312橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019選擇性）

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2.通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長(zhǎng)＝eq\a\vs4\al(2b)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）注：(1)橢圓的焦點(diǎn)一定在它的長(zhǎng)軸上．(2)橢圓上到中心的距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心的距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．(3)橢圓上到焦點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)分別是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，最大值為a＋c，最小值為a－c.(4)橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)，共六個(gè)特殊點(diǎn)，研究橢圓時(shí)一定要注意這六個(gè)特殊點(diǎn)的位置．(5)已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，可以使用幾何作圖找出其焦點(diǎn)，方法是：以短軸的端點(diǎn)為圓心，a為半徑作弧交長(zhǎng)軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是該橢圓的焦點(diǎn)．(6)橢圓的離心率e的大小反映橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓．拓展：用離心率e＝eq\f(c,a)來刻畫橢圓的扁平程度．如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，記e＝eq\f(c,a)，則0<e<1，e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越接近于圓．(7)常用橢圓方程的設(shè)法①與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：②有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）【即學(xué)即練1】求橢圓x2＋9y2＝81的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝9，b＝3，c＝eq\r(81－9)＝6eq\r(2)，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝18，短軸長(zhǎng)2b＝6，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(2),3).兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－6eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(6eq\r(2)，0)，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．【即學(xué)即練2】橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(±10,0) B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))【解析】由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(69))．故選D【即學(xué)即練3】已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（

）A．1 B． C． D．【解析】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得．故選：A【即學(xué)即練4】比較橢圓①x2＋9y2＝36與②eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的形狀，則________更扁(填序號(hào))．【解析】x2＋9y2＝36化為標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,4)＝1，故離心率e1＝eq\f(4\r(2),6)＝eq\f(2\r(2),3)；eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的離心率e2＝eq\f(2,3).因