人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1測(cè)試題卷（全套）及答案

...wd......wd......wd...高中數(shù)學(xué)選修2-1測(cè)試題全套及答案一、選擇題〔本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的〕1．給出命題：“假設(shè)x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0〞，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)2．假設(shè)命題p∨q與命題都是真命題，則 ()A．命題p不一定是假命題B．命題q一定是真命題C．命題q不一定是真命題D．命題p與命題q的真假一樣設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．假設(shè)命題p：?x∈A，2x∈B，則〔〕A．p：?x∈A，2x?BB．p：?x?A，2x?BC．p：?x0?A，2x0∈B D．p：?x0∈A，2x0?B4．命題“假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)〞的否命題是()A．假設(shè)f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)B．假設(shè)f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)C．假設(shè)f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)D．假設(shè)f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)5．設(shè)U為全集，A,B是集合，則“存在集合使得是“〞的〔〕A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件命題“假設(shè)△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列〞的逆命題〔〕A．與原命題同為假命題B．與原命題的否命題同為假命題C．與原命題的逆否命題同為假命題D．與原命題同為真命題7．假設(shè)“0＜x＜1〞是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0〞的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔〕A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1，0)C．[－1，0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命題p：假設(shè)a·b>0，則a與b的夾角為銳角；命題q：假設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()A．“p∨q〞是真命題B．“p∧q〞是假命題C．p為假命題D．q為假命題9．以下命題中是假命題的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．對(duì)任意x>0，有l(wèi)g2x＋lgx＋1>0C．△ABC中，A>B的充要條件是sinA>sinBD．對(duì)任意φ∈R，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)10．下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是〔〕A．a(chǎn)>b＋1B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b311．A：，B：，假設(shè)A是B的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(4，+∞)B．[4，+∞)C．(-∞，4]D．(-∞，-4)12．命題p:不等式(x-1)(x-2)>0的解集為A，命題q:不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集為B，假設(shè)p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，－1] B．[－2，－1]C．[－3,1] D．[－2，＋∞)二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分.把答案填在題中橫線上〕13假設(shè)關(guān)于x的不等式|x－m|＜2成立的充分不必要條件是2≤x≤3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．14．假設(shè)命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0〞是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．15．關(guān)于x的方程x2－(2a－1)x＋a2－2＝0至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根的充要條件的a的取值范圍是________．16．給出以下四個(gè)說(shuō)法：①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；②命題“設(shè)a，b∈R，假設(shè)a＋b≠6，則a≠3或b≠3〞是一個(gè)假命題；③“x>2〞是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)〞的充分不必要條件；④一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真．其中說(shuō)法不正確的序號(hào)是________．17．命題p：?x∈[1,2]都有x2≥a．命題q：?x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立，假設(shè)命題p∧q是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．18．如果甲是乙的必要不充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要不充分條件，則丁是甲的__________條件．三、解答題〔本大題共6小題，共60分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟〕19．〔10分〕命題p:假設(shè)則二次方程沒(méi)有實(shí)根.(1)寫出命題p的否命題；(2)判斷命題p的否命題的真假,并證明你的結(jié)論.20．〔10分〕集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，假設(shè)命題“A∩B＝〞是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．21．〔10分〕P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，假設(shè)存在，求出m的范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，假設(shè)存在，求出m的范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．〔10分〕c>0，且c≠1，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)，假設(shè)命題p∧q為假，命題p∨q為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．23．〔10分〕命題p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，假設(shè)命題p∨q是假命題，求a的取值范圍．24．〔10分〕數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{eq\r(Sn＋1)}是公比為2的等比數(shù)列．證明：數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件是a1＝3.參考答案選擇題1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D10.A11.D12.A提示：1．