所示，按圖中截面A1B1C1的位置去剖開正方體，截面形狀如D圖形，故D可能是該幾何體的截面．故選BCD.【通性通法】作多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而得到截面．【鞏固遷移】4．(2024·吉林長(zhǎng)春五中階段考試)圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是()答案D解析圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如圖1所示，則過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，棱錐頂點(diǎn)為圓柱上底面的中心，可得截面圖如圖2.故選D.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積例5(2024·江西萍鄉(xiāng)期末)如圖，平面四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,2)，∠ADC＝eq\f(3π,4)，AB＝5，CD＝eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()A．56π＋eq\r(2)π B．56π＋2eq\r(2)πC．55π＋eq\r(2)π D．55π＋2eq\r(2)π答案C解析四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐，因?yàn)锳B＝5，所以圓臺(tái)下底面的面積S1＝25π，又因?yàn)镃D＝eq\r(2)，∠ADC＝eq\f(3π,4)，所以ED＝EC＝1，BC＝eq\r(（2＋1）2＋（5－1）2)＝5，所以圓臺(tái)的側(cè)面積S2＝π(EC＋AB)·BC＝π(1＋5)×5＝30π.圓錐的側(cè)面積S3＝eq\f(1,2)·2π·EC·CD＝eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＝eq\r(2)π.所以所求幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝25π＋30π＋eq\r(2)π＝55π＋eq\r(2)π.故選C.【通性通法】空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．【鞏固遷移】5．(2023·河南鄭州一中期末)已知圓臺(tái)OO1軸截面的面積為3eq\r(3)，上、下底面半徑之比為1∶2，母線與底面所成的角為60°，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A．3eq\r(3)π B．6eq\r(3)πC．6π D．9π答案C解析作出軸截面ABCD，則四邊形ABCD為等腰梯形，∠ABC＝60°，過點(diǎn)A作AE⊥BC，設(shè)上底面半徑為x，則下底面半徑為2x，則上底面直徑AD＝2x，下底面直徑BC＝4x，則BE＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝x，則AE＝eq\r(3)x，則S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(2x＋4x)×eq\r(3)x＝3eq\r(3)，解得x＝1，則上底面半徑r1＝1，下底面半徑r2＝2，母線長(zhǎng)l＝2BE＝2，則圓臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)＝πl(wèi)(r1＋r2)＝2π(1＋2)＝6π.故選C.6．(2024·江蘇南京期中)如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為()A．8eq\r(3) B．4eq\r(3)C．2eq\r(3) D．eq\r(3)答案B解析正方體的棱長(zhǎng)為2，根據(jù)圖形，取正方體一條棱的中點(diǎn)M，連接MD，MC，則MD⊥MC，且MD＝MC＝1，所以CD＝eq\r(2)，因?yàn)閭?cè)面△ACD為等邊三角形，所以S△ACD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以該八面體的表面積S＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).故選B.考點(diǎn)三空間幾何體的體積(多考向探究)考向1直接法求體積例6(1)(2023·全國(guó)甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3答案A解析取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE?平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________．答案eq\f(7\r(6),6)解析如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高．因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).【通性通法】直接法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解．【鞏固遷移】7．(2023·全國(guó)乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A．π B．eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)π答案B解析在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝eq\r(3)，取AB的中點(diǎn)C，連接OC，PC，則OC⊥AB，PC⊥AB，如圖，∠ABO＝30°，OC＝eq\f(\r(3),2)，AB＝2BC＝3，由△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，得eq\f(1,2)×3×PC＝eq\f(9\r(3),4)，解得PC＝eq\f(3\r(3),2)，于是PO＝eq\r(PC2－OC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×OA2×PO＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故選B.考向2補(bǔ)形法求體積例7如圖，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為36，E，F(xiàn)分別為棱B1B，C1C上的點(diǎn)(異于端點(diǎn))，且EF∥BC，則四棱錐A1－AEFD的體積為________．答案12解析補(bǔ)體，如圖，VA1－AEFD＝eq\f(1,3)VAA1D1D－EE1F1F＝eq\f(1,3)VABCD－A1B1C1D1＝12.【通性通法】把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算．常見的補(bǔ)形有：(1)將正四面體補(bǔ)形成正方體；(2)將等腰四面體(對(duì)棱相等)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體；(3)將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補(bǔ)成正方體；(4)將臺(tái)體補(bǔ)成錐體等．【鞏固遷移】8．如圖，一個(gè)底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為4和10，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.