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第2課時(shí)直線與拋物線的位置關(guān)系課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.會(huì)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.2.會(huì)求直線與拋物線相交所得的弦長(zhǎng).3.能解決與拋物線的切線相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題.從近幾年高考來(lái)看,直線與圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),高考試題中加大了思維能力的考查,以及二級(jí)結(jié)論的考查,減少了對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的考查.預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)直線與拋物線綜合問題考查的難度會(huì)增加,平時(shí)應(yīng)注意二級(jí)結(jié)論的應(yīng)用.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1.直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系(2)設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,整理成關(guān)于x的方程k2x2+(2km-2p)x+m2=0.①若k≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線eq\x(\s\up1(04))相交,有eq\x(\s\up1(05))兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線eq\x(\s\up1(06))相切,有eq\x(\s\up1(07))一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線eq\x(\s\up1(08))相離,eq\x(\s\up1(09))無(wú)交點(diǎn).②若k=0,直線與拋物線eq\x(\s\up1(10))只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此,直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的eq\x(\s\up1(11))必要不充分條件.2.弦長(zhǎng)問題設(shè)直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r((x1+x2)2-4x1x2)或|AB|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|=eq\r(1+\f(1,k2))·eq\r((y1+y2)2-4y1y2)(k為直線的斜率,k≠0).3.拋物線的焦點(diǎn)弦問題若MN為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦),則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|MN|=eq\x(\s\up1(12))x1+x2+p(x1,x2分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長(zhǎng)公式如下表.標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y(tǒng)1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)4.拋物線的切線(1)過拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)P(x1,y1)的切線方程是y1y=p(x+x1).(2)拋物線y2=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是y=kx+eq\f(p,2k)(k≠0).拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則(1)x1x2=eq\f(p2,4),y1y2=-p2;(2)若A在第一象限,B在第四象限,則|AF|=eq\f(p,1-cosα),|BF|=eq\f(p,1+cosα),弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角);(3)eq\f(1,|FA|)+eq\f(1,|FB|)=eq\f(2,p);(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上;(7)通徑:過焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦,長(zhǎng)度為2p;(8)過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn).設(shè)直線l1的傾斜角為α,則|AB|=eq\f(2p,sin2α),|DE|=eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,2))))=eq\f(2p,cos2α).1.概念辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2,則過點(diǎn)A(-1,0)恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).()(2)已知過拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),若直線l垂直于x軸,則|AB|=1.()(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l的傾斜角為60°且經(jīng)過點(diǎn)F.若l與C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則x1x2=2.()答案(1)×(2)√(3)×2.小題熱身(1)(人教A選擇性必修第一冊(cè)3.3例4改編)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()A.eq\f(8,3) B.eq\f(16,3)C.5 D.3eq\r(3)答案B解析由題意得,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),直線AB的方程為y=eq\r(3)(x-1).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=\r(3)(x-1),,y2=4x,))得3x2-10x+3=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=eq\f(10,3),所以|AB|=x1+x2+2=eq\f(16,3).(2)(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題3.3T12改編)過定點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2=8x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有________條.