初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：將軍飲馬五大模型七類題型及答案

將軍飲馬五大模型七類題型（模型梳理與題型分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【理論依據(jù)】路徑最短、線段和最小、線段差最大、周長(zhǎng)最小等一系列最值問題。

【方法原理】

1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段

兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.

【基本模型】

【模型一：兩定交點(diǎn)型】如圖1,直線1和1的異側(cè)兩點(diǎn)A.B,在直線1上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最

圖1

【模型二：兩定一動(dòng)型】如圖2,直線1和1的同側(cè)兩點(diǎn)A.B,在直線1上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小

（同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；

【模型三：一定兩動(dòng)型】如圖3,點(diǎn)P是NMON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在0M,ON上作點(diǎn)A,B。使4PAB

的周長(zhǎng)最小。

【模型四：兩定兩動(dòng)型】如圖4,點(diǎn)P,Q為NMON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在0M,ON上作點(diǎn)A,B。使四邊

形PAQB的周長(zhǎng)最小。

圖4

【模型五：一定兩動(dòng)（垂線段最短）型】如圖5,點(diǎn)A是NMON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P,使PA

與點(diǎn)P到射線0M的距離之和最小。

圖5

【模型六：一定兩動(dòng)，找（作）對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化型】如圖6,點(diǎn)A是NM0N內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P,

使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和最小。

uBN

圖6

【題型目錄】

【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型......................................3;

【題型2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型........................6;

【題型3]一定兩動(dòng)（垂線段最短）型.............................9；

【題型4】?jī)啥▋蓜?dòng)型......................................12;

【題型5]一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型.............................14;

2

【題型6】直通中考.......................................18;

【題型7】拓展延伸........................................21;

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；

1.（23-24八年級(jí)上?河北廊坊?期中）如圖，在ZkABC中，ZBAC=9。,AB=12,AC=16,BC=20,將

△ABC沿射線BM折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)D重合.

（1）線段CD的長(zhǎng)是；

（2）若點(diǎn)E是射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，則4CDE周長(zhǎng)的最小值是.

2.（22-23八年級(jí)上?廣西南寧?期末）如圖，點(diǎn)E在等邊4ABC的邊BC上，BE=4,射線CD±BC,垂足

為點(diǎn)C,點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=5,mAB

的長(zhǎng)為.

D

3.（23-24八年級(jí)下?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC.在AB、AC上分別截取AP、

AQ,使AP=AQ.再分別以點(diǎn)P,Q為圓心，以大于gpQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NBAC內(nèi)交于點(diǎn)

R,作射線AR,交BC于點(diǎn)D.已知BC=5,AD=6.若點(diǎn)M、N分別是線段AD和線段AB上的動(dòng)點(diǎn),

則BM+MN的最小值為

【題型2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；

4.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?期末）如圖，在銳角4ABC中，ZABC=30,AC=4,AABC的面積為5,

P為4ABC內(nèi)部一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB,BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)P1；P2,P3,麋P/2,PP3,則2Plp2+

PP3的最小值為.

Pl

5.（23-24八年級(jí)上?」晾海淀?期中）如圖，已知ZM0N=30°,在NM0N的內(nèi)部有一點(diǎn)P,A為0M上一

動(dòng)點(diǎn)，B為0N上一動(dòng)點(diǎn)，OP=a，當(dāng)4PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，ZAPB=度，4PAB的周長(zhǎng)的最

小

6.（22-23八年級(jí)上?編I烏魯木齊?期末）如圖，已知NAOB的大小為a,P是NA0B內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且

0P=5,點(diǎn)E、F分別是OA、0B上的動(dòng)點(diǎn)，若4PEF周長(zhǎng)的最小值等于5,則。=（）

【題型3】一定兩動(dòng)型（垂線段最短）；

7.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,AD是NBAC的

平分線，若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

c

D

Q.

AB

A.2.4B.3C.4D.5

8.（23-24七年級(jí)下?廣東深圳?期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD_LBC,點(diǎn)D為垂足,

E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn).若AB=6,4ABC的面積為12,則BE+EF的最小值是（）

A.4C.6D.8

9.（23-24八年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）如圖，在4ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是ZBAC的

平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是.

