金融數(shù)學(xué)課件 ch1 引論

金融數(shù)學(xué)第一章引論中國人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第一章引論中國人民大學(xué)出版社PAGE10/45第一章引論第一章引論金融數(shù)學(xué)中國人民大學(xué)出版社本章內(nèi)容本章內(nèi)容1事件與概率1樣本和樣本空間事件與概率概率空間2概率的基本性質(zhì)隨機變量和隨機向量2隨機變量

分布函數(shù)隨機向量3隨機變量的數(shù)字特征期望3方差矩母函數(shù)4隨機過程的概念4樣本和樣本空間樣本和樣本空間樣本和樣本空間事件與概率通常把按照一定想法去做的事件稱為試驗experimen，把試驗的可能結(jié)果稱為樣本點（epoint樣本和樣本空間事件與概率舉例：（ee。通常將樣本空間記為?，樣本點記為ω。舉例：一個均勻的骰子（dice）有六個面，每次拋出這個骰子，會得到相應(yīng)的（236{1236}。事件與概率事件與概率事件與概率事件與概率事件（event）是樣本空間事件與概率事件與概率?是事件；若A是事件，則Ac是事件；若Ai是事件，則∞Ai是事件。骰子的例子i=1骰子的例子3AAc就是“拋出的點數(shù)不為3事件事件事件與概率事件與概率對于事件A，如果使用P(A)表示事件發(fā)生的概率，則P(A事件與概率事件與概率非負(fù)性：P(A)≥0；完備性：P(?)=1；可列可加性：對于互不相容的事件A1,A2,...，有：iP/∞A\∞i

P(Ai)i=1 i=1概率空間概率空間概率空間事件與概率對于樣本空間?和概率P，用概率空間事件與概率(?,F,P)為概率空間probabilityeF稱作σ代數(shù)假設(shè)樣本空間?={1,2,3}，則F假設(shè)樣本空間?={1,2,3}，則F可表示為：F=J?,{},{},{},{,},{,3,2,3,?l舉例：σσ-代數(shù)概率空間事件與概率i對于σ-代數(shù)F，其中的元素滿足以下條件：若Ai∈F，則Ac∈F概率空間事件與概率i簡言之，對σ-代數(shù)F中的元素取并集、交集和補集，結(jié)果均在F（σ-）說明：AiAjF,?ijAiAjF；AiAjF,?ij簡言之，對σ-代數(shù)F中的元素取并集、交集和補集，結(jié)果均在F（σ-）說明：概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)事件與概率對于事件Ai,i=1,2概率的基本性質(zhì)事件與概率P(?)=0；當(dāng)且僅當(dāng)A1,A2,...,An互不相容時，下式的等號成立：//Pi=1

i\≤

i=1

P(Ai)n如果A2?A1，則P(A1)?P(A2)=P(A1?A2)≥0；nP(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)?P(A1A2)；條件概率公式：當(dāng)P(A1)>0時，P(A|A)=P(A1A2)2 1 P(A1)乘法公式乘法公式概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)事件與概率P(B1B2···Bn)=P(B1)P(B2|B1)···P(Bn|B1B2···Bn?1)當(dāng)P(A)>0時，P(B1B2···Bn|A)=P(B1|A)P(B2|B1A)···P(Bn|B1B2···Bn?1A)全概率公式全概率公式概率的基本性質(zhì)事件與概率概率的基本性質(zhì)事件與概率若事件A1,A2,...,An互不相容，則當(dāng) Ai=?時，有：i=1n nP(B)=、P(BAi)=、P(B|Ai)P(Ai)當(dāng)P(A)>0時，有：