答案3解析當(dāng)斜率不存在時(shí),直線方程為x=0,只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+1,聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+1,,y2=8x,))得k2x2+(2k-8)x+1=0,當(dāng)k=0時(shí),直線方程為y=1,只有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),令Δ=(2k-8)2-4k2=0,解得k=2,即直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn),符合題意.所以滿足題意的直線有3條.(3)過點(diǎn)P(4,-3)作拋物線y=eq\f(1,4)x2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為________________.答案2x-y+3=0解析設(shè)切點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),又y′=eq\f(1,2)x,則切線PA的方程為y-y1=eq\f(1,2)x1(x-x1),即y=eq\f(1,2)x1x-y1,同理,切線PB的方程為y=eq\f(1,2)x2x-y2,由P(4,-3)是PA,PB的交點(diǎn)可知,-3=2x1-y1,-3=2x2-y2,由兩點(diǎn)確定一條直線,可得過A,B的直線方程為-3=2x-y,即2x-y+3=0.(4)(2024·山東濟(jì)南模擬)已知A,B為拋物線C:x2=4y上的兩點(diǎn),M(-1,2),若eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→)),則直線AB的方程為________________.答案x+2y-3=0解析由題意知點(diǎn)M(-1,2)在拋物線內(nèi),且M(-1,2)是線段AB的中點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2,聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)=4y1,,xeq\o\al(2,2)=4y2,))兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2),即kAB=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,4)=-eq\f(1,2),則直線AB的方程為y-2=-eq\f(1,2)(x+1),即x+2y-3=0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+2y-3=0,,x2=4y,))消去y,得x2+2x-6=0,Δ=22-4×(-6)>0,故斜率為-eq\f(1,2)符合題意.因此直線AB的方程為x+2y-3=0.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一拋物線的切線例1(1)過拋物線x2=4y上一點(diǎn)(4,4)的拋物線的切線方程為()A.2x-y-4=0 B.2x+y-4=0C.x-2y+4=0 D.x+2y+4=0答案A解析解法一:設(shè)切線方程為y-4=k(x-4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y-4=k(x-4),,x2=4y))?x2=4(kx-4k+4)?x2-4kx+16(k-1)=0,由Δ=(-4k)2-4×16(k-1)=0,得k2-4k+4=0.∴k=2.故切線方程為y-4=2(x-4),即2x-y-4=0.解法二:由x2=4y,得y=eq\f(x2,4),∴y′=eq\f(x,2).∴y′|x=4=eq\f(4,2)=2.∴切線方程為y-4=2(x-4),即2x-y-4=0.(2)(2023·四川成都適應(yīng)性考試)已知A,B為拋物線y=x2上兩點(diǎn),以A,B為切點(diǎn)的拋物線的兩條切線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A,B的直線斜率為kAB,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為eq\f(1,3),則kAB=________.答案eq\f(2,3)解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),以A,B為切點(diǎn)的拋物線的切線斜率分別為kA,kB,由y=x2,得y′=2x,故kA=2x1,kB=2x2,所以切線PA的方程為y-xeq\o\al(2,1)=2x1(x-x1),即xeq\o\al(2,1)-2x1x+y=0.同理可得,切線PB的方程為xeq\o\al(2,2)-2x2x+y=0.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),所以xeq\o\al(2,1)-2x1x0+y0=0,xeq\o\al(2,2)-2x2x0+y0=0,所以x1,x2為方程x2-2x0x+y0=0的兩根,故x1+x2=2x0,x1x2=y(tǒng)0,則kAB=eq\f(y1-y2,x1-x2)=x1+x2=2x0=eq\f(2,3).【通性通法】求拋物線切線方程的方法方法一首先設(shè)出切線方程,然后與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求解方法二首先求導(dǎo)得出切線的斜率,然后由點(diǎn)斜式得出切線方程方法三過拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為y0y=p(x+x0)【鞏固遷移】1.(多選)(2023·遼寧名校聯(lián)考)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線l的方程為y=-1,過C的焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),以A,B為切點(diǎn)分別作C的兩條切線,且兩切線交于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為x2=2yB.∠AMB=90°C.M恒在l上D.