數(shù)列與不等式-高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展22數(shù)列與不等式（精講+精練）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、數(shù)列與不等式

數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)

系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，多采用先求和后利用放縮

法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍.

1.常見放縮公式:

1111/.

(1)-y<7------=---------------(n>2)；

n[n—\)nn—ln

1)1_1__1_.

(2)

n2+nn+\

______o.

(3)

n24n24/I2-1<2n-l2n+lJ'

_rI_n\11111，

(4)Trl~Crn--,/x/<.</1(r-2)；

+nr\\n—r)\nrr\ryr—\)r—1r

(1Y111

(5)1+-<1+1+——+——+...+-———<3；

InJ1x22x3(n-l)n

-----廠=利

(6)r=rr<i2(J"1+(nN2)；

7n+7H<n—l+{n'7

(7)r~rr>ri------2(冊+6+l);

(8)廠一廠r<1------i-------/--------\--------J2(N2n1+J2〃+1)；

\Jny/n+y/n/1/1J2〃一1+J2v+1''

J幾-------------------

V2V2

2"2"2"2"-'11/

(9)--------------------------------------------------------------------------------------------------1〃2I■

(2"一(2"-1)(2"-1)(2"-1)(2"_2)(2"T(2"T_1)2"T-12"-1""

122_________2_________

(11)—~——-----―<—--------------

VA?y/n2-n+y/n-n2周幾-1+(n-l)\fnJ(n-l)n(y/n+Jr-1)

-2(一冊)

2_2__2

-------------------<-------------------

n

2〃-1(l+l)-lC：+C：+C-1〃(〃+l)nn+1

…八12〃T1I/。、

(13)<7-----;----77-------r=--------------------(n>2).

2n-l(2〃T—1)(2〃—1)2〃T—12〃—117

(14)2(J〃+1-4)=./2——<，<~r~~i-----—2(G-A//?-1).

+l個(gè)nyjn+y/n—l

2.數(shù)學(xué)歸納法

(1)數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù),有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)"

取第一個(gè)值"o時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)〃=%(k&N*,k>n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)〃=左+1時(shí)命題也成

立.這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.

注：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)?0,如果當(dāng)n=%時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(keN*,kWnJ

時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)〃=左+1時(shí)，命題也成立，那

么就可以遞推出對所有不小于％的正整數(shù)？+1,%+2,…，命題都成立.

(2)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧

①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

(1)證明：當(dāng)〃取第一個(gè)值%結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)〃=左(左wN*,k>n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)〃=4+1時(shí)結(jié)論也正確

由(1),(2)可知，命題對于從〃。開始的所有正整數(shù)〃都正確.

②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項(xiàng)

(1)弄錯(cuò)起始小?小不一定恒為1,也可能%=2或3(即起點(diǎn)問題).

(2)對項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤.特別是當(dāng)尋找〃=%與〃=左+1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)的變化易出現(xiàn)錯(cuò)誤(即跨度問題).

(3)沒有利用歸納假設(shè).歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個(gè)證明

過程也就不正確了(即偽證問題).

(4)關(guān)鍵步驟含糊不清.“假設(shè)”=4時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明〃=左+1時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的

關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、

規(guī)范性(即規(guī)范問題).

二、題型精講精練

【典例1】(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)已知｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.他,｝是公比大

于0的等比數(shù)列，々=4也-打=48.

(I)求｛4｝和低｝的通項(xiàng)公式；

1*

(II)記?！?氏+不，,

bn

(i)證明歸f,｝是等比數(shù)列；

(ii)證明孚工<2陽〃eN*)

k=lV9-C2k

【答案】(I)a,=2n-l,ncN*,R=4"eN*；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(D由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得｛q｝的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得｛2｝的通項(xiàng)公

式；

(ID(i)運(yùn)算可得q；-C2.=2.4”，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；

(ii)放縮得g二〈/I，進(jìn)而可得雪后雪白，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.

【詳解】(D因?yàn)椋?｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.

8x7

所以％+出+…+=8%———x2=64,所以。1—1,

所以%=q+2(九-1)=2九一；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為d(9>0),

所以4-4=姐2一如=4.2-4)=48,解得4=4(負(fù)值舍去),

所以〃=4尸=4〃/eN*；

11

(II)(i)由題意，G=%+丁=49"+*,

bn4

所以CJ2.4",

gr-KI2pjC"+l—02n+2_2，4.