逆命題為：假設(shè)x＝y(tǒng)＝0，則x2＋y2＝0，是真命題．否命題為：假設(shè)x2＋y2≠0，則x≠0或y≠0，是真命題．逆否命題為：假設(shè)x≠0或y≠0，則x2＋y2≠0，是真命題．2．“〞為真命題，則命題p為假，又p或q為真，則q為真，應(yīng)選B.21世紀(jì)教育網(wǎng)3．由命題的否認(rèn)的定義及全稱命題的否認(rèn)為特稱命題可得．命題p是全稱命題：?x∈A，2x∈B，則p是特稱命題：?x0∈A，2x0?B.應(yīng)選D.4．原命題的否命題是既否認(rèn)題設(shè)又否認(rèn)結(jié)論，故“假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)〞的否命題是B選項(xiàng)．育網(wǎng)版權(quán)所有5．6．原命題顯然為真，原命題的逆命題為“假設(shè)△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)〞，它是真命題．7．(x－a)[x－(a＋2)]≤0?a≤x≤a＋2，由集合的包含關(guān)系知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋2≥1，))?a∈[－1，0]．2·1·c·n·j·y8．因?yàn)楫?dāng)a·b>0時(shí)，a與b的夾角為銳角或零度角，所以命題p是假命題；命題q是假命題，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))綜上可知，“p或q〞是假命題.9．對(duì)于A，當(dāng)α＝β＝0時(shí)，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此選項(xiàng)A是真命題；對(duì)于B，注意到lg2x＋lgx＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lgx＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，因此選項(xiàng)B是真命題；對(duì)于C，在△ABC中，A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圓半徑)，因此選項(xiàng)C是真命題；對(duì)于D，注意到當(dāng)φ＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函數(shù)，因此選項(xiàng)D是假命題.10.a>b＋1?a－b>1>0?a>b，但a＝2，b＝1滿足a>b，但a＝b＋1，故A項(xiàng)正確．對(duì)于B，a>b－1不能推出a>b，排除B；而a2>b2不能推出a>b，如a＝－2，b＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；a>b?a3>b3，它們互為充要條件，排除D.11．由題知，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)A是B的充分不必要條件，則有且，故有，即；當(dāng)時(shí)，B=，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，不可能有，故.12.不等式〔x-1〕〔x-2〕>0，解得x>2或x<1，所以A為(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化為(x－1)(x＋a)>0，當(dāng)－a≤1時(shí)，解得x>1或x<－a，即B為(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此時(shí)a＝－1；當(dāng)－a>1時(shí)，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此時(shí)－a<2，即－2<a<－1.綜合知－2<a≤－1.二、填空題13.(1，4)14.[－8,0]15.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(9,4)))16.①②17.(－∞，－2]∪{1}18.充分不必要提示：13．由|x－m|＜2得－2＜x－m＜2，即m－2＜x＜m＋2.依題意有集合{x|2≤x≤3}是{x|m－2＜x＜m＋2}的真子集，于是有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＜2,m＋2＞3))，由此解得1＜m＜4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，4)．14．由題意知，x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有ax2－ax－2≤0恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，－2≤0成立．當(dāng)a≠0時(shí)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝a2＋8a≤0))得－8≤a＜0，所以－8≤a≤0.15.設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，當(dāng)有一個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，x1x2＝a2－2≤0，即－eq\r(2)≤a≤eq\r(2)；當(dāng)有兩個(gè)非負(fù)實(shí)根時(shí)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝〔2a－1〕2－4〔a2－2〕≥0，,x1＋x2＝2a－1＞0，,x1x2＝a2－2≥0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a≤9，,a＞\f(1,2)，,a≤－\r(2)或a≥\r(2).))即eq\r(2)≤a≤eq\f(9,4).綜上，得－eq\r(2)≤a≤eq\f(9,4).16.①逆命題與逆否命題之間不存在必然的真假關(guān)系，故①錯(cuò)誤；②此命題的逆否命題為“設(shè)a，b∈R，假設(shè)a＝3且b＝3，則a＋b＝6〞，此命題為真命題，所以原命題也是真命題，②錯(cuò)誤；③eq\f(1,x)<eq\f(1,2)，則eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)<0，解得x<0或x>2，所以“x>2〞是“eq\f(1,x)<eq\f(1,2)〞的充分不必要條件，故③正確；④否命題和逆命題是互為逆否命題，真假性一樣，故④正確．17.假設(shè)p是真命題，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；假設(shè)q是真命題，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命題“p且q〞是真命題，則p是真命題，q也是真命題，故有a≤－2或a＝1.三、解答題19.解：(1)命題p的否命題為:假設(shè)則二次方程有實(shí)根.(2)命題p的否命題是真命題.證明如下:所以二次方程有實(shí)根.故該命題是真命題.20.解：因?yàn)椤癆∩B＝?〞是假命題，所以A∩B≠?.設(shè)全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，則U＝{m|m≤－1或m≥eq\f(3,2)}．假設(shè)方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均非負(fù)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,x1＋x2≥0，,x1x2≥0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m∈U，,4m≥0，,2m＋6≥0))?m≥eq\f(3,2).又集合{m|m≥eq\f(3,2)}關(guān)于全集U的補(bǔ)集是{m|m≤－1}，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－1}．21.解：(1)不存在.由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，因?yàn)閤∈P是x∈S的充要條件，所以P＝S，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))這樣的m不存在．