考向3分割法求體積例8(2023·安徽合肥一中期末)木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為()A．eq\f(4\r(2),3) B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3) D．eq\f(\r(2),3)答案D解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則由題意，得等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF，則EG＝HF＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點(diǎn)O，連接GO，因?yàn)锳G＝GD，所以GO⊥AD，則GO＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以S△ADG＝S△BCH＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4).因?yàn)锳B∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥AD，又因?yàn)锳D∩AG＝A，AD，AG?平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，所以多面體的體積V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選D.【通性通法】分割法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則的幾何體用公式不易求出時(shí)，可將其分割轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體．大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱柱＋四棱錐，從四棱錐底面對(duì)角線或幾何體表面四邊形對(duì)角線處尋找分割的“刀口”．【鞏固遷移】9．如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．答案4解析解法一(分割法)：因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH－ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF－CHG.由題意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.解法二(補(bǔ)形法)：因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.考向4轉(zhuǎn)化法求體積例9(2023·江西吉安模擬)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，則三棱錐B1－EBD的體積為()A．1 B．2C．eq\r(3) D．2eq\r(3)答案C解析∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D是棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，∴S△BDB1＝eq\f(1,2)BB1·BC＝eq\f(1,2)×3×2＝3，點(diǎn)E到平面BDB1的距離h＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴三棱錐B1－EBD的體積為VB1－EBD＝VE－BDB1＝eq\f(1,3)S△BDB1·h＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)＝eq\r(3).故選C.【通性通法】(1)等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性．(2)盡可能尋找在表面的三個(gè)點(diǎn)，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積．轉(zhuǎn)化的目的是找到易于計(jì)算的“好底”與“好高”．【鞏固遷移】10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，AA1＝1，則點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為________．答案eq\f(\r(21),7)解析因?yàn)锳B2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC.則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)槿忮FC－A1AB與三棱錐C－A1B1B的底面積相等(S△A1AB＝S△A1B1B)，高也相等(點(diǎn)C到平面ABB1A1的距離)，所以三棱錐C－A1AB與三棱錐C－A1B1B的體積相等．又VC－A1AB＝VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),6)，所以VC－A1B1B＝VB1－A1BC＝eq\f(\r(3),6).易得A1B＝eq\r(2)，A1C＝2，在等腰三角形A1BC中，A1B上的高為eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(14),2)，則S△A1BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(14),2)＝eq\f(\r(7),2).設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BC的距離為h，則VB1－A1BC＝eq\f(1,3)S△A1BC·h＝eq\f(\r(3),6)，解得h＝eq\f(\r(21),7).課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測(cè)畫法畫出的這個(gè)菱形的直觀圖的面積為()A．2eq\r(3)cm2 B．2eq\r(6)cm2C．4eq\r(6)cm2 D．8eq\r(3)cm2答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2)．故選B.2．(2024·河南鄭州模擬)若圓錐的母線與底面所成的角為eq\f(π,6)，底面半徑為eq\r(3)，則該圓錐的體積為()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．3π答案B解析設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)槟妇€與底面所成的角為eq\f(π,6)，所以taneq\f(π,6)＝eq\f(h,\r(3))，解得h＝1.所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×1＝π.故選B.3.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)AB為2，底面半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D處，其爬行的最短路線長(zhǎng)為eq\r(5)，則圓錐的底面半徑為()A．1 B．2C．3 D．