所以％_。2戶n0，且T^~=4,

所以數(shù)列依-4｝是等比數(shù)歹!J；

（2n-l）（2n+l）_4?2-14n2

（ii）由題意知,

2?4”―2"〃2?2?〃'

I/4n2_2〃__J_n

Vdf＜、2.22”=夜2=萬尹，

則U+卷+????+/,

nn+2

兩式相減得=1+：+寧+-，+產(chǎn)-------=2----------,

,-TT

1—

2

所以北=4一景，

所以富氏（52冊和-甘卜2伉

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因叱，無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法即

可得證.

【典例2】（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)數(shù)列｛加｝滿足⑷=3,a?+1=3a?-4n.

（1）計(jì)算。2,123,猜想｛劭｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

（2）求數(shù)列｛2"的｝的前"項(xiàng)和S”.

【答案】（1）%=5,%=7,=2/7+1,證明見解析;⑵S?=（2n-l）-2n+1+2.

【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出的，%，猜想得出｛%｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法

證明即可；

（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯(cuò)位相減法求解即可.

【詳解】（1）

［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

由題意可得。2=3%-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7,由數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列｛%｝是以3為首

項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即%=2"+1.

證明如下：

當(dāng)”=1時(shí)，卬=3成立；

假設(shè)〃=左0eN*)時(shí)，%=2k+1成立.

那么〃=左+1時(shí)，%+1=3%一4左=3(2左+1)—4左=2左+3=2(k+1)+1也成立.

則對任意的“eN*,都有%=2"+1成立；

［方法二］:構(gòu)造法

由題意可得出=3q—4=9—4=5,a3=3tz2—8=15—8=7.由4=3,%=5得%—6=2.an+}=3an—4n,貝1］

%=3%T-4(〃-1)(W?2),兩式相減得%+1-%,=3(4“-%_］)一4.令2=%+|-%,且白=2,所以〃=3%-4,

兩邊同時(shí)減去2,得2-2=3色1一2),且乙一2=0,所以2=。，即氏+「4=2,又?！?=2,因此{(lán)%}

是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以氏=2〃+1.

［方法三］：累加法

由題意可得。2=3q-4=9-4=5,%=3%-8=15-8=7.

由…334〃得爵一菱一揮即fTxJ,1-1=-8x1,……

土畀=-4(〃-l)x和22).以上各式等號(hào)兩邊相加得=-41X±+2X1+...+(H-1)X1,所

以今=(2〃+1>".所以4=2〃+1(7722).當(dāng)〃=1時(shí)也符合上式.綜上所述，=2?+1.

［方法四］:構(gòu)造法

2%=34-4=5,%=3%-8=7,猜想。；,=2"+1.由于。用=34-4〃，所以可設(shè)

a“+i+4(〃+l)+〃=3(a“+4〃+〃)，其中4〃為常數(shù).整理得4+1=3?！?2彳”+2〃_；1.故2/1=-4,24_幾=0,

解得2=_2,〃=T.所以a用_2(”+1)_1=3(?！癬2〃_1)=一=3"(q_2'1_1).又%-3=0,所以{4,_2”_1}

是各項(xiàng)均為。的常數(shù)列，故412fl-1=0,即a產(chǎn)2〃+1.

(2)由(1)可知，aj2"=(2〃+l>2"

［方法一］:錯(cuò)位相減法

231

Sn=3X2+5X2+7X2+---+(2/I-1)-2"-+(2W+1)-2",①

25?=3x22+5x23+7x24+...+(2/7-l)-2,,+(2n+l)-2"+1,②

由①一②得：—Sa=6+2x(22+23+…+2")-(2"+1>2角

=6+2*2x(J2)一(2〃+1).2a=(1-2").2"+|-2，

1-2

即5“=(2〃-1).2向+2.

［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法

2"%=(2〃+1)2"=(2〃-1)2".-(2〃-3)2"=-2，所以=24+2?出+23%+…+2%”

=伽一乙)+(2—4)+(2一4)+…+(%—2)=%—4=(2〃-1)2向+2.

