2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.1第1課時數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-2.1數(shù)列的概念與簡潔表示法第1課時數(shù)列的概念及簡潔表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解數(shù)列的概念．(重點)2.駕馭數(shù)列的通項公式及應(yīng)用．(重點)3.能依據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．(難點、易錯點)1.通過數(shù)列概念及數(shù)列通項的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2.借助數(shù)列通項公式的應(yīng)用，培育學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．1．?dāng)?shù)列的概念及一般形式思索：(1)數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同？(2)數(shù)列1，2，3，4，5，數(shù)列5，3，2，4，1與{1，2，3，4，5}有什么區(qū)分？[提示](1)數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念．?dāng)?shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，而項數(shù)是指該數(shù)列中的項的總數(shù)．(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素依次不同，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一樣，另一方面，集合中的元素具有無序性．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的改變趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列搖擺數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的通項公式假如數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．4．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特別的函數(shù)，關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式數(shù)列的通項公式值域自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法思索：數(shù)列的通項公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？[提示]如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．不同之處是定義域，數(shù)列中的n必需是從1起先且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是隨意非空數(shù)集．1．?dāng)?shù)列3，4，5，6，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n＋1C.an＝n＋2 D．a(chǎn)n＝2nC[閱歷證可知，它的一個通項公式為an＝n＋2.]2．600是數(shù)列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第項．24[an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]3．?dāng)?shù)列{an}滿意an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個數(shù)列的第項．3[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]4．?dāng)?shù)列1，2,eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中的第26項為．2eq\r(19)[因為a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，所以an＝eq\r(3n－2)，所以a26＝eq\r(3×26－2)＝eq\r(76)＝2eq\r(19).]數(shù)列的概念及分類【例1】已知下列數(shù)列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；③1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(（－1）n－1·n,2n－1)，…；④1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有窮數(shù)列是，無窮數(shù)列是，遞增數(shù)列是，遞減數(shù)列是，常數(shù)列是，搖擺數(shù)列是(填序號).①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、搖擺數(shù)列；④是搖擺數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．]推斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點．對于遞增、遞減、搖擺還是常數(shù)列，要從項的改變趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列，則看項的個數(shù)有限還是無限．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．給出下列數(shù)列：①2013～2024年某市一般中學(xué)生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82，93，105，118，132，147，163，180；②無窮多個eq\r(3)構(gòu)成數(shù)列eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，…；③－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2，4，－8，16，….其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，搖擺數(shù)列是________．①②③①②③[①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列．同時①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為搖擺數(shù)列．]由數(shù)列的前幾項求通項公式【例2】寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項是下列各數(shù)：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.思路探究：①求數(shù)列的通項公式時，是否應(yīng)考慮將個別項或各項進行適當(dāng)?shù)淖冃?？②?shù)列的通項公式唯一嗎？[解](1)任何一個整數(shù)都可以看成一個分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負相間用(－1)的多少次冪進行調(diào)整，其中一個通項公式為an＝(－1)n·eq\f(1,n).(2)數(shù)列可化為eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，…，每個根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個因數(shù)為常數(shù)3，后一個因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個通項公式為an＝eq\r(3（2n－1）)＝eq\r(6n－3).(3)原數(shù)列可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故數(shù)列的一個通項公式為an＝1－eq\f(1,10n).(4)數(shù)列給出前4項，其中奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5，所以通項公式的一種表示方法為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（n為奇數(shù)）,5（n為偶數(shù)）)).此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此數(shù)列的一個通項公式又可以寫為an＝4＋(－1)n.1．據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需細致視察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項的改變特征；(3)拆項后的特征；(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．2．視察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，視察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負符號改變，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])2．寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)1eq\f(1,2)，2eq\f(2,3)，3eq\f(3,4)，4eq\f(4,5)，…；(4)1，11，111，1111，….[解](1)視察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N*).(2)數(shù)列各項的肯定值為1，3，5，7，9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*).(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1，2，3，4，…恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為eq\f(n,n＋1)，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1)(n∈N*).(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)閑q\f(1,9)×9，eq\f(1,9)×99，eq\f(1,9)×999，eq\f(1,9)×9999，…，易知數(shù)列9，99，999，9999，…的一個通項公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*).數(shù)列通項公式的應(yīng)用[探究問題]1．?dāng)?shù)列eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…的通項公式是什么？該數(shù)列的第7項是什么？eq\f(255,256)是否為該數(shù)列中的一項？為什么？[提示]由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為an＝eq\f(2n－1,2n)，當(dāng)n＝7時，a7＝eq\f(27－1,27)＝eq\f(127,128)，若eq\f(255,256)為該數(shù)列中的一項，則eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(255,256)，解得n＝8，所以eq\f(255,256)是該數(shù)列中的第8項．2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點？試?yán)脠D象說明該數(shù)列的單調(diào)性及全部的正數(shù)項．[提示]由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，從第3項往后各項為負數(shù)項．【例3】已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項和第6項；(2)問－49是否是該數(shù)列的一項？假如是，應(yīng)是哪一項？68是否是該數(shù)列的一項呢？思路探究：(1)將n＝4，n＝6分別代入an求出數(shù)值即可；(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否為正整數(shù)并推斷．[解](1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，所以－49是該數(shù)列的第7項；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項．1．(變結(jié)論)若本例中的條件不變，(1)試寫出該數(shù)列的第3項和第8項；(2)問20是不是該數(shù)列的一項？若是，應(yīng)是哪一項？[解](1)因為an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq\f(2,3)(舍去)，所以20是該數(shù)列的第10項．2．(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an＝3n2－28n”變?yōu)椤癮n＝n2＋2n－5”，試推斷數(shù)列{an}[解]∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．1．由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對n進行取值，然后代入通項公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值．2．推斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公式等于這個數(shù)求方程的根，依據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個數(shù)是否為數(shù)列中的項．3．在用函數(shù)的有關(guān)學(xué)問解決數(shù)列問題時，要留意它的定義域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})這一約束條件．1．依據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需細致視察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的改變特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和肯定值特征．并對此進行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納．2．假如一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式．1．推斷正誤(1)數(shù)列1，1，1，…是無窮數(shù)列． ()(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一個數(shù)列． ()(3)有些數(shù)列沒有通項公式． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正確．每項都為1的常數(shù)列，有無窮多項．(2)錯誤．雖然都是由1，2，3，4四個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，但是兩個數(shù)列中后兩個數(shù)依次不同，不是同一個數(shù)列．(3)正確．某些數(shù)列的第n項an和n之間可以建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就有通項公式，否則，不能建立一個函數(shù)關(guān)系式，這個數(shù)列就沒有通項公式．2．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A．11 B．12C．13 D．14C[視察可知該數(shù)列從第3項起先每一項都等于它前面相鄰兩項的和，故x＝5＋8＝13.]3．已知數(shù)列2，eq\r(10)，4，…，eq\r(2（3n－1）)，…，則8是該數(shù)列的第項．11[令eq\r(2（3n－1）)