【題型4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；

10.（22-23八年級(jí)上?溯匕武漢?期末）如圖，ZAOB=20,M,N分別是邊OA,OB上的定點(diǎn)，P,Q分別

是邊OB,0A上的動(dòng)點(diǎn)，記N0PM=a,ZOQN=B，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于a,8的數(shù)量關(guān)

系正確的是（）

A

2

M

OB

A.B-aB.B+a=210C.B-2a=30D.B+Q=200

【題型5]一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；

11.（23-24九年級(jí)下?廣西南寧?開學(xué)考試）如圖，AABC是等邊三角形，AB=4.過點(diǎn)A作ADLBC于

點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，以CP為邊，在CP的下方作等邊ACRQ,連接DQ,則DQ的最小值為

12.（23-24八年級(jí)下?溯匕武漢?階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,D、E分

別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BD,肱AE、CD,貝UAE+CD的最小值為.

13.（2024?安徽合肥?二模）如圖，Z^ABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=NDAE=12。，AB=8,0

是AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接0E,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，0E的最小值為（）

E

O

BDC

A.4V2B.—\/3C-D.2

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

【題型6】直通中考

14.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZACB=90,ZABC=3。，AC=4,按下列步驟作

圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE,使AD=AE.②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于;DE的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ZBAC內(nèi)交于點(diǎn)M.③作射線AM交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則CP+JAP的最小值是.

15.（2020?敏?中考真題）如圖，在zMBC中，NA=90,NB=60,AB=4,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD

+DC的最小值為.

【題型7］拓展延伸

16.（2024?遼寧葫蘆島?中）在4ABC中，ZABC=6。，BC=4,AC=5,點(diǎn)D,E在AB,AC邊上，且AD

=CE,貝UCD+BE的最小值是.

C

E,

ADB

17.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，等腰4ABC中，ZBAC=10。，BD平分NABC，點(diǎn)N為

BD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且BN=MC,若當(dāng)AM+AN的最小值為4時(shí)，AB的長(zhǎng)度是.

將軍飲馬五大模型七類題型（模型梳理與題型分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【理論依據(jù)】路徑最短、線段和最小、線段差最大、周長(zhǎng)最小等一系列最值問題。

【方法原理】

1.兩點(diǎn)之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點(diǎn)到線段

兩端點(diǎn)的距離相等；4.垂線段最短.

【基本模型】

【模型一：兩定交點(diǎn)型】如圖1,直線1和1的異側(cè)兩點(diǎn)A.B,在直線1上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最

圖1

【模型二：兩定一動(dòng)型】如圖2,直線1和1的同側(cè)兩點(diǎn)A.B,在直線1上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小

（同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)）；

【模型三：一定兩動(dòng)型】如圖3,點(diǎn)P是NMON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在0M,ON上作點(diǎn)A,B。使4PAB

的周長(zhǎng)最小。

【模型四：兩定兩動(dòng)型】如圖4,點(diǎn)P,Q為NMON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在0M,ON上作點(diǎn)A,B。使四邊

形PAQB的周長(zhǎng)最小。

圖4

【模型五：一定兩動(dòng)（垂線段最短）型】如圖5,點(diǎn)A是NMON外的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P,使PA

與點(diǎn)P到射線0M的距離之和最小。

圖5

【模型六：一定兩動(dòng)，找（作）對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化型】如圖6,點(diǎn)A是NM0N內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON上作點(diǎn)P,

使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和最小。

uBN

圖6

【題型目錄】

【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型......................................3;

【題型2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型........................6;

【題型3]一定兩動(dòng)（垂線段最短）型.............................9；

【題型4】?jī)啥▋蓜?dòng)型......................................12;

【題型5]一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型.............................14;

2

【題型6】直通中考.......................................18;

【題型7】拓展延伸........................................21;

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】?jī)啥ㄒ粍?dòng)型；

1.(23-24八年級(jí)上?河北廊坊?期中)如圖，在ZkABC中，ZBAC=9。,AB=12,AC=16,BC=20,將

△ABC沿射線BM折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)D重合.

