陜西省安康市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月診斷性測試數(shù)學(xué)試題含答案

陜西省安康市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月診斷性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則=（

）A． B．C． D．22．直線的傾斜角為，經(jīng)過點，，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合3．某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，，，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為（

）A． B． C． D．4．如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為（

）A．5 B．3 C． D．5．塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖，在塹堵中，，若，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中，正確的命題有（

）A．是，共線的充要條件B．若，則存在唯一的實數(shù)，使得C．對空間中任意一點和不共線的三點，，，若，則，，，四點共面D．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底10．某學(xué)校為普及安全知識，對本校1500名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識競賽答題活動(滿分為100分).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．圖中的值為0.016B．估計該校高一大約有77%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間C．該校高一學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為195人D．該校高一學(xué)生競賽得分的第75百分位數(shù)估計大于8011．蘇州博物館（圖一）是地方歷史藝術(shù)性博物館，建筑物的頂端可抽象為如圖二所示的上、下兩層等高的幾何體，其中上層是正四棱柱，下層底面是邊長為4的正方形，在底面的投影分別為的中點，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．該幾何體的表面積為B．將該幾何體放置在一個球體內(nèi)，則該球體體積的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．點到平面的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，向量，且，則．13．已知=，則的值是.14．設(shè)函數(shù)是從1，2，3三個數(shù)中任意取一個數(shù)，是從2，3，4，5四個數(shù)中任意取一個數(shù)，則的概率是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線過點，且與以和為端點的線段相交.(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍.16．某心理教育測評研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，將所得評分(百分制)按研究院制定的心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在中的市民有200人心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等級EDCBA（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民的心理等級轉(zhuǎn)為的概率為，調(diào)查評分在的市民的心理等級轉(zhuǎn)為的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為的概率；（3）該心理教育測評研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分÷100)17．在中，角所對的邊分別為.已知.（1）若，求的周長；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）設(shè)為棱上的點（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.19．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．(1)若，求的斜坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求．

