《數(shù)學(xué)（下冊）（第二版）》 課件全套 第１-6章　函數(shù)與極限-多元函數(shù)微積分基礎(chǔ)

函數(shù)與極限第1章1目錄１.１函數(shù)的概念１.２初等函數(shù)１.３函數(shù)的極限１.４函數(shù)極限的運算法則１.５函數(shù)的連續(xù)性2教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念和性質(zhì)；了解反函數(shù)的概念，并認識反三角函數(shù)．2.掌握基本初等函數(shù)的定義，熟悉它們的圖像和性質(zhì)．3.理解復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的定義，會進行復(fù)合函數(shù)的分解．4.了解數(shù)列極限的含義；理解函數(shù)極限的概念，了解函數(shù)左、右極限的概念及其簡單的計算．35.了解無窮小與無窮大的概念，會用無窮小的性質(zhì)求極限，知道一些等價無窮小，會用等價無窮小代換求極限．6.掌握極限的四則運算法則；掌握用兩個重要極限求函數(shù)極限的方法．7.理解函數(shù)連續(xù)的定義和初等函數(shù)連續(xù)性的概念，會求一些簡單的函數(shù)的間斷點；熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．41.1函數(shù)的概念5集合集合一般地，某些指定的對象組成的全體就是一個集合（簡稱集）．集合中的每個對象都稱為這個集合的元素，集合可以用列舉法或描述法來表示．通常用大寫英文字母A，B，C等表示集合，用小寫英文字母a，b，c等表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．6實例考察中自變量的取值范圍是在實數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)的集合，簡稱數(shù)集，一些常用的數(shù)集及其記法如下表：7區(qū)間對于數(shù)集，還有一種更為簡單的表示方法———區(qū)間．設(shè)a，b都是實數(shù)，且a＜b．89上表中，“－∞”和“＋∞”分別讀作“負無窮大”和“正無窮大”．“－∞”和“＋∞”不是數(shù)，僅僅是記號，“－∞”表示區(qū)間的左端點可以無限地減小，“＋∞”表示區(qū)間的右端點可以無限地增大．鄰域鄰域也是常用到的一個集合概念．設(shè)a與δ是兩個實數(shù)，且δ＞０，開區(qū)間（a－δ，a＋δ）稱為a的δ鄰域，記作U（a，δ），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）稱為a的去心δ鄰域，記作

（a，δ）．10函數(shù)的概念函數(shù)的定義在某一個變化過程中，有兩個變量x與y，如果對于x在某個非空的實數(shù)集D中的每一個值，按照某個對應(yīng)關(guān)系（或稱對應(yīng)法則）f，y都有唯一確定的值與x對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，記作y＝f（x），x∈D．其中，x稱為自變量，y稱為因變量，x的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值．當x取遍D中所有值時，所得到的函數(shù)值y的集合{f（x）丨x∈D}稱為函數(shù)的值域．11由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等．函數(shù)的定義域的確定通常有以下兩種情形：對有實際背景的函數(shù)，根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定定義域；對抽象的算式表達的函數(shù)，約定定義域是使得函數(shù)表達式有意義的一切實數(shù)組成的集合，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域．12函數(shù)的表示法解析法（公式法）用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．列表法用表格來表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．圖像法在平面內(nèi)用圖像來表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法．反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中，自變量與因變量是相對的．例如，對于函數(shù)y＝2x，若把x解出，得x＝log2y，則x就成為y的函數(shù)．13設(shè)函數(shù)y＝f（x），定義域為D，值域為M，如果對于M中的每一個y值（y∈M），都可以從關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）確定唯一的x值（x∈D）與之對應(yīng)，那么所確定的以y為自變量的函數(shù)x＝f－1（y）就稱為函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)，它的定義域為M，值域為D．由此定義可知，函數(shù)y＝f（x）也是函數(shù)x＝f－1（y）的反函數(shù)，即它們互為反函數(shù)．習(xí)慣上，函數(shù)的自變量用x表示，因變量用y表示，所以把函數(shù)y＝f（x），x∈D的反函數(shù)記為y＝f－1（x），x∈M．函數(shù)y＝f（x）的圖像與其反函數(shù)y＝f－1（x）的圖像關(guān)于直線y＝x對稱．14反三角函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R是沒有反函數(shù)的，但是在正弦函數(shù)y＝sinx的一個單調(diào)區(qū)間