eq\f(3,2)答案A解析如圖為半圓錐的側(cè)面展開圖，連接BD1，則BD1的長(zhǎng)為螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，設(shè)展開圖的扇形的圓心角為α，圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得BD1＝eq\r(5)，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，因?yàn)锳B2＋ADeq\o\al(2,1)＝BDeq\o\al(2,1)，所以∠D1AB＝eq\f(π,2)，扇形弧長(zhǎng)為l＝eq\f(π,2)×2＝π，所以圓錐底面圓的周長(zhǎng)為2l＝2π，即2πr＝2π，解得r＝1.故選A.4．(2023·江蘇宿遷中學(xué)一模)設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為S1，S2，S3，則()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S3<S1<S2 D．S3<S2<S1答案C解析令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a3＝1，解得a＝1，則正方體的表面積S1＝6a2＝6；設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為b，則正四面體底面正三角形外接圓的半徑為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)b＝eq\f(\r(3),3)b，正四面體的高為eq\r(b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)b))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)b，體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)b2×eq\f(\r(6),3)b＝eq\f(\r(2),12)b3＝1，解得b＝eq\r(2)×eq\r(3,3)，則正四面體的表面積S2＝4×eq\f(\r(3),4)b2＝2eq\r(3)×eq\r(3,32)＝2×3eq\s\up7(\f(7,6))>6；設(shè)球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝1，解得r＝eq\r(3,\f(3,4π))，則球的表面積S3＝4πr2＝4πeq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4π)))\s\up12(2))＝eq\r(3,36π)<6，所以S3<S1<S2.故選C.5．(2024·河南商丘聯(lián)考)某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是()A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個(gè)面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)答案B解析據(jù)圖可得，該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個(gè)面，B不正確；該幾何體恰有24條棱，C正確；該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)，D正確．故選B.6．(2023·陜西西安一模)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M在對(duì)角線BC1上移動(dòng)，則三棱錐M－AB1D1的體積為()A．eq\f(8,3) B．8C．eq\f(4,3) D．4答案C解析因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以AD1∥BC1，所以點(diǎn)M到平面AB1D1的距離等于點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離，所以VM－AB1D1＝VC1－AB1D1＝VA－B1C1D1＝eq\f(1,3)S△B1C1D1·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故選C.7．(2023·天津高考)在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,9)答案B解析如圖，因?yàn)镻M＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PNsin∠BPC,\f(1,2)PC·PBsin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq\f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合，所以點(diǎn)A到平面PMN的距離也為d)．故選B.8．(2023·河北邯鄲模擬)如圖1，在高為h的直三棱柱容器ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為△A1B1C(如圖2)，則容器的高h(yuǎn)為()A．3 B．4C．4eq\r(2) D．6答案A解析在題圖1中V水＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，在題圖2中，V水＝VABC－A1B1C1－VC－A1B1C1＝eq\f(1,2)×2×2×h－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×h＝eq\f(4,3)h，∴eq\f(4,3)h＝4，∴h＝3.故選A.二、多項(xiàng)選擇題9.(2024·河北張家口摸底)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，則在原平面圖形△ABC中，有()A．AC＝BC B．AB＝2C．AC＝2eq\r(5) D．S△ABC＝4eq\r(2)答案BD解析如圖1所示，在直觀圖△A′B′C′中，過C′作C′D′⊥A′B′于D′，∵A′B′＝2，A′C′＝B′C′＝eq\r(5)，∴A′D′＝1，C′D′＝eq\r(A′C′2－A′D′2)＝2，又∠C′O′D′＝45°，∴O′D′＝2，O′A′＝1，O′C′＝2eq\r(2)，∴利用斜二測(cè)畫法將直觀圖△A′B′C′還原為原平面圖形△ABC，如圖2所示，則OC＝4eq\r(2)，OA＝1，AB＝2，故B正確；又AC＝eq\r(OA2＋OC2)＝eq\r(33)，BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝eq\r(41)，故A，C錯(cuò)誤；S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2)，故D正確．故選BD.10．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3)，對(duì)于A，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正確；對(duì)于B，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，C正確；對(duì)于D，因?yàn)镻D＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，D錯(cuò)誤．故選AC.三、填空題11．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________．