|MF|2=|AF|·|BF|答案BCD解析由題得-eq\f(p,2)=-1,所以p=2,因此C的方程為x2=4y,A錯(cuò)誤;由題意可知AB的斜率存在,F(xiàn)(0,1),設(shè)AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+1,,x2=4y,))得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=eq\f(1,4)x2得y′=eq\f(1,2)x,所以AM的斜率為kAM=eq\f(1,2)x1,所以AM的方程為y-y1=eq\f(1,2)x1(x-x1),即y-eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)=eq\f(1,2)x1(x-x1)①,同理BM的斜率為kBM=eq\f(1,2)x2,所以BM的方程為y-eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)=eq\f(1,2)x2(x-x2)②,所以kAM·kBM=eq\f(1,4)x1x2=-1,即AM⊥BM,所以∠AMB=90°,B正確;由①②得(x2-x1)y=eq\f(1,4)x1x2(x2-x1),因?yàn)閤1≠x2,所以y=-1,將y=-1代入①②得x=eq\f(x2+x1,2)=2k,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,-1),又C的準(zhǔn)線l的方程為y=-1,所以M恒在l上,C正確;當(dāng)AB的斜率k不為零時(shí),則kMF=eq\f(-1-1,2k)=-eq\f(1,k),所以kAB·kMF=-1,所以AB⊥MF,當(dāng)AB的斜率k=0時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-1),顯然AB⊥MF,在Rt△ABM中,由△AMF∽△MBF得eq\f(|MF|,|AF|)=eq\f(|BF|,|MF|),所以|MF|2=|AF|·|BF|,D正確.故選BCD.考點(diǎn)二焦點(diǎn)弦問題例2(1)(2024·河北邯鄲模擬)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若|AF|=2|BF|,則|AB|=()A.4 B.eq\f(9,2)C.5 D.6答案B解析解法一:易知直線l的斜率存在,設(shè)為k,則其方程為y=k(x-1).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=k(x-1),,y2=4x,))得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設(shè)點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,則xAxB=1①,因?yàn)閨AF|=2|BF|,由拋物線的定義得xA+1=2(xB+1),即xA=2xB+1②,由①②解得xA=2,xB=eq\f(1,2),所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=eq\f(9,2).解法二:由對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸的上方,如圖,設(shè)A,B在準(zhǔn)線上的射影分別為D,C,作BE⊥AD于E,設(shè)|BF|=m,直線l的傾斜角為θ,則|AB|=3m,由拋物線的定義知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以cosθ=eq\f(|AE|,|AB|)=eq\f(1,3),所以sin2θ=eq\f(8,9).又y2=4x,知2p=4,故利用弦長(zhǎng)公式,得|AB|=eq\f(2p,sin2θ)=eq\f(9,2).解法三:因?yàn)閨AF|=2|BF|,所以eq\f(1,|AF|)+eq\f(1,|BF|)=eq\f(1,2|BF|)+eq\f(1,|BF|)=eq\f(3,2|BF|)=eq\f(2,p)=1,解得|BF|=eq\f(3,2),|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=eq\f(9,2).(2)(多選)(2023·湖北鄂州市教學(xué)研究室期末)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為D,過點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).下列結(jié)論正確的是()A.存在點(diǎn)A,B,使∠AOB≤eq\f(π,2)B.|AB|的最小值為4C.DF平分∠ADBD.若點(diǎn)M(2,3)是弦AB的中點(diǎn),則直線m的方程為x-y+1=0答案BCD解析拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1),由題意分析可知,直線m的斜率一定存在.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線m的方程為y=kx+1,與拋物線C:x2=4y聯(lián)立,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=x1x2+eq\f(xeq\o\al(2,1),4)·eq\f(xeq\o\al(2,2),4)=-4+1=-3<0,所以∠AOB為鈍角,故A錯(cuò)誤;|AB|=y(tǒng)1+y2+2=kx1+1+kx2+1+2=k(x1+x2)+4=4k2+4≥4(當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),等號(hào)成立),故B正確;因?yàn)辄c(diǎn)D(0,-1),kDA+kDB=eq\f(y1+1,x1)+eq\f(y2+1,x2)=eq\f(kx1+2,x1)+eq\f(kx2+2,x2)=eq\f(2kx1x2+2(x1+x2),x1x2)=eq\f(2k×(-4)+2×4k,x1x2)=0,即直線DA和直線DB的傾斜角互補(bǔ),所以DF平分∠ADB,故C正確;由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)=4y1,,xeq\o\al(2,2)=4y2,))兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1-y2),因?yàn)辄c(diǎn)M(2,3)是弦AB的中點(diǎn),所以x1+x2=4,所以直線m的斜率k=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,4)=1,所以直線m的方程為x-y+1=0,故D正確.故選BCD.【通性通法】解決焦點(diǎn)弦問題的策略(1)利用拋物線的定義把過焦點(diǎn)的弦分成兩個(gè)焦半徑,然后轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,再求解.(2)利用與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的二級(jí)結(jié)論求解.【鞏固遷移】2.(2024·山東聊城質(zhì)檢)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為3,則拋物線的方程為()A.y2=eq\f(12,5)x B.y2=eq\f(24,5)xC.y2=12x D.y2=6x答案B解析因?yàn)橹本€l的方程為y=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(p,2))),即y=2x-p,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=2px,,y=2x-p,))消去y,得4x2-6px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=eq\f(3p,2),又因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為3,所以|AB|=6,而|AB|=x1+x2+p,所以x1+x2=6-p,故eq\f(3p,2)=6-p,解得p=eq\f(12,5),所以拋物線的方程為y2=eq\f(24,5)x.