上，對于y在[－1，1]上每一個值，x在

上都有唯一的值和它對應(yīng)，因此，函數(shù)y＝sinx，

x∈有反函數(shù)．函數(shù)y＝sinx，x∈的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記作y＝arcsinx，它的定義域為[－1，1]，值域為．類似地，函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域為[－1，1]，值域為[0，π]．函數(shù)y＝tanx，x∈的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記作y＝arctanx，它的定義域為R，值域為．函數(shù)y＝cotx，x∈（0，π）的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y＝arccotx，它的定義域為R，值域為（0，π）．反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)統(tǒng)稱為反三角函數(shù)．15函數(shù)的基本性質(zhì)奇偶性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），則稱y＝f（x）為偶函數(shù)；如果對于任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），則稱y＝f（x）為奇函數(shù)．不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)．幾何特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱．1617周期性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于任意x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），則稱y＝f（x）為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期．對于每個周期函數(shù)來說，周期有無窮多個．如果其中存在一個最小正數(shù)，則規(guī)定這個最小正數(shù)為該周期函數(shù)的最小正周期，簡稱周期．我們常說的某個函數(shù)的周期通常指的就是它的最小正周期．幾何特征：以T為周期的周期函數(shù)的圖像在定義域內(nèi)每隔長度為T的區(qū)間上形狀相同．18單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而增大，即對于I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增；如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上隨著x的增大而減小，即對于I上任意兩點x1，x2，當x1＜x2時，有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減．區(qū)間I稱為y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．幾何特征：單調(diào)遞增區(qū)間上的圖像沿橫軸正向上升，單調(diào)遞減區(qū)間上的圖像沿橫軸正向下降．特別地，當函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）時，就稱f（x）是增函數(shù)（或減函數(shù)）．1920有界性設(shè)函數(shù)y＝f（x），x∈D，區(qū)間I?D．若存在一個正數(shù)M，對于任意x∈I，都有│f（x）│≤M，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有界，否則，稱f（x）在區(qū)間I上無界．幾何特征：有界函數(shù)的圖像全部夾在直線y＝M與y＝－M之間．211.2初等函數(shù)22基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．為了便于同學(xué)們復(fù)習(xí)，現(xiàn)將常見基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像和性質(zhì)列表如下：2324252627282930復(fù)合函數(shù)我們先來看一個例子．設(shè)y＝u5，u＝3－2x．把u＝3－2x代入y＝u5可以得到函數(shù)y＝（3－2x）5．這個函數(shù)就是由y＝u5與u＝3－2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)．31復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個中間變量，還可以有多個中間變量，即可以由兩個以上的函數(shù)進行復(fù)合，只要它們依次滿足能夠復(fù)合的條件．另外，對于復(fù)合函數(shù)，我們要弄清兩個問題，那就是“復(fù)合”和“分解”．所謂“復(fù)合”，就是把幾個作為中間變量的函數(shù)復(fù)合成一個函數(shù)，該過程就是把中間變量依次代入的過程；所謂“分解”，就是把一個復(fù)合函數(shù)分解為幾個簡單的函數(shù)，而這些簡單的函數(shù)往往都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算得到的函數(shù)．32初等函數(shù)例如，y＝x2－2x＋1，y＝，y＝2x＋xlnx，y＝（1＋cosx）tanx等都是初等函數(shù)．而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號函數(shù)就不是初等函數(shù)．絕對值函數(shù)y＝丨x

丨雖然是分段函數(shù)，但由于

，所以它仍是初等函數(shù)．本教材所討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù)．331.3函數(shù)的極限34數(shù)列的極限根據(jù)定義，“割圓術(shù)”中圓面積A＝35有些數(shù)列的極限是不存在的，例如：（1）數(shù)列{n2}，當n→∞時，n2也無限增大，不能無限接近于一個確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個數(shù)列的極限不存在，為方便起見，這時可以記作（2）數(shù)列{（－1）n}，當n→∞時，（－1）n在兩個數(shù)1與－1上來回跳動，也不能無限接近于一個確定的常數(shù)，根據(jù)數(shù)列極限的定義，這個數(shù)列的極限也是不存在的．36函數(shù)的極限當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限前面我們討論了數(shù)列的極限．數(shù)列{an}可看作自變量為n的函數(shù)an＝f（n），n∈N?．因此，數(shù)列的極限

＝a，又可以寫成也就是說，當自變量n取正整數(shù)且無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值f（n）無限接近于一個確定的常數(shù)a．對于一般的函數(shù)f（x），當它的自變量x的絕對值無限增大時，我們可以類似地定義．37值得注意的是，上述定義中“x→∞”表示x既可取正值而趨于無窮（記作x→＋∞），也可取負值而趨于無窮（記作x→－∞）．但有時所討論的x值，只能或只需取正值（或負值）趨于無窮，此時我們可以類似地給出如下定義．38由上述極限的定義，可得結(jié)論：

＝A的充分必要條件是39當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限40值得注意的是，上述定義中“x→x0”表示x可以以任意方式趨近于x0，但有時所討論的x值，只能或只需從x0的左側(cè)趨近于x0（記作x→x0－）或從x0的右側(cè)趨近于x0（記作x→x0＋），此時我們可以類似地給出如下定義．41由上述極限的定義，可得結(jié)論：

的充分必要條件是無窮小與無窮大無窮小注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，任何一個很小常數(shù)都不是無窮?。?）常數(shù)中只有零可以看作無窮小．（3）不能籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是無窮小，必須指出自變量的變化過程．因為無窮小是用極限來定義的，在自變量的某個變化過程中的無窮小，在另一個變化過程中則不一定是無窮小．42函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系一般地，函數(shù)、函數(shù)極限與無窮小三者之間具有如下的關(guān)系．43無窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小具有以下性質(zhì)．性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小．性質(zhì)2有限個無窮小的乘積仍為無窮?。再|(zhì)3無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮?。普摮?shù)與無窮小的乘積為無窮小．44無窮大當x→x0（或x→∞）時的無窮大的函數(shù)f（x），按函數(shù)極限的定義來說，極限是不存在的．但為了便于敘述函數(shù)的這一特征，我們也稱“函數(shù)的極限是無窮大”，并記作45如果當x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）大于零且無限增大，這時可記作如果當x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）小于零但絕對值無限增大，這時可記作注意：（1）無窮大是變量，任何一個絕對值很大的常數(shù)都不是無窮大．（2）說一個函數(shù)是無窮大，必須同時指出自變量的變化過程．46無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中，如果函數(shù)f（x）為無窮大，則函數(shù)

為無窮小；反之，如果函數(shù)f（x）為無窮小，且f（x）≠0，則函數(shù)

為無窮大．471.4函數(shù)極限的運算法則48函數(shù)極限的四則運算法則在下面的討論中，求極限的過程中自變量的趨向沒有標出，表示對任何一個自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中的自變量的趨向相同即可．以上法則都可以利用函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系來證明．49證明由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，得f（x）＝A＋α，g（x）＝B＋β，其中α，β都是自變量在同一變化過程中的無窮小，于是f（x）·g（x）＝（A＋α）（B＋β）＝AB＋（Aβ＋Bα＋αβ）．由無窮小的性質(zhì)可知，Aβ＋Bα＋αβ也是無窮小．再根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系知道lim[f（x）·g（x）]＝AB．50推論若limf（x）＝A，C為常數(shù)，n為正整數(shù)，則（1）limCf（x）＝Climf（x）＝CA；（2）lim[f（x）]n＝[limf（x）]n＝An．注意：只有當運算中所涉及的函數(shù)極限都存在，且分母的極限不為零時，才能用極限的四則運算法則求極限，否則法則不能使用．51復(fù)合函數(shù)的極限運算法則前面已經(jīng)得到，對于多項式函數(shù)和有理分式函數(shù)f（x），只要f（x0）存在，函數(shù)f（x）當x→x0時的極限，等于該函數(shù)在x0處的函數(shù)值f（x0）．事實上，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點處同樣具有這樣的性質(zhì)，即如果f（x）是基本初等函數(shù)，定義域為D，x0∈D，則52類下面給出一個復(fù)合函數(shù)的極限運算法則．53兩個重要極限第一個重要極限

