2024屆福建省漳州市龍海五中高中畢業(yè)班第一次模擬（數(shù)學試題理）試卷

2023屆福建省漳州市龍海五中高中畢業(yè)班第一次模擬（數(shù)學試題理）試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．42．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．的展開式中含的項的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．804．（）A． B． C． D．5．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．6．若集合，，則（）A． B． C． D．7．已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④8．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．10．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．11．某學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．9012．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則與的夾角為.14．在直角坐標系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.15．拋物線的焦點到準線的距離為．16．已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當時，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由18．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求實數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.21．（12分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列中，，且，若數(shù)列的前n項和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．2．D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.3．B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數(shù)為．故選：B【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】．故選B．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．5．A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.6．B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.7．A【解析】

先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結(jié)論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8．D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.9．C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10．B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為．故選：A【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當時，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)已知條件，去括號得：，14．【解析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質(zhì)進一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題15．【解析】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質(zhì)．16．【解析】

根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，得到，再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，即，所以，即，解得.故答案為：10【點睛】本題主要考查二項式的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，再令，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，所以當時，；，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當時，①當時，函數(shù)在上遞增②，顯然無增區(qū)間；③當時，，函數(shù)在上遞增，綜上當函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當時函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調(diào)遞增，，故無解，假設(shè)不成立綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設(shè)切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19．（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）先求導，然后利用導數(shù)等于求出切點的橫坐標，代入兩個曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設(shè)與交點的橫坐標為，利用導數(shù)求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.試題解析：（1）對求導得．設(shè)直線與曲線切于點，則，解得，所以的值為1．（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號，對函數(shù)求導得．當時，恒成立．當時，，從而．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當變化時，變化情況列表如下：

3

0

極小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②當時，，當時，在上恒成立，綜合①②知，當時，函數(shù)為增函數(shù)．故實數(shù)的取值范圍是考點：函數(shù)導數(shù)與不等式.【方法點晴】函數(shù)導數(shù)問題中，和切線有關(guān)的題目非常多，我們只要把握住關(guān)鍵點：一個是切點，一個是斜率，切點即在原來函數(shù)圖象上，也在切線上；斜率就是導數(shù)的值.根據(jù)這兩點，列方程組，就能解決.本題第二問我們采用分層推進的策略，先求得的表達式，然后再求得的表達式，我們就可以利用導數(shù)這個工具來求的取值范圍了.20．（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標，然后化為極坐標即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標方程為，∴，則,即.（2），∴，聯(lián)立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(2，)．【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化及交點的求解，熟記極坐標和直角坐標的轉(zhuǎn)化公式是求解的關(guān)鍵，交點問題一般是統(tǒng)一一種坐標形式求解后再進行轉(zhuǎn)化，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).21．（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)，可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，在四棱柱中，分別為的中點，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．設(shè)，四邊形為正方形，，，則，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，由得：，令，則，，由得：，令，則，，，，，二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法，易錯點是求得法向量夾角余弦值后，未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角，造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.22．（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過解關(guān)于導數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，