故選B.3.(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-eq\r(3)(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則()A.p=2B.|MN|=eq\f(8,3)C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形答案AC解析對(duì)于A,直線y=-eq\r(3)(x-1)過點(diǎn)(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(1,0),所以eq\f(p,2)=1,即p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,A正確;對(duì)于B,不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1>x2,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=-\r(3)(x-1),,y2=4x,))消去y并化簡(jiǎn),得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=eq\f(1,3),所以|MN|=x1+x2+p=3+eq\f(1,3)+2=eq\f(16,3),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè)MN的中點(diǎn)為A,M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d,因?yàn)閐=eq\f(1,2)(d1+d2)=eq\f(1,2)(|MF|+|NF|)=eq\f(1,2)|MN|,即A到直線l的距離等于|MN|的一半,所以以MN為直徑的圓與直線l相切,C正確;對(duì)于D,由上述分析可知y1=-eq\r(3)×(3-1)=-2eq\r(3),y2=-eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-1))=eq\f(2\r(3),3),所以|OM|=eq\r(32+(-2\r(3))2)=eq\r(21),|ON|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))=eq\f(\r(13),3),所以△OMN不是等腰三角形,D錯(cuò)誤.故選AC.考點(diǎn)三直線與拋物線的綜合問題例3(2023·重慶統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為其焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,y0)在C上,△OAF的面積為4.(1)求拋物線C的方程;(2)過點(diǎn)P(m,0)(m>0)作斜率為-1的直線l1交拋物線C于點(diǎn)M,N,直線MF交拋物線C于點(diǎn)Q,以Q為切點(diǎn)作拋物線C的切線l2,且l2∥l1,求△MNQ的面積.解(1)由題意,可知拋物線C的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)),將A(2,y0)代入拋物線C的方程,得yeq\o\al(2,0)=4p,且p>0,則|y0|=2eq\r(p),因?yàn)椤鱋AF的面積為eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×2eq\r(p)=eq\f(p\r(p),2)=4,解得p=4,所以拋物線C的方程為y2=8x.(2)由(1)可得拋物線C的方程為y2=8x,焦點(diǎn)F(2,0),設(shè)直線l1:x=-y+m(m>0),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-y+m,,y2=8x,))消去x,得y2+8y-8m=0,則Δ=64+32m>0,可得y1+y2=-8,y1y2=-8m,因?yàn)辄c(diǎn)M(x1,y1)在拋物線上,則yeq\o\al(2,1)=8x1,即x1=eq\f(yeq\o\al(2,1),8),所以直線MF的方程為x=eq\f(x1-2,y1)y+2=eq\f(\f(yeq\o\al(2,1),8)-2,y1)y+2=eq\f(yeq\o\al(2,1)-16,8y1)y+2,聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=\f(yeq\o\al(2,1)-16,8y1)y+2,,y2=8x,))消去x,得y2+eq\f(16-yeq\o\al(2,1),y1)y-16=0,可得y1y3=-16,即y3=-eq\f(16,y1),則x3=eq\f(yeq\o\al(2,1)-16,8y1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(16,y1)))+2=eq\f(32,yeq\o\al(2,1)),即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,yeq\o\al(2,1)),-\f(16,y1))),因?yàn)閘2∥l1,可設(shè)l2:x=-y+n,代入Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,yeq\o\al(2,1)),-\f(16,y1))),得eq\f(32,yeq\o\al(2,1))=eq\f(16,y1)+n,即n=eq\f(32,yeq\o\al(2,1))-eq\f(16,y1),所以l2:x=-y+eq\f(32,yeq\o\al(2,1))-eq\f(16,y1),聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-y+\f(32,yeq\o\al(2,1))-\f(16,y1),,y2=8x,))消去x,得y2+8y+8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)-\f(32,yeq\o\al(2,1))))=0,因?yàn)閘2為拋物線C的切線,則Δ=64-32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y1)-\f(32,yeq\o\al(2,1))))=0,整理得yeq\o\al(2,1)-8y1+16=0,解得y1=4,又因?yàn)閥1+y2=-8,y1y2=-8m,y1y3=-16,可得y2=-12,m=6,y3=-4,即Q(2,-4),l1:x=-y+6,可得|MN|=eq\r(2)×|4-(-12)|=16eq\r(2),點(diǎn)Q(2,-4)到直線l1:x+y-6=0的距離d=eq\f(|2-4-6|,\r(2))=4eq\r(2),所以S△MNQ=eq\f(1,2)|MN|·d=eq\f(1,2)×16eq\r(2)×4eq\r(2)=64.【通性通法】解決直線與拋物線綜合問題的策略(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線y2=2px的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則一般用弦長(zhǎng)公式.(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.【鞏固遷移】4.