考察當x→0時，函數(shù)

的變化趨勢如下表．由表我們可以看出，當x→0時，

無限接近于常數(shù)1，即54注意：（1）第一個重要極限是

型．（2）形式必須一致，在x的同一個變化過程中，

中的兩個φ（x）是同一個無窮小．（3）第一個重要極限也可以寫成55第二個重要極限考察當x→∞時，函數(shù)

的變化趨勢如下表．56由表可以看出，當x→－∞或x→＋∞時，函數(shù)的值越來越接近一個確定的常數(shù)2.71828···．這個確定的常數(shù)用e來表示，即在上式中令t＝，則x→∞時，t→0，于是上式可變成

＝e，即注意：（1）第二個重要極限是1∞型．（2）形式必須一致，在x的同一個變化過程中，中的兩個φ（x）是同一個無窮小．57無窮小的比較在無窮小的性質(zhì)中，我們已經(jīng)知道兩個無窮小的和、差、積仍然為無窮小，那么兩個無窮小的商是否為無窮小呢?答案是不定．例如，當x→0時，x2，2x，3x，sinx都是無窮小，而兩個無窮小的商的各種極限情況，反映了分子、分母的無窮小趨于零的“快慢”程度的不同．就上面的例子來說，在x→0的過程中，x2→0比2x→0“快得多”，3x→0比x2→0“慢得多”，3x→0與2x→0“快慢相仿”，而sinx→0與x→0“快慢一致”．58為了對無窮小趨于零的快慢有一個定性的描述，我們給出“無窮小的階”的概念．59由定義可知，當x→0時，x2是比2x高階的無窮小；3x是比x2低階的無窮小，3x與2x是同階無窮小，而sinx與x是等價無窮小．前面我們已經(jīng)求出，當x→0時，60所以，當x→0時，有下列常用的等價無窮?。畇inx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，對于等價無窮小，有下列性質(zhì)．定理當x→x0時，α~α′，β~β′，且存在，則這個定理表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子、分母都可以用等價無窮小來代替，這樣可以使計算簡化，但當分子或分母是若干項無窮小的和或差時，則一般不能對其中某一項無窮小作等價代換．611.5函數(shù)的連續(xù)性62函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的增量設(shè)x0是一個定點，當自變量從初值x0變化到終值x時，我們稱自變量終值與初值的差x－x0為自變量的增量（或自變量的改變量），記作Δx，即Δx＝x－x0，從而有x＝x0＋Δx，即x0＋Δx也表示自變量的終值．63設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點x0

的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量從x0

變化到x0

＋Δx時，即自變量x在x0

處有增量Δx時，函數(shù)y＝f（x）的值相應(yīng)地從f（x0

）變到f（x0

＋Δx）也產(chǎn)生了一個改變量，我們把Δy＝f（x0

＋Δx）－f（x0

）稱為函數(shù)y＝f（x）在點x0

處的增量．64函數(shù)在一點處的連續(xù)性在幾何上，函數(shù)的增量表示當自變量從x0變化到x0＋Δx時，曲線上對應(yīng)點的縱坐標的增量．65函數(shù)在點x0

處連續(xù)，在幾何上表示為函數(shù)圖像在x0

附近為一條連續(xù)不斷的曲線．從上圖可以看出，當自變量的增量Δx趨近于0時，函數(shù)的增量Δy也趨近于0．66由于x＝x0

＋Δx，因此Δx→0就是x→x0

；Δy→0就是f（x）→f（x0

）．由此，函數(shù)y＝f（x）在點x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下．67函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性如果函數(shù)f（x）在點x0

處有則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0

左連續(xù)（或右連續(xù)）．如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點處均連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，區(qū)間（a，b）稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間．如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在左端點a處右連續(xù)，在右端點b處左連續(xù)，即則稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)．在幾何上，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線．基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．68函數(shù)的間斷點由函數(shù)f（x）在點x0處連續(xù)必須滿足的三個條件可知，當函數(shù)f（x）出現(xiàn)下列三種情形之一時，x0就為函數(shù)y＝f（x）的間斷點．（1）f（x0）不存在，即函數(shù)f（x）在點x0處無定義；（2）f（x0）存在，但

不存在；（3）f（x0）存在，且

也存在，但

6970初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)函數(shù)在一點的連續(xù)的定義和函數(shù)極限的四則運算法則，我們可以得到以下結(jié)論．定理1（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）如果函數(shù)f（x）和g（x）在點x0處連續(xù)，則它們的和、差、積、商（分母在x0處不等于零）也都在x0處連續(xù)，即71定理2（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）如果函數(shù)u＝φ（x）在點x0連續(xù)，且φ（x0）＝u0，而函數(shù)y＝f（u）在點x0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））在點x0也連續(xù)．由基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可得到以下結(jié)論．定理3一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．72閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一些重要的特性，下面將不加證明直接予以介紹．定理4（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上必有最大值和最小值．73定理5（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上能取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)．推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f（ξ）＝0．推論的幾何意義是：如果閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）在端點處的函數(shù)值異號，則函數(shù)f（x）的圖像與x軸至少有一個交點．74導(dǎo)數(shù)與微分第2章75目錄2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運算法則2.3微分及應(yīng)用76教學(xué)要求：1.通過對實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2.通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；知道函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.3.會利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，了解參數(shù)方程的求導(dǎo)法.6.了解高階導(dǎo)數(shù)的定義和二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).7.了解微分的定義及幾何意義，會求函數(shù)的微分，能利用微分解決一些簡單的近似計算問題.771.1導(dǎo)數(shù)的概念78導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在點x0處有增量Δx時，函數(shù)y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果極限存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y＝f（x）在點x0