［方法三］:構(gòu)造法

當(dāng)〃22時(shí)，S?=S,T+⑵?+1)?2",設(shè)S.+(pn+q)-2"=5?.+［p(n-1)+好2人,即S,=S?_,+"〃丁、.2”,

1

Z￡

2=2'

則，解得〃=T,4=2.

-Q-P1

所以S“+(-4〃+2)2=S“T+［-4(”-1)+2］2T,即｛"+(-4〃+2)?2"｝為常數(shù)列，而凡+(-4+2),2=2,所

以S“+(-4〃+2>2"=2.

故S“=2+(2〃-1>2用.

［方法四］:

因?yàn)?"%=(2〃+1)2"=2〃?2"+2"=4，J2"T+2",令孰=m2'"',則

3

于(X)=X+尤2+xH----1■龍”("0,1)，

1-X

Ax)=l+2x+34…+止口J+Y—Z+Dx",

1-xJ(1-x)2

所以仿+偽+L+^?=1+2-2+3-22+.??+?-2^'=f'(2)=1+n-2n+1-(n+1)2".

故S“=4/'(2)+2+2?+2?+…+2"=4'+〃?2田一(〃+1)2-］+=(2n-+2.

【整體點(diǎn)評】(1)方法一：通過遞推式求出數(shù)列｛%｝的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)

數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解;

方法二：根據(jù)遞推式4+1=3?！?4”，代換得凡=3%_]-4(〃-1)("22),兩式相減得?！?1^(an~an-l)~4>

設(shè)a=a“+i-4,從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出或，從而得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

方法三：由％=3-4〃化簡得需-次-段，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

方法四：通過遞推式求出數(shù)列｛%｝的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式

變形成。川+〃"+1)+〃=3(?！?力，+〃)，求出從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

式.

(2)

方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；

方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；

方法三：由“22時(shí)，S?=S?_1+(2n+l).2",構(gòu)造得到數(shù)列｛5+(-4〃+2).2"｝為常數(shù)列，從而求出；

方法四：將通項(xiàng)公式分解成2"/=(2〃+1)2"=2小2"+2"=4小2"1+2",利用分組求和法分別求出數(shù)列

｛2"｝,｛“.2"1的前”項(xiàng)和即可，其中數(shù)列｛小2"]的前”項(xiàng)和借助于函數(shù)

/(幻=尤+尤2+丁+…+尤”=/口卜/0,1)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡化了

運(yùn)算.

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.數(shù)列不等式

一、單選題

1.(2023春?北京海淀?高二人大附中?？计谥?已知數(shù)列[7工]的前"項(xiàng)和為《，若對任意的“eN*,不

[4〃-1J

等式〃/-6/恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-<x>,-l]u[3,+oo)B.(-co,-3ML+℃)C.[-3,1]D.[-1,3]

【答案】A

【分析】利用裂項(xiàng)相消求出T“，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】由4"一1二(2〃一1)(2〃+1)=Q-+

得一」]+'一4]+1+[—---------W-[l———

▼"2I3)U5jI2M-12n+l2(2n+l2

因?yàn)閷θ我獾摹╡N*,不等式蘇-2相＞6（恒成立,

所以蘇-2m>6x—,

2

解得機(jī)23或〃zW-1.

故選：A.

2.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）2知數(shù)列｛叫滿足％=2犬：+1），數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為若

丁小一（4eR）對任意

T?>〃eN*恒成立，則2的取值范圍是（)

n2+4n+19v7

A.(-co,4)B.2-\/5j

C.(-oo,5)D.(-00,6)

【答案】C

ri

【分析】利用裂項(xiàng)相消法求出T"=W將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用基本不等式即可求解?

11

【詳解】因?yàn)?=\———),

2〃(〃+1)2〃+1'

所以1=4+。2+〃3+，，，+?！ㄒ唬?

_j_1J」1_]__J__￡1__

222334n—1nnn+1

2(〃+1)'

因?yàn)門”>(+；：+19(%?2對任意〃eN*恒成立，

也即A<；、對任意〃￡N*恒成立，

rn2+4n+191八161-f~~16~_.

因mj為l一^...-=-[(rz/2+1)+-----+2]>-(2/(/2+1)------+2)=5

2(〃+1)2n+12Vn+1

(當(dāng)且僅當(dāng)5+1)=工，也即〃=3時(shí)等號(hào)成立)

n+1

所以幾＜5,

故選：C.