(2023·甘肅張掖高臺(tái)縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)A(x0,-2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,且A到C的焦點(diǎn)F的距離與到x軸的距離之差為eq\f(1,2).(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)p<2時(shí),M,N是C上不同于點(diǎn)A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線AM,AN的斜率之積為-2,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)E,使得|DE|為定值.解(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)),準(zhǔn)線方程為x=-eq\f(p,2),又點(diǎn)A(x0,-2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,即(-2)2=2px0,∴x0=eq\f(2,p),即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,p),-2)),依題意,可得eq\f(2,p)+eq\f(p,2)-2=eq\f(1,2),解得p=1或p=4,∴y2=2x或y2=8x.(2)證明:∵p<2,∴y2=2x,A(2,-2).設(shè)MN:x=my+n,Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),2),y1)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),2),y2)),聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=2x,,x=my+n,))消去x,整理得y2-2my-2n=0,Δ=4m2+8n>0,(ⅰ)且y1+y2=2m,y1y2=-2n,∴kAM·kAN=eq\f(2,y1-2)·eq\f(2,y2-2)=-2,∴(y1-2)(y2-2)=-2,即y1y2-2(y1+y2)+6=0,∴n+2m=3,適合(ⅰ),將n=3-2m代入x=my+n,得x-3=m(y-2),令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x-3=0,,y-2=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=2,))∴直線MN恒過定點(diǎn)Q(3,2).又AD⊥MN,∴點(diǎn)D在以AQ為直徑的圓上,∵A,Q的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2),0)),|AQ|=eq\r((2-3)2+(-2-2)2)=eq\r(17),∴以AQ為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(5,2)))eq\s\up12(2)+y2=eq\f(17,4),∴存在點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2),0)),使得|DE|=eq\f(\r(17),2),為定值.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1.已知直線l與拋物線x2=2py(p>0)只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線l與拋物線的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.相交或相切答案D解析直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或直線l與拋物線相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn),所以D正確.故選D.2.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若點(diǎn)C(x1,0)與點(diǎn)D(x2,0)關(guān)于直線x=eq\f(3,2)對(duì)稱,則|AB|=()A.3 B.4C.5 D.6答案C解析拋物線y2=4x,∴p=2,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AF|=x1+eq\f(p,2)=x1+1,|BF|=x2+eq\f(p,2)=x2+1,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2,又點(diǎn)C(x1,0)與點(diǎn)D(x2,0)關(guān)于直線x=eq\f(3,2)對(duì)稱,則x1+x2=eq\f(3,2)×2=3,∴|AB|=3+2=5.3.(2023·四川資陽(yáng)統(tǒng)考三模)已知拋物線C:y2=8x,過點(diǎn)P(2,-1)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若|AP|=|BP|,則直線l的斜率是()A.-4 B.4C.-eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)答案A解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)=8x1,,yeq\o\al(2,2)=8x2,))作差得yeq\o\al(2,1)-yeq\o\al(2,2)=8(x1-x2).因?yàn)閨AP|=|BP|,所以P是線段AB的中點(diǎn),所以y1+y2=-2,則直線l的斜率k=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(8,y1+y2)=-4.故選A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又稱白地青花瓷,常簡(jiǎn)稱青花,是中華陶瓷燒制工藝的珍品,是中國(guó)瓷器的主流品種之一,屬釉下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上,瓷碗底座高為1cm,瓷碗的軸截面可以近似看成是拋物線,碗里不慎掉落一根質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同且長(zhǎng)度為22cm的筷子,筷子的兩端緊貼瓷碗內(nèi)壁.若筷子的中點(diǎn)離桌面的最小距離為7cm,則該拋物線的通徑長(zhǎng)為()A.16 B.18C.20 D.22答案C解析如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線為x2=2py(p>0),焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2))),A(x1,y1),B(x2,y2),∵|AB|=22,|AB|≤|AF|+|BF|,∴y1+y2+p≥22,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則2yM+p≥22,由題意知,yM的最小值為6,即12+p=22,得p=10,∴該拋物線的通徑長(zhǎng)為2p=20.故選C.5.