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文檔簡介

正多邊形與圓-十大題型【知識點(diǎn)1正多邊形與圓】(1)正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長面積為邊數(shù);為邊心距;為半徑;為邊長(2)正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為,每個(gè)外角度數(shù)為【題型1正多邊形與圓中求角度】【例1】(株洲期末)如圖,正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形,則∠BOM的度數(shù)是()A.36° B.45° C.48° D.60°【變式1-1】(長春一模)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)M在AF上,則∠CMD的大小為()A.60° B.45° C.30° D.15°【變式1-2】(福州期中)如圖,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)AC,以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫圓弧交AC于點(diǎn)F,連接DF.則∠FDC的度數(shù)是.【變式1-3】(綏化)如圖,正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O,且有公共頂點(diǎn)A,則∠BOH的度數(shù)為度.【題型2正多邊形與圓中求線段長度】【例2】(雅安)如圖,已知⊙O的周長等于6π,則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為()A.33 B.32 C.33【變式2-1】(西城區(qū)期末)如圖,⊙O是正方形ABCD的外接圓,若⊙O的半徑為4,則正方形ABCD的邊長為()A.4 B.8 C.22 D.【變式2-2】(德城區(qū)模擬)已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圖中,頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn)在圓上.若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4,則小正六邊形的邊長是()A.3?13 B.13?1 C.13+1【變式2-3】(涼山州)如圖,等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O,則AD:AB=()A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22【題型3正多邊形與圓中求半徑】【例3】(臨海市期末)如圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓把以O(shè)A為半徑的大圓O的面積三等分,這兩個(gè)圓的半徑分別為OB,OC.則OA:OB:OC的值是()A.3:2:1 B.9:4:1 C.3:2:1 D.3:6:2【變式3-1】(虹口區(qū)二模)如果正三角形的邊心距是2,那么它的半徑是.【變式3-2】(欽州模擬)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,連接AC,已知AC=6,則圓的半徑是()A.3 B.6 C.23 D.43【變式3-3】(碑林區(qū)校級模擬)如圖:⊙O與正六邊形ABCDEF的兩邊AB和EF相切于點(diǎn)B和點(diǎn)E兩點(diǎn),若正六邊形的邊長是3,則⊙O的半徑長是()A.1 B.3 C.2 D.3【題型4正多邊形與圓中求面積】【例4】(泗水縣三模)如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,若圓的半徑為4,則圖中陰影部分的面積為()A.83 B.123 C.16 D.【變式4-1】(宣化區(qū)期末)如圖,已知⊙O的周長等于6π,則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是()A.2732 B.2734 C.【變式4-2】(廬陽區(qū)校級一模)如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,若圓的半徑為1,則圖中陰影部分的面積為()A.334 B.3 C.53【變式4-3】(廬江縣期末)⊙O半徑為4,以⊙O的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為邊作一個(gè)三角形,則所得三角形的面積是()A.2 B.3 C.22 D.23【題型5正多邊形與圓中求周長】【例5】(和平區(qū)一模)如圖,若⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓,則正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的周長之比為()A.22:3 B.2:1 C.2:3 D.1:3【變式5-1】(鼓樓區(qū)校級模擬)正六邊形的周長為12,則它的外接圓的內(nèi)接正三角形的周長為()A.23 B.33 C.63 D.6【變式5-2】(梅河口市期末)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,連接OC、OD,若OC長為2cm,則正六形ABCDEF的周長為cm.【變式5-3】(旌陽區(qū)模擬)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,若⊙O的半徑為6,則△ADE的周長是()A.9+33 B.12+63 C.18+33 D.18+63【題型6確定正多邊形的邊數(shù)】【例6】(寬城縣一模)如圖,邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊,點(diǎn)C在AB上,且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊,若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊,則n的值是()A.6 B.12 C.24 D.48【變式6-1】(濱江區(qū)期末)一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中,一條邊所對的圓心角為72°,則該正多邊形的邊數(shù)是()A.4 B.5 C.6 D.7【變式6-2】(息烽縣二模)如圖,AB、AC分別為⊙O的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三邊形的邊,BC是圓內(nèi)接正n邊形的一邊,則n等于()A.8 B.10 C.12 D.16【變式6-3】(鋼城區(qū)期末)如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形,△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形,若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊,則n的值為()A.8 B.10 C.12 D.15【題型7正多邊形與圓中的實(shí)際應(yīng)用】【例7】(安國市一模)2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm,則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過()A.11.125mm B.22.25mm C.8928mm D.