(1)線段CD的長(zhǎng)是；

(2)若點(diǎn)E是射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，則4CDE周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】824

【分析】本題主要考查了的折疊的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)由折疊的性質(zhì)可得BD=AB=12,再由CD二BC-BD進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

⑵設(shè)BM與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,螃AE,由折疊的性質(zhì)可得：DF=AF,DE=AE,/BDF=NBAF,曲崩

兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，AE+CE取最小值，最小值為AC,由此即可得到答案.

解：⑴由折疊的性質(zhì)可得：BD=AB=12,

.\CD=BC-BD=20-12=8,

故答案為：8；

⑵如圖，設(shè)BM與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F,連妾AE,

由折疊的性質(zhì)可得：DF二AF,DE=AE,ZBDF=ZBAF,

由⑴得：CD=8,

AACDE的周長(zhǎng)=CD+DE+CE=8+AE+CE,

要是4CDE的周長(zhǎng)最小，只需AE+CE最小，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，AE+CE取最小值，最小值為AC,

.".△CDE的周長(zhǎng)=8+AC=8+16=24,

故答案為：24.

2.(22-23八年級(jí)上?廣西南寧?期末)如圖，點(diǎn)E在等邊4ABC的邊BC上，BE=4,射線CD±BC,垂g

為點(diǎn)C,點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=5,?JAB；

的長(zhǎng)為.

D

A

二

【答案】7

【分析】本題考查最短路徑問題、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握利用軸對(duì)稱性

質(zhì)求最短距離的方法是解答的關(guān)鍵.作點(diǎn)E關(guān)于射線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，過E作EFLAB于F,交射線CD

于P,連接PE,此時(shí)EP+FP的值最小，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得NE=90-ZB

=3。，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得BE=2BF=10,進(jìn)而求得CE=3即可求解.

解：作點(diǎn)E關(guān)于射線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，過E作EF，AB于F,交^擦CD于P,雌PE,如圖，則EP

EP,

EP+FP=EP+FP=EF,止出寸EP+FP的值最小，則BF=5,

VAABC是等邊三角形，?

.\ZB=60,AB=BC,

在RtZkBFE中，ZE=90-ZB=3ff,/\f

/.BE=2BF=10,

VBE=4,CE=CE,tk(\

/.2CE+4=10,\

f

ACE=3,tFeCaFB

AAB=BC=3+4=7,

故答案為：7.

3.(23-24八年級(jí)下?河南鄭州?階段練習(xí))如圖，在aABC中，AB=AC.在AB、AC上分別截取AP、

AQ,使AP=AQ.再分別以點(diǎn)P,Q為圓心，以大于；PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NBAC內(nèi)交于點(diǎn)

R,作射線AR,交BC于點(diǎn)D.已知BC=5,AD=6.若點(diǎn)M、N分別是線段AD和線段AB上的動(dòng)點(diǎn),

則BM+MN的最小值為.

【答案】胃

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.過點(diǎn)B作BH±AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)M,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)和勾股定理求出AC,然后根據(jù)SAAB(?1-BC-AD=)?AC?BH,可得BH=獸.作點(diǎn)H關(guān)于

AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N,嫩MN,可得MH=MN,進(jìn)而可以解決問題.”

解：如圖，過點(diǎn)B作BHJ.AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)M

由作圖可知，AD平分NBAC,

VAB=AC,

AAD±BC,

1N

ABD=CD=yBC=-j-,

VAD=6.

???AC=JAD2+DC2=苫+芋，

11

VSAAB(?A-BC-AD=y-AC-BH,

IQ

??.5X6二號(hào)BH,

??.BH*.

VAB=AC,AD±BC,

作點(diǎn)H關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)交AB于點(diǎn)N,雇MN,當(dāng)M與M重合時(shí)，此時(shí)BM+MN最小,

MH=MN,

ABH=BM+MH=BM+MN,

則BM+MN的最小值為黑.

10

故答案為：黑

【題型2】一定兩動(dòng)（兩點(diǎn)之間線段最短）型；

4.（23-24七年級(jí)下?陜西西安?期末）如圖，在銳角4ABC中，ZABC=30,AC=4,AABC的面積為5,

P為4ABC內(nèi)部一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于AB,BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)PpP2,P3,闔妾P/2,PP3,則2Plp2+

PP3的最小值為.

