寧夏回族自治區(qū)銀川市2025屆高三上學期第三次月考數(shù)學含答案

2025屆高三年級第三次月考數(shù)學試卷命題教師：閆登選注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.作答時，務必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．i是虛數(shù)單位，復數(shù)（

）A． B．1 C． D．2．若數(shù)列的前項和，則等于（

）A．10 B．11 C．12 D．133．已知函數(shù)為在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．0,+∞4．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（

）A． B．C．2 D．6．設等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，的值為（

）A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或157．我國古代數(shù)學家秦九韶左《數(shù)書九章》中記述了了“一斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則的面積，根據此公式，若，且，則的面積為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．若，則恰有個零點B．若恰有個零點，則的取值范圍是C．若恰有個零點，則的取值范圍是D．若，則恰有個零點二.多項選擇題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像的對稱中心是，C．函數(shù)的遞增區(qū)間是，D．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位而得到11．正方形的邊長為4，是中點，如圖，點是以為直徑的半圓上任意點，，則（

）A．最大值為1 B．最大值為2C．存在使得 D．最大值是8三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．已知單位向量滿足，則方向上的投影向量為.13．已知，則的最小值為．14．設函數(shù)，則不等式的解集為.四、解答題（共5小題，滿分77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知數(shù)．(1)求的最小正周期和對稱軸方程；(2)求在的最大值和最小值．16．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.17．在銳角中，內角的對邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若，點是線段的中點，求線段長的取值范圍．18．已知函數(shù)和(1)若函數(shù)是定義域上的嚴格減函數(shù)，求的取值范圍.(2)若函數(shù)和有相同的最小值，求的值(3)若，是否存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列19．定義：若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“線性數(shù)列”.(1)已知為“線性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)已知.（i）證明：數(shù)列為“線性數(shù)列”.（ii）記，數(shù)列的前項和為，證明：.1．C【分析】借助復數(shù)的運算法則計算即可得.【詳解】.故選：C.2．C【分析】根據與關系求解即可.【詳解】.故選：C.3．B【分析】分段函數(shù)在R上單調遞增，需要每一段都單調遞增，并且在斷開處也要滿足增函數(shù)的定義，由此列出不等式求解即可.【詳解】當時，恒成立，此時在單調遞增；當時，，當且僅當時，在單調遞增；因為在R上單調遞增，此時還需滿足，解得，綜上所述：，故選：B.4．D【分析】利用誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關系得到，再由及兩角差的正切公式計算可得.【詳解】解：因為，所以，所以，又，所以.故選：D5．C【分析】利用等比數(shù)列的性質與通項公式即可得解.【詳解】因為為等比數(shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.6．A【分析】根據已知及等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式求基本量，結合及數(shù)列單調性確定取最小值時的值.【詳解】由，，所以，數(shù)列的公差，且，所以，且數(shù)列單調遞增，故取最小值時，的值為15或16.故選：A7．B【分析】由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡，求得，再結合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以，即，又由，所以，由因為，所以，所以，即，因為，由余弦定理可得，解得，則的面積為.故選：B.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和兩角和與差的正弦函數(shù)公式的化簡求值的綜合應用，意在考查推理與運算能力，屬于中檔試題.8．D【分析】令gx=0，可得或，求函數(shù)的導數(shù)，根據導數(shù)判斷函數(shù)的單調性與取值情況，做出函數(shù)圖像，數(shù)形結合可得解.【詳解】令，則，解得或，當時，，由f′x>0，得；由f′x<0則在上單調遞減，在上單調遞增，，當時，，當時，取最大值，最大值為f?1=2，故的大致圖象如圖所示，由圖可知，有且僅有個實根.當時，恰有個零點，故A選項錯誤；由恰有個零點，則恰有個實根，且，則或或，則B選項錯誤；由恰有個零點，得恰有個實根，則或或，則選項錯誤；當時，有個實根，則恰有個零點，故D單調正確；故選：D.9．BCD【分析】根據圖象得，解得，再由解得，再代值即可求解.【詳解】由圖象可知，，則,故，解得，所以，由得，解得，即，又因為，所以，所以，故.故選：BCD.10．