2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第3節(jié) 第1課時(shí) 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

第三節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第1課時(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系及回歸模型課標(biāo)解讀考向預(yù)測1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型中參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型中參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.2.針對實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.預(yù)計(jì)2025年高考，變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸模型主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，考查分析問題和處理數(shù)據(jù)的能力.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)散點(diǎn)圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做eq\x(\s\up1(01))散點(diǎn)圖．利用散點(diǎn)圖，可以判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)，相關(guān)時(shí)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．(3)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)①當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量eq\x(\s\up1(02))正相關(guān)．②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個(gè)變量eq\x(\s\up1(03))負(fù)相關(guān)．(4)線性相關(guān)①一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在eq\x(\s\up1(04))一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．②一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)).(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)eq\x(\s\up1(05))正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)eq\x(\s\up1(06))負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為eq\x(\s\up1(07))[－1，1]．當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越eq\x(\s\up1(08))強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越eq\x(\s\up1(09))弱．3．一元線性回歸模型經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(^))＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)＝\x(\s\up1(10))\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，,\o(a,\s\up8(^))＝\o(y,\s\up8(－))－\o(b,\s\up8(^))\o(x,\s\up8(－)).))4．殘差與殘差分析(1)殘差：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為eq\x(\s\up1(11))觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的eq\o(y,\s\up8(^))稱為eq\x(\s\up1(12))預(yù)測值，eq\x(\s\up1(13))觀測值減去eq\x(\s\up1(14))預(yù)測值稱為殘差．(2)殘差分析：殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．(3)刻畫回歸效果的方式①殘差圖法作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為自變量x，這樣作出的圖形稱為殘差圖．在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高．②殘差平方和法殘差平方和為eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(^))i)2，殘差平方和eq\x(\s\up1(15))越小，模型擬合效果越好．③利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(^))i）2,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2)，R2越eq\x(\s\up1(16))大，模型擬合效果越好；R2越eq\x(\s\up1(17))小，模型擬合效果越差．1．求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up8(^))，eq\o(b,\s\up8(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－)))．2．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up8(^))值，僅是一個(gè)預(yù)測值，不是真實(shí)發(fā)生的值．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))中，若eq\o(a,\s\up8(^))<0，則變量x和y負(fù)相關(guān)．()(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．()(3)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．()(4)殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越好．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回歸模型擬合效果最好的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案A解析R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好．(2)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中，最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx答案D解析由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對數(shù)型函數(shù)圖象的附近，因此最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y＝a＋blnx．故選D.(3)(人教A選擇性必修第三冊復(fù)習(xí)參考題8T2改編)在一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，下列說法正確的是()A．Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B．響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的C．響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生答案C解析對于A，一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是確定性關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對于B，響應(yīng)變量Y不是由解釋變量x唯一確定的，所以B錯(cuò)誤；對于C，響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生，所以C正確；對于D，隨機(jī)誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯(cuò)誤．