專題32 正多邊形與圓及弧長和扇形面積-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題32正多邊形與圓及弧長和扇形面積

【知識要點】

知識點一正多邊形和圓

正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形的相關(guān)概念：

>正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

>正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

>正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

>正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：

半徑2=邊心距2+弓邊長）2

畫圓內(nèi)接正多邊形方法（僅保留作圖痕跡）:

1）量角器

（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）

等邊二角形

方法的述：等邊三角影的中心角為120-?通

過角器依次求取120°.炳圖.（號:加器）

2）量角器+圓規(guī)

（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）

正五邊形

方法簡述：正〃邊膨的中心角為72",通過吊向器

一取7T,通過M烷依次極限等K弧.僧留.

（早例制?舊規(guī)）

3）圓規(guī)+直尺

（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…?.）

依照上述方法，還可以畫出正十六邊形、正三十二邊形

知識點二求弧長與扇形面積

設(shè)OriaM0的半徑為R,兀。圓心角所對弧長為1,

弧長公式：1=黑（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)）

2

扇形面積公式：5.^=-TTR=-IR

窈形3602

母線的概念：連接圓錐頂點和底面圓周任意一點的線段。

圓錐體表面積公式：5=71/?2+兀電Q為母線）

備注：圓錐的表面積=扇形面積=底面圓面積

【考查題型】

考查題型一求多邊形中心角

典例1.（2020?福建模擬）將下列四個正多邊形同時繞中心開始旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)角相等，則最先與原圖形重

合的是（）

【答案】D

【提示】由于正多邊形是旋轉(zhuǎn)中心對稱圖形，分別求出各個正多邊形的中心角底數(shù)，比較大小即可得到結(jié)

論.

3600360°

【詳解】正方形中心角的度數(shù)=「一=90。；正五邊形中心角的度數(shù)=——=72°；正六邊形中心角的度數(shù)

45

60°360°

-=60°；正八邊形中心角的度數(shù)kk二45。；

oO

,/450<60°<72°<900,

二最先與原圖形重合的是正八邊形.

故選：D.

變式1-1.（2020?富順縣一模）正六邊形的邊長為4,則它的面積為（）

A.486B.246C.60D.126

【答案】B

【提示】根據(jù)題意畫出圖形，由正六邊形的特點求出NAO8的度數(shù)及OG的長，再由△0A8的面積即可求

解.

【詳解】解：如圖，過正六邊形中心O作OG_LAB于G

?.?此多邊形為正六邊形，

360°

ZAOB=--=60°；

6

uQ

：OA=OBfZAOB=60,OG±AB

???△OA8是等邊三角形，ZAOG=-ZAOB=30°

2

：.OA=AB=4f

：.OG=OA?cos300=4x正=2百，

2

1111

??SAOAB=—xABxOG=yx4x2g=4，

S六邊形=6SA38=6X4—24^3

變式1-2.（2020?天津和平區(qū)模擬）如圖，A8CDEP是中心為原點0,頂點A,。在X軸上，半徑為4

的正六邊形，則頂點F的坐標(biāo)為（）

A.(2,2>/3)B.(-2,2)C.(-2,2^)D.(-1,73)

【答案】C

【提示】連接OF,設(shè)EF交y軸于G,那么GOF=30°；在RtGOF中，根據(jù)30°角的性質(zhì)求出GF,根

據(jù)勾股定理求出OG即可.

【詳解】

1am。

在RtOFG中，GOF=-x——=30°.OF=4.

26

GF=2,OG=2y/j.

AF(-2,273).

故選C.

變式1-3.(2020?河北唐山市二模)如圖，正五邊形A8C3E和正三角形AMN都是口。的內(nèi)接多邊形，若

連接BM，則NMBC的度數(shù)是()

A.12°B.15°C.30°D.48°

【答案】A

【提示】

連接BM,OA,OC,分別求出正五邊形ABCDE和正三角形AMN的中心角，求出NBOM,從而得到

ZMOC,再根據(jù)圓周角定理得出NMBC.

【詳解】

解：連接BM,OA,OC,

???五邊形ABCDE是正五邊形，

360°.

：.ZAOB=ZBOC-------=72°，

5

?.?△AMN是正三角形，

360°

/.ZAOM=------=120°,

3

ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

ZMOC=ZBOC-ZBOM=72°-48°=24°,

AZMBC=-ZMOC=12°，

2

故選A.

考查題型二已知正多邊形中心角求邊數(shù)

典例2.（2020?江蘇南通市模擬）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36。，則這個多邊形是（）

A.正五邊形B.正八邊形C.正十邊形D.正十八邊形

【答案】C

【提示】

一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360。，用360°除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的

個數(shù)，即多邊形的邊數(shù).

【詳解】

由題意可得：

邊數(shù)為360°+36°=10.