存在.由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S?P.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以m≤3.又1+m≥1-m,所以m≥0.綜上，可知0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件．22.解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，所以0<c<1.即p：0<c<1，因?yàn)閏>0且c≠1，所以p：c>1.又因?yàn)閒(x)＝x2－2cx＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)，所以c≤eq\f(1,2).即q：0<c≤eq\f(1,2)，因?yàn)閏>0且c≠1，所以q：c>eq\f(1,2)且c≠1.又因?yàn)椤皃或q〞為真，“p且q〞為假，所以p真q假或p假q真．①當(dāng)p真，q假時(shí)，{c|0<c<1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)c>\f(1,2)且c≠1))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)\f(1,2)<c<1)).②當(dāng)p假，q真時(shí)，{c|c>1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)0<c≤\f(1,2)))＝?.綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\a\vs4\al(|)\f(1,2)<c<1)).23.解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0,所以x＝eq\f(a,2)或x＝－a，所以當(dāng)命題p為真命題時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))≤1或|－a|≤1，所以|a|≤2.又“只有一個(gè)實(shí)數(shù)x0滿足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0〞，即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以Δ＝4a2－8a＝0，所以a＝0或a＝2.所以當(dāng)命題q為真命題時(shí)，a＝0或a＝2.所以命題“p或q〞為真命題時(shí)，|a|≤2.因?yàn)槊}“p或q〞為假命題，所以a>2或a<－2.即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}．24.證明:因?yàn)閿?shù)列{eq\r(Sn＋1)}是公比為2的等比數(shù)列，所以eq\r(Sn＋1)＝eq\r(S1＋1)·2n－1，即Sn＋1＝(a1＋1)·4n－1.因?yàn)閍n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1，n＝1，,3〔a1＋1〕·4n－2，n≥2，))顯然，當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(an＋1,an)＝4.①充分性：當(dāng)a1＝3時(shí)，eq\f(a2,a1)＝4，所以對(duì)n∈N*，都有eq\f(an＋1,an)＝4，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列．②必要性：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以eq\f(a2,a1)＝4，即eq\f(3〔a1＋1〕,a1)＝4，解得a1＝3.綜上，數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件是a1＝3.第二章圓錐曲線與方程測(cè)試題一、選擇題〔本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的〕1．如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x－4y－12＝0上，那么拋物線的方程是〔〕A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝〔〕A．5B．3C．7D．3或73．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M到F1的距離是2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|的長(zhǎng)為〔〕A．1B．2C．3D．44．“2<m<6〞是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓〞的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的焦距為4，一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率e等于〔〕A．2B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\r(2)6．點(diǎn)A〔3，4〕，F(xiàn)是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|AM|＋|MF|最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕A．〔0，0〕B．〔3，2eq\r(6)〕C．〔3，－2eq\r(6)〕D．〔2，4〕7．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的離心率為eq\f(\r(5),2)，則橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率為〔〕A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)8．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于〔〕A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．489．點(diǎn)A〔1，2〕是拋物線C：y2＝2px與直線l：y＝k〔x＋1〕的一個(gè)交點(diǎn)，則拋物線C的焦點(diǎn)到直線l的距離是〔〕A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)10．假設(shè)點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為〔〕A．6B．3C．2D．811．以F1〔－2，0〕，F(xiàn)2〔2，0〕為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為〔〕A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．2eq\r(7)D．eq\r(7)12．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1〔a>0，b>0〕的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1作圓x2+y2=a2的切線交雙曲線的左、右支分別于點(diǎn)B、C，且|BC|=|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為〔〕A．y=±3xB．y=±2xC．y=±〔1+〕xD．y=±〔－1〕x二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分.把答案填在題中橫線上〕13．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是＿＿＿＿＿．14．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，假設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是＿＿＿＿＿．15．假設(shè)點(diǎn)P在曲線C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，點(diǎn)Q在曲線C2：〔x－5〕2＋y2＝1上，點(diǎn)R在曲線C3：〔x＋5〕2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是＿＿＿＿＿．