3.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，4=4,且〃向=11+占J。，，若2s“+122kan

恒成立，則左的最大值是（）

A.2A/W+1B.--C.--D.8

32

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造數(shù)列，含J,結(jié)合4=4可得數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，然后參變分離，利用對勾

函數(shù)性質(zhì)可解.

【詳解】因?yàn)?所以鼻=」\,所以數(shù)列[9]是常數(shù)列，

又q=4,所以4=3=1,從而4=〃+1,

n+13+1

所以數(shù)列｛”“｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故S“=日產(chǎn).

因?yàn)?sz,+12"%恒成立，所以川+3〃+12"5+1）恒成立，即左V"+3〃+12恒成立.

n+1

出1mil1rrn2+3n+12（Z—I）2+3（/—1）+1210

設(shè)，=〃+1,貝!|九=，一1,從而----------二---------\——L------=/+—+1.

n+1tt

記/⑺=r+:+l,由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在（0,加）上單調(diào)遞減，在（而,+8）上單調(diào)遞增，

又rd,A3）=3+1+1臂，/（4）=4+>若，且胃<￡，

所以r+戶101的最小值是2年2，所以％告22

故選：B

4.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知S”是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，

S,+i=21a,+；S，，a3a5=64,若4%-S?,-65V。對〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)2的最大值為（）

A.80B.16C.160D.32

【答案】D

【分析】根據(jù)??+1=S“M-乂=2%,求出｛%｝和S“的通項(xiàng)公式，代入不等式計(jì)算，再根據(jù)基本不等式即可求

解得出.

【詳解】‘?'S"+i=2（a“+gsJ,;.a“+]=S.+]-S“=2%,;.%>0,

二數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為外、公比為2的等比數(shù)列，

a3a3=64a；=64,解得％=1或q=-l（舍），

,c+65.64,

=2"T,s,=血聆165M0,gpA<言—=2用n+]+西恒成立，

...2"+1+￡22/2Mx”=32,當(dāng)且僅當(dāng)2向=竺即”=3時(shí)取等號(hào)，.?/W32.

2〃_jv2〃—]2〃-]

故選：D.

5.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛。"｝滿足q=；,cin+l=-,q+q%d-----F---Cin<m｛mGR）

恒成立，則”，的最小值為（）

2

A.3B.2C.1D.-

3

【答案】C

【分析】通過等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出％+4/+…+4%…?，進(jìn)而

確定m的最小值.

〃〃+1,n是等差數(shù)列，又；％=；，

【詳解】—=----------=>------=1-\-----

an+\5+l)a,----an+1a,'

nIn

：.-=—+n-l=n+2=>an=-

anaxn+2

,123n2(\1}

故對此2,^2-A=-----??…—(“+1)5+2)=

6=:1=乙2也符合上式，

32x3

1111..+J-一-

%++,??+?…=21--+----+=1———<1,

2334〃+1n+2n+2

故加21,即加的最小值為L

故選：C.

6.（2023春?江西九江?高二校考期中）數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,

Or>nr\n

則使不等式下不+小不+…+不『〈赤成立的最小正整數(shù)〃的值是（）

3自W2U23

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

222T1（1AT

【分析】根據(jù)等比數(shù)列得S.，利用裂項(xiàng)求和可得￡+”+…+下［=11-於口<而去，結(jié)合不等

式的性質(zhì)代入求解即可得答案.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以4=2”,則5“=2向-2,

…2"If11222T1<112"

以-----=--------------,貝----

Pfrn+11-------F?,?H----------=-1-----,,-+-1-----<------,

S?Sn+14（2'-12-lJzS?2S2s3S?Sn+i412-lJ2023

不等式整理得＜—，

2K+1-12023

當(dāng)〃=8時(shí)，左邊=券，右邊=嚷，顯然不滿足不等式；

當(dāng)"=9時(shí)，左邊=倦，右邊=黑，顯然滿足不等式；

ryn+\r\o〃+2

且當(dāng)，29時(shí)，左邊右邊=—＞1,則不等式恒成立;

2K+1-12023

故當(dāng)不等式成立時(shí)?的最小值為9.

故選：B.