參考答案1．【答案】C【分析】求出即得解.【詳解】由題意可得，所以，所以.故選C.2．【答案】D【分析】求出直線的斜率，根據(jù)，的斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】由點，，可求得直線的斜率，因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，則有，則直線與直線平行或重合.故選D.3．【答案】D【分析】汽車在甲、乙、丙三處因遇綠燈通行是相互獨立的，遇紅燈停車的事件也是相互獨立的；遇紅燈停車和遇綠燈通行是互斥事件，先分別汽車在這三處遇紅燈停車一次的情況的概率，最后計算出汽車在這三處遇紅燈停車一次的概率【詳解】因為汽車在甲、乙、丙三處因遇綠燈通行是相互獨立的，遇紅燈停車的事件也是相互獨立的；遇紅燈停車和遇綠燈通行是互斥事件，因此汽車在這三處遇紅燈停車的概率分別為：所以.所以汽車在這三處遇紅燈停車一次有三種情況，概率分別為：（1）甲紅燈，乙丙綠燈：；（2）乙紅燈，甲丙綠燈：；（3）丙紅燈，甲乙綠燈：；所以汽車在這三處遇紅燈停車一次的概率為.故選D.4．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【詳解】在平行六面體中，，，，，，，.故選C.5．【答案】A【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由分析題意得，平面如圖所示，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)異面直線與所成的角為，則.故選A.6．【答案】D【分析】先計算出平面的法向量，再計算出與平面所成角的正弦值，然后根據(jù)四棱錐的高為即可計算結(jié)果.【詳解】因為設(shè)平面的法向量為，則，即，所以令，可得，，則，所以.設(shè)與平面所成的角為：則.因為，所以到平面的距離為，即四棱錐的高為.故選D.7．【答案】C【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】為奇函數(shù)，；，，，，故選C．8．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值即可.【詳解】以題意，以點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因為正方體棱長為1，，所以,,設(shè),則,而,所以點到直線的投影數(shù)量的絕對值為,所以點到直線的距離為，當(dāng)時，等號成立，即點到直線的距離最小值為，故選：C.9．【答案】CD【分析】對于A選項，向量，同向時不成立；對于B選項，為零向量時不成立；對于C選項，根據(jù)空間向量共面的條件判定；對于D選項，根據(jù)能成為基底的條件判定.【詳解】對于A選項，向量，同向時，，只滿足充分性，不滿足必要性，故A錯誤；對于B選項，應(yīng)該為非零向量，故B錯誤；對于C選項，，，若共線，則三向量共線，故，，三點共線，與已知矛盾，故不共線，由向量共面的充要條件知共面，而過同一點，，，，四點共面，故C正確；對于D選項，若為空間的一個基底，則，，不共面，假設(shè)，，共面，設(shè)，，無解，，，不共面，構(gòu)成空間的另一個基底，故D正確．故選CD．10．【答案】BCD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得，判斷A錯誤；計算出得分介于60至90之間的頻率，判斷B正確；利用1500乘以得分不小于90頻率，判斷C正確；計算得分介于50至80之間的頻率判斷D正確.【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，解得，故A錯誤；得分介于60至90之間的頻率為，故B正確；得分不小于90的人數(shù)估計為，故C正確；得分介于50至80之間的頻率為，故D正確.故選BCD.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可求解三角形的邊長，結(jié)合面積公式即可求解A，根據(jù)外接球的性質(zhì)，結(jié)合體積公式即可求解B，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可求解夾角和距離，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】設(shè)在平面的投影分別為的中點，因為，，所以到平面的距離為,因為上、下兩層等高，所以到平面的距離為2，因為，,所以,所以,同理可得，，則點B到FG的距離為，則的面積為，的面積為．對于A選項，故該幾何體的表面積，故A正確．對于B選項，將該幾何體放置在一個球體內(nèi)，要使該球體體積最小，則球心在該幾何體上下底面中心所連直線上，且均在球面上，設(shè)球心到下底面的距離為x，由于四邊形為邊長為的正方形，四邊形為邊長為4的正方形，則其對角線長度分別為4，，則，解得，則該球體的半徑為，體積為．故B錯誤．對于C選項，以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，平面的一個法向量為，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為，故C正確．對于D選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則點到平面的距離為，故D正確．故選ACD.12．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的垂直及平行的坐標(biāo)表示求出，再由向量的坐標(biāo)運算及模的坐標(biāo)表示求解．【詳解】因為，所以，解得，則．因為，所以，解得，則．所以．故答案為：.13．【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】，.故答案為：.14．【答案】【分析】由題意得出基本事件總數(shù)，在由古典概型計算出的概率.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，恒成立就轉(zhuǎn)化為成立.設(shè)事件“恒成立”，則基本事件總數(shù)為個，即，，事件包含事件：共個，由古典概型得.故答案為：.15．【答案】(1)(2).【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)圖象分析，，三點之間的關(guān)系，不難給出直線的斜率的取值范圍；（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象即可求解直線的傾斜角的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖：因為直線過點，且與以和為端點的線段相交.所以，所以直線的斜率的取值范圍.（2）因為由（1）可知，，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以可得此時直線的傾斜角的取值范圍，由圖可知，當(dāng)直線斜率不存在時，所得直線符合題意，故此時直線的傾斜角，綜上所述，直線的傾斜角的取值范圍.16．【答案】（1），；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析.【分析】（1）利用公式求的值，利用矩形的面積和為1求的值；（2）設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為”，利用對立事件的概率公式求解；（3）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)求出平均數(shù)即得解.【詳解】(1)由分析題中已知條件，可得，因為每組的小矩形的面積之和為1.所以，解得，(2)因為由(1)知：，所以調(diào)查評分在[40，50)中的人數(shù)是調(diào)查評分在[50，60)中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在中有1人，在中有2人，設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為”.因為經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，所以所以故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為的概率為，(3)因為由頻率分布直方圖可得，,估計市民心理健康調(diào)查評分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為，所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.17．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理將已知條件邊化角，化簡后求得，再利用余弦定理求得，可得周長，（2）利用正弦定理將化為角的三角函數(shù)，化簡后利用的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，且，所以，即，則的周長為，（2）因為，所以，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，則，所以.故的取值范圍是.18．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，因為，所以以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為由題中已知可得，，，，，所以，，.因為,.所以,,因為，平面，平面.所以平面.（2）設(shè)平面的法向量，由（1）可知,設(shè)平面的法向量