【變式7-1】(門頭溝區(qū)期末)頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大,保存最完整的古代皇家園林,它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園.該園有一個(gè)六角亭,如果它的地基是半徑為2米的正六邊形,那么這個(gè)地基的周長是米.【變式7-2】(東城區(qū)期末)斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是說:“斛的底面為:正方形外接一個(gè)圓,此圓外是一個(gè)同心圓.”如圖所示.問題:現(xiàn)有一斛,其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺),“庣旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺),則此斛底面的正方形的邊長為尺.【變式7-3】(清苑區(qū)一模)某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒,已知每支筆形狀、大小相同,底面均為正六邊形,六邊形邊長為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案,我們以6支彩鉛為例,可以設(shè)計(jì)如圖的兩種收納方案;(1)如果要裝6支彩鉛,在以上兩種方案里,你認(rèn)為更小的底面積是cm.(2)如果你要裝12只彩鉛,要求相鄰彩鉛拼接無空隙,請?jiān)O(shè)計(jì)一種最佳的布局,并使用圓形來設(shè)計(jì)底面,則底面半徑的最小值為13cm.【題型8正多邊形與圓中的規(guī)律問題】【例8】(椒江區(qū)校級月考)已知正方形MNKO和正六邊形ABCDEF邊長均為1,把正方形放在正六邊形外邊,使OK邊與AB邊重合,如圖所示.按下列步驟操作:將正方形在正六邊形外繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使KN邊與BC邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn);再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使NM邊與CD邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)可能是()A.2.2 B.﹣2.2 C.2.3 D.﹣2.3【變式8-1】(鐵鋒區(qū)期末)如圖,邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中,邊AB在x軸正半軸上,頂點(diǎn)F在y軸正半軸上,將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)60°,那么經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.【變式8-2】(江西模擬)如圖,我們把先作正方形ABCD的內(nèi)切圓,再作這個(gè)內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形A1B1C1D1.稱為第一次數(shù)學(xué)操作,接下來,作正方形A1B1C1D1的內(nèi)切圓,再作這個(gè)內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形A2B2C2D2,稱為第二次數(shù)學(xué)操作,按此規(guī)律如此下去,…,當(dāng)完成第n次數(shù)學(xué)操作后,得到正方形AnBn?nDn,則AnA.(22)n B.(12)n C.(32)n D.(【變式8-3】(威海)如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,A10B10C10D10E10F10的邊長為()A.24329 B.81329 【題型9正多邊形與圓中求最值】【例9】(南山區(qū)三模)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,線段MN在對角線BD上運(yùn)動(dòng),若⊙O的面積為8π,MN=2,則△AMN周長的最小值是()A.6 B.8 C.9 D.10【變式9-1】(觀山湖區(qū)一模)如圖,點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn),AB=4,當(dāng)∠APB=90°時(shí),連接PD,則線段PD的最小值是()A.211?2 B.213?2 【變式9-2】(浙江自主招生)如圖,邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E是弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),點(diǎn)F是弧BC上的一點(diǎn),連接OE,OF,分別與AB,BC交于點(diǎn)G,H,且∠EOF=90°,則△GBH周長的最小值為.【變式9-3】(廣陵區(qū)期末)如圖,⊙O半徑為2,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng),連接BE,作AF⊥BE,垂足為F,連接CF.則CF長的最小值為.【題型10正多邊形與圓中的證明】【例10】如圖,⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中,對角線AC和BE相交于點(diǎn)F.(1)求∠BAC的度數(shù).(2)求證:四邊形CDEF為菱形.【變式10-1】已知:如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形,頂角∠BAC=36°,弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB.求證:五邊形AEBCD是正五邊形.