(4)若某商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y2040607080根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋1.5，當(dāng)廣告費(fèi)支出為10萬元時(shí)，銷售額的估計(jì)值為________萬元．答案106.5解析eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,5)×(20＋40＋60＋70＋80)＝54，所以樣本中心為(5，54)，將其代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋1.5中，有54＝5eq\o(b,\s\up8(^))＋1.5，解得eq\o(b,\s\up8(^))＝10.5，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝10.5x＋1.5，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝10.5×10＋1.5＝106.5.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析由散點(diǎn)圖知圖①與圖③是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖②與圖④是負(fù)相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖①與圖②的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.(2)(2023·河北邢臺(tái)階段考試)已知r1表示變量X與Y之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量U與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，且r1＝0.837，r2＝－0.957，則()A．變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性B．變量X與Y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于U與V之間的相關(guān)性C．變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性D．變量U與V之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性答案C解析因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)r1＝0.837，r2＝－0.957，所以變量X與Y之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量U與V之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性弱于U與V之間的相關(guān)性．故選C.【通性通法】判斷相關(guān)關(guān)系的方法(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up8(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up8(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．【鞏固遷移】1．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－1 B．0C．－eq\f(1,2) D．1答案A解析因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，呈現(xiàn)完全負(fù)相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)為－1.2．(2023·天津高考)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示．其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是()A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245答案C解析因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r＝0.8245>0.75，所以花瓣長度和花萼長度的相關(guān)性較強(qiáng)，并且呈正相關(guān)，所以A，B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)與樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以當(dāng)樣本發(fā)生變化時(shí)，相關(guān)系數(shù)也可能會(huì)發(fā)生變化，所以D錯(cuò)誤．故選C.考點(diǎn)二樣本相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的應(yīng)用例2(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝0.038，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝1.6158，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))xiyi＝0.2474.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2))，eq\r(1.896)≈1.377.解(1)設(shè)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為eq\o(x,\s\up8(－))，平均一棵的材積量為eq\o(y,\s\up8(－))，則eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(0.6,10)＝0.06，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(3.9,10)＝0.39.(2)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(（\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－\a\vs4\al(10\o(x,\s\up8(－)))2）（\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－\a\vs4\al(10\o(y,\s\up8(－)))2）))＝eq\f(0.2474－10×0.06×0.39,\r(（0.038－10×0.062）×（1.6158－10×0.392）))＝eq\f(0.0134,\r(0.002×0.0948))＝eq\f(0.0134,0.01×\r(1.896))≈eq\f(0.0134,0.01377)≈0.97.(3)設(shè)所有這種樹木的根部橫截面積總和為X，總材積量為Y，則eq\f(X,Y)＝eq\f(\o(x,\s\up8(－)),\o(y,\s\up8(－)))，故Y＝eq\f(0.39,0.06)×186＝1209(m3)．【通性通法】經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)r判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．或利用決定系數(shù)R2判斷，R2越大，擬合效果越好．【鞏固遷移】3．我國機(jī)床行業(yè)核心零部件對外依存度較高，我國整機(jī)配套的中高檔功能部件大量依賴進(jìn)口，根據(jù)中國機(jī)床工具工業(yè)協(xié)會(huì)的數(shù)據(jù)，國內(nèi)高檔系統(tǒng)自給率不到10%，約90%依賴進(jìn)口．因此，迅速提高國產(chǎn)數(shù)控機(jī)床功能部件制造水平，加快國產(chǎn)數(shù)控機(jī)床功能部件產(chǎn)業(yè)化進(jìn)程至關(guān)重要．通過對某機(jī)械上市公司近幾年的年報(bào)公布的研發(fā)費(fèi)用x(單位：億元)與產(chǎn)品的直接收益y(單位：億元)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到下表：年份2016201720182019202020212022x234681013y15222740485460根據(jù)數(shù)據(jù)，可建立y關(guān)于x的兩個(gè)回歸模型：模型①：eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up8(^)))＝4.1x＋10.9；模型②：eq\o(y,\s\up8(^))＝21.3eq\r(x)－14.4.