河南省新鄉(xiāng)市原陽(yáng)縣2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

河南省新鄉(xiāng)市原陽(yáng)縣2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則k＝（

）A．4 B．C．5 D．3．若雙曲線(xiàn)離心率為，過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．4．若圓：與圓：相切，則（

）A．9 B．10 C．11 D．9或115．如圖，一束光線(xiàn)從出發(fā)，經(jīng)直線(xiàn)反射后又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則光線(xiàn)從A到B走過(guò)的路程為（

）A． B． C． D．6．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體，中M，N點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，記E是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到面的距離為（

）A． B． C． D．7．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．8．棱長(zhǎng)為2的菱形中，，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折，使到的位置，得到三棱錐，在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積的最大值為 B．C．存在某個(gè)位置，使得 D．存在某個(gè)位置，使得面二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個(gè)命題正確的有（

）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為B．直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)和到直線(xiàn)l距離相等，則直線(xiàn)l的方程為C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為D．已知，則“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”是“”的必要不充分條件10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在四面體中，若，則四點(diǎn)共面B．若是四面體的底面三角形的重心，則C．已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為，且，則對(duì)角線(xiàn)D．若向量，則稱(chēng)為在基底下的坐標(biāo)，已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為11．離心率為的橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，在橢圓中，，，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)和上、下頂點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中，能使橢圓是“黃金橢圓”的有（

）A．軸且 B．C．四邊形的內(nèi)切圓過(guò) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓C：，則橢圓的短軸長(zhǎng)為．13．已知，過(guò)定點(diǎn)M的動(dòng)直線(xiàn)與過(guò)定點(diǎn)N的動(dòng)直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，則的最大值是．14．已知一張紙上面有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線(xiàn)折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線(xiàn)記為C，則曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．16．圓C過(guò)點(diǎn)和，圓心C在直線(xiàn)上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線(xiàn)l的方程17．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓的上頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心且過(guò)的圓恰好與直線(xiàn)相切．(1)求橢圓C的方程(2)斜率為1的直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求面積的最大值18．如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，BD是的平分線(xiàn)，且，二面角的大小為60°．

(1)若E是棱PC的中點(diǎn)，求證：平面PAD(2)求平面PAB與平面PCD所成的二面角的夾角的余弦值19．已知圓O的方程為，與x軸的正半軸交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓O交于兩點(diǎn)．