【變式10-2】(河南模擬)如圖,⊙O半徑為4cm,其內(nèi)接正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā),以1cm/s速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng),連接PB,QE,PE,BQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)求證:四邊形PEQB為平行四邊形;(2)填空:①當(dāng)t=s時(shí),四邊形PBQE為菱形;②當(dāng)t=s時(shí),四邊形PBQE為矩形.【變式10-3】(張家口一模)(1)已知:如圖1,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn),求證:PA=PB+PC.下面給出一種證明方法,你可以按這一方法補(bǔ)全證明過程,也可以選擇另外的證明方法.證明:在AP上截取AE=CP,連接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圓周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP(2)如圖2,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn),求證:PA=PC+2PB(3)如圖3,六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn),請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論.

正多邊形與圓-十大題型(解析版)【知識點(diǎn)1正多邊形與圓】(1)正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長面積為邊數(shù);為邊心距;為半徑;為邊長(2)正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為,每個(gè)外角度數(shù)為【題型1正多邊形與圓中求角度】【例1】(株洲期末)如圖,正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形,則∠BOM的度數(shù)是()A.36° B.45° C.48° D.60°【分析】如圖,連接AO.利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOM,∠AOB,可得結(jié)論.【解答】解:如圖,連接AO.∵△AMN是等邊三角形,∴∠ANM=60°,∴∠AOM=2∠ANM=120°,∵ABCDE是正五邊形,∴∠AOB=360°∴∠BOM=120°﹣72°=48°.故選:C.【變式1-1】(長春一模)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)M在AF上,則∠CMD的大小為()A.60° B.45° C.30° D.15°【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠COD=60°,由圓周角定理求出∠CMD=30°.【解答】解:連接OC,OD,∵多邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠COD=60°,∴∠CMD=12故選:C.【變式1-2】(福州期中)如圖,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)AC,以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫圓弧交AC于點(diǎn)F,連接DF.則∠FDC的度數(shù)是36°.【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠EAC=∠DCA=72°,進(jìn)而可得四邊形AEDF是平行四邊形,求出∠DFC的度數(shù),再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出答案即可.【解答】解:∵正五邊形ABCDE,∴∠ABC=∠EAB=(5?2)×180°5=108°,AB=BC=CD=DE∴∠ACB=∠BAC=180°?108°∴∠EAC=∠DCA=108°﹣36°=72°,∴∠DEA+∠EAC=108°+72°=180°,∴DE∥AC,又∵DE=AE=AF,∴四邊形AEDF是平行四邊形,∴AE∥DF,∴∠DFC=∠EAC=72°=∠DCA,∴∠FDC=180°﹣72°﹣72°=36°,故答案為:36°.【變式1-3】(綏化)如圖,正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O,且有公共頂點(diǎn)A,則∠BOH的度數(shù)為12度.【分析】求出正六邊形的中心角∠AOB和正五邊形的中心角∠AOH,即可得出∠BOH的度數(shù).【解答】解:如圖,連接OA,正六邊形的中心角為∠AOB=360°÷6=60°,正五邊形的中心角為∠AOH=360°÷5=72°,∴∠BOH=∠AOH﹣∠AOB=72°﹣60°=12°.故答案為:12.【題型2正多邊形與圓中求線段長度】【例2】(雅安)如圖,已知⊙O的周長等于6π,則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為()A.33 B.32 C.33【分析】連接OC,OD,由正六邊形ABCDEF可求出∠COD=60°,進(jìn)而可求出∠COG=30°,根據(jù)30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距OG的長.【解答】解:連接OC,OD,∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形,∴∠COD=60°,∵OC=OD,OG⊥CD,∴∠COG=30°,∵⊙O的周長等于6π,∴OC=3,∴OG=3故選:C.【變式2-1】(西城區(qū)期末)如圖,⊙O是正方形ABCD的外接圓,若⊙O的半徑為4,則正方形ABCD的邊長為()A.4 B.8 C.22 D.【分析】連接BD.由題意,△BCD是等腰直角三角形,故可得出結(jié)論.【解答】解:如圖,連接BD.由題意,△BCD是等腰直角三角形,∵BD=8,∠CBD=45°,∠BCD=90°,∴BC=22BD=4故選:D.【變式2-2】(德城區(qū)模擬)已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圖中,頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F(xiàn)在圓上.若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4,則小正六邊形的邊長是()A.3?13 B.13?1 C.13+1【分析】在邊長為4的大正六邊形中,根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出ON和半徑OD,進(jìn)而得出小正六邊形對應(yīng)點(diǎn)的距離MF,再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑GF,即邊長FH即可.