(2023·遼寧名校聯(lián)考)過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A處的切線與x,y軸分別交于點(diǎn)M,N.若△MON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為eq\f(1,2),則|AF|=()A.2 B.3C.4 D.5答案A解析由題意可知,直線l的斜率存在,且過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)F,與其交于A,B兩點(diǎn),設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(1,4)a2)).又y=eq\f(1,4)x2,所以y′=eq\f(x,2),所以點(diǎn)A處的切線方程為y-eq\f(1,4)a2=eq\f(a,2)(x-a).令x=0,可得y=-eq\f(1,4)a2,即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(1,4)a2)).令y=0,可得x=eq\f(a,2),即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2),0)).因?yàn)椤鱉ON的面積為eq\f(1,2),所以eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)a2))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))=eq\f(1,2),解得a2=4,所以|AF|=eq\f(1,4)a2+1=2.故選A.6.(2023·河北石家莊模擬)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且|AB|=8,則p=()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析設(shè)直線AB:y=keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(p,2))),k≠0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=2px,,y=k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(p,2))),))得k2x2-(k2p+2p)x+eq\f(k2p2,4)=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=eq\f(k2p+2p,k2)=p+eq\f(2p,k2),y1+y2=k(x1+x2-p)=eq\f(2p,k).由題可知,x1+x2+p=8,eq\f(y1+y2,2)=2,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p+\f(p,k2)=4,,\f(p,k)=2,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k=1,,p=2.))故選B.7.(2023·湖北武漢模擬)已知拋物線x2=2py(p>0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.y=-3 B.y=-eq\f(3,2)C.x=-3 D.x=-eq\f(3,2)答案B解析根據(jù)題意,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以xeq\o\al(2,1)=2py1①,xeq\o\al(2,2)=2py2②,由①-②,得(x1-x2)(x1+x2)=2p(y1-y2),即kAB=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,2p),因?yàn)橹本€AB的斜率為1,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,所以kAB=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,2p)=eq\f(3,p)=1,即p=3,所以拋物線的方程為x2=6y,準(zhǔn)線方程為y=-eq\f(3,2).故選B.8.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14C.12 D.10答案A解析拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),由題意可知l1,l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k,則直線l2的斜率為-eq\f(1,k),故l1:y=k(x-1),l2:y=-eq\f(1,k)(x-1).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=4x,,y=k(x-1),))消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=eq\f(2k2+4,k2)=2+eq\f(4,k2),由拋物線的定義可知,|AB|=x1+x2+2=4+eq\f(4,k2).同理可得|DE|=4+4k2,∴|AB|+|DE|=8+4k2+eq\f(4,k2)≥8+2eq\r(16)=16,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,k2)=k2,即k=±1時(shí)取等號(hào).故|AB|+|DE|的最小值為16.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·廣州模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=x-1與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),則()A.|AB|=8B.OA⊥OBC.△AOB的面積為2eq\r(2)D.線段AB的中點(diǎn)到直線x=0的距離為2答案AC解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閽佄锞€C:y2=4x,則p=2,焦點(diǎn)為(1,0),則直線y=x-1過焦點(diǎn).聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=x-1,,y2=4x,))消去y,得x2-6x+1=0,則x1+x2=6,x1x2=1,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-4,所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8,故A正確;因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=1-4=-3≠0,所以O(shè)A與OB不垂直,故B錯(cuò)誤;原點(diǎn)到直線y=x-1的距離為d=eq\f(1,\r(2)),所以△AOB的面積為S=eq\f(1,2)|AB|·d=eq\f(1,2)×8×eq\f(1,\r(2))=2eq\r(2),故C正確;因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)到直線x=0的距離為eq\f(x1+x2,2)=eq\f(6,2)=3,故D錯(cuò)誤.