i=1n

i=1i=1P(B|A)=、P(B|AiA)P(Ai|Ai=1全概率公式全概率公式(cont.)概率的基本性質(zhì)事件與概率全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計算P(B)較為困難時，可以通過求小事件的概率，然后相加，從而求得事件B的概率。而將事件B進行分割的時候，則是先找到樣本空間?的某個劃分（概率的基本性質(zhì)事件與概率{A1,A2,...,An}，進而得到相對應(yīng)的事件B的分解，即：B=BA1+BA2+···+BAn利用條件概率的計算公式，可得：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+···+P(BAn)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+···+P(B|An)P(An)、 |、 |= P(BAi)P(Ai)i=1貝葉斯公式貝葉斯公式概率的基本性質(zhì)事件與概率若A1,A2,...,An概率的基本性質(zhì)事件與概率 ?Ai=?, P(Ai)>0, ii=1則對任一事件B，有：n、P(Ai|B)=P(B|Ai)P(Ai) , i=1,2,...,nn、P(B|Ak)P(Ak)k=1貝葉斯公式貝葉斯公式(cont.)概率的基本性質(zhì)事件與概率與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯（Bayesian概率的基本性質(zhì)事件與概率P(Ai)(i=1,2,...,n)表示各種原因發(fā)生的可能性大小，故稱先驗概率（priorprobabilityP(i|)則反映當(dāng)結(jié)果B發(fā)生之后，再對產(chǎn)生這一結(jié)果的各種原因的可能概率進行推斷，故稱后驗概率（posteriorprobability。隨機變量隨機變量以金融市場為例隨機變量隨機變量和隨機向量X中的樣ωX(ω是離散型（discrete）隨機變量；若樣ωX(ω是連續(xù)型（以金融市場為例隨機變量隨機變量和隨機向量{0,1,2,}，不難看出取值是非負(fù)的整數(shù)，此時所得到的股價跳躍次數(shù)的隨機變量就是離散型隨機變量；若考慮股票在某時刻的可能價格的樣本空間，則其R取值為非負(fù)實數(shù)。隨機變量隨機變量(cont.)隨機變量隨機變量和隨機向量、ω1（滿足概率的完備性隨機變量隨機變量和隨機向量、P(X=ω)≥0, P(X=ω)≡1ω∈?連續(xù)型隨機變量無法得到類似的性質(zhì)，由于樣本點是連續(xù)的，對應(yīng)ω分布函數(shù)分布函數(shù)分布函數(shù)隨機變量和隨機向量對于連續(xù)型隨機變量X而言，其分布函數(shù)FX(t)（分布函數(shù)隨機變量和隨機向量FX(t)=P(X≤t)=

trfX(s)dsr?∞FX(t[01]。概率密度函數(shù)可以定義在任何連續(xù)隨機變量上，比如正態(tài)分布、F分布、t分布、χ2分布等。說明：其中，fXFX(t[01]。概率密度函數(shù)可以定義在任何連續(xù)隨機變量上，比如正態(tài)分布、F分布、t分布、χ2分布等。說明：分布函數(shù)分布函數(shù)(cont.)分布函數(shù)隨機變量和隨機向量、對于離散型隨機變量Y而言，其分布函數(shù)GY(t分布函數(shù)隨機變量和隨機向量、GY(t)=P(Y≤t)= P(Y=ω)ω≤tω∈?此處的P(Y=ω)稱作概率質(zhì)量函數(shù)probabilitymassfunction,pm。概率質(zhì)量函數(shù)可以定義在任何離散型隨機變量上，比如二項分布、負(fù)二項分布、泊松分布、幾何分布等等。概率質(zhì)量函數(shù)和概率密度函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)和概率密度函數(shù)分布函數(shù)隨機變量和隨機向量概率質(zhì)量函數(shù)是對離散型隨機變量定義的，本身代表該值的概率；概率密度函數(shù)是對連續(xù)型隨機變量定義的，本身不是概率，只有對連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)進行積分后才是概率。X[ab這一區(qū)間上的概率，則計算公分布函數(shù)隨機變量和隨機向量r式如下：rP(a≤X≤b)=

bfX(s)dsa隨機向量隨機向量隨機向量隨機變量和隨機向量X1X2XnXX1X2Xn稱作隨nRn隨機向量隨機變量和隨機向量FX(x1,x2,...,xn)=P(X1≤x1,X2≤x2,...,Xn≤xn)稱作X=(X1,X2,...,Xn)的分布函數(shù)。與前面類似，對于連續(xù)型隨機向量X，其在Rn上的區(qū)域（domain）D的概率為：P(X∈D)=