答案28解析解法一：由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺(tái)的體積為32－4＝28.解法二：棱臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(16×4))＝28.12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，若BD＝1，則三棱錐D－ABC的表面積為________．答案eq\f(3＋\r(3),2)解析由題意，折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)△ABD折起后，可得AD⊥DC，AD⊥BD，因?yàn)锽D＝AD＝DC＝1，BD⊥DC，所以AB＝BC＝CA＝eq\r(2)，從而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐D－ABC的表面積S＝eq\f(1,2)×3＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3＋\r(3),2).13．(2024·九省聯(lián)考)已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是________，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是________．答案eq\f(2,3)1解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(3)r，母線l＝2r，由題可知h＝2R，所以球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)r，所以圓錐的體積V1＝eq\f(1,3)×(π×r2)×eq\r(3)r＝eq\f(\r(3),3)πr3，球的體積V2＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)πr3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(\r(3),3)πr3,\f(\r(3),2)πr3)＝eq\f(2,3).圓錐的表面積S1＝πrl＋πr2＝3πr2，球的表面積S2＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)r))eq\s\up12(2)＝3πr2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(3πr2,3πr2)＝1.14.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝eq\r(3)，點(diǎn)E為AB上的動(dòng)點(diǎn)，則D1E＋CE的最小值為________．答案eq\r(10)解析如圖，連接D1A，C1B，并分別延長(zhǎng)至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，連接EG，F(xiàn)G，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1為正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四邊形ABGF為正方形，∴EG＝eq\r(BE2＋BG2)＝eq\r(BE2＋BC2)＝CE，∴D1E＋CE的最小值為D1G，由AD＝AB＝1，AA1＝eq\r(3)，得AD1＝2，則D1F＝3，D1G＝eq\r(D1F2＋FG2)＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴D1E＋CE的最小值為eq\r(10).四、解答題15.(2024·寧夏銀川期中)如圖，某組合體是由正方體ABCD－A1B1C1D1與正四棱錐P－A1B1C1D1組成，已知AB＝6，且PA1＝eq\f(\r(3),2)AB.(1)求該組合體的體積；(2)求該組合體的表面積．解(1)在正四棱錐P－A1B1C1D1中，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O，連接PO，取A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，PE，因?yàn)锳B＝6，且PA1＝eq\f(\r(3),2)AB，則PA1＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)，A1C1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋C1Beq\o\al(2,1))＝6eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PAeq\o\al(2,1)－OAeq\o\al(2,1))＝3，所以VP－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)S正方形A1B1C1D1·PO＝eq\f(1,3)×62×3＝36，又VABCD－A1B1C1D1＝63＝216，所以該組合體的體積V＝VABCD－A1B1C1D1＋VP－A1B1C1D1＝216＋36＝252.(2)由(1)可知PE⊥A1B1，所以PE＝eq\r(PAeq\o\al(2,1)－A1E2)＝3eq\r(2)，所以S△PA1B1＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)＝9eq\r(2)，所以該組合體的表面積S表＝4×9eq\r(2)＋5×62＝180＋36eq\r(2).16.如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為x的圓柱．(1)當(dāng)x＝eq\f(4,3)時(shí)，求圓柱的體積；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，此圓柱的側(cè)面積最大？并求出此最大值．解(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則eq\f(r,2)＝eq\f(2－x,2)，所以r＝2－x，0<x<2，當(dāng)x＝eq\f(4,3)時(shí)，r＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3)，所以圓柱的體積V＝πr2x＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,3)＝eq\f(16π,27).(2)由(1)知r＝2－x，0<x<2，則圓柱的側(cè)面積S＝2πrx＝2π(2－x)x＝2π(－x2＋2x)＝2π[－(x－1)2＋1]，所以當(dāng)x＝1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為2π.17．(2024·南京金陵中學(xué)月考)用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得截面形狀可能為()①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤圓．A．①②③ B．①②④C．①②③④ D．①②③④⑤答案C解析用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別是所在棱的中點(diǎn)，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示，故選C.18.(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列判斷正確的是()A．直三棱柱的側(cè)面積是4＋2