【答案】5

【分析】首先由4ABC的面積為5,；AC-BM=5,求出BM=9,然后由/ABC=30和對(duì)稱構(gòu)造正三角形,

將P1P2轉(zhuǎn)化成BP,將2Plp2+PP3提取系數(shù)2,最終轉(zhuǎn)化成垂線段最短.

解：設(shè)PP3與AC交于點(diǎn)Q,則PQ=；PR,箍BP、BQ、BR、BR,作BM

±AC,垂足為M,

AC=4,AABC的面積為5,

AyAC-BM=5,§PyX4BM=5

ABM=

根據(jù)對(duì)稱性得BP=BPi=BP2,ZABP=ZABPpZCBP=ZCBP2,

；./PIBP2=2NABC=60,

??.△RBP2是正三角形，

；/島=BPi=BP,

.,.2PIP2+PPg^2PjP2+-j-PP3=2(BP+PQ)22BQ22BM=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱、正三角形、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將P1P2轉(zhuǎn)化成BP,將

2Plp2+PP3提取系數(shù)2,最終轉(zhuǎn)化成垂線段最短.形式上易與胡不歸混淆.

5.(23-24八年級(jí)上?」晾海淀?期中)如圖，已知ZM0N=30°，在NM0N的內(nèi)部有一點(diǎn)P,A為0M上一

動(dòng)點(diǎn)，B為0N上一動(dòng)點(diǎn)，OP=a，當(dāng)4PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，ZAPB=_____度，4PAB的周長(zhǎng)的最

在是.

【答案】120a

【分析】分別作出點(diǎn)P關(guān)于0M,0N兩條射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段與0M,0N的交點(diǎn)即為所確

定的點(diǎn)；連接OP,OP,0P，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：OP=OP=0P=a,/P0A=ZP0A,ZPOB=

ZPOB,WAPOP是等邊三角形，即可得到結(jié)論.

解:①分別作點(diǎn)P關(guān)于0M,0N的對(duì)稱點(diǎn)P,P；邂P,P,分另住0M,0N于點(diǎn)A、點(diǎn)B,貝比時(shí)

△PAB的周長(zhǎng)最小.

連接OP,0P,0P,M

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：OP=OP=OP=a,4'/^

NP0A=NP0A,/POB=NPOB,

VZMON=30,

'/POP=2ZM0N=60,Q\\___N

/.△POP是等邊三角形，'、'、'、、、、產(chǎn)?

/.PP=OP=a,ZAP0=ZAPO,ZBP0=ZBP0,、力〃

AZAPB=ZAP0+ZBP0=120,

.".△PAB的周長(zhǎng)=PP=a,

故答案為：120,a.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，解決本題的關(guān)鍵是理解要求周長(zhǎng)最小問題可歸結(jié)為求線段

最短問題，通常是作已知點(diǎn)關(guān)于所求點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).

6.(22-23八年級(jí)上?褊I烏魯木齊?期末)如圖，已知NA0B的大小為a,P是/AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且

0P=5,點(diǎn)E、F分別是0A、0B上的動(dòng)點(diǎn)，若4PEF周長(zhǎng)的最小值等于5,則。=()

.1

A.30B.45C.60D.90

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)為D,當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，4PEF的周長(zhǎng)為PE+

EF+FP=CD,此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD=5可求出a的度數(shù).

解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)C,關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)D,螃CD,交0A于E,0B于F.此時(shí)，Z\PEF

的周長(zhǎng)最小.

連接0C,0D,PE,PF.

???點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于0A對(duì)稱，

...0A垂直平分PC,

AZCOA=ZAOP,PE=CE,0C=0P,

同理，可得ZDOB=ZBOP,PF=DF,0D=OP.

AZCOA+ZDOB=ZAOP+ZBOP=ZAOB=a,OC=OD=OP=5,

.\ZC0D=2a.

X'/APEF的周長(zhǎng)為：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5,

AOC=OD=CD=5,

/.△COD是等邊三角形，

.\2a=60,

；.a=30.

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了最短路徑問題，本題找到點(diǎn)E和F的位置是解題的關(guān)鍵.要使4PEF的周長(zhǎng)最小，通

常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決.