【解答】解:連接AD交PM于O,則點(diǎn)O是圓心,過點(diǎn)O作ON⊥DE于N,連接MF,取MF的中點(diǎn)G,連接GH,GQ,由對稱性可知,OM=OP=EN=DN=2,由正六邊形的性質(zhì)可得ON=43,∴OD=DN2+O∴MF=213?由正六邊形的性質(zhì)可知,△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形,∴FH=12MF故選:B.【變式2-3】(涼山州)如圖,等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O,則AD:AB=()A.22:3 B.2:3 C.3:2 D.3:22【分析】連接OA、OB、OD,過O作OH⊥AB于H,由垂徑定理得出AH=BH=12AB,證出△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=60°,AH=BH=12AB,得出AD=2OA,AH=32OA【解答】解:連接OA、OB、OD,過O作OH⊥AB于H,如圖所示:則AH=BH=12∵等邊三角形ABC和正方形ADEF,都內(nèi)接于⊙O,∴∠AOB=120°,∠AOD=90°,∵OA=OD=OB,∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=1∴AD=2OA,AH=OA?sin60°=3∴AB=2AH=2×32OA=∴ADAB故選:B.【題型3正多邊形與圓中求半徑】【例3】(臨海市期末)如圖,以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓把以O(shè)A為半徑的大圓O的面積三等分,這兩個(gè)圓的半徑分別為OB,OC.則OA:OB:OC的值是()A.3:2:1 B.9:4:1 C.3:2:1 D.3:6:2【分析】根據(jù)圓的面積公式得出方程,根據(jù)算術(shù)平方根求出OA、OB、OC的值,再代入即可得出答案【解答】解:以O(shè)A半徑的圓的面積是πr2,則以O(shè)B半徑的圓的面積是23πr2,則以O(shè)C半徑的圓的面積是13π∴πrB2=23πr2,πrC∴rB=63r,rC=∴OA:OB:OC=r:63r:33r=3故選:C.【變式3-1】(虹口區(qū)二模)如果正三角形的邊心距是2,那么它的半徑是4.【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出:∠ACO=∠OCB=30°,進(jìn)而得出CO即可.【解答】解:(1)過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,∵⊙O的內(nèi)接正三角形的邊心距為2,∴OD=2,由正三角形的性質(zhì)可得出:∠ACO=∠OCB=30°,∴CO=2DO=4,故答案為:4.【變式3-2】(欽州模擬)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,連接AC,已知AC=6,則圓的半徑是()A.3 B.6 C.23 D.43【分析】連接BO、AO,OB與AC交于H,根據(jù)正六邊形ABCDEF的性質(zhì)得到AB=BC,∠BOA=360°6=60°,根據(jù)垂徑定理得到周角定理得到∠BCA=12【解答】解:連接BO、AO,OB與AC交于H,在正六邊形ABCDEF中,AB=BC,∠BOA=360°∴∠BCA=12∠BOC=30°,∴BO⊥AC,AH=CH=12∴BC=AB=OB=23,∴圓的半徑是23,故選:C.【變式3-3】(碑林區(qū)校級模擬)如圖:⊙O與正六邊形ABCDEF的兩邊AB和EF相切于點(diǎn)B和點(diǎn)E兩點(diǎn),若正六邊形的邊長是3,則⊙O的半徑長是()A.1 B.3 C.2 D.3【分析】連接OB,OE,BE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABO=∠FEO=90°,求得∠BOE=120°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBE=∠OEB=30°,推出AF∥BE,過A作AM⊥BE于M,F(xiàn)N⊥BE于N,得到四邊形AMNF是矩形,過O作OH⊥BE于H,根據(jù)勾股定理的定義即可得到結(jié)論.【解答】解:連接OB,OE,BE,∵:⊙O與正六邊形ABCDEF的兩邊AB和EF相切于點(diǎn)B和點(diǎn)E兩點(diǎn),∴∠ABO=∠FEO=90°,∵∠BAF=∠EFA=120°,∴∠BOE=540°﹣120°﹣120°﹣90°﹣90°=120°,∴∠OBE=∠OEB=30°,∴∠ABE=∠FEB=60°,∴∠ABE+∠BAF=180°,∴AF∥BE,過A作AM⊥BE于M,F(xiàn)N⊥BE于N,∴四邊形AMNF是矩形,∴MN=AF=3,BM=EN=12∴BE=23,過O作OH⊥BE于H,∴∠OHB=90°,BH=3∴OB=2,故選:C.【題型4正多邊形與圓中求面積】【例4】(泗水縣三模)如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,若圓的半徑為4,則圖中陰影部分的面積為()A.83 B.123 C.16 D.【分析】如圖,連接OB交AC與點(diǎn)H.解直角三角形求出AC,可得結(jié)論.【解答】解:如圖,連接OB交AC與點(diǎn)H.由題意△ABC是等邊三角形,OB=4,OH=BH=2,∵OB⊥AC,∴CH=AH=BH∴AC=2CH=4∴陰影部分的面積=6×34×(433故選:A.【變式4-1】(宣化區(qū)期末)如圖,已知⊙O的周長等于6π,則它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積是()A.2732 B.2734 C.【分析】首先過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,連接OA,OB,由⊙O的周長等于6πcm,可得⊙O的半徑,又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì),即可求得答案.【解答】解:過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,連接OA,OB,∴AH=12∵⊙O的周長等于6π,∴⊙O的半徑為:3,∵∠AOB=16×360°=60°,OA∴△OAB是等邊三角形,∴AB=OA=3,∴AH=3∴OH=O∴S正六邊形ABCDEF=6S△OAB=6×12×故選:A.【變式4-2】(廬陽區(qū)校級一模)如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,若圓的半徑為1,則圖中陰影部分的面積為()A.334 B.3 C.53【分析】根據(jù)題意得到圖中陰影部分的面積=S△ABC+3S△ADE,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.