故選AC.10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4,直線l過點(diǎn)F且與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.p=4B.拋物線的方程為y2=16xC.直線l的方程為y=2x-4D.|AB|=10答案ACD解析由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4,并根據(jù)拋物線的定義可知p=4,故A正確;拋物線的方程為y2=8x,故B錯(cuò)誤;因?yàn)榻裹c(diǎn)F(2,0),yeq\o\al(2,1)=8x1,yeq\o\al(2,2)=8x2,若M(m,2)是線段AB的中點(diǎn),則y1+y2=4,所以yeq\o\al(2,1)-yeq\o\al(2,2)=8x1-8x2,即eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(8,y1+y2)=eq\f(8,4)=2,所以直線l的方程為y=2x-4,故C正確;又由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2=8x,,y=2x-4,))得x2-6x+4=0,所以x1+x2=6,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=10,故D正確.故選ACD.三、填空題11.(2023·天津高考)過原點(diǎn)O的一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切,交曲線y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,若|OP|=8,則p的值為________.答案6解析由題意得直線OP的斜率存在.設(shè)直線OP的方程為y=kx,因?yàn)樵撝本€與圓C相切,所以eq\f(|-2k|,\r(1+k2))=eq\r(3),解得k2=3.將直線方程y=kx與曲線方程y2=2px(p>0)聯(lián)立,得k2x2-2px=0,因?yàn)閗2=3,所以3x2-2px=0,解得x=0或x=eq\f(2p,3),設(shè)P(x1,y1),則x1=eq\f(2p,3),又O(0,0),所以|OP|=eq\r(1+k2)|x1-0|=2×eq\f(2p,3)=8,解得p=6.12.(2024·陜西咸陽(yáng)二模)過拋物線y=eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若l的傾斜角為45°,則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離是________.答案3解析由題意,拋物線方程為x2=4y,則F(0,1),∴直線l的方程為y=x+1,將直線方程代入拋物線方程,整理,得x2-4x-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4,故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(x1+x2,2)=2,代入直線l的方程,得y=3,∴線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3.13.(2024·貴州遵義統(tǒng)考)已知拋物線x2=2y上兩點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)M(2,t)對(duì)稱,則直線AB的斜率為________.答案2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程x2=2y,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,1)=2y1,,xeq\o\al(2,2)=2y2,))則xeq\o\al(2,1)-xeq\o\al(2,2)=2(y1-y2)①,因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(2,t)對(duì)稱,則x1≠x2,x1+x2=4,所以由①得eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(x1+x2,2)=2,即直線AB的斜率為2.14.(2023·山東鄄城三模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過A(-1,0)作拋物線C的切線,切點(diǎn)為B,|BF|=3,則拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l:x-y+4=0的距離與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為________.答案3eq\r(2)-2解析根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)B(x0,y0)(y0>0),由拋物線定義知,|BF|=x0+eq\f(p,2)=3,∴x0=3-eq\f(p,2)>0,∴p<6,∴y0=eq\r(6p-p2),當(dāng)y>0時(shí),y=eq\r(2px),∴y′=eq\f(\r(2p),2\r(x)),∴eq\f(\r(2p),2\r(3-\f(p,2)))=eq\f(\r(6p-p2),3-\f(p,2)+1),解得p=0(舍去)或p=4或p=eq\f(20,3)(舍去),則拋物線C的方程為y2=8x,焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,焦點(diǎn)F(2,0)到直線l:x-y+4=0的距離d=eq\f(|2-0+4|,\r(12+(-1)2))=3eq\r(2),拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l:x-y+4=0的距離與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為3eq\r(2)-2.四、解答題15.已知F為拋物線T:x2=4y的焦點(diǎn),直線l:y=kx+2與T交于A,B兩點(diǎn).(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;(2)點(diǎn)C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直線l的方程.解由已知得F(0,1),設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,\f(xeq\o\al(2,1),4))),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,\f(xeq\o\al(2,2),4))),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+2,,x2=4y,))得x2-4kx-8=0,所以x1+x2=4k,①x1x2=-8.②(1)|FA|+|FB|=eq\f(xeq\o\al(2,1),4)+1+eq\f(xeq\o\al(2,2),4)+1=eq\f((x1+x2)2-2x1x2,4)+2.當(dāng)k=1時(shí),由①②,得|FA|+|FB|=10.