《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）下冊(cè) 第2版》課件 10-1 二重積分的概念和性質(zhì)

第十章二重積分第一節(jié)二重積分的概念和性質(zhì)一、引例二、二重積分的定義三、二重積分的幾何意義四、二重積分的性質(zhì)五、小結(jié)（3）如何計(jì)算定積分？定積分答：“分割、近似、求和、取極限”復(fù)習(xí)（1）定積分是用來(lái)解決哪一類問(wèn)題？答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問(wèn)題被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間（2）解決這一類問(wèn)題采用了什么思想方法？問(wèn)題：現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體的量的求和問(wèn)題所計(jì)算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)推廣二元函數(shù)三元函數(shù)平面區(qū)域積分范圍空間區(qū)域一段曲線一片曲面積分類型二重積分三重積分曲線積分曲面積分一、引例1、曲頂柱體的體積柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂曲頂柱體解法:類似定積分解決問(wèn)題的思想:給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z

軸的柱面求其體積.“分割、近似、求和、取極限”(1)分割用任意曲線網(wǎng)分D為

n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)(2)近似在每個(gè)(3)求和則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體(4)取極限定義的直徑為令則2、平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域D

,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D

的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密

“分割、近似、求和、取極限”解決.（1）分割用任意曲線網(wǎng)分D

為n

個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.若（常數(shù)）(2)近似(3)求和(4)取極限則第k小塊的質(zhì)量在每個(gè)中任取一點(diǎn)令兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)

解決問(wèn)題的步驟相同(2)

所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割、近似、求和、取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:均為特殊的和式取極限的形式.設(shè)是定義在有界區(qū)域

D上的有界函數(shù),定義將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I

,使可積

,

在D上的二重積分.積分和積分區(qū)域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作二、二重積分的定義則稱稱I為稱為積分變量引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果

在D上可積,也常記作二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,

因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃說(shuō)明:(1)

積分存在時(shí)，其值與區(qū)域的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)不能用代替？(2)

存在條件（充分條件）當(dāng)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在以后總假定在所論有界閉區(qū)域D上連續(xù),從而二重積分都是存在的(3)

在D上有界是二重積分存在的必要條件在D上連續(xù)是二重積分存在的充分條件3.當(dāng)在D上變號(hào)，為曲頂

柱體體積的代數(shù)和三、二重積分的幾何意義1.當(dāng)時(shí)，2.當(dāng)時(shí)，15/242024/11/13例1利用幾何意義計(jì)算下列二重積分，其中D由及兩坐標(biāo)軸圍成四、二重積分的性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）性質(zhì)１設(shè)、為常數(shù)，則性質(zhì)2(積分區(qū)域可加性)性質(zhì)3若為D的面積,則性質(zhì)5(二重積分估值定理)設(shè)M、m分別是在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為D的面積，則

性質(zhì)4（二重積分比較定理）特殊地若在D上則有性質(zhì)6（二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得

證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)使因此想想，在幾何上如何解釋？解例2估計(jì)的值，其中在區(qū)域D上的最大值為最小值為且區(qū)域的面積為因此由二重積分估值定理可得例3比較下面兩個(gè)二重積分的大小：其中積分區(qū)域D為直線與兩坐標(biāo)軸所圍成.解在積分區(qū)域D，有故由二重積分的比較定理，有比較兩個(gè)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的大小即可.它與x軸交于點(diǎn)(1,0),與直線相切.而區(qū)域D位于直線的上方，故在D上從而例4比較下列積分大小其中解:積分域D的