【解答】解:如圖,∵“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,∴△ABC與△ADE是等邊三角形,∵圓的半徑為1,∴AH=32,BC=AB∴AE=33,AF∴圖中陰影部分的面積=S△ABC+3S△ADE=12×故選:B.【變式4-3】(廬江縣期末)⊙O半徑為4,以⊙O的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為邊作一個(gè)三角形,則所得三角形的面積是()A.2 B.3 C.22 D.23【分析】分別畫出對應(yīng)的圖形計(jì)算出三條邊心距,利用勾股定理的逆定理可證明它們構(gòu)建的三角形為直角三角形,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算此三角形的面積.【解答】解:如圖1,△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形,作OM⊥BC于M,連接OB,∵∠OBC=12∠∴OM=12如圖2,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形,作ON⊥DC于N,連接OD,∵∠ODC=12∠∴ON=DN=22OD=2如圖3,六邊形ABCDEF為⊙O的內(nèi)接正六邊形,作OH⊥DE于H,連接OE,∵∠OED=12∠∴EH=12OE=2,OH=3EH∴半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為2,22,23,∵22+(22)2=(23)2,∴以三條邊心距所作的三角形為直角三角形,∴該三角形的面積=12×2×22故選:C.【題型5正多邊形與圓中求周長】【例5】(和平區(qū)一模)如圖,若⊙O是正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的外接圓,則正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的周長之比為()A.22:3 B.2:1 C.2:3 D.1:3【分析】求出⊙O的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長之比,即可得出結(jié)論.【解答】解:連接OA、OB.OE,如圖所示:設(shè)此圓的半徑為R,則它的內(nèi)接正方形的邊長為2R,它的內(nèi)接正六邊形的邊長為R,∴內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長之比為2R:R=2∴正方形ABCD與正六邊形AEFCGH的周長之比=內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長之比=42:6=22:3,故選:A.【變式5-1】(鼓樓區(qū)校級模擬)正六邊形的周長為12,則它的外接圓的內(nèi)接正三角形的周長為()A.23 B.33 C.63 D.6【分析】根據(jù)題意畫出圖形,求出正六邊形的邊長,再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】解:∵圓內(nèi)接正六邊形的周長為12,∴圓內(nèi)接正六邊形的邊長為2,∴圓的半徑為2,如圖,連接OB,過O作OD⊥BC于D,則∠OBC=30°,BD=2×3∴BC=2BD=23;∴該圓的內(nèi)接正三角形的周長為63,故選:C.【變式5-2】(梅河口市期末)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,連接OC、OD,若OC長為2cm,則正六形ABCDEF的周長為12cm.【分析】根據(jù)正六邊形的定義確定其中心角的度數(shù),得到△OCD是等邊三角形,求得CD=2cm,于是得到結(jié)論.【解答】解:∵多邊形ABCDEF為正六邊形,∴∠COD=360°×1∵OC=OD,∴△OCD是等邊三角形,∵OC長為2cm,∴CD=2cm,∴正六形ABCDEF的周長為2×6=12(cm),故答案為:12.【變式5-3】(旌陽區(qū)模擬)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,若⊙O的半徑為6,則△ADE的周長是()A.9+33 B.12+63 C.18+33 D.18+63【分析】首先確定三角形的三個(gè)角的度數(shù),從而判斷該三角形是特殊的直角三角形,然后根據(jù)半徑求得斜邊的長,從而求得另外兩條直角邊的長,進(jìn)而求得周長.【解答】解:連接OE,∵多邊形ABCDEF是正多邊形,∴∠DOE=360°∴∠DAE=12∠DOE=1∵⊙O的半徑為6,∴AD=2OD=12,∴DE=12AD=12×12=6,AE∴△ADE的周長為6+12+63=18+63故選:D.【題型6確定正多邊形的邊數(shù)】【例6】(寬城縣一模)如圖,邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊,點(diǎn)C在AB上,且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊,若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊,則n的值是()A.6 B.12 C.24 D.48【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù),列式計(jì)算分別求出∠AOB,∠BOC的度數(shù),則∠AOC=15°,則邊數(shù)n=360°÷中心角.【解答】解:連接OC,∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊,∴∠AOB=360°÷6=60°,∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊,∴∠BOC=360°÷8=45°,∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣45°=15°,∴n=360°÷15°=24;故選C.【變式6-1】(濱江區(qū)期末)一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中,一條邊所對的圓心角為72°,則該正多邊形的邊數(shù)是()A.4 B.5 C.6 D.7【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=360°【解答】解:設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n.由題意可得:360°n∴n=5,故選:B.【變式6-2】(息烽縣二模)如圖,AB、AC分別為⊙O的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三邊形的邊,BC是圓內(nèi)接正n邊形的一邊,則n等于()A.8 B.10 C.12 D.16【分析】根據(jù)正方形以及正三邊形的性質(zhì)得出∠AOB=360°4=90°,∠AOC=360°3【解答】解:連接AO,BO,CO.