【題型3】一定兩動(dòng)型（垂線段最短）；

7.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZACB=9。，AC=3,BC=4,AD是/BAC的

平分線，若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

【答案】A

【分析】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，角平分線定義，勾股定理，作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Q，射PQ,

CQ，過點(diǎn)C作CH，AB于點(diǎn)H,根據(jù)角平分線定義以及對(duì)稱可以得到PC+PQ=PC+PQNCH,利

股定理求出AB的長(zhǎng)，再利用三角形面積求出CH的長(zhǎng)即可得到結(jié)果.

解：如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Q，雌PQ,CQ，過點(diǎn)C作CHLAB于點(diǎn)H,

：AD是△ABC的角平分線，Q與Q關(guān)于AD對(duì)稱，

...點(diǎn)Q在AB上，PC+PQ=PC+PQ2CH,

VAC=3,BC=4,

AB=JAC?+BC2=5,

:?AC-BC==?AB?CH即：X3X4=yX5XCH,

ACH=2.4,

ACP+PQ22.4,

APC+PQ的最小值為2.4,

故選：A.

8.（23-24七年級(jí)下?廣東深圳?期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD，BC,點(diǎn)D為垂足,

E、F分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn).若AB=6,AABC的面積為12,則BE+EF的最小值是（）

C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，垂線段最短.解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線.作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M,邂BM、EM,過點(diǎn)B作BN，AC于點(diǎn)N,從而可確定BE+EFNBM,

即BM最小時(shí)，BE+EF最小.再根據(jù)垂線段最短可知BN的長(zhǎng)即為BM最小時(shí)，最后根據(jù)三角形面積公式

求出BN的長(zhǎng)即可.

解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M,腌BM、EM,過點(diǎn)B作BN，AC于點(diǎn)N,

EF=EM,

；.BE+EF=BE+EM2BM,

；.BM最小時(shí)，BE+EF最小.

當(dāng)BM_LAC時(shí)BM最小，即為BN的長(zhǎng)，

VSAABeyAC-BN=12,AB=AC=6,

ABN=2X124-6=4,

ABE+EF的最小值是4.

故選B.

9.（23-24八年級(jí)?江蘇“幽作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC10,BC=12,AD=8,AD是ZBAC的

平分線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是

c

【答案】9.6

【分析】本題考查了軸對(duì)稱--最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，線段垂直平分線的性

質(zhì).連接PB,PQ,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BP=CP,從而得到當(dāng)點(diǎn)B,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+

PQ取得最小值，最小值為BQ的長(zhǎng)，且當(dāng)BQ，AC時(shí)，BQ最小，再由=C-AD=C-BQ,求

渝6c的長(zhǎng),即可.

解：如圖，連接PB,PQ,

VAB=AC,AD是NBAC的平分線，

AAD垂直平分BC,

Z.BP=CP,

PC+PQ=PB+PQ2PQ,

當(dāng)點(diǎn)B,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PQ取得最小值，最小值為BQ的長(zhǎng)，且當(dāng)

BQ_LAC時(shí)，BQ最小，

VSAABe；BC-AD=：AC-BQ,

X12X8::X10BQ,

ABQ=9.6.

故答案為：9.6

【題型4】?jī)啥▋蓜?dòng)型；

10.（22-23八年級(jí)上?湖北武漢?期末）如圖，ZAOB=20,N分別是邊OA,0B上的定點(diǎn)，P,Q分別

是邊OB,0A上的動(dòng)點(diǎn)，記NOPM=a,ZOQN=B，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于a,8的數(shù)量關(guān)

系正確的是（）

【答案】D

【分析】如圖，作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M,N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N，雌MN交0A于Q,交0B于P,則

MP+PQ+QN最小，易知/OPM=ZOPM=ZNPQ,ZOQP=ZAQN=ZAQN,ZOQN=180-20

-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=2（J+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20+ZONQ,由此即可解決問題.