則這個多邊形是正十邊形.

故選：C.

3

變式2-1.（2020?福建模擬）一個半徑為3的圓內(nèi)接正n邊形的中心角所對的弧等于一兀，則n的值為

4

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【提示】

先利用弧長公式求出中心角的度數(shù)，由此即可得出答案.

【詳解】

設(shè)圓內(nèi)接正n邊形的中心角的度數(shù)為X。

x?37r3

由弧長公式得：——

1804

解得*=45

即圓內(nèi)接正n邊形的中心角的度數(shù)為45°

故選：B.

考查題型三正多邊形與圓

典例3.（2020?四川中考真題）半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為mb,

則“，c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【提示】分別畫出符合題意的圖形，利用直角三角形50”,利用三角函數(shù)求解邊心距，再比較大小即

可.

【詳解】解：設(shè)圓的半徑為七

如圖，OB=R,OH=a,OH±BC,

由口ABC為圓。內(nèi)接正三角形，

ZBOH=6Q°,

則正三角形的邊心距為a=7?xCos60°=yR.

如圖，四邊形ABC。為圓。的內(nèi)接正方形,

OB=R,OH=b,OH±BC,

ZBOH=45°,

四邊形的邊心距為6=Rxcos45o=X：心

2

如圖，六邊形A6C。瓦'為圓。的正內(nèi)接六邊形,

OB=RQH=c,OH±BC,

NBOH=30。,

正六邊形的邊心距為c=Rxcos30o=也R.

2

?—K<K<A,

222

：.a<b<c,

故選：A.

變式3-1.（2020?湖北隨州市?中考真題）設(shè)邊長為。的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分

別為力、八R,則下列結(jié)論不生頤的是（）

A.h=R+rB.R=2rC.r=-----aD.R=-----a

43

【答案】C

【提示】

將圖形標(biāo)記各點，即可從圖中看出長度關(guān)系證明A正確，再由構(gòu)造的直角三角形和30°特殊角證明B正確，利

用勾股定理求出廠和R,即可判斷C、D.

【詳解】

如圖所示，標(biāo)上各點「AO為ROB為rAB為人

從圖象可以得出AB=AO+OB即力=R+rA正確

?.?三角形為等邊三角形

AZCAO=300□

根據(jù)垂徑定理可知NACO=90°□

AAO=2OC即R=2rB正確LI

/1

在RtZ\ACO中，利用勾股定理可得AO2=AC2+OC2B|JR2=-a+r2

（2）

由B中關(guān)系可得；（2r）2=（ga）+/，解得r=*q則R=

所以C錯誤，D正確；

故選：C.

變式3-2.（2020?山東德州市?中考真題）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則

A.24萬一4萬B.126+4萬C.246+8萬D.24^+4%

【答案】A

【提示】正六邊形的面積加上六個小半圓的面積，再減去中間大圓的面積即可得到結(jié)果.

【詳解】解：正六邊形的面積為：gx4x2"x6=24",

六個小半圓的面積為：-22x3=V2.7T＞中間大圓的面枳為：4?42=16%，

所以陰影部分的面積為：246+12乃一16乃=2415—4乃，

故選：A.

考查題型四利用弧長公式求弧長、圓心角、半徑

典例4.（2020?遼寧沈陽市?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AB=6BC=2,以點A為圓心,

AO長為半徑畫弧交邊于點E,連接AE,則師的長為（)

H

*41c2兀一萬

A.----B.7CC.—D.—

333

【答案】c

【提示】

先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得A。=8C=2,NBA。=ZB=90。，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得AE=A。=2,然后利

用余弦三角函數(shù)可得NBAE=30。，從而可得ND4E=60。，最后利用弧長公式即可得.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形，AB=6BC=2

：.AD=BC=2,NBAD=/B=90°

由圓的性質(zhì)得：AE^AD=2

在心/XABE中，cosZBAE=—^

AE2

ZBAE^30°

：.NDAE=NBAD-NBAE=60°

、160XTFX22萬

順E的卜為F-二T

故選：c.

變式4-1.（2020?內(nèi)蒙古）如圖，AB是口。的直徑，C。是弦，點C。在直徑A3的兩側(cè).若

NAOC:NAOO:NOO5=2:7:11,C￡>=4,則長的長為（）

A

B

A.2萬B.4萬C.也巴D.近兀

2

【答案】D

【提示】

根據(jù)ZAOC:ZAOD:ZDOB=2:7:11求:I1,ZCOD的度數(shù)，根據(jù)CD=4得到半徑，運用弧長公式計算

即可.

【詳解】

ZAOD:ZDOB=7:11,ZAOD+ZDOB=180°,

7

ZA0D=180°x—=70°,

18

又ZAOC:ZAOD=2:7,

ZAOC=20°,

ZCOD=90°,

又C￡)=4,

.a=nx兀xOD_90xx2g

180-180

故答案選D.