處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0）或

或

，即79如果上述極限不存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點x0

處不可導(dǎo)．函數(shù)增量與自變量增量之比

是函數(shù)在Δx區(qū)間上的平均變化率，而導(dǎo)數(shù)f′（x0）則是函數(shù)y＝f（x）在點x0處的瞬時變化率，它反映了函數(shù)y＝f（x）在點x0處變化的快慢程度．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，實例考察中的兩個實例用導(dǎo)數(shù)的概念可表述如下：（1）變速直線運動的物體在時刻t0的瞬時速度，就是位移s＝s（t）在t0

處對時間t的導(dǎo)數(shù)，即80（2）在直角坐標系中，曲線y＝f（x）在點A（x0，y0）處的切線斜率，就是縱坐標y＝f（x）在點x0處對橫坐標x的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）也可表示為81函數(shù)在某一點處的左、右導(dǎo)數(shù)若比值

在點x0處的左極限存在，則稱此極限值為f（x）在點x0處左導(dǎo)數(shù)，記為f′－（x0）．若比值在點x0處的右極限存在，則稱此極限值為f（x）在點x0處右導(dǎo)數(shù)，記為f′＋（x0

）．函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件是f（x）在該點的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．82函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y＝f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．這時，對于（a，b）內(nèi)的每一個確定的x，都對應(yīng)著唯一確定的函數(shù)值f′（x），于是就確定了一個新的函數(shù)，這個新的函數(shù)稱為函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作f′（x）或y′或

，且顯然，函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是導(dǎo)數(shù)f′（x）在點x＝x0處的函數(shù)值，即83導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，函數(shù)y＝f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）在幾何上表示曲線y＝f（x）在點A（x0，f（x0））處的切線的斜率，即k＝tanα＝f′（x0）．84過切點A（x0，f（x0））且垂直于切線的直線稱為曲線y＝f（x）在點A（x0，f（x0））處的法線．如果f′（x0）存在，則曲線y＝f（x）在點A處的切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），法線方程為85可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理如果函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導(dǎo)，則函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)．證明函數(shù)y＝f（x）在點x0處可導(dǎo)，即存在，其中Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），得到所以，函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)．值得注意的是，即使函數(shù)y＝f（x）在點x0處連續(xù)，函數(shù)y＝f（x）在點x0處也不一定可導(dǎo)．862.2導(dǎo)數(shù)的運算法則87函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可導(dǎo)．下面我們來考察它們的和y＝u（x）＋v（x）在點x處的導(dǎo)數(shù)．當自變量在x處有增量Δx時，函數(shù)u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相應(yīng)地分別有增量Δu，Δv，Δy．因為Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，88所以由于函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可導(dǎo)，即因此，有y′＝u′＋v′，這表明函數(shù)y＝u（x）＋v（x）在點x處也可導(dǎo)，即（u＋v）′＝u′＋v′．實際上，我們也可推出它們的差、積、商（當分母不等于0時）在點x處可導(dǎo)．8990復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用函數(shù)的四則運算的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以來求一些簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，我們有如下重要的求導(dǎo)法則．91復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于首先把復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù)，然后運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和適當?shù)膶?dǎo)數(shù)公式進行計算．注意求導(dǎo)之后應(yīng)該把引入的中間變量代換成原來的自變量．對復(fù)合函數(shù)分解比較熟練后，就不必再寫出中間變量，只要明確中間變量所對應(yīng)的函數(shù)表達式，運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，逐層求導(dǎo)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可推廣到兩個以上中間變量的情形．92三個求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)法我們此前遇到的函數(shù)都是用y＝f（x）這樣的形式來表示，例如，y＝x3－cosx，y＝ln3x等，這種方式表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)．但有些函數(shù)不是以顯函數(shù)的形式出現(xiàn)的，例如，ex－ey＝xy，x－y＝siny等，這些二元方程也可以表示一個函數(shù)，這樣的函數(shù)叫作隱函數(shù)．求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并不需要先把隱函數(shù)化為顯函數(shù)（事實上，有些隱函數(shù)是不能顯函數(shù)化的），而是可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將二元方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，就可直接求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′．93至此，我們已經(jīng)把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式全部推導(dǎo)出，為了方便查閱，匯總?cè)缦拢?4對數(shù)求導(dǎo)法在求導(dǎo)運算中，常會遇到這樣兩類函數(shù)的求導(dǎo)問題，一是冪指函數(shù)y＝[f（x）]g（x），二是由一系列函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)．對這樣的函數(shù)，可先對等式兩邊取自然對數(shù)，把函數(shù)變成隱函數(shù)的形式，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出結(jié)果．95參數(shù)方程求導(dǎo)法在平面解析幾何中，我們學(xué)過參數(shù)方程，它的一般形式為一般地，上述方程組確定的y與x之間的函數(shù)關(guān)系稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)y＝f（x）．例如，已經(jīng)學(xué)過的一種橢圓的參數(shù)方程就確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)通過參數(shù)t聯(lián)系起來．96現(xiàn)在來求由參數(shù)方程（t為參數(shù)，t∈I）所確定的函數(shù)y對x的導(dǎo)數(shù)，直接消去t有時會很難，事實上，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知97高階導(dǎo)數(shù)設(shè)物體做變速直線運動，它的位移函數(shù)為s＝s（t），則它的瞬時速度為v＝s′（t）．此時，若速度v仍是時間的函數(shù)，我們可以求速度v＝v（t）對時間t的導(dǎo)數(shù)（即速度對時間的變化率），得到物體的瞬時加速度a＝v′（t）＝[s′（t）]′，它是位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)．這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為s＝s（t）對時間t的二階導(dǎo)數(shù)．98類似地，如果函數(shù)y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)存在，這個導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，記作y