x1 x2rr?∞?∞r(nóng)r

···

xnrf(x)dx1dx2···dxn=r?∞

rf(x)dx1dx2···dxn、 ,, .,D其中，f(x)=f(x1,x2,...,xn)是X的聯(lián)合密度。D隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征對于隨機變量而言，我們通常關(guān)心它的重要數(shù)字特征，比如期望、方差、偏度、峰度等等。本節(jié)主要介紹期望和方差，以及更一般的矩母隨機變量的數(shù)字特征期望（expectation）用于反映隨機變量平均取值的大小。根據(jù)隨機變量的不同，可以得到離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的期望。離散型隨機變量的期望離散型隨機變量的期望期望隨機變量的數(shù)字特征設(shè)隨機變量期望隨機變量的數(shù)字特征pi=P(X=xi), i=1,...,n則：n ni=1i=1i=1i=1E(X)=、xiP(X=xi)=、i=1i=1i=1i=1舉例：泊松分布的期望舉例：泊松分布的期望期望隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為期望隨機變量的數(shù)字特征下：P λn?λ(X=n)=

n!e

, λ>0,n=0,1,2,...求泊松分布的期望E(X)。泊松分布的期望泊松分布的期望(cont.)期望期望隨機變量的數(shù)字特征E(XE(X、n·P(Xn、n·λe?λn=0∞∞

nλ n

n=0=λ

n!∞λn?1∞

e?λ=λn=0(n?1)! n=0(n?1)!注意，這里最后一步化簡用到了ex的泰勒展開式，即：2 3 ∞ n2!3!n=0n!ex=1+x+x+x+···=2!3!n=0n!定理定理期望隨機變量的數(shù)字特征設(shè)期望隨機變量的數(shù)字特征、∞、E(X)= P(X≥k)證明思路：k=1證明思路：、、∞P(X≥k)=、、∞∞P(X=i)=、、∞ iP(X=i)k=1k=1i=ki=1k=1= i·P(X=i、∞)=E(X)、i個.,i=1求和符號交換的圖示求和符號交換的圖示隨機變量的數(shù)字特征期望i (k,∞) 隨機變量的數(shù)字特征期望(k,k) ?

(1,i)

(i,i)(1,1)

k k(1,1)連續(xù)型隨機變量的期望連續(xù)型隨機變量的期望期望隨機變量的數(shù)字特征設(shè)X是有密度函數(shù)fX(x期望隨機變量的數(shù)字特征FX(a)=P(X≤a)=r則：r

fX(x)dxraraE(X)= ∞xfX(x)dx?∞舉例：指數(shù)分布的期望舉例：指數(shù)分布的期望期望隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為期望隨機變量的數(shù)字特征下：fX(x)=λe?λx, λ>0,x≥0求指數(shù)分布的期望E(X)。指數(shù)分布的期望指數(shù)分布的期望(cont.)期望隨機變量的數(shù)字特征期望隨機變量的數(shù)字特征r rE(X)= ∞xfX(x)dx= ∞λxe?λxdx0 0記u=?λx，則：λ0λ0λ上式=1r?∞eudu=1＿eu(u?1)l?∞=1λ0λ0λ定理定理期望隨機變量的數(shù)字特征設(shè)期望隨機變量的數(shù)字特征證明思路：E(X)=r0∞P(X>x)dx=r0∞＿1?X(x)lx證明思路：rr∞P(X>x)dx=r∞dx fX(y)dy=0r∞r(nóng)∞dy fX(y)dx0x0ry =rfX(y)可從積分中提出∞yfX(y)dy=E(X)、 、.,00積分符號交換的圖示積分符號交換的圖示隨機變量的數(shù)字特征期望(x,x)(y,y)隨機變量的數(shù)字特征期望(x,x)(y,y)x?(0,y)(0,0)

x(0,0)方差方差方差隨機變量的數(shù)字特征方差隨機變量的數(shù)字特征Var(X)=E(X2)?[E(X)]2接下來分別利用這個恒等式來計算離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的方差。舉例：泊松分布的方差舉例：泊松分布的方差方差隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為方差隨機變量的數(shù)字特征下：P λn?λ(X=n)=

n!e

, λ>0,n=0,1,2,...前面已經(jīng)計算出泊松分布的期望E(X)=λ，要求出方差，還需要計算E前面已經(jīng)計算出泊松分布的期望E(X)=λ，要求出方差，還需要計算E(X2)。思路：泊松分布的方差泊松分布的方差(cont.)方差隨機變量的數(shù)字特征方差隨機變量的數(shù)字特征n=0n=0n!E(X2)=、n2P(X=n)=、n2·λn=0n=0n!∞∞nλn∞∞=