(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)的距離為1，求直線(xiàn)的方程；(2)如圖所示，已知點(diǎn)，一條斜率為的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，連接試問(wèn)是否存在銳角，，使得為定值?若存在，求出該定值，若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】D【分析】先求斜率，再利用可得傾斜角.【詳解】設(shè)直線(xiàn)傾斜角為由得，所以，又，解得.故選：D.2．【答案】D【分析】根據(jù)兩平面垂直得到兩法向量垂直，進(jìn)而得到方程，求出答案.【詳解】∵，∴，∴，解得.故選：D3．【答案】B【分析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)的方程，求出的值，即可得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的方程可得，解得，故，因此，雙曲線(xiàn)的方程為.故選：B4．【答案】D【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：的圓心為，半徑，所以，因?yàn)閮蓤A相切，則或，即或.故選：D5．【答案】C【詳解】一束光線(xiàn)從出發(fā)，經(jīng)直線(xiàn)反射,與交于點(diǎn)P,由題意可得，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在反射光線(xiàn)上，設(shè),則,,故光線(xiàn)從A到B所經(jīng)過(guò)的最短路程是.故選：C.6．【答案】D【詳解】如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為x軸，DC所在的直線(xiàn)為y軸，所在的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，又平面，所以面，故與到平面的距離相等，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)E到面的距離為.故選：D7．【答案】A【分析】設(shè)，據(jù)題意可求出點(diǎn)的軌跡，聯(lián)立方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出弦長(zhǎng).【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，整理得，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，由得或，故點(diǎn)的軌跡與圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為或，所以點(diǎn)的軌跡與圓相交的弦長(zhǎng)等于.故選：A8．【答案】C【詳解】對(duì)于A(yíng)中，當(dāng)平面平面時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)三棱錐的體積取得最大值，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面平面，又由正三角形的邊長(zhǎng)為，可得，所以三棱錐的體積為，所以A不正確；對(duì)于B中，在中，因?yàn)?，所以為等腰三角形，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以C正確.對(duì)于D中，若面，且平面，可得，因?yàn)榕c不垂直，所以不存在點(diǎn)，使得面，所以D不正確.故選：C.9．【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)平行直線(xiàn)的距離公式求解即可；選項(xiàng)B分類(lèi)討論直線(xiàn)l斜率是否存在，斜率不存在時(shí)判斷是否符合題意，斜率存在時(shí)列方程即可求得直線(xiàn)l的方程；選項(xiàng)C根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即可；選項(xiàng)D根據(jù)兩直線(xiàn)垂直得到，求出a的值后進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以?xún)芍本€(xiàn)的距離為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，此時(shí)點(diǎn)和到直線(xiàn)l距離分別為3和6，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)和到直線(xiàn)l距離相等，所以，解得或，所以直線(xiàn)l的方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，解得或，所以“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ACD10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A(yíng)，，當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為的重心時(shí)，，，整理可得：，B正確；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，由題意知：，設(shè)，則，，解得：，向量在基底下的坐標(biāo)為，D正確.故選：BCD.11．【答案】CD【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，，中，令得，因?yàn)?，所以，其中，，故，所以，故，所以離心率為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，即，故，離心率，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線(xiàn)的方程為，即，因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓過(guò)，所以，即，因?yàn)?，所以，方程兩邊同除以得，解得或，?dāng)時(shí)，（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，（舍去），負(fù)值舍去，C正確；D選項(xiàng)，，顯然兩直線(xiàn)斜率均存在，故，即，即，因?yàn)椋?，方程兩邊同除以得，解得，?fù)值舍去，D正確.故選：CD12．【答案】【詳解】因?yàn)镃：，所以，所以令得，所以短軸長(zhǎng)為.故答案為：2.13．【答案】4【詳解】直線(xiàn)的方程變形為，由，得，所以，動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，同理可知，動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，由題意可知，且為與的交點(diǎn)，所以，由勾股定理可得，由重要不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.故答案為：.14．【答案】6【分析】先用定義法求出折痕與的交點(diǎn)M的軌跡方程為：，再求出曲線(xiàn)C上點(diǎn)到圓心O的距離最大值，進(jìn)而求出曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離.【詳解】以O(shè)A的中點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，垂直O(jiān)A為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN⊥，連接MA，所以，所以，故所有折痕與的交點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓，故橢圓方程為：，設(shè)曲線(xiàn)C上點(diǎn)坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為2，故曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到圓O上的點(diǎn)的最大距離為2+4=6.故答案為：615．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）由正方體的性質(zhì)可知，面，因面，則，又，，面.∴面，又面，則.同理，又，平面.∴平面（2）解法一：以A為原點(diǎn)，AD、AB、分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為θ，則，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．解法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，由余弦定理知，，∴，∴，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，∵，∴，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為θ，則．又，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于直線(xiàn)與平面所成角的正弦值故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線(xiàn)斜率為.則AB中垂線(xiàn)方程斜率為，又過(guò)點(diǎn)，則AB中垂線(xiàn)方程為，聯(lián)立，知.則.∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l：，其到圓心距離為1，則相應(yīng)弦長(zhǎng)，滿(mǎn)足題意；若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l：，設(shè)其到圓心距離為.則，即圓心C到直線(xiàn)l的距離為1.由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，，，則直線(xiàn)l：綜上，直線(xiàn)l：或17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得，，則，∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)，，直線(xiàn)l：聯(lián)立方程，得∵直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)∴，得，，∴弦長(zhǎng)，又點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離∴當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)∴.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）取CD中點(diǎn)F，連接BF，EF∵∴，則而是的平分線(xiàn)，則，從而，則，BF不在平面PAD內(nèi)，平面PAD，則平面PAD，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點(diǎn)，則，EF不在平面PAD內(nèi)，平面PAD，則平面PAD，又，平面,∴平面平面PAD，又平面,∴平面PAD；

（2）因?yàn)?，所以，又面面ABCD，面面，面ABCD，所以面PAD，又面PAD，所以，則是二面角的平面角，即，是等邊三角形，取中點(diǎn)，則,又面面ABCD，面面，面PAD，所以面ABCD，如圖以為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，以為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，在中，,則,所以,則，所以，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，得，令，得，則設(shè)平面的PCD一個(gè)法向量