∵AB、AC分別為⊙O的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三邊形的一邊,∴∠AOB=360°4=90°,∠∴∠BOC=30°,∴n=360°故選:C.【變式6-3】(鋼城區(qū)期末)如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形,△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形,若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊,則n的值為()A.8 B.10 C.12 D.15【分析】連接OA、OB、OC,如圖,利用正多邊形與圓,分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°,∠AOF=120°,則∠DOF=30°,然后計(jì)算360°30°即可得到n【解答】解:連接OA、OD、OF,如圖,∵AD,AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,∴∠AOD=360°4=90°,∠∴∠DOF=∠AOF﹣∠AOD=30°,∴n=360°即DF恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊.故選:C.【題型7正多邊形與圓中的實(shí)際應(yīng)用】【例7】(安國市一模)2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm,則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過()A.11.125mm B.22.25mm C.8928mm D.【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得到△AOD為等腰直角三角形,根據(jù)正方形和圓的關(guān)系得到AC的長度,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長度.【解答】解:如圖所示,∵AC=BD=22.25mm,∴AO=OD=22.252∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD,∴△AOD為等腰直角三角形,∴AD=2AO=89故選:C.【變式7-1】(門頭溝區(qū)期末)頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大,保存最完整的古代皇家園林,它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園.該園有一個(gè)六角亭,如果它的地基是半徑為2米的正六邊形,那么這個(gè)地基的周長是12米.【分析】由正六邊形的半徑為2,則OA=OB=2米;由∠AOB=60°,得出△AOB是等邊三角形,則AB=OA=OB=2米,即可得出結(jié)果.【解答】解:如圖所示:∵正六邊形的半徑為2米,∴OA=0B=2米,∴正六邊形的中心角∠AOB=360°∴△AOB是等邊三角形,∴AB=OA=OB,∴AB=2米,∴正六邊形的周長為6×2=12(米);故答案為:12.【變式7-2】(東城區(qū)期末)斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書?律歷志》記載:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是說:“斛的底面為:正方形外接一個(gè)圓,此圓外是一個(gè)同心圓.”如圖所示.問題:現(xiàn)有一斛,其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺),“庣旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺),則此斛底面的正方形的邊長為2尺.【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定△CDE為等腰直角三角形,CE為直徑,根據(jù)題意求出正方形外接圓的直徑CE,求出CD,問題得解.【解答】解:如圖,∵四邊形CDEF為正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE為直徑,∠ECD=45°,由題意得AB=2.5,∴CE=2.5﹣0.25×2=2,∴CD=22CE故答案為:2.【變式7-3】(清苑區(qū)一模)某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒,已知每支筆形狀、大小相同,底面均為正六邊形,六邊形邊長為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案,我們以6支彩鉛為例,可以設(shè)計(jì)如圖的兩種收納方案;(1)如果要裝6支彩鉛,在以上兩種方案里,你認(rèn)為更小的底面積是123cm.(2)如果你要裝12只彩鉛,要求相鄰彩鉛拼接無空隙,請?jiān)O(shè)計(jì)一種最佳的布局,并使用圓形來設(shè)計(jì)底面,則底面半徑的最小值為13cm.【分析】(1)利用圓面積,等邊三角形的面積,即可判斷.(2)設(shè)計(jì)方案如圖所示,利用勾股定理求出半徑即可.【解答】解:(1)如圖1中,圓的半徑為3,∴底面積為9π(cm2).如圖2中,連接OA,OD.∵OD=2cm,∠OAD=30°,∠ADO=90°,∴OA=2OD=4cm,∴AD=OA2?OD∴等邊三角形的邊長AC=43(cm),∴底面積=34×(43)2=123(cm2)<9π(∴等邊三角形作為底面時(shí),面積比較小,底面積為123cm2如圖3中,設(shè)計(jì)方案如圖3所示,在Rt△OET中,ET=1cm,OE=23cm,∴OT=OE2∴底面半徑的最小值為13cm.故答案為:13.【題型8正多邊形與圓中的規(guī)律問題】【例8】(椒江區(qū)校級月考)已知正方形MNKO和正六邊形ABCDEF邊長均為1,把正方形放在正六邊形外邊,使OK邊與AB邊重合,如圖所示.按下列步驟操作:將正方形在正六邊形外繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使KN邊與BC邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn);再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使NM邊與CD邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)可能是()A.2.2 B.﹣2.2 C.2.3 D.