(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別求出模型①，②的決定系數(shù)R2的大小(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)；(2)(ⅰ)根據(jù)(1)選擇擬合精度更高、更可靠的模型；(ⅱ)若2023年該公司計(jì)劃投入研發(fā)費(fèi)用17億元，使用(ⅰ)中的模型預(yù)測可為該公司帶來多少直接收益？回歸模型模型①模型②eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(^))i)279.1318.86附：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(^))i）2,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2)，eq\r(17)≈4.1.解(1)因?yàn)閑q\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(15＋22＋27＋40＋48＋54＋60,7)＝38，所以eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(－)))2＝232＋162＋112＋22＋102＋162＋222＝1750，則模型①的決定系數(shù)Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(^))i）2,\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2)＝1－eq\f(79.13,1750)≈0.955，模型②的決定系數(shù)Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(^))i）2,\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2)＝1－eq\f(18.86,1750)≈0.989.(2)(ⅰ)由(1)知，Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，所以模型②的擬合精度更高、更可靠．(ⅱ)由經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝21.3eq\r(x)－14.4，可得當(dāng)x＝17時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝21.3eq\r(17)－14.4≈72.93，所以若2023年該公司計(jì)劃投入研發(fā)費(fèi)用17億元，大約可為該公司帶來72.93億元的直接收益．考點(diǎn)三回歸分析(多考向探究)考向1一元線性回歸模型例3已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6～22℃之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度x(單位：℃)與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)y(單位：顆)之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8～14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖：其中eq\o(y,\s\up8(－))＝24，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up8(－)))(yi－eq\o(y,\s\up8(－)))＝70，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(－)))2＝176.(1)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，并預(yù)測在19℃的溫度下，種子的發(fā)芽顆數(shù)．參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2))，經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\r(77)≈8.77.解(1)根據(jù)題意，得eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(8＋9＋10＋11＋12＋13＋14)＝11.eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up8(－)))2＝(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(13－11)2＋(14－11)2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2)＝eq\r(28×176)＝8eq\r(77)≈70.16.因而相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2))≈eq\f(70,70.16)≈0.998.由于|r|≈0.998很接近1，∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(2)eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)＝eq\f(70,28)＝eq\f(5,2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝24－eq\f(5,2)×11＝－eq\f(7,2)，∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\f(5,2)x－eq\f(7,2).若x＝19，則eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\f(5,2)×19－eq\f(7,2)＝44顆，∴在19℃的溫度下，預(yù)測種子的發(fā)芽顆數(shù)為44.【通性通法】求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟【鞏固遷移】4．(2023·安徽馬鞍山第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)為了研究某果園的一種果樹的產(chǎn)量與種植密度的關(guān)系，某中學(xué)的數(shù)學(xué)興趣小組在該果園選取了一塊種植區(qū)域進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查，他們將每株果樹與其直線距離不超過1米的果樹株數(shù)x記為其密度，在記錄了該種植區(qū)域內(nèi)每株果樹的密度后，從中選取密度為0，1，2，3，4的果樹，統(tǒng)計(jì)其產(chǎn)量的平均值y(單位：kg)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：x01234y15121198(1)小組成員甲認(rèn)為y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，請你幫他利用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))；(2)小組成員乙提出：若利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的平均產(chǎn)量的估計(jì)值eq\o(y,\s\up8(^))i與實(shí)際的平均產(chǎn)量yi(1≤i≤n，n∈N*)滿足eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))|yi－eq\o(y,\s\up8(^))i|>0.5，則應(yīng)該修正模型，尋找更合適的函數(shù)擬合x與y的關(guān)系．統(tǒng)計(jì)知種植密度分別為5，6的果樹的平均產(chǎn)量為5.5kg、4.4kg，請你以這七組數(shù)據(jù)為依據(jù)判斷(1)中得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否需要修正？參考公式：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)).