?或f

?（x）或一般地，如果函數(shù)y＝f（x）的n－1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，這個導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)y＝f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作y（n）或f（n）（x）或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，稱y′＝f′（x）為一階導(dǎo)數(shù)．992.３微分及應(yīng)用100微分的概念函數(shù)的微分的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點x處可導(dǎo)，則f′（x）＝，由無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系可知，于是Δy＝f′（x）Δx＋αΔx．上式表明，當f′（x）≠0時，函數(shù)的增量可以分成兩部分：一部分是f′（x）Δx，它是Δy的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，我們把它稱為Δy的線性主部；另一部分是αΔx，當Δx→0時，它是比Δx高階的無窮?。援敠很小時，可以忽略不計，即Δy≈f′（x）Δx．101一般地，我們給出下面的定義．通常把自變量的增量Δx稱為自變量的微分，記作dx，因此，函數(shù)y＝f（x）的微分又可記為dy＝f

′（x）dx．102從而有上式表明，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此導(dǎo)數(shù)又叫作微商．在前面我們把

當作一個整體的記號，現(xiàn)在有了微分的概念，

就可以看作是一個分式．從微分的定義可以看出可導(dǎo)與微分之間存在聯(lián)系，一元函數(shù)在某點處可導(dǎo)等價于在某點處可微，把可導(dǎo)函數(shù)也稱為可微函數(shù)．103微分的幾何意義設(shè)函數(shù)y＝f（x）的圖像如圖所示，過曲線y＝f（x）上一點M（x，y）作切線MT，設(shè)MT的傾斜角為α，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義tanα＝f′（x）．當自變量x有增量Δx時，切線MT的縱坐標相應(yīng)也有增量QP＝tanαΔx＝f′（x）Δx＝dy．104因此，微分dy＝f′（x）Δx圖形上表示當x有增量時，曲線y＝f（x）在對應(yīng)點M（x，y）處的切線的縱坐標的增量．用dy近似代替Δy，就是用點M處的切線縱坐標的增量QP近似代替曲線y＝f（x）的縱坐標的增量QN，且丨Δy－dy丨＝PN，當Δx→０時，丨Δy－dy丨是比Δx高階的無窮小．105微分公式與微分的運算法則由函數(shù)微分的定義dy＝f′（x）dx可知，要計算函數(shù)的微分，只需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分就可以了．因此，由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則可以直接推出微分的基本公式和運算法則．微分的基本公式106函數(shù)的和、差、積、商的微分法則設(shè)函數(shù)u＝u（x）與v＝v（x）在點x處均可微，則有（1）d（u±v）＝du±dv；（2）d（uv）＝vdu＋udv，特別地，d（Cu）＝Cdu（C為常數(shù)）；（3）

（v≠0），特別地，107復(fù)合函數(shù)的微分由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以得到復(fù)合函數(shù)的微分法則．設(shè)y＝f（u），u＝φ（x）均可微，則復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））也可微（u為中間變量），且復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分為dy＝f′（u）φ′（x）dx＝f′（φ（x））φ′（x）dx．由于φ′（x）dx＝d（φ（x））＝du，所以，復(fù)合函數(shù)y＝f（φ（x））的微分也可以寫成dy＝f′（u）du．從上式的形式來看，它與y＝f（u）（u為自變量）的微分dy＝f′（u）du形式一樣．這個性質(zhì)稱為微分形式的不變性．也就是說，不管u是自變量還是中間變量，函數(shù)y＝f（u）的微分形式總可以用dy＝f′（u）du來統(tǒng)一表示．利用這一性質(zhì)可直接求一些復(fù)合函數(shù)的微分與隱函數(shù)的微分．108幾個工程上常用的近似計算公式我們知道，當丨Δx丨很小時，函數(shù)y＝f（x）在點x＝x0處的增量Δy可用微分dy來代替，即Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）≈dy＝f′（x0）Δx．變形得f（x0＋Δx）≈f（x0）＋f′（x0）Δx，這就是函數(shù)值的近似計算公式．在公式中，令x0＝0，Δx＝x，得f（x）≈f（0）＋f′（0）x．109應(yīng)用函數(shù)的近似計算公式可以推出幾個工程上常用的近似計算公式（其中x是很小的數(shù)值）：（1）sinx≈x；

（2）tanx≈x；（3）arcsinx≈x；

（4）arctanx≈x；（5）ex≈1＋x；

（6）ln（1＋x）≈x；（7）110這里我們來證明公式（7）．證明設(shè)函數(shù)f（x）＝

則f′（x）＝

，因而有代入函數(shù)的近似計算公式，得f（x）≈類似地，可證明其他幾個近似計算公式．111導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3章112目錄3.1拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定3.2

函數(shù)的極值與最值3.3

函數(shù)圖像的凹凸和拐點3.4

曲率3.5

洛必達法則113教學(xué)要求：1.了解拉格朗日中值定理及其幾何解釋.2.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.3.理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法.4.掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用.5.會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點.6.會求曲線的水平、垂直漸近線，會比較準確地描繪函數(shù)的圖像.*7.理解曲率、曲率半徑的定義，掌握曲率的計算方法．8.會用洛必達法則求

型與

型未定式的極限.1143.１拉格朗日中值定理及函數(shù)單調(diào)性的判定115拉格朗日中值定理定理（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)y＝f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間