7.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,an+i-an=^-^,存在正偶數(shù)〃使得

（氏-㈤（。用+幾）＞。，且對任意正奇數(shù)”有㈤（％+㈤＜。，則實(shí)數(shù)N的取值范圍是（）

A.LB.~,-為（1，+8）。d-H'-t

【答案】D

【分析】利用累加法求出凡，對〃分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論%的單調(diào)性，結(jié)合能成立與恒成立的處理

方法求出答案.

【詳解】因?yàn)椋?1,%

所以當(dāng)〃＞2時(shí)，an=%+（%-%）+（%-%）H----卜（冊一冊_］）

2

又〃=1時(shí)4也成立,

3

,n=2k-l

次wN*,

,n=2k

易得，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。“單調(diào)遞減；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4單調(diào)遞增，

又當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，存在（4-初％+丸）＞0,即（"%）（2+%）v0,

232

所以—?！?1<X<?！ǎ藭r(shí)有一。3<丸<§，所以一

又對于任意的正奇數(shù)〃,（%-肛。用+#〈0,即（％-%）（丸+.）>0,

2

所以丸<-〃用或。〃恒成立，所以幾《一§或=1,

綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍是,

故選：D.

8.（2023春?浙江衢州?高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S“，且”>九>工，若2=2023%,

數(shù)列｛2｝的前”項(xiàng)積為T.，則使（>1的最大整數(shù)"為（）

A.20B.21C.22D.23

【答案】B

【分析】先判斷出>。嗎1+。12<。，62<。，從而得到耳1>1，42<1，"1/12<1，故可判斷50,n1,n2,%3與

1的大小關(guān)系.

b

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則廣=2023"磯=2023"

故也｝為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列.

因?yàn)镾u>，0>S]2，故%>0,知+4[2<0,故42<0，

l

故如=2023d>1,bn=2023%<1,bnbn=2023M+和<1,

故%>d".>偽1>1,l>bl2>bl3>---,

所以（o=4x4/…x%=4x伍2%）x---x（耳加）x偽1=毗>1,

x---x&=xx.--xx

T2l=btx/?221（^!）（&2Z?20）（Z?10Z?12）Z>],=b；：>1,

T22=偽義4X…義22=也%）X（b2b2l）X…X（41偽2）=（41%）“<1>

所以G=T酒13<1'

故選：B.

9.（2023?江西吉安?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a,M=S：+4,reR,weN*,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝不可能為等差數(shù)列B.對任意正數(shù),,[乎|是遞增數(shù)列

C.若r=l,貝此角24%D.若r=l,數(shù)列］的前〃項(xiàng)和為s“，則S"〈已

1%Je

【答案】D

【分析】若｛風(fēng)｝為常數(shù)列1,1,1,…，此時(shí)/=-3,由此可判斷A；若存在正數(shù)t使得［誓］為遞增數(shù)列，

貝巾巴>生=。一1)。+4)2+4>0,顯然當(dāng)/時(shí)就不成立，由此判斷B；—=%+汽，結(jié)合基本不等式可

判斷C；當(dāng)〃=1時(shí)，5,=-=1<-9滿足題意；當(dāng)〃22時(shí)，由44>4可得〃〃〉4〃。則

%eanan4

s,<i+；+-+，r，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求解可判斷D.

【詳解】對于A,若｛%｝為常數(shù)列1,1,1,…，此時(shí)/=-3,故數(shù)列可以是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤;

2

對于B,由。1==幻/+4/>0,〃￡N*,/.a2=t+4-,a3=t(t+4)+4,

若存在正數(shù)t使得身為遞增數(shù)列，貝?。?>&nf(f+4)+士-a+4)>。=?-1)。+4)2+4>。，顯然當(dāng)

［anJa2qt+4

f=g時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；

?74I4

對于C,已知弓=1,%討=如+4,顯然數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故3=4+—之20?一=4,當(dāng)且僅當(dāng)%=2

ananVan

時(shí)，等號(hào)成立,

又％=1；*2時(shí)，G?>4,不滿足取等條件，貝！J->4,即見+口44，故C錯(cuò)誤；

an

14

對于D,當(dāng)〃=1時(shí)，d=-=1<一,滿足題意；

axe

當(dāng)“22時(shí)，由選項(xiàng)C知％1'>4,累乘可得巴=烏-生9>4"\

a?%%一2%?ia?4

i-flT「？

???5“<1+工+...+」7<7人,1-仕］滿足題意，故D正確.