BCD【分析】根據三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調性及圖象變換的概念判斷各選項．【詳解】對于A，時，，時，，不是函數(shù)的周期，A錯；對于B，，，因此函數(shù)圖象對稱中心是，，B正確；對于C，，，，，是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此原函數(shù)的增區(qū)間是，C正確；對于D，函數(shù)的圖像向右平移個單位得圖象的函數(shù)解析式為，D正確．故選：BCD．11．AD【分析】根據題設條件，建立平面直角坐標系，把數(shù)量積問題轉化為坐標運算來解決，結合三角函數(shù)的性質即可對選項進行判定．【詳解】以線段所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：設，，，，，，，，，，，，，解得，，則，，，時，取最大值1，正確；，其中，，為銳角，當即時，取最大值，故B錯誤；若，則有，整理得，得，即，故不存在滿足條件的值，即不存在符合條件的點，C錯誤；由于，，時，的最大值為8，D正確．故選：AD．12．【分析】先由題意結合向量模長公式求出，再根據投影向量公式即可求解.【詳解】，因為，所以，所以在方向上的投影向量為.故答案為：.13．【分析】令，，通過指數(shù)式與對數(shù)式互化用表示出，再借助基本不等式進行求解即可.【詳解】令，，則，，，令，，則，當且僅當，即時等號成立，，即.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．14．【分析】由函數(shù)解析式分析得為偶函數(shù)，在上單調遞增，在上單調遞減，不等式等價于，求解即可.【詳解】函數(shù)，定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，在上單調遞增，則在上單調遞減，不等式，則有，解得且，所以不等式解集為.故答案為：15．(1)最小正周期為，對稱軸方程為，，(2)的最小值，最大值.【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡，由周期公式即可求得最小正周期；利用整體法求得對稱軸方程，（2）先求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質求最值．【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期為．令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，，（2）當時，，則，進而可得，當時，即時，取最小值，時，即時，取最大值.16．(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）由題設有，結合等比數(shù)列定義證結論，并寫出通項公式；（2）應用錯位相減、等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】（1）由，，所以是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故；（2）由（1）有，則，所以，兩式相減，得，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，兩角和的正弦公式及誘導公式得，根據，即可得出，進而求解；（2）由余弦定理得，根據平面向量的線性運算得，進而得出，根據正弦定理，二倍角公式，降冪公式，輔助角公式得出，結合，正弦函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）因為，由余弦定理得，由正弦定理得，又是銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得解得，則，所以，所以，所以，所以線段長的取值范圍為．18．(1)(2)1(3)存在【分析】（1）求導，然后根據導函數(shù)不大于零恒成立，轉化為最值求解即可；（2）分別求出兩函數(shù)的最值，根據最值相等構造函數(shù)，求導研究函數(shù)單調性，進而可得的值；（3）求導研究函數(shù)和的單調性，及最值，設出其交點，進而求出三個不同的交點，根據等式可證明等差數(shù)列.【詳解】（1）恒成立，因為，所以，則的取值范圍為；（2）定義域為，，，若，則，單調遞增，無最小值，故，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，故，的定義域為，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，故，函數(shù)和有相同的最小值，，化為，令，，則，，恒成立，在上單調遞增，又，僅有此一解，；（3）（2）知，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，設，則，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，所以當時，恒成立，即在時恒成立，所以時，，因為，函數(shù)在上單調遞增，，函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點，設該交點為,，此時可作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象知當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，直線必經過點,，即，因為，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以當直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，從左到右的三個交點的橫坐標依次為，，，因為，所以，所以，，成等差數(shù)列．存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【點睛】關鍵點點睛：本題第三問關鍵點是找到兩函數(shù)的交點對應的相關等式，才能求出3個交點時的橫坐標.19．(1)證明見解析(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）依題意可得，則，即可求出、，從而得到，結合等比數(shù)列的