[a，b]上連續(xù)，（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得或f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．拉格朗日中值定理準確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量和函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．116利用拉格朗日中值定理，還可以得到下面的兩個推論．推論1如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)恒為常數(shù)．推論1是“常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零”的逆定理．推論2如果函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)均可導(dǎo)，且恒有f′（x）＝g′（x），則函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)滿足f（x）＝g（x）＋C（C為任意常數(shù)）．117函數(shù)單調(diào)性的判定由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，這時曲線上各點處的切線的傾斜角都是銳角，因此，切線的斜率都是正的，即f′（x）＞0；同樣地，由下圖可以看出，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，這時曲線上各點處的切線的傾斜角都是鈍角，因此切線的斜率都是負的，即f′（x）＜0．118119120由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有關(guān)．定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)．（1）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＞0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)f′（x）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)減少．如果將定理中的閉區(qū)間[a，b]改為開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間（在其任一有限子區(qū)間上滿足定理的條件），結(jié)論同樣成立．如果將定理中的條件“f′（x）＞0（＜0）”改為“f′（x）≥0（≤0），且只在有限個點處的導(dǎo)數(shù)值等于零”，結(jié)論同樣也成立．我們注意到x1＝－1，x2＝1是函數(shù)f（x）＝3x－x3單調(diào)區(qū)間的分界點，此時f′（x）＝0．習(xí)慣上，我們把f′（x）＝0的點稱為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點）．由此可見，駐點可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．特別地，導(dǎo)數(shù)不存在的點也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．因此，確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點及f′（x）不存在的點，并以這些點為分界點把定義域分成若干個子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間．1213.２函數(shù)的極值與最值122函數(shù)的極值函數(shù)極值的定義由下圖可以看出，函數(shù)y＝f（x）在點c1，c4處的函數(shù)值f（c1），f（c4）比它們附近各點的函數(shù)值都大，而在點c2，c5處的函數(shù)值f（c2），f（c5）比它們附近各點的函數(shù)值都?。?23對于具有上述這種性質(zhì)的點和對應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義．124關(guān)于函數(shù)的極值作以下幾點說明：（1）函數(shù)的極值是指函數(shù)值，而極值點是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆．（2）函數(shù)的極值概念是函數(shù)的局部性質(zhì)，它只是在與極值點附近的所有點的函數(shù)值相比較為最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)為最大或最?。虼耍瘮?shù)的極大值不一定比極小值大．（3）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而函數(shù)的最大值或最小值點可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點．125函數(shù)極值的判定和求法由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值點處，曲線的切線是水平的，即極值點是駐點．反過來，曲線上有水平切線的地方，即駐點處，函數(shù)不一定取得極值．由此，我們得到函數(shù)取得極值的必要條件．定理1設(shè)函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，且在點x0處取得極值，則必有f′（x0）＝0．定理只說明可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是駐點．實際上，導(dǎo)數(shù)不存在的點也有可能是函數(shù)的極值點．126如圖所示，函數(shù)f（x）在點x0處取得極大值，在點x0左側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0；在點x0右側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0．如圖所示，函數(shù)f（x）在點x0處取得極小值，在點x0左側(cè)單調(diào)減少，有f′（x）＜0，在點x0右側(cè)單調(diào)增加，有f′（x）＞0．由此，我們得到函數(shù)在某點處取得極值的充分條件．127定理2設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，在點x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則（1）如果當x＜x0時，f′（x）＞0，而當x＞x0時，f′（x）＜0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）如果當x＜x0時，f′（x）＜0，而當x＞x0時，f′（x）＞0，那么函數(shù)f（x）在x0處取得極小值；（3）如果在x0的兩側(cè)，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）符號相同，那么f（x0）不是f（x）函數(shù)的極值．128根據(jù)上面兩個定理，我們可以得到求函數(shù)的極值點和極值的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出函數(shù)f（x）的全部駐點及f′（x）不存在的點，并以這些點為分界點把定義域分成若干個子區(qū)間；（4）列表討論f′（x）在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的極值點，并判定其是否為極大值點或極小值點，由此求出函數(shù)的極值．129定理3設(shè)函數(shù)f（x）在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f′（x）＝0，f″（x）≠0，則（1）當f″（x）＜0時，函數(shù)f（x）在x0處取得極大值；（2）當f″（x）＞0時，函數(shù)f（x）在x0處取得極小值．注意：如果函數(shù)f（x）在駐點x0處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）≠0，那么該駐點x0一定是極值點，且可以由二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定f（x0）是極大值還是極小值．但是如果f″（x）＝0，定理3就失效了．130函數(shù)的最值及應(yīng)用函數(shù)最值的求法函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，而最值是函數(shù)的整體性質(zhì)．在第1章中，我們已經(jīng)知道，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在[a，b]上必有最大值和最小值．函數(shù)的最值可能出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，也可能在區(qū)間端點處取得．如果最值在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得，則這個最值一定是函數(shù)的極值．因此，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的方法如下：（1）求出函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)所有可能的極值點的函數(shù)值；（2）求出閉區(qū)間[a，b]上端點處的函數(shù)值f（a），f（b）；（3）比較以上函數(shù)值，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值．131函數(shù)最值的應(yīng)用舉例（1）建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式．分析問題的實際意義，分清并找出已知量和未知量．在實際問題中常常是這樣提出問題的：當x為何值時，函數(shù)y取得最大值（最小值）?這時要以x為自變量y為因變量，建立函數(shù)關(guān)系y＝f（x）．（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點．求出函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＝0，解出函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點．（3）確定最值．結(jié)合所求問題的實際意義，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點只有一個，則該點對應(yīng)的函數(shù)值就是所求問題的最大值（最小值）．如果函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于零的點有多個，則將它們分別代入函數(shù)y＝f（x）求出對應(yīng)的函數(shù)值．在這些函數(shù)值中最大的數(shù)即為函數(shù)的最大值，最小的數(shù)為函數(shù)的最小值．1323.３函數(shù)圖像的凹凸和拐點133函數(shù)圖像的凹凸和拐點曲線的凹凸及其判定法如圖所示，曲線弧OP在區(qū)間（0，x0）內(nèi)是向下凹的，此時曲線總在其上任一點處切線的上方；而曲線弧PQ在區(qū)間（x0，＋∞）內(nèi)是向上凸的，此時曲線總在其上任一點處切線的下方．134一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：135如果曲線是凹的，曲線上各點處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而增大，切線的斜率也是單調(diào)增加的．由于切線的斜率就是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），因此，若曲線是凹的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)增加的．同樣，如果曲線是凸的，曲線上各點處的切線的傾斜角隨著自變量x的增大而減小，切的斜率也是單調(diào)減少的，因此，若曲線是凸的，導(dǎo)數(shù)f′（x）必定是單調(diào)減少的．由此可見，曲線y＝f（x）的凹凸，可以由導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性來判定，而導(dǎo)數(shù)f′（x）的單調(diào)性又可以用它的導(dǎo)數(shù)，即y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）的符號來判定．136137定理設(shè)函數(shù)y＝f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″（x）．（1）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＞0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凹的；（2）如果在（a，b）內(nèi)，f″（x）＜0，則曲線在（a，b）內(nèi)是凸的．一般地，在連續(xù)曲線y＝f（x）的定義域的區(qū)間內(nèi)，除在有限個點處f″（x）＝0或f″（x）不存在外，若在其余各點處的二階導(dǎo)數(shù)f″（x）均為正（或負）時，曲線y＝f（x）在這個區(qū)間上就是凹（或凸）的，這個區(qū)間就是曲線y＝f（x）的凹（或凸）區(qū)間；否則就以這些點為分界點劃分函數(shù)y＝f（x）的定義區(qū)間，再在各個區(qū)間上討論曲線的凹凸性．138曲線的拐點我們可以按下面的步驟來確定曲線y＝f（x）的拐點：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求出f″（x）；（3）求出使f″（x）＝0和f″（x）不存在的點，并以這些點為分界點把定義域分成若干個子區(qū)間；（4）列表討論f″（x）在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定曲線f（x）的拐點．139函數(shù)圖像的描繪曲線的漸近線先看下列的例子．（1）如圖所示，當x→－∞時，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝－