16．點(diǎn)P是拋物線y2＝2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，且點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A〔eq\f(7,2)，4〕，則|PA|＋|PM|的最小值是＿＿＿＿＿．17．F1為橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則|F1A|＋|F1B|的值為＿＿＿＿＿．18．過(guò)拋物線y2=2px〔p>0〕的焦點(diǎn)作斜率為的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A，B在y軸上的正射影分別為D，C，假設(shè)梯形ABCD的面積為10，則p=＿＿＿＿＿．三、解答題〔本大題共6小題，共60分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟〕19．〔10分〕雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x，并且焦點(diǎn)都在圓x2＋y2＝100上，求雙曲線方程．20．〔10分〕點(diǎn)P〔3，4〕是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a＞b＞0〕上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)PF1⊥PF2．試求：〔1〕橢圓的方程；〔2〕△PF1F2的面積．21．〔10分〕拋物線y2＝2px〔p>0〕有一個(gè)內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)是原點(diǎn)，一條直角邊所在直線方程為y＝2x，斜邊長(zhǎng)為5eq\r(13)，求此拋物線方程．22．〔10分〕拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A、B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔AB不垂直于x軸〕，且|AF|＋|BF|＝8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q〔6，0〕，求此拋物線的方程．23．〔10分〕設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1〔a>0〕與直線l：x＋y＝1相交于兩點(diǎn)A、B．〔1〕求雙曲線C的離心率e的取值范圍；〔2〕設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，求a的值．24．〔10分〕橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a>b>0〕的離心率為eq\f(\r(6),3)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔eq\f(3,2)，eq\f(1,2)〕．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕過(guò)點(diǎn)P〔0，2〕的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB〔O為原點(diǎn)〕面積的最大值．參考答案一、選擇題1．C2．D3．D4．B5．A6．D7．C8．C9．B10．A11．C12．C提示：1．由題設(shè)知直線3x－4y－12＝0與x軸的交點(diǎn)〔4，0〕即為拋物線的焦點(diǎn)，故其方程為y2＝16x．2．因?yàn)殡p曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3．3．由題意知|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON是△MF1F2的中位線，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4．4．假設(shè)eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))所以2<m<6且m≠4，故2<m<6是eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓的必要不充分條件．5．依題意，得c＝2，a＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝2．6．由題知點(diǎn)A在拋物線內(nèi)．設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MK|，則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，當(dāng)|MA|＋|MK|最小時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)是〔2，4〕．7．因?yàn)樵陔p曲線中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，在橢圓中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)．8．由P是雙曲線上的一點(diǎn)和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×6×8＝24．9．將點(diǎn)〔1，2〕代入y2＝2px中，可得p＝2，即得拋物線y2＝4x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，0〕，將點(diǎn)〔1，2〕代入y＝k〔x＋1〕中，可得k＝1，即得直線x－y＋1＝0，所以拋物線C的焦點(diǎn)到直線l的距離d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2)．10．由橢圓方程得F〔－1，0〕，設(shè)P〔x0，y0〕，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝〔x0，y0〕·〔x0＋1，y0〕＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0)，因?yàn)镻為橢圓上一點(diǎn)，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3〔1－eq\f(x\o\al(2,0),4)〕＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)〔x0＋2〕2＋2，因?yàn)椋?≤x0≤2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值在x0＝2時(shí)取得，且最大值等于6．11．根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1〔b>0〕，則將x＝－eq\r(3)y－4代入橢圓方程，得4〔b2＋1〕y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，因?yàn)闄E圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以Δ＝〔8eq\r(3)b2〕2－4×4〔b2＋1〕〔－b4＋12b2〕＝0，即〔b2＋4〕·〔b2－3〕＝0，所以b2＝3，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7)．12．根據(jù)雙曲線的定義有|CF1|－|CF2|=2a，而|BC|=|CF2|，那么2a=|CF1|－|CF2|=|CF1|－|BC|=|BF1|，而又由雙曲線的定義有|BF2|－|BF1|=2a，可得|BF2|=4a，由于過(guò)F1作圓x2+y2=a2的切線交雙曲線的左、右支分別于點(diǎn)B、C，那么sin∠BF1F2=，那么cos∠BF1F2=，根據(jù)余弦定理有cos∠BF1F2==，整理有b2－2ab－2a2=0，即〔〕2－2－2=0，解得=1+〔=1－<0舍去〕，故雙曲線的漸近線方程為y=±x=±〔1+〕x．二、填空題13．eq\f(1,8)14．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝115．1016．eq\f(9,2)17．