江蘇省泰州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期階段測(cè)試（三） 數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇省泰興市高二數(shù)學(xué)階段測(cè)試（三）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是（

）A． B． C．2 D．43．某直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻到的位移為，那么為（）A．從時(shí)刻到物體的平均速度 B．從時(shí)刻到位移的平均變化率C．當(dāng)時(shí)刻為時(shí)該物體的速度 D．該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度4．已知圓：與直線，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與圓相切 B．直線與圓相離C．直線與圓相交且所截弦長(zhǎng)最短為 D．直線與圓相交且所截弦長(zhǎng)最短為45．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．27．在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．118．已知正數(shù)滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分.有選錯(cuò)的得0分.）9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是（

）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若（A，B為常數(shù)），則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列10．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值可能為（

）A． B． C． D．11．如圖，已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別是，上頂點(diǎn)為，在橢圓上任取一點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)(是坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的是（）A．為定值 B．C． D．的最大值為12．函數(shù)滿足，則正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．曲線在處的切線方程為．14．已知點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離最大值為，最小值為，則的取值范圍是.15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知數(shù)列滿足，，則；數(shù)列的前20項(xiàng)和．四、解答題（本題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17．等差數(shù)列滿足，，前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值.18．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率19．已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性.20．已知直線l經(jīng)過(guò)，且與圓相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若，求直線l的斜率；(2)若，求的取值范圍．21．設(shè)數(shù)列滿足：，，且對(duì)任意的，都有．(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明．①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.1．C【分析】根據(jù)拋物線方程即可求解準(zhǔn)線方程.【詳解】由得，即，故準(zhǔn)線方程為，故選：C2．A【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再將代入導(dǎo)函數(shù)中可求得結(jié)果.【詳解】由，得，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是，故選：A3．D【分析】根據(jù)題意，由變化率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻到時(shí)，時(shí)間的變化量為，而物體的位移為，那么為該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.故選：D.4．C【分析】求出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合幾何知識(shí)可知當(dāng)直線與過(guò)定點(diǎn)和圓心的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，由此可求出答案.【詳解】由題意，圓的圓心，半徑，直線變形得，得直線過(guò)定點(diǎn)，∵，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓必相交，故A，B錯(cuò)；由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線與過(guò)定點(diǎn)和圓心的直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)有最小值，此時(shí)弦長(zhǎng)為，故C對(duì)，D錯(cuò).故選：C.5．C【分析】先判斷的符號(hào)，由此求得不等式的解集.【詳解】由圖象可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以不等式的解集為.故選：C6．A【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯(cuò)點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對(duì)端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值.．7．A【分析】設(shè)，倒序相加再由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，則，所以.故選：A8．C【分析】構(gòu)造，由函數(shù)單調(diào)性得到，通過(guò)變換可得到ABD正確，C錯(cuò)誤.【詳解】由題意得，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，B正確，，A正確，，D正確，C選項(xiàng)，，，又在上單調(diào)遞增，，故，所以，故，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，則，所以，又，故，C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的不等式放縮有，，，，，等，常用來(lái)比較大小.9．BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于BC：根據(jù)與之間的關(guān)系，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)等比數(shù)列的和項(xiàng)性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?，即，可知?shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知時(shí)，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知時(shí)，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，取，則，此時(shí)顯然，，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．CD【分析】由題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和極值，將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，轉(zhuǎn)化成，令，列出等式求解即可．【詳解】已知，函數(shù)定義域?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，此時(shí)，解得，當(dāng)，即時(shí)，整理得，解得或，所以，綜上，滿足條件的取值范圍為，．故選：CD．11．ABC【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，而，從而可求出直線的斜率，進(jìn)而可得直線的方程，令，求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可求出的斜率，進(jìn)而可對(duì)選項(xiàng)A，B，C進(jìn)行判斷，求出直線，的方程，兩方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而可判斷其最值【詳解】解：橢圓的左右頂點(diǎn)分別，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以直線為，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以C正確；對(duì)于D，直線為，直線為，由兩直線的方程聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以的最大值為錯(cuò)誤，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，，然后求出直線的斜率，直線的方程，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分析判斷即可，屬于中檔題12．AC【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到遞減，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】令，則，從而遞減，則，即，，，.故選：AC.13．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得所求切線方程．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，則切線的方程為．故答案為：．14．【分析】根據(jù)點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為，列出a，c的方程組，進(jìn)而解出a，c，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為，最小值為，所以，所以，所以，因?yàn)?，又，所以?dāng)所以的取值范圍是.故答案為：.15．【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到函數(shù)在上成立，再由題意即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上函數(shù)，所以設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需即可.故答案為：.16．【分析】根據(jù)題意，求得，得到，得出數(shù)列為等比數(shù)列，得到，進(jìn)而求得和，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，，可得，又由，所以因?yàn)?，可得，所以，由，可得，所以，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，則，因?yàn)?，適合上式，所以，所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為：.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：解決數(shù)列的新定義問(wèn)題的要點(diǎn)分析：1，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂題設(shè)中新定義的含義，將題目中所給的定義轉(zhuǎn)化為題目要求的形式，切忌同已有的概念或定義相混淆；2、方法選?。簩?duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)（或特殊項(xiàng)，特定項(xiàng)）體會(huì)題意，仔細(xì)觀察、對(duì)比、分析，從整體到局部多角度歸納、聯(lián)想、抓住相鄰項(xiàng)的聯(lián)系、拆項(xiàng)后的各部分的特征、以及符號(hào)特征，從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法.17．(1)(2)【分析】（1）由已知條件列方程組求出，，從而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由通項(xiàng)公式可知數(shù)列有前7項(xiàng)和最大，從而可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，，所以，解得，所以；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，因?yàn)?，所?18．（1）；（2）.【詳解】（1）由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此,,從而由,知，因此考點(diǎn)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力．19．答案見(jiàn)解析【分析】求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，然后分，，三種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】由已知可得，，定義域?yàn)椋?（?。┊?dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，在上單調(diào)遞減.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，解，可得，或（舍去負(fù)值），且.解可得，或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.（ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.20．(1)或1(2)．【分析】（1）利用圖形的幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可；（2）利于圓的幾何性質(zhì)及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意易知圓心，半徑，易知直線l存在斜率，設(shè)其方程為：，若，則為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為或；（2）同上，設(shè)l方程為：，圓心到l的距離為，則易知，，而，易知，所以.21．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】由已知根據(jù)等比數(shù)列的定義可得證是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；再由等比數(shù)列求得通項(xiàng)公式.（1）利用定義法證明等差數(shù)列等比數(shù)列.（2）由（1）得通項(xiàng)公式，根據(jù)錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）又，從而因此，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是，證明：①，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為.②由(*)可知，，數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2.（2）由①可知，即，由②可知，即，，兩式相減得，【點(diǎn)睛】(1)證明等差等比數(shù)列方法：定義法，中項(xiàng)法(2)求前項(xiàng)和方法：分組求和；裂項(xiàng)相消；錯(cuò)位相減.22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)單調(diào)性即可得出的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性可得，，即可知，求出函數(shù)最大值即