變式4-2.（2020?江蘇蘇州市?九年級二模）一個扇形的圓心角為120。，扇形的弧長等于4%,則該扇形的面

積等于（）

A.2乃B.4萬C.12萬D.24乃

【答案】C

【提示】根據(jù)弧長公式/=工，代入求出r的值，即可得到結(jié)論.

180

【詳解】解：由題意得，鈿=粵二

180

解得:r=6,

1,“

S=-X6x4^=127t.

2

故選：C.

變式4-3.（2020?黑龍江哈爾濱市模擬）若扇形的圓心角是150°，且面積是24（）乃c加2,則此扇形的弧長是

（）

A.1QncmB.204cmC.30^cmD.407rcm

【答案】B

【提示】

先根據(jù)S用甲把工求出該扇形的半徑R,然后再根據(jù)樂即可求得弧長/.

3602

【詳解】

￡)2呼解得E

解：由——,n=l50°,可得240"=

360

又由5用彩=一東可得240“=-Ix24,解得/=2（hc.

22

故答案為B.

變式4-4.（2020?遼寧盤錦市一模）一個扇形的弧長是兀，半徑是2,則此扇形的圓心角的度數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.120°

【答案】B

【提示】

HTTr

直接由弧長公式/，結(jié)合題意可得出扇形圓心角的度數(shù).

180

【詳解】

解：弧長是n,半徑是2,

2兀n

：.71=-----

180

解得：〃=90°

故選：B.

變式4-5.（2020?揚州二模）如圖，將等邊AABC的邊AC逐漸變成以B為圓心、BA為半徑的泥，長度不

變，AB、BC的長度也不變，則NABC的度數(shù)大小由60。變?yōu)椋ǎ?/p>

、180

6090120(——)°

A.(—)0B.(——)°C.(——)°D.

7171兀

【答案】D

【提示】

設(shè)NABC的度數(shù)為n,根據(jù)弧長的計算公式把已知條件代入計算即可.

【詳解】

解：設(shè)二ABC的度數(shù)大小由60變?yōu)閚,

...A—n兀'AB.4一

則AC=-----------，由AAC=AB,

180

解圖

71

故選D.

變式4-5.（2020?廣西中考真題）如圖,已知的半徑為5,所對的弦長為8,點尸是卷的中點，將

&繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到彳）,則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點尸的運動路徑長是（）

B.有兀D.2兀

2

【答案】B

【提示】

根據(jù)已知卷的半徑為5,所對的弦AB長為8,點P是疝的中點，利用垂徑定理可得AC=4,PO1AB,

再根據(jù)勾股定理可得AP的長，利用弧長公式即可求出點P的運動路徑長.

【詳解】

如圖，設(shè)?的圓心為0,連接0P交AB于C,連接0A,AP,AB]AP：

,??圓0半徑為5,所對的弦AB長為8,點P是?的中點，

根據(jù)垂徑定理，得

AC=^AB=4,P01AB,

2

0C=’前一3=3,

...PC=0P-0C=5-3=2,

,AP=VAC2+PC2=25

將?繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到彷，

...NPAP'=NBAB'=90°,

.-90乃x2召—后

??LTppf-----------------V5兀.

180

則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是逐幾

故選：B.

考查題型五扇形面積的相關(guān)計算

典例5.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖是一個幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm）,則這個幾何體

的側(cè)面積為（）

A.48兀夕層B.24兀C.12ncm2D.9Tlem2

【答案】B

【提示】

先判斷這個幾何體為圓錐，同時得到圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,然后利用扇形的面積公式計

算這個圓錐的側(cè)面積.

【詳解】

解：由三視圖得這個幾何體為圓錐，圓錐的母線長為8,底面圓的直徑為6,

所以這個幾何體的側(cè)面積=~乂66><8=24兀（cm2）.

故選：B.

變式5-1.（2020?江蘇泰州市?中考真題）如圖，半徑為10的扇形AOB中，NAOB=90。，C為上一

點,COLOA,CE1OS,垂足分別為。、E.若NCOE為36°,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10萬B.9乃C.8萬D.6兀

【答案】A

【提示】

本題可通過做輔助線，利用矩形性質(zhì)對角線相等且平分以及等面積性，利用扇形ABC面積減去扇形AOC

面積求解本題.

【詳解】

連接OC交DE為F點，如下圖所示:

由己知得：四邊形DCEO為矩形.

VZCDE=36°,且FD=FO,

ZFOD=ZFDO=54°,ADCE面積等于△DCO面積.

S陰影二S扇形AO8—S扇形人oc叱-I%。*

360360

故選：A.