解：如圖，作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M,N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N，般MN交0A于Q,交0B于P,則MP|

PQ+QN最小,

解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得/OPM=NOPM，=ZNPQ,ZOQP=ZAQN=ZAQN,ZOQN=180-20

-ZONQ,ZOPM=ZNPQ=20+ZOQP,ZOQP=ZAQN=20+ZONQ,

a+B=180°-20-ZONQ+20+20+ZONQ=200.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理.三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式】（20-21八年級(jí)上?天津?期末）如圖，ZAOB=25，點(diǎn)M八分別是邊0八，0B上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分

別是邊OB,0A上的動(dòng)點(diǎn)，記/MPQ二a,/PQN=B,當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時(shí)，B-a的大小=_

_____（度）.

【答案】50

【分析】本題主要考查最短路徑問題、軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M,N關(guān)于

0A的對(duì)稱點(diǎn)N，腌MN，交0B于點(diǎn)P,交0A于點(diǎn)Q,連妾MP,QN,可知此時(shí)MP+PQ+QN最小，

此時(shí)NOPM=/OPM=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得

出結(jié)論.

解：作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M,N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N，雌MN，交0B于點(diǎn)P,交0A于點(diǎn)Q,連接MP,

QN,如圖所示.

N'

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)MP+PQ+QN最小，即MP+PQ+QN=MN,

AZ0PM=ZOPM=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN,

VZMPQ=a,ZPQN=P,

???NQPN=：180-a,ZOQP=~180-B,

VZQPN=ZA0B+Z0QP,ZA0B=25,

Ay180-a=25當(dāng)180-0

，B-a=50,

故答案為：50.

【題型5】一定兩動(dòng)（等線段）轉(zhuǎn)化型；

11.（23-24九年級(jí)下?廣西南寧?開學(xué)考試）如圖，AABC是等邊三角形，AB=4.過點(diǎn)A作AD_LBC于

點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，以CP為邊，在CP的下方作等邊ACRQ,崢DQ,則DQ的最小值為

【答案】1

【分析】連接BQ,先證Z\ACP0ABCQlSAS）,則可得/CBQ=/CAP=30,由此可知Q點(diǎn)在過B點(diǎn)且與

BC成30角的直線上運(yùn)動(dòng).根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)DQLBQ時(shí)，DQ最小，求出DQ的值即可.

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及垂線段最短.熟練掌握以上知識(shí)，找出

Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

解:百BQ,

「△ABC和Z\CPQ都是等邊三角形，

AC=BC,PC=QC,NACB=ZPCQ=60,

.".ZACB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,

BPZACP=ZBCQ,

.?.△ACP名△BCQ(SAS),

.\ZCBQ=ZCAP,

「△ABC是等邊三角形,AB=4,

ABC=AB=4,ZBAC=60,

VAD_LBC,

ABD=DC=：BC=2,ZCAP二^-ZBAC=30,

/.ZCBQ=30,

；.Q點(diǎn)在過B點(diǎn)且與BC成30角的直線上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)DQ_LBQ時(shí)，DQ最小，

此時(shí)DQ=-1BD=1,

，DQ的最小值為1.

故答案為：L

12.（23-24八年級(jí)下?溯匕武漢?階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,D、E分

別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BD,連妾AE、CD,則AE+CD的最小值為.

A

【答案】2/34

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間，線段最短，過點(diǎn)C作CN〃AB且使

CN=BC,連接EN,AN,證明ACEN之4BDCSAS，得EN=DC進(jìn)而可得AE+CD=AE+EN,再由兩

點(diǎn)之間線段最短可得：AE+EN>AN,所以當(dāng)點(diǎn)E在AN上時(shí)，AE+EN有最小值，即AE+CD有最小值

為AN,利用勾股定理計(jì)算即可，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

解：過點(diǎn)C作CN〃AB且使CN=BC,邇^EN,AN,

AZECN=ZABC,ZACN=180-ZBAC=90,

SACEN和ABDC中，

EC二BD

ZECN=ZDBC,

CN=BC

.".△CEN^ABDCSAS,

/.EN=DC,

/.AE+CD=AE+EN,

由兩點(diǎn)之間線段最短可得：AE+EN》AN,所以當(dāng)點(diǎn)E在AN上時(shí)，AE+EN有最小值，即AE+CD有最

小值為AN,

VAC=6,BC=CN=10,

2

ACN中，ANRAC2+CN2=v/6^+10=y弘,

?*.AE+CD最小值為：^4,

故答案為：2/34.