eq\f(8\r(2),3)18．3提示：13．由x2＝eq\f(1,4)y知，p＝eq\f(1,8)，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝eq\f(1,8)．14．依題意知：2a＝18，所以a＝9，2c＝eq\f(1,3)×2a，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以橢圓方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1．15．依題意得，點(diǎn)F1〔－5，0〕、F2〔5，0〕分別為雙曲線C1的左、右焦點(diǎn)，因此有|PQ|－|PR|≤|〔|PF2|＋1〕－〔|PF1|－1〕|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．16．設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，則F〔eq\f(1,2)，0〕，又點(diǎn)A〔eq\f(7,2)，4〕在拋物線的外側(cè)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2)，則|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2)．17．設(shè)點(diǎn)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x－1，))消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3)，易得點(diǎn)A〔0，－1〕、B〔eq\f(4,3)，eq\f(1,3)〕．又點(diǎn)F1〔－1，0〕，因此|F1A|＋|F1B|＝eq\r(12＋－12)＋eq\r(\f(7,3)2＋\f(1,3)2)＝eq\f(8\r(2),3)．18．由拋物線y2=2px〔p>0〕得其焦點(diǎn)F〔，0〕，直線AB的方程為y=〔x－〕，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕〔假定x2>x1〕，由題意可知y1<0，y2>0，聯(lián)立，整理有y2－2py－p2=0，可得y1+y2=，y1y2=－p2，則有x1+x2=，而梯形ABCD的面積為S=〔x1+x2〕〔y2－y1〕==10，整理有p2=9，而p>0，故p=3．三、解答題19．解：設(shè)雙曲線的方程為42·x2－32·y2＝λ〔λ≠0〕，從而有〔eq\f(\r(|λ|),4)〕2＋〔eq\f(\r(|λ|),3)〕2＝100，解得λ＝±576，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1和eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1．20．解：〔1〕因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，①又PF1⊥PF2，所以eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20，則橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1；〔2〕S＝eq\f(1,2)|F1F2|×4＝5×4＝20．21．解：設(shè)拋物線y2＝2px〔p>0〕的內(nèi)接直角三角形為AOB，直角邊OA所在直線方程為y＝2x，另一直角邊所在直線方程為y＝－eq\f(1,2)x，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))；解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔8p，－4p〕．因?yàn)閨OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p2,4)＋p2))＋〔64p2＋16p2〕＝325，所以p＝2，所以所求的拋物線方程為y2＝4x．22．解：設(shè)拋物線的方程為y2＝2px〔p>0〕，其準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，因?yàn)閨AF|＋|BF|＝8，所以x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p，因?yàn)镼〔6，0〕在線段AB的中垂線上，所以QA＝QB，即〔x1－6〕2＋yeq\o\al(2,1)＝〔x2－6〕2＋yeq\o\al(2,2)，又yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以〔x1－x2〕〔x1＋x2－12＋2p〕＝0，因?yàn)閤1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p，故8－p＝12－2p，所以p＝4，所以所求拋物線方程是y2＝8x．23．解：〔1〕聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a2y2－a2＝0，,x＋y＝1，))消y得x2－a2〔1－x〕2－a2＝0，即〔1－a2〕x2＋2a2x－2a2＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)A、B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0))，可得0<a2<2且a2≠1，所以e的取值范圍為〔eq\f(\r(6),2)，eq\r(2)〕∪〔eq\r(2)，＋∞〕；〔2〕由〔1〕得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因?yàn)閑q\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，所以x1＝eq\f(5,12)x2，則eq\f(17,12)x2＝eq\f(－2a2,1－a2)，①eq\f(5,12)xeq\o\al(2,2)＝eq\f(－2a2,1－a2)，②由eq\f(①2,②)得，a2＝eq\f(289,169)，結(jié)合a>0，則a＝eq\f(17,13)．24．解：〔1〕由e2＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，①由橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔eq\f(3,2)，eq\f(1,2)〕，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(1,4b2)＝1，②聯(lián)立①②，解得b＝1，a＝eq\r(3)，所以橢圓C的方程是eq\f(x2,3)＋y2＝1；〔2〕易知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋2，將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得〔1＋3k2〕x2＋12kx＋9＝0，令Δ＝144k2－36〔1＋3k2〕>0，得k2>1，設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，則x1＋x2＝－eq\f(12k,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(9,1＋3k2)，所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝eq\f(1,2)×2×|x1－x2|＝|x1－x2|，因?yàn)椤瞲1－x2〕2＝〔x1＋x2〕2－4x1x2＝〔－eq\f(12k,1＋3k2)〕2－eq\f(36,1＋3k2)＝eq\f(36k2－1,1＋3k22)，設(shè)k2－1＝t〔t>0〕，則〔x1－x2〕2＝eq\f(36t,3t＋42)＝eq\f(36,9t＋\f(16,t)＋24)≤eq\f(36,2\r(9t×\f(16,t))＋24)＝eq\f(3,4)，當(dāng)且僅當(dāng)9t＝eq\f(16,t)，即t＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k2＝eq\f(7,3)，△AOB面積取得最大值eq\f(\r(3),2)．第三章空間向量與立體幾何一、選擇題1．假設(shè)A(0，－1，1)，B(1，1，3)，則|AB|的值是()．A．5B．C．9D．32．化簡(jiǎn)＋－－，結(jié)果為()．A．B．C．D．3．假設(shè)a，b，c為任意向量，m∈R，則