"44"T—I3|_⑷)3e

~4一

故選：D.

C

10.(2023?四川遂寧??？寄M預(yù)測)若數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S”,b,=",則稱數(shù)列也｝是數(shù)列｛%｝的“均

n

值數(shù)列”.已知數(shù)列也｝是數(shù)列｛%｝的“均值數(shù)列”且b?=n設(shè)數(shù)列『一一卜的前〃項(xiàng)和為1,若

+

；(根2一根+百一3)<(對〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.(-oo,-l)U(2,+oo)D.(-oo,-l]u[2,+co)

【答案】B

_c(S,72=1_(、

【分析】由題意可得3="2,由%=?、,可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法可求得4,

求出數(shù)列｛(,｝的最小值，可得出關(guān)于加的不等式，解之即可.

【詳解】由題意2=〃，即S“=〃2,

n

22

當(dāng)2時(shí)，an=Sn-Sn_x=n-(n-1)=2n-l,

又4=6=1,則％=1滿足％=2〃-1,故對任意的〃cN*,an=2n-l9

1_1_J2〃+1—yjln—X

人+\lan+l，2〃-1+12〃+12

丁V3-1>/5-V3y/2n+l-y/2n-]3+1—1

〃2222

易知[叵丁4是遞增數(shù)列，所以，數(shù)列卜2半口]的最小值是r=叵1，

2J[2J“2

由題意(病-"Z+/-3)<J整理可得〃，—機(jī)―2<0,解得一

故選：B.

11.(2023春?浙江杭州?高二杭州市長河高級中學(xué)?？计谥?已知數(shù)列｛4｝滿足

aA=a>0,an+l=(weN,),若存在實(shí)數(shù)r,使｛4｝單調(diào)遞增，則”的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【分析】解法一：由｛4｝單調(diào)遞增可得%+1>4恒成立，貝!|空%+1(weN*),分析f>6+1和/>%+1應(yīng)用

排除法確定正確選項(xiàng)；

解法二：借助函數(shù)的知識(shí)，將數(shù)列單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.

【詳解】解法一：由｛4｝單調(diào)遞增，得為+|=-吊+">4,,

由4=Q>0,得>0,

t>an+l(nGN*).

〃=1時(shí)，得H+l①，

〃=2時(shí)，^t>—a2+ta+l9即(a—l)，v(a+l)(Q—l)②，

若a=l,②式不成立，不合題意；

若。>1,②式等價(jià)為，V4+L與①式矛盾，不合題意.

綜上，排除B,C,D.

解法二：設(shè)〃X)=—x2+比，函數(shù)對稱軸為無=；,則約+1=/(?！?，

聯(lián)立「=一”+tx,可得兩函數(shù)的交點(diǎn)為

〔丁=九

若要4貝！0<a<t-l,所以1。<2,

又只要求存在實(shí)數(shù)3所以

故選：A.

12.(2022春?北京?高二清華附中校考期中)對于數(shù)列｛%｝,若都有攻口型(f為常

m—n

數(shù))成立，則稱數(shù)列｛q｝具有性質(zhì)P。).數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q="2-4,且具有性質(zhì)P(5),則實(shí)數(shù)。的

n

取值范圍是()

A.[5,+00)B.[4,+oo)

C.D.(-co,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義推得數(shù)列｛q-5〃｝是遞增數(shù)列，從而得至!]-5(〃+1)-(%-5〃)上。，整理化簡

得_0<2〃(〃+1)(〃-2),構(gòu)造函數(shù)〃司=2工3一2f一4x(x21),利用導(dǎo)數(shù)求得“〃)的最小值，從而得解.

【詳解】依題意，得4*25,則％f_g,「5嘰0,

m—nm—n

所以數(shù)列｛q-5〃｝是遞增數(shù)列，故-5(〃+1)-(%-5〃)N0,〃eN*,

因?yàn)椤ā岸?2_烏，貝-----—5(n+1)—---->0,整理得—aW2Tl(n+1)(〃—2).n￡N*,

令f(x)=2x(x+1)(%—2)=2x3—2x2—4x(x>l),則/(r)=6x2-4x-4=2(3x2-2x-2),

令r(x)<o,得iw尤令制勾>0,得

所以〃x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

又〃eN*,山區(qū)<2,所以在X=1或無=2處取得最小值,

3

又/(1)=一4,“2)=0,所以/("Ln=-4,

故一。<-4,貝!j。24,

所以。的取值范圍為［4,+(?).