解(1)eq\o(x,\s\up8(－))＝2，eq\o(y,\s\up8(－))＝11，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi＝93，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up8(－))2＝10，故eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up8(－))2)＝－1.7，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝14.4，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝－1.7x＋14.4.(2)令x＝0，1，2，3，4，5，6，代入eq\o(y,\s\up8(^))＝－1.7x＋14.4，分別得|eq\o(y,\s\up8(^))－y|＝0.6，0.7，0，0.3，0.4，0.4，0.2，從而eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))|yi－eq\o(y,\s\up8(^))i|＝eq\f(2.6,7)<0.5，故不需要修正．考向2非線性回歸模型例4某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸x/mm384858687888質(zhì)量y/g16.818.820.722.42425.5(1)若按照檢測標(biāo)準(zhǔn)，合格產(chǎn)品的質(zhì)量y與尺寸x之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c·xd(c，d為大于0的常數(shù))，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)已知合格產(chǎn)品的收益z(單位：千元)與合格產(chǎn)品尺寸和質(zhì)量的關(guān)系為z＝2y－0.32x，根據(jù)(1)中經(jīng)驗(yàn)回歸方程分析，當(dāng)合格產(chǎn)品的尺寸x約為何值時(shí)(結(jié)果用整數(shù)表示)，收益z的預(yù)報(bào)值最大？附：①參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))(lnxi·lnyi)＝75.3，eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))(lnxi)＝24.6，eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))(lnyi)＝18.3，eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))(lnxi)2＝101.4.②參考公式：對于樣本(vi，ui)(i＝1，2，…，n)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(u,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))v＋eq\o(a,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（vi－\o(v,\s\up8(－))）（ui－\o(u,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（vi－\o(v,\s\up8(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))viui－n\o(v,\s\up8(－))\o(u,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(u,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(v,\s\up8(－))，e≈2.7182.解(1)對y＝c·xd(c，d>0)兩邊取自然對數(shù)得lny＝lnc＋dlnx.令vi＝lnxi，ui＝lnyi，則eq\o(u,\s\up8(^))＝eq\o(d,\s\up8(^))v＋eq\o(a,\s\up8(^))，其中eq\o(a,\s\up8(^))＝lneq\o(c,\s\up8(^)).根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式得eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))viui－6\o(v,\s\up8(－))\o(u,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))veq\o\al(2,i)－6\o(v,\s\up8(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnxi·lnyi）－\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnxi）·\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnyi）,6),\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnxi）2－\f([\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnxi）]2,6))＝eq\f(75.3－24.6×18.3÷6,101.4－24.62÷6)＝eq\f(0.27,0.54)＝eq\f(1,2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(u,\s\up8(－))－eq\o(d,\s\up8(^))eq\o(v,\s\up8(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnyi）,6)－eq\o(d,\s\up8(^))×eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))（lnxi）,6)＝eq\f(18.3,6)－eq\f(1,2)×eq\f(24.6,6)＝1，又eq\o(a,\s\up8(^))＝lneq\o(c,\s\up8(^))＝1，所以eq\o(c,\s\up8(^))＝e，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝e·xeq\s\up7(\f(1,2)).(2)由(1)得eq\o(y,\s\up8(^))＝e·xeq\s\up7(\f(1,2))，所以eq\o(z,\s\up8(^))＝2eeq\r(x)－0.32x＝－0.32(eq\r(x))2＋2eeq\r(x).令t＝eq\r(x)，則當(dāng)t＝eq\f(e,0.32)時(shí)，eq\o(z,\s\up8(^))取得最大值，此時(shí)x＝t2≈72，所以當(dāng)合格產(chǎn)品的尺寸x約為72時(shí)，收益z的預(yù)報(bào)值最大．【通性通法】非線性回歸分析的步驟【鞏固遷移】5．(2024·淄博診斷)小葉紫檀是珍稀樹種，因其木質(zhì)好備受玩家喜愛．其幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得數(shù)據(jù)如下：0479111213數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：為近似描述y與x的關(guān)系，除了一次函數(shù)y＝bx＋a，還有y＝beq\r(x)＋a和y＝bx2＋a兩個(gè)函數(shù)可選．(1)從三個(gè)函數(shù)中選出“最好”的曲線擬合y與x的關(guān)系，并求出其回歸方程(eq\o(b,\s\up8(^))保留到小數(shù)點(diǎn)后1位)；(2)判斷說法“高度從1000cm長到1001cm所需時(shí)間超過一年”是否成立，并給出理由．參考公式：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)).參考數(shù)據(jù)(其中ui＝eq\r(xi)，ti＝xeq\o\al(2,i))：eq\o(x,\s\up8(－))＝20，eq\o(u,\s\up8(－))＝4，eq\o(t,\s\up8(－))＝668，eq\o(y,\s\up8(－))＝8，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝4676，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))ueq\o\al(2,i)＝140，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))teq\o\al(2,i)＝7907396，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))xiyi＝1567，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))uiyi＝283，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))tiyi＝56575.解(1)從散點(diǎn)圖可以看出，曲線的形狀與函數(shù)y＝eq\r(x)相似，故選擇函數(shù)y＝beq\r(x)＋a擬合y與x的關(guān)系．eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(283－7×4×8,140－7×42)＝eq\f(59,28)≈2.1，eq\o(a,\s\up8(^))≈8－2.1×4＝－0.4，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝2.1eq\r(x)－0.4.(2)將y＝1000，1001分別代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，得2.1eq\r(x1)－0.4＝1000和2.1eq\r(x2)－0.4＝1001，故x2－x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1001.4,2.1)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1000.4,2.1)))eq\s\up12(2)≈454，顯然454＞365，所以，說法“高度從1000cm長到1001cm所需時(shí)間超過一年”成立．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·湘豫名校模擬)根據(jù)下表樣本數(shù)據(jù)：x23456y42.5－0.5－2－3得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，則()A．eq\o(a,\s\up8(^))>0，eq\o(b,\s\up8(^))>0 B．eq\o(a,\s\up8(^))>0，eq\o(b,\s\up8(^))<0C．eq\o(a,\s\up8(^))<0，eq\o(b,\s\up8(^))>0 D．eq\o(a,\s\up8(^))<0，eq\o(b,\s\up8(^))<0答案B解析由表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著x的增大而減小，則eq\o(b,\s\up8(^))<0，eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(4＋2.5－0.5－2－3,5)＝0.2，又經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))經(jīng)過點(diǎn)(4，0.2)，可得eq\o(a,\s\up8(^))>0.2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析的方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案D解析r的絕對值越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)．3．(2023·河北高三校聯(lián)考期末)下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是()答案D解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，顯然D項(xiàng)的擬合精度最高．故選D.4．已知某地的財(cái)政收入x與支出y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up8(^)))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))＋e(單位：億元)，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝0.8，eq\o(a,\s\up8(^))＝2，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)的財(cái)政收入為10億元，那么支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過()A．9億元 B．10億元C．9.5億元 D．10.5億元答案D解析eq\o(y,\s\up8(^))＝0.8×10＋2＋e＝10＋e≤10.5.5．用模型y＝cekx擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z＝lny，其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(z,\s\up8(^))＝0.5x＋2，則eq\o(c,\s\up8(^))＝()A．0.5 B．e0.5C．2 D．e2答案D解析因?yàn)閥＝cekx，兩邊取對數(shù)得lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝kx＋lnc，則eq\o(z,\s\up8(^))＝eq\o(k,\s\up8(^))x＋lneq\o(c,\s\up8(^))，而eq\o(z,\s\up8(^))＝0.5x＋2，于是得lneq\o(c,\s\up8(^))＝2，即eq\o(c,\s\up8(^))＝e2.6．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.5x＋0.5，且eq\o(x,\s\up8(－))＝3.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)(1.2，2.2)和(4.8，7.8)誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率為1.2，則()A．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，y的估計(jì)值增加速度變快B．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)(3，4)C．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2x＋1.4D．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，樣本點(diǎn)(2，3.75)對應(yīng)的殘差為0.05答案C解析對于A，因?yàn)?.5>1.2，所以去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后y的估計(jì)值增加速度變慢，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)eq\o(x,\s\up8(－))＝3時(shí)，eq\o(y,\s\up8(－))＝3×1.5＋0.5＝5，設(shè)去掉兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，橫坐標(biāo)的平均值為eq\o(x,\s\up8(－))′，縱坐標(biāo)的平均值為eq\o(y,\s\up8(－))′，則eq\o(x,\s\up8(－))′＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn－6,n－2)＝eq\f(3n－6,n－2)＝3，eq\o(y,\s\up8(－))′＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn－10,n－2)＝eq\f(5n－10,n－2)＝5，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槿コ齼蓚€(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率為1.2，所以5＝3×1.2＋eq\o(a,\s\up8(^))，解得eq\o(a,\s\up8(^))＝1.4，所以去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2x＋1.4，故C正確；對于D，當(dāng)x＝2時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2×2＋1.4＝3.8，y－eq\o(y,\s\up8(^))＝3.75－3.8＝－0.05，故D錯(cuò)誤．二、多項(xiàng)選擇題7．下列說法中正確的是()A．經(jīng)驗(yàn)回歸分析中，R2的值越大，說明殘差平方和越小B．若一組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒為0，則R2＝1C．經(jīng)驗(yàn)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法D．畫殘差圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定是編號(hào)答案ABC解析對于A，經(jīng)驗(yàn)回歸分析中，R2的值越大，說明模型的擬合效果越好，則殘差平方和越小，A正確；對于B，若一組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)滿足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒為0，則R2＝1，B正確；對于C，經(jīng)驗(yàn)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，C正確；對于D，殘差圖中橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)，也可以是身高數(shù)據(jù)，還可以是體重的估計(jì)值等，D錯(cuò)誤．