A

變式5-2.（2020?湖北咸寧市?中考真題）如圖，在。0中，。4=2,ZC=45°,則圖中陰影部分的面積

為（）

0A

B.TT—y/2D.7t—2

【答案】D

【提示】

根據(jù)圓周角定理得出NAOB=90°,再利用S用彩=S^OAB-SAOAB算出結(jié)果.

【詳解】

解：VZC=45°,

二ZAOB=90°,

VOA=OB=2,

二SBJS!；=SMiOAB-SAOAB=9°：_一J_x2x2=乃一2,

3602

故選D.

變式5-3.（2020?山東日照市?中考真題）如圖，43是。。的直徑，CD為。。的弦，4BLCD于耳E,若

CD=6y/3,AE=9,則陰影部分的面積為（）

E

AB

D

A.6K-|A/3B.12n-973C.3兀-\有D.96

【答案】A

【提示】

根據(jù)垂徑定理得出CE=DE=gcD=36,再利用勾股定理求得半徑，根據(jù)銳角-:角函數(shù)關(guān)系得出

ZEOD=60°,進而結(jié)合扇形面積求出答案.

【詳解】

解：是③。的直徑，CD為。。的弦，4B_LCD于點E,

：.CE=DE=—CD=3d^,

27

設(shè)。O的半徑為匕

在直角AOEQ中，OD2=OE2+DE2,即r=（9一廠）2+（36）2,

解得，r=6,

：?OE=3,

：.NEOD=60。,

S扇形BOD=石4x36=6萬，SRTOED=—x3x3y/3=—,

根據(jù)圓的對稱性可得：

9r

S陰影=6萬一萬。3,

變式5-4.（2020?西藏中考真題）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的一點，ODJ_AC,垂足為D,

延長OD與半圓O交于點E.若AB=8,NCAB=30。，則圖中陰影部分的面積為（）

A.土兀一不B.-7T-2y[3C.-7t-y/3D.號萬-26

3333

【答案】D

【提示】

根據(jù)垂徑定理得到卷=e，AD=CD,解直角三角形得到0D=±0A=2,AD=^OA=2JJ,根據(jù)扇

22

形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：V0D1AC,

AZADO=90°,AE=CE，AD=CD,

,.,ZCAB=30°,OA=4,

?,.OD=—OA=2,AD=BOA=?5

22

.,.圖中陰影部分的面積=S*般AOE-SAADO=~—-12有、2=二—2/

36023

故選：D.

變式5-5.（2020?寧夏中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，NC=90°,AC=，以點C為圓心

畫弧與斜邊AB相切于點。，交AC于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積是（）

【答案】A

【提示】

連接CD,并求出CD的值，再分別計算出扇形ECF的面積和等腰三角形ACB的面積，用三角形的面積減

去扇形的面積即可得到陰影部分的面積.

【詳解】

連接CD,如圖，

A

TAB是圓C的切線，

.\CD1AB,

「△ABC是等腰直角三角形，

1

???CD=—AB,

2

AC=BC,

???AB=2,

ACD=1,

???S陰影:S&\BC-S扇形瓦/=|義顯義應(yīng)一"D=1--J

2Jou4

故選：A.

考查題型六圓錐側(cè)面積的相關(guān)計算

典例6.（2020?湖南中考真題）一個圓錐的底面半徑尸=10,高人=20,則這個圓錐的側(cè)面積是（）

A.100石兀B.2006兀C.100小nD.200逃兀

【答案】C

【提示】

先利用勾股定理計算出母線長，然后利用扇形的面積公式計算這個圓錐的側(cè)面積.

【詳解】

解：這個圓錐的母線長="102+2（）2=10小.

這個圓錐的側(cè)面積=［乂2/10）＜104'=100喬兀.

故選：C.

變式6-1.（2020?山東東營市?中考真題）用一個半徑為3,面積為3萬的扇形鐵皮，制作一個無底的圓錐（不

計損耗），則圓錐的底面半徑為（）

A.7tB.InC.2D.1

【答案】D

【提示】

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和

扇形面積公式得到y(tǒng)?2?！?=3兀，然后解方程即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得~?2兀▽3=3兀，

解得尸1.

故選：D.

變式6-2.（2020?青海中考真題）如圖是一個廢棄的扇形統(tǒng)計圖，小明同學(xué)利用它的陰影部分制作一個圓

錐，則這個圓錐的底面半徑是（）

A.3.6B.1.8C.3D.6

【答案】A

【提示】

先計算陰影部分的圓心角度數(shù)，再計算陰影部分的弧長，再利用弧長計算圓錐底面的半徑.

【詳解】

由圖知:陰影部分的圓心角的度數(shù)為：360°-252°=108°

..?108乃,1236萬

陰影部分的弧長為：--------=——

1805

設(shè)陰影部分構(gòu)成的圓錐的底面半徑為r：則2乃一=—1，即「=二=3.6

故選：A.

變式6-3.（2020?山東聊城市?中