；當x→＋∞時，曲線y＝arctanx無限接近于直線y＝

．140141（2）如圖所示，當x→∞時，曲線y＝

無限接近于x軸（y＝0）；當x→0時，曲線y＝

無限接近于y軸（x＝0）．一般地，對于曲線的上述特性，我們給出如下定義：142函數(shù)圖像的描繪描繪函數(shù)圖像的一般步驟如下：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域，考察函數(shù)的奇偶性和周期性，判斷曲線的對稱性；（2）求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）和二階導(dǎo)數(shù)f″（x），并解出方程f′（x）＝0和f″（x）＝0在定義域內(nèi)的全部實根以及f′（x）和f″（x）不存在的點，用這些點把定義域分成若干個子區(qū)間；（3）列表討論f′（x）和f″（x）在各個子區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值、曲線f（x）的凹凸性和拐點；（4）確定曲線的水平漸近線和垂直漸近線；（5）需要時，取一些輔助點（例如曲線與坐標軸的交點等）；（6）結(jié)合上述討論結(jié)果，描繪出函數(shù)y＝f（x）的圖像．1433.４曲率144曲率的概念如圖所示，相切于M點的兩條曲線弧MN1和MN2，長度相等且彎曲程度均勻．它們兩端的切線的夾角（簡稱切線轉(zhuǎn)角）分別為Δα1和Δα2．從直觀判斷，Δα2大于Δα1，曲線弧MN2比曲線弧MN1更彎曲．實際上，對于長度一定且彎曲程度均勻的曲線弧，切線轉(zhuǎn)角越大，其彎曲程度就越大．由此可以衡量曲線弧的平均彎曲程度．145我們將曲線弧的切線轉(zhuǎn)過的角度Δα與其弧長Δs之比的絕對值稱為該曲線弧的平均曲率，記為

，即曲線在其上各點附近的彎曲程度往往不同．因此，曲線弧越短，其平均曲率就能越真實地反映曲線上某一點附近的彎曲程度．于是，我們給出如下定義：146上式表明，曲線的曲率是曲線切線傾斜角關(guān)于弧長的變化率的絕對值，它是一個非負數(shù)．利用定義計算曲線的曲率是很不方便的，但可以引入坐標系和導(dǎo)數(shù)來處理．下面給出平面直角坐標系中曲線y＝f（x）上任意點處的曲率計算公式（推導(dǎo)略）：147曲率圓在研究一般曲線某點的曲率時，往往可以用一個圓弧代替該點附近的曲線．對于這樣的圓弧所在的圓，我們給出如下的定義：148如圖所示，曲率圓的中心C稱為曲線在點M的曲率中心；曲率圓的半徑R稱為曲線在點M的曲率半徑．149如果曲線在點M的曲率是K，則該點曲率圓的曲率同樣也是K，則曲線在點M的曲率半徑R的計算公式為與之相對應(yīng)的曲率圓的中心C（a，b）坐標為1503.５洛必達法則151函數(shù)連續(xù)性的概念當x→x0（或x→∞）時，函數(shù)f（x）和g（x）都趨于零（或都趨于無窮大），則極限可能存在，也可能不存在通常把這種形式的極限稱為未定式，并簡稱為對于未定式，不能直接用極限運算法則求極限．下面介紹求這類未定式極限的一種有效簡便的方法———洛必達法則．152

型未定式定理如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足條件：（1）（2）f（x）和g（x）在點x0的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）存在（或為無窮大）．則153這個定理告訴我們，當也存在，且等于也為無窮大．定理中把x→x0換為x→∞（或其他情形）時，結(jié)論同樣成立．這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則．需要特別說明的是，如果使用一次洛必達法則后，仍未求出極限值，而函數(shù)f′（x）和g′（x）仍滿足定理的條件，則可繼續(xù)使用洛必達法則進行計算，即但要注意，如果所求的極限已不是未定式，則不能再應(yīng)用這個法則，否則將導(dǎo)致錯誤的結(jié)果．154