8．下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸分析的說法中正確的是()A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－)))B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線C．當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)D．如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0答案ACD解析對于A，經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－)))，故A正確；對于B，經(jīng)驗(yàn)回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過任一樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故B不正確；對于C，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，則兩個(gè)變量正相關(guān)，故C正確；對于D，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0，故D正確．故選ACD.三、填空題9．(2023·廣東廣州模擬)某車間為了提高工作效率，需要測試加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，這5次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)如下表：零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間y(min)62a758189若用最小二乘法求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.67x＋54.9，則a的值為________．答案68解析由已知得eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(62＋a＋75＋81＋89,5)＝61＋eq\f(2＋a,5)，所以61＋eq\f(2＋a,5)＝0.67×30＋54.9，解得a＝68.10．用模型y＝ekx－1去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，已知如下數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xi＝18，y1y2y3y4y5y6＝e48，則實(shí)數(shù)k的值為________．答案3解析由y＝ekx－1得lny＝kx－1，所以y1y2y3y4y5y6＝e48?keq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xi－6＝18k－6＝48，則k＝3.11．(2023·海南調(diào)研)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,2)附近波動(dòng)，經(jīng)計(jì)算eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xi＝12，eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))yi＝14，eq\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝23，則實(shí)數(shù)b的值為________．答案eq\f(17,23)解析令t＝x2，則非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程變?yōu)榫€性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，即y＝bt－eq\f(1,2)，此時(shí)eq\o(t,\s\up8(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(23,6)，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(6),\s\do8(i＝1))yi,6)＝eq\f(14,6)，代入y＝bt－eq\f(1,2)，得eq\f(14,6)＝b×eq\f(23,6)－eq\f(1,2)，解得b＝eq\f(17,23).12．新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池占了新能源整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價(jià)格不斷升高，下表是2023年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份代碼x12345碳酸鋰價(jià)格y(萬元/kg)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.28x＋eq\o(a,\s\up8(^))，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)(5，1.5)處的殘差為－0.06，則表中m＝________．答案1.4解析由題設(shè)，1.5－eq\o(y,\s\up8(^))＝1.5－(0.28×5＋eq\o(a,\s\up8(^)))＝－0.06，可得eq\o(a,\s\up8(^))＝0.16.又eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5,5)＝eq\f(3.6＋m,5)，所以0.28×3＋0.16＝eq\f(3.6＋m,5)，可得m＝1.4.四、解答題13．某研究機(jī)構(gòu)為調(diào)查人的最大可視距離y(單位：米)與年齡x(單位：歲)之間的關(guān)系，對不同年齡的志愿者進(jìn)行了研究，收集數(shù)據(jù)得到下表：x2025303540y167160150143130(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))；(2)根據(jù)(1)中求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，估計(jì)年齡為50歲的人的最大可視距離．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)).解(1)由題意可得eq\o(x,\s\up8(－))＝eq\f(20＋25＋30＋35＋40,5)＝30，eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(167＋160＋150＋143＋130,5)＝150，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xiyi＝20×167＋25×160＋30×150＋35×143＋40×130＝22045，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝202＋252＋302＋352＋402＝4750，所以eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(22045－5×30×150,4750－5×302)＝eq\f(－455,250)＝－1.82，則eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝150＋1.82×30＝204.6，故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝－1.82x＋204.6.(2)當(dāng)x＝50時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝－1.82×50＋204.6＝113.6，即年齡為50歲的人的最大可視距離約為113.6米．