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解數(shù)列新定義，推得｛?！?5科是遞增數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為。關(guān)

于九的恒成立問題，從而得解.

13.(2023春?河南開封?高二校考期中)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=1,若對任意正整數(shù)〃，

S向=-3%+%+3,5?+??>(-1)"?,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.［一1,|］B.［問C,D.(-2,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)謂與$/，的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的概念可得2a用-進(jìn)而可得見=崇，然后結(jié)合條件可

得邑+q=3-擊然后分類討論即得.

【詳解】因?yàn)镾.=-3々〃+1+%+3,%=1

3

當(dāng)〃=1時(shí)，邑=—3%+q+3,解得%=］，

當(dāng)〃>2時(shí)，Sn=-3an+an_x+3(n>2),則an+i=-3an+l+4%-%,

即2an+l~an=g(2"〃~an-\)，又2a2~a\=~f

所以｛24包-q,｝是首項(xiàng)為T,公比為g的等比數(shù)列，

所以2ax-凡=g,則2"+4+「2%=1,又為=2,

所以｛2"凡｝為首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

n+1

貝！］2"。"=〃+1,則

所以S.+1+。/+1=-2?^^+g^+3=3-J,又S］+q=2=3-±，

則S"+。“,又S0+a”＞（-l）"a,

所以3-擊＞（T）"a，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，3-^j-＞-A,而3-JY22,則2＞-a,解得。＞一2；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，3-擊＞〃，而3-擊,，貝!Ja＜%

綜上所述，實(shí)數(shù)°的取值范圍為

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后通過討論結(jié)合數(shù)列不

等式恒成立問題即得.

14.（2022秋.安徽合肥?高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列｛?！埃校艄?:，且對任意的“eN*有嗅則使

數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和5?＜||成立的n最大值為（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】由題知數(shù)列］乎:是等比數(shù)列，公比為首項(xiàng)為進(jìn)而得氏再根據(jù)錯(cuò)位相減法得

5“=2-僅+2）［］,進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為（"+2＞］力＞三，令2=（〃+2）.目，再結(jié)合其單調(diào)性求解即

可.

【詳解】解：因?yàn)閷θ我獾摹癳N*有箕=答,

所以篇《十，即數(shù)列1%是等比數(shù)列，公比為梟

首項(xiàng)為

所吟=1），。"唱［，

所以，If出+2x出+3x出+一.+（〃一1）.出，+"（iy

］丫+1

1=1x（）+2x出+3x［\+...+（1）.出+“

2J

n+l

=l-(n+2)/1

2

所以S“=2_(”+2).

063前班./小門丫63?1

所以S“(二即為2-(“+2)J—|<一=2-----,

32'，(2J3232

1

所以僅+2>>——

I32

令么=5+2>出,

則%-a=（〃+3）.出-（〃+2嗎］=出［-"）<。，即%<%

所以也,｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

因?yàn)楫?dāng)〃=8時(shí)，（8+2）.1I=滿足("+2).1?>3

擊舟不滿足5+2）-1

當(dāng)〃=9時(shí)，（9+2）.>一,

I132

』成立的最大值為

所以（"+2）.n8,

所以，數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和耳<||成立的n最大值為8.

故選：B

12

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛。"｝滿足卬=：,%=q,+2（〃eN*）,則下列選項(xiàng)正確的是（

3n

「20211

A.。2021V“2020B.<<I

40432021

一八2021

C.0<Q2021V-------------D.。2021>1

20214043

【答案】B

【詳解】

(1)下面先證明%<1.由4=：,%=。"+馬(”。*),則?！?gt;0,，%>氏，.?..<4+筆且，化為:

3nn

111

一<+F，

an%+1〃

111111

九.2時(shí)t，一<---+-----=---+----——,

4%n(n-l)%n-1n

J_<+J_<J_+1111__j_

9999

,a202s2a3a423anan+in-1n

111

?一<一+1——,

a2ann

114

又%=-+-

399

19li