﹣2.3【分析】畫出圖形分別求出點(diǎn)M連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最大值和最小值,進(jìn)而可得點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)的可能值.【解答】解:如圖,∵正方形MNKO和正六邊形ABCDEF邊長均為1,點(diǎn)M在連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′時(shí),點(diǎn)M的縱坐標(biāo)最大,∵點(diǎn)M6的縱坐標(biāo)為32所以點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)為2+點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′時(shí),點(diǎn)M的縱坐標(biāo)最小,因?yàn)辄c(diǎn)B′的縱坐標(biāo)為﹣1?3所以縱坐標(biāo)的取值范圍為:﹣1?32<點(diǎn)M即﹣1.866<點(diǎn)M的縱坐標(biāo)<2.280.所以點(diǎn)M在圖中直角坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)可能是2.2.故選:A.【變式8-1】(鐵鋒區(qū)期末)如圖,邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中,邊AB在x軸正半軸上,頂點(diǎn)F在y軸正半軸上,將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)60°,那么經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(32,3).【分析】如圖,連接AD,BD.首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo),再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán),由2022÷6=337,推出經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與原來的坐標(biāo)相同,由此即可解決問題.【解答】解:如圖,連接AD,BD,在正六邊形ABCDEF中,AB=1,AD=2,∠ABD=90°,∴BD=A在Rt△AOF中,AF=1,∠OAF=60°,∴∠OFA=30°,∴OA=12AF∴OB=OA+AB=3∴D(32,3∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)60°,∴6次一個(gè)循環(huán),∵2022÷6=337,∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與應(yīng)該不變,∴經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(32,3故答案為(32,3【變式8-2】(江西模擬)如圖,我們把先作正方形ABCD的內(nèi)切圓,再作這個(gè)內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形A1B1C1D1.稱為第一次數(shù)學(xué)操作,接下來,作正方形A1B1C1D1的內(nèi)切圓,再作這個(gè)內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形A2B2C2D2,稱為第二次數(shù)學(xué)操作,按此規(guī)律如此下去,…,當(dāng)完成第n次數(shù)學(xué)操作后,得到正方形AnBn?nDn,則AnA.(22)n B.(12)n C.(32)n D.(【分析】根據(jù)正多邊形的特點(diǎn),構(gòu)建直角三角形來解決.【解答】解:圖形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OC1分別是兩個(gè)正方形的邊心距,△OC1F是等腰直角三角形,因而OF:OC1=22,則A1當(dāng)完成第n次數(shù)學(xué)操作后,得到正方形AnBn?nDn,則AnBnAB的值為(故選:A.【變式8-3】(威海)如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切,…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,A10B10C10D10E10F10的邊長為()A.24329 B.81329 【分析】連接OE1,OD1,OD2,如圖,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得∠E1OD1=60°,則△E1OD1為等邊三角形,再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD2⊥E1D1,于是可得OD2=32E1D1=32×2,利用正六邊形的邊長等于它的半徑得到正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=32×2,同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=(32)2×2,依此規(guī)律可得正六邊形A10B10C10D10【解答】解:連接OE1,OD1,OD2,如圖,∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形,∴∠E1OD1=60°,∴△E1OD1為等邊三角形,∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,∴OD2⊥E1D1,∴OD2=32E1D1∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=3同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=(32)2則正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長=(32)9×2=故選:D.【題型9正多邊形與圓中求最值】【例9】(南山區(qū)三模)如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,線段MN在對角線BD上運(yùn)動(dòng),若⊙O的面積為8π,MN=2,則△AMN周長的最小值是()A.6 B.8 C.9 D.10【分析】由正方形的性質(zhì),知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn),過點(diǎn)C作CA′∥BD,且使CA′=2,連接AA′交BD于點(diǎn)N,取NM=2,連接AM、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),進(jìn)而求解.