14．?dāng)?shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y(秒)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：x1234567y990990450320300240210(1)現(xiàn)用y＝a＋eq\f(b,x)作為經(jīng)驗(yàn)回歸模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)請用(1)中的結(jié)論預(yù)測，小明經(jīng)過20天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ti＝\f(1,xi)))：eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))tiyi＝1845，eq\o(t,\s\up8(－))＝0.37，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))teq\o\al(2,i)－7eq\o(t,\s\up8(－))2＝0.55.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(v,\s\up8(^))＝eq\o(α,\s\up8(^))＋eq\o(β,\s\up8(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))uivi－n\o(u,\s\up8(－))\o(v,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))ueq\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up8(－))2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\o(v,\s\up8(－))－eq\o(β,\s\up8(^))eq\o(u,\s\up8(－)).解(1)由題意得eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,7)×(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，令t＝eq\f(1,x)，則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))t＋eq\o(a,\s\up8(^))，則有eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))tiyi－7\o(t,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(7),\s\do8(i＝1))teq\o\al(2,i)－7×\o(t,\s\up8(－))2)＝eq\f(1845－7×0.37×500,0.55)＝1000，eq\o(a,\s\up8(^))＝500－1000×0.37＝130，所以eq\o(y,\s\up8(^))＝1000t＋130，又t＝eq\f(1,x)，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\f(1000,x)＋130.(2)當(dāng)x＝20時(shí)，eq\o(y,\s\up8(^))＝180，所以經(jīng)過20天訓(xùn)練后，小明每天解題的平均速度約為180秒．15.(多選)(2024·河北三河市開學(xué)考試)某企業(yè)秉承“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”的發(fā)展理念，投入大量科研經(jīng)費(fèi)進(jìn)行技術(shù)革新，該企業(yè)統(tǒng)計(jì)了最近6年投入的年科研經(jīng)費(fèi)x(單位：百萬元)和年利潤y(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)，并繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖，已知x，y的平均值分別為eq\o(x,\s\up8(－))＝7，eq\o(y,\s\up8(－))＝10，甲統(tǒng)計(jì)員得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.69x＋eq\o(a,\s\up8(^))，乙統(tǒng)計(jì)員得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝2.52e0.17x.若甲、乙二人計(jì)算均未出現(xiàn)錯(cuò)誤，則以下結(jié)論正確的是()A．當(dāng)投入年科研經(jīng)費(fèi)為20(百萬元)時(shí)，按乙統(tǒng)計(jì)員的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得年利潤估計(jì)值為75.6(百萬元)(取e3.4＝30)B．eq\o(a,\s\up8(^))＝－1.83C．經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝1.69x＋eq\o(a,\s\up8(^))比eq\o(y,\s\up8(^))＝2.52e0.17x擬合效果好D．y與x正相關(guān)答案ABD解析將x＝20代入eq\o(y,\s\up8(^))＝2.52e0.17x，得eq\o(y,\s\up8(^))＝75.6，投入年科研經(jīng)費(fèi)為20(百萬元)時(shí)，按乙統(tǒng)計(jì)員的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得年利潤估計(jì)值為75.6(百萬元)，A正確；將eq\o(x,\s\up8(－))＝7，eq\o(y,\s\up8(－))＝10代入eq\o(y,\s\up8(^))＝1.69x＋eq\o(a,\s\up8(^))，得eq\o(a,\s\up8(^))＝－1.83，B正確；由散點(diǎn)圖可知，經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝2.52e0.17x比eq\o(y,\s\up8(^))＝1.69x＋eq\o(a,\s\up8(^))的擬合效果更好，C錯(cuò)誤；因?yàn)閥隨x的增大而增大，所以y與x正相關(guān)，D正確．故選ABD.16．(2024·河北唐山統(tǒng)考)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和，單位：億元)與某類商品銷售額(單位：億元)的10年數(shù)據(jù)如下表所示：第n年12345居民年收入x32.231.132.935.737.1商品銷售額y25.030.034.037.039.0第n年678910居民年收入x38.039.043.044.646.0商品銷售額y41.042.044.048.051.0依據(jù)表格數(shù)據(jù)，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))xieq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))yieq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up8(－)))2eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(－)))2379.6391247.624568.9(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.以此推斷，y與x的線性相關(guān)程度是否很強(qiáng)？(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的值與樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；(3)根據(jù)(2)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，計(jì)算第一個(gè)樣本點(diǎn)(32.2，25.0)對應(yīng)的殘差(精確到0.01)，并判斷若剔除這個(gè)樣本點(diǎn)再進(jìn)行回歸分析，eq\o(b,\s\up8(^))的值將變大還是變小(不必說明理由，直接判斷即可)?附：樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2))，eq\r(2.297)≈1.516，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)).解(1)根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95，可以推斷線性相關(guān)程度很強(qiáng)．(2)由r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）（yi－\o(y,\s\up8(－))）,\r(\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up8(－))）2)\r(\o(∑,\s\up8(10),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up8(－))）2))≈0.95及eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up