13.（2024?安徽合肥?二模）如圖，4ABC和4ADE都是等腰三角形，且/BAC=NDAE=12。，AB=8,0

是AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接0E,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，0E的最小值為（）

E

4?

A.4V2-B.yVTC.yD.2

【答案】D

【分析】設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,連僂DQ,過點(diǎn)Q作QH，BC于H，證4AQD和AAOE全等得QD=0E,邸匕

當(dāng)QD為最小時(shí)，OE為最小，根據(jù)“垂線段最短”得QD2QH,故點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí)，QD為最小，最小值為

QH的長(zhǎng)，然后在RtABQH中求出QH的長(zhǎng)即可.

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,蟠DQ,過點(diǎn)Q作QH，BC于H,如下圖所示：

,/△ABC和ZiADE都是等腰三角形，且NBAC=ZDAE=120°,

AB=AC,AD=AE,ZQAD+ZDAC=ZDAC+ZOAE=120°,

Z.ZQAD=ZOAE,

:點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，AB=AC,

Z.AQ=A0,

itAAQD和AAOE中，

AQ=AO

ZQAD=ZOAE,

AD=AE

AAAQD^AAOE(SAS),

QD=OE,

.?.當(dāng)QD為最小時(shí)，OE為最小，

:點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，AB=8,點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)“垂線段最短”得：QD》QH,

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí),QD為最小，最小值為QH的長(zhǎng)，

在AABC中，AB=AC=8,ZBAC=12ff,

.".ZB=ZC=y(180-ZBAC)=30,

在RtZiBQH中，NB=30°,BQ=；AB=4,

QH=：BQ=2,

；.QD的最小值為2,

即OE的最小值為2.

故選：D.

13

【點(diǎn)撥】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段的性質(zhì)，熟

練掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解垂線段最短是解決問題的關(guān)

鍵，難點(diǎn)是正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

【題型6】直通中考

14.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在RtAABC中,ZACB=90,ZABC=3。,AC=4,按下列步驟作

圖：AC和AB上分別截取AD、AE,使AD=AE.②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于：DE的

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NBAC內(nèi)交于點(diǎn)M.③作射線AM交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接CP,貝CP+^-AP的最小值是.

yE

P

CF

【答案】2/3

【分析】過點(diǎn)P作PQ，AB于點(diǎn)Q,過點(diǎn)C作CH，AB于點(diǎn)H,先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求

出/BAF=30,然后利用含30的直角三角的性質(zhì)得出PQ=；AP,則CP+；AP=CP+PQ》CH,當(dāng)

C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+寺AP最小，CPLAP最小值為CH,利用含30的直角三角的

性質(zhì)和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面積法求解即可.

解：過點(diǎn)P作PQ，AB于點(diǎn)Q,過點(diǎn)C作CH，AB于點(diǎn)H,4

由題意知：AF平分NBAC,

VZACB=90,ZABC=30,—

AZBAC=60,牙皮

Z.ZBAF=yZBAC=30,/

PQ=/P,

ACP+yAP=CP+PQPCH,

...當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+JAP最小，CP-LAP最小值為CH,

VZACB=90,ZABC=30,AC=4,

AAB=2AC=8,

BC=VAB2-AC2=,

VSAAB?:AC?BC=；AB-CH,

即CP+《AP最小值為

故答案為：V3.

【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積

法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法.

15.(2020?輻獸?中考真題)如圖，在zXABC中，NA=9。，NB=60,AB=4,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U2AD

+DC的最小值為

【答案】12

【分析】過點(diǎn)C作射線CE,使NBCE=30,再過動(dòng)點(diǎn)D作DF±CE,垂足為點(diǎn)F,雌AD,在Rt/XDFC中,

ZDCF=3G,DF=yDC,2AD+DC=2AD+C=2(AD+DF)當(dāng)A,D,F在同一直線上，即AF±

CE時(shí)，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長(zhǎng).

解：過點(diǎn)C作射線CE,使ZBCE=30,再過動(dòng)點(diǎn)D作DF，CE,垂足為點(diǎn)F,連AD,如圖所示：