=λe?λ

nλn?1因此：

n=0(n?1)!=λe?λ·(λ+1)eλ=λ(λ+1)

n=0(n?1)!Var(X)=E(X2)?[E(X)]2=λ(λ+1)?λ2=λ舉例：指數(shù)分布的方差舉例：指數(shù)分布的方差方差隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為方差隨機變量的數(shù)字特征下：fX(x)=λe?λx, λ>0,x≥0E(X)=1，要求出方差，還需要計算E(X)=1，要求出方差，還需要計算E(X2)。λ思路：指數(shù)分布的方差指數(shù)分布的方差(cont.)方差隨機變量的數(shù)字特征00E(X2)=r∞x2fX(x)dx=r∞x2λe?λx方差隨機變量的數(shù)字特征00=1r∞(λx)2e?λxdxλ0記u=?λx，則：λ20=?1＿eu(2λ20=?1＿eu(2?u+2)l?∞=2因此：

λ2 0 λ2λ2λ2λ2Var(X)=E(X2)?[E(X)]2=2?1λ2λ2λ2矩母函數(shù)矩母函數(shù)矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征r矩母函數(shù)（momentgeneratingfunction,mgf）是一種構(gòu)造函數(shù)。對于任何滿足概率密度函數(shù)為fX(x)的隨機變量矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征rMX(t)=E(etX)= ∞etxfX(x)dx?∞根據(jù)泰勒展開式：···2 3 ∞ ···ex=1+x++2!

+ = xk!k=0、∞ k、由此可得：etx= (tx)k!k=0矩母函數(shù)矩母函數(shù)(cont.)矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征∞MX(t)=

∞etxfr?∞r(nóng)

X(x)

dx=

∞fX(x)r∞?∞r(nóng)∞

k=0

(tx)kdxk!k=0?∞∞=k!xfX(x)dk=0?∞∞=k!xfX(x)dx=

、tk kkk=0k=0 ?∞ k=0?∞k=0k!·E(Xk!·E(X)=1+t·E(X)+2!·E(X)+···+n!·E(X)+···由此可見，矩母函數(shù)包含了隨機變量X的各階矩E(Xn),n=1,2,3,...矩母函數(shù)矩母函數(shù)(cont.)矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征若對MX(t)關(guān)于矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征類似地：當(dāng)t=0時：

dt ?∞r(nóng)dMX(t)=rdMX(t)=r∞etx·xfX(x)dxdtn =?∞r(nóng)∞dnMX(tr∞1==

etxn

xfX(x)dxnnndtn

1t=0

xfX(x)dx=E(X)?∞因此，可以通過對矩母函數(shù)關(guān)于t求n階導(dǎo)的方式，并令t=0，進而求出隨機變量的n階矩。舉例：指數(shù)分布的各階矩舉例：指數(shù)分布的各階矩矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征假設(shè)隨機變量X服從速率為矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征fX(x)=λe?λx, λ>0,x≥0通過矩母函數(shù)加以求解。思路：求其各階矩。通過矩母函數(shù)加以求解。思路：指數(shù)分布的各階矩指數(shù)分布的各階矩(cont.)矩母函數(shù)矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征0r（ ）MX(t)=Eetx=r∞etxλe?λxd0r（ ）=λ ∞e?(λ?t)xdx0λ=t?λ

x=∞(λ)(λ)x1x=0

λλ?t

, λ>t指數(shù)分布的各階矩指數(shù)分布的各階矩(cont.)矩母函數(shù)矩母函數(shù)隨機變量的數(shù)字特征dMX(t) λ =

dMX(t) 11? E(X)= =1dt (λ?t)2

dt 1t=0 λ222 2d2MX(t) 2λ

dMX(t)1 222 =

? E(X)= 1 = 33因此：

dt2d3MX(t)dt3

(λ?t)3=2·3λ(λ?t)4

? E(X)=E(Xn)=n!Eλn

dt21d1dM(t