(2)由題意可知,eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,\f(xeq\o\al(2,1),4)-1)),eq\o(FB,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,\f(xeq\o\al(2,2),4)-1)),eq\o(FC,\s\up6(→))=(-3,-3).由∠CFA=∠CFB,得cos〈eq\o(FA,\s\up6(→)),eq\o(FC,\s\up6(→))〉=cos〈eq\o(FB,\s\up6(→)),eq\o(FC,\s\up6(→))〉,即eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|))=eq\f(\o(FB,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(FB,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)),又|FA|=eq\f(xeq\o\al(2,1),4)+1,|FB|=eq\f(xeq\o\al(2,2),4)+1,所以由eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|))=eq\f(\o(FB,\s\up6(→))·\o(FC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(FB,\s\up6(→))||\o(FC,\s\up6(→))|)),得4+2(x1+x2)-x1x2=0,即4+8k+8=0,解得k=-eq\f(3,2),所以直線l的方程為3x+2y-4=0.16.(2024·江西南昌等四地聯(lián)考)已知直線l:x-y+1=0與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求p;(2)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且與l垂直的直線與拋物線C交于E,G兩點(diǎn),求四邊形AEBG的面積.解(1)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x-y+1=0,,x2=2py,))可得x2-2px-2p=0,易得Δ=4p2+8p>0,所以xA+xB=2p,xAxB=-2p,則|AB|=eq\r(2)×eq\r((xA+xB)2-4xAxB)=2eq\r(2)×eq\r(p2+2p)=8,即p2+2p-8=0,因?yàn)閜>0,所以p=2.(2)由題意可得拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1),直線EG的方程為x+y-1=0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y-1=0,,x2=4y,))化簡(jiǎn)可得x2+4x-4=0,則Δ=16+16>0,設(shè)E(x1,y1),G(x2,y2),則x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,則|EG|=y(tǒng)1+y2+p=8,因?yàn)锳B⊥EG,所以S四邊形AEBG=eq\f(1,2)|AB|·|EG|=eq\f(1,2)×8×8=32.17.(多選)(2023·云南昆明模擬)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過F的直線與C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則()A.∠AOB可能為直角B.x1x2為定值C.若與拋物線C分別相切于點(diǎn)A,B的兩條切線交于點(diǎn)N,則點(diǎn)N在拋物線C的準(zhǔn)線上D.以BF為直徑的圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)答案BC解析設(shè)直線lAB:x=ty+1,與y2=4x聯(lián)立并消去x,得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,則x1x2=eq\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),16)=1,故B正確;因?yàn)閤1x2=1,所以kOA·kOB=eq\f(y1y2,x1x2)≠-1,所以∠AOB≠eq\f(π,2),故A不正確;設(shè)N(x0,y0),由y2=4x,得y=±2eq\r(x),所以y′=±eq\f(1,\r(x)),因?yàn)锳N,BN均為切線,設(shè)kAN=eq\f(1,\r(x1)),kBN=-eq\f(1,\r(x2)),則AN的方程為y-y1=eq\f(1,\r(x1))(x-x1),化簡(jiǎn),得yy1-2x-2x1=0,BN的方程為y-y2=-eq\f(1,\r(x2))(x-x2),化簡(jiǎn),得yy2-2x-2x2=0,因?yàn)锳N與BN的交點(diǎn)為N(x0,y0),所以y0y1-2x0-2x1=0,y0y2-2x0-2x2=0,則直線AB的方程為y0y-2x0-2x=0,由于直線AB過點(diǎn)F(1,0),所以x0=-1,又因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線方程為x=-1,所以點(diǎn)N在拋物線C的準(zhǔn)線上,故C正確;設(shè)BF的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+x2,2),\f(y2,2))),eq\f(|BF|,2)=eq\f(1+x2,2),則以BF為直徑的圓與y軸相切,故D不正確.故選BC.18.(多選)(2023·河北秦皇島模擬)過拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(1,-4)作兩條相互垂直的直線,與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,則()A.C的準(zhǔn)線方程是x=-4B.過C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8C.直線MN過定點(diǎn)(0,4)D.當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí),直線MN的方程為2x+y-38=0答案AD解析將A(1,-4)代入C的方程中,得p=8,所以C的方程為y2=16x,所以C的準(zhǔn)線方程是x=-4,故A正確;當(dāng)過C的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短,此時(shí)弦長(zhǎng)為16,故B不正確;設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),16),y1)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,2),16),y2)),直線MN的方程為x=my+n,將直線MN的方程代入C的方程,得y2-16my-16n=0,所以y1+y2=16m,y1y2=-16n.因?yàn)锳M⊥AN,所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\b\
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