【解答】解:⊙O的面積為8π,則圓的半徑為22,則BD=42=AC由正方形的性質(zhì),知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn),過點(diǎn)C作CA′∥BD,且使CA′=2,連接AA′交BD于點(diǎn)N,取NM=2,連接AM、CM,則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn),理由:∵A′C∥MN,且A′C=MN,則四邊形MCA′N為平行四邊形,則A′N=CM=AM,故△AMN的周長=AM+AN+MN=AA′+2為最小,則A′A=(4則△AMN的周長的最小值為6+2=8,故選:B.【變式9-1】(觀山湖區(qū)一模)如圖,點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn),AB=4,當(dāng)∠APB=90°時(shí),連接PD,則線段PD的最小值是()A.211?2 B.213?2 【分析】先判斷出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡:點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上,取AB的中點(diǎn)O,連接OD,當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí),PD有最小值,連接BD,過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H,再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠CBH=30°,∠OBD=90°,根據(jù)勾股定理即可求出BH、BD、OD,進(jìn)而可得DP的最小值.【解答】解:∵AB=4,∠APB=90°,∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上,如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OD,當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí),PD有最小值,連接BD,過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H,∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),∴OA=OB=OP=4÷2=2,∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°×(6﹣2)÷6=120°,∵CD=CB,∴∠CBD=(180°﹣120°)÷2=30°,BD=2BH,∴∠OBD=120°﹣30°=90°,在Rt△CBH中,CH=12CB=2,∴BD=43在Rt△OBD中,OD=2∴PD的最小值為OD﹣OP=213故選:B.【變式9-2】(浙江自主招生)如圖,邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E是弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),點(diǎn)F是弧BC上的一點(diǎn),連接OE,OF,分別與AB,BC交于點(diǎn)G,H,且∠EOF=90°,則△GBH周長的最小值為4+22.【分析】如圖,連接OC,OB,過點(diǎn)O作OM⊥BC于M,由正方形的性質(zhì)可求OB=OC,AB=BC=4,∠BOC=90°,∠OCB=∠OBA=45°,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求OM=2,由“ASA”可證△BOG≌△COH,可得OG=OH,BG=CH,可求HG=2OH,由△GBH周長=BH+GB+GH=BH+CH+2OH=4+2OH,可得當(dāng)OH與OM重合時(shí),OH【解答】解:如圖,連接OC,OB,過點(diǎn)O作OM⊥BC于M,∵邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴OB=OC,AB=BC=4,∠BOC=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∴△OBC是等腰直角三角形,OM⊥BC,∴OM=12∵∠EOF=90°=∠BOC,∴∠COH=∠BOG,且BO=CO,∠BCO=∠ABO,∴△BOG≌△COH(ASA),∴OG=OH,BG=CH,∴△GOH是等腰直角三角形,∴HG=2OH∵△GBH周長=BH+GB+GH=BH+CH+2OH=4+2∴當(dāng)OH最小時(shí),△GBH周長有最小值,∴當(dāng)OH⊥BC時(shí),即(OH與OM重合時(shí))OH有最小值,∴OH的最小值為2,∴△GBH周長的最小值為4+22,故答案為:4+22.【變式9-3】(廣陵區(qū)期末)如圖,⊙O半徑為2,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng),連接BE,作AF⊥BE,垂足為F,連接CF.則CF長的最小值為5?1【分析】如圖,取AB的中點(diǎn)K,以AB為直徑作⊙K,想辦法求出FK,CK,根據(jù)CF≥CK﹣FK即可解決問題.【解答】解:如圖,取AB的中點(diǎn)K,以AB為直徑作⊙K,∵AF⊥BE,∴∠AFB=90°,∵AK=BK,∴KF=AK=BK,∵正方形ABCD的外接圓的半徑為2,∴AB=BC=2∴KF=AK=KB=1,∵∠CBK=90°,∴CK=B∵CF≥CK﹣KF,∴CF≥5∴CF的最小值為5?故答案為5?【題型10正多邊形與圓中的證明】【例10】如圖,⊙O的內(nèi)接正五邊形ABCDE中,對角線AC和BE相交于點(diǎn)F.(1)求∠BAC的度數(shù).(2)求證:四邊形CDEF為菱形.【分析】(1)根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和定理可求出一個(gè)內(nèi)角的度數(shù),再根據(jù)等腰三角形和三角形的內(nèi)角和求出結(jié)果即可;(2)由(1)的方法求出∠ABE,再求出∠CBF=∠CFB,進(jìn)而得BC=CF,同理得出AE=EF,于是利用四條邊相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論.【解答】解:(1)∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴AB=BC=CD=DE=EA,∠ABC=(5?2)×180°∴∠BAC=∠ACB=180°?108°(2)由(1)可得∠ABE=∠AEB=36°,∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABE=108°﹣36°=72°,在△BCF中,∠BFC=180°﹣72°﹣

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