型未定式對于x→x0時的

型未定式，也有相應(yīng)的洛必達法則．定理如果函數(shù)f（x）和g（x）滿足條件：（1）（2）f（x）和g（x）在點

x0的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）≠0；（3）

存在（或為無窮大）．則上述定理中，把x→x0換為x→∞（或其他情形）時，結(jié)論同樣成立．155除了上述

和

型未定式外，還有0·∞，∞－∞，1∞，∞0，00等類型的未定式．這里所謂0·∞型未定式，是指形如[f（x）·g（x）]的極限中，（x）＝∞，并此可理解其他幾種類型的未定式．一般地，這些類型的未定式通過變形總可以化為型或型，然后利用洛必達法則求其極限．156積分及應(yīng)用第4章157目錄4.1積分的基本概念4.2積分法4.3定積分的應(yīng)用4.4廣義積分158教學(xué)要求：1.理解定積分的概念及性質(zhì)，能正確使用有關(guān)術(shù)語及符號.2.了解導(dǎo)數(shù)（或微分）與積分的聯(lián)系，理解原函數(shù)的概念，知道積分上限函數(shù)

f（t）dt可導(dǎo)時，就是f（x）在［a，b］上的一個原函數(shù).3.掌握微積分學(xué)基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）.4.理解不定積分的概念及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式.5.熟練掌握第一換元積分法.6.掌握第二換元積分法（僅限于簡單的根式代換和三角代換）.7.熟練掌握不定積分的分部積分法.1598.會查簡易積分表.9.掌握用微元法解決一些實際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.10.掌握用定積分求平面圖形的面積，能用定積分求繞坐標軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積.11.了解定積分在其他方面的一些應(yīng)用.12.了解廣義積分的概念和計算方法.1604.１積分的基本概念161定積分的概念及性質(zhì)定積分的定義要計算的量（曲邊梯形的面積A及變速直線運動的路程s）的實際意義不同（前者是幾何量，后者是物理量），但解決的方法是相同的，都歸結(jié)為求一個和式的極限．在科學(xué)技術(shù)上有許多實際問題都可以歸結(jié)為某種特定的和式極限．為此，我們給出如下定積分的定義：162163利用定積分的定義，實例考察中的兩個問題可以表述如下．若f（x）≥0，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A等于曲邊函數(shù)f（x）在其底所在的區(qū)間[a，b]上的定積分，即變速直線運動的物體從時刻T1到時刻T2這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程s等于其速度函數(shù)v＝v（t）在時間區(qū)間[T1，T2]上的定積分，即164165關(guān)于定積分的定義，做以下幾點說明：（1）當和式的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，而與區(qū)間[a，b]的分法及點ξi的取法無關(guān)．（2）定積分的值與表示積分變量的字母無關(guān)，即有（3）在定積分的定義中，要求滿足a＜b，為了以后計算方便起見，對于a＞b及a＝b的情形，我們給出如下的補充約定定積分的幾何意義我們已經(jīng)知道，如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≥0，則定積分

f（x）dx在幾何上表示由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A，即如果函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（x）≤0，此時由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，則定積分f（x）dx在幾何上表示曲邊梯形面積A的相反數(shù)，即166167如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（x）有時為正，有時為負，則定積分

f（x）dx在幾何上表示曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的幾塊曲邊梯形中，在x軸上方的各曲邊梯形面積之和，減去在x軸下方的各曲邊梯形面積之和．總之，定積分f（x）dx在各種實際問題中所代表的實際意義雖然不同，但它的數(shù)值在幾何上都可用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示，這就是定積分的幾何意義．168定積分的幾何意義直觀地告訴我們，如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么，由曲線y＝f（x），直線x＝a，x＝b及x軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和是一定存在的，即f（x）在區(qū)間[a，b]上一定是可積的．另一種情形，當函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點時，f（x）在區(qū)間[a，b]上也一定是可積的．為此，我們有下面兩個定積分存在定理：定理1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．定理2設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f（x）在區(qū)間[a，b]上可積．169定積分的性質(zhì)在下面的討論中，各性質(zhì)中積分上下限的大小，如無特別說明，均不加限制，并假設(shè)各函數(shù)在積分區(qū)間上都是可積的．性質(zhì)1如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）恒等于1，則性質(zhì)1的幾何解釋如圖所示．性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外，即其中k為常數(shù)．170性質(zhì)3兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即這是因為性質(zhì)3對于有限個可積函數(shù)代數(shù)和的定積分也是成立的．171性質(zhì)4如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a＜c＜b，則如圖所示，性質(zhì)4說明定積分對積分區(qū)間具有可加性．這個性質(zhì)可以用來求分段函數(shù)的定積分．另外需要說明的是，如果a，b，c是任意三個實數(shù)，性質(zhì)4同樣成立．172利用性質(zhì)4和定積分的幾何意義，可以看出奇函數(shù)和偶函數(shù)在對稱于原點的區(qū)間（簡稱對稱區(qū)間）上的定積分有以下計算公式：（1）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則（2）如果f（x）在[－a，a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則性質(zhì)5如果在區(qū)間[a，b]上，f（x）≤g（x），則性質(zhì)5可以用來比較兩個定積分的大?。?73性質(zhì)6（定積分估值定理）設(shè)M與m分別是f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值，則如圖所示，性質(zhì)6可用來估計定積分值的大致范圍．174性質(zhì)7（定積分中值定理）如果f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一點ξ，使下式成立：如圖所示，定積分中值定理的幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上至少存在一點ξ，使得以區(qū)間[a，b]為底邊，以曲線y＝f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f（ξ）的矩形的面積．175因此，我們把f（ξ）＝（x）dx稱為連續(xù)曲線f（x）在[a，b]上的平均高度，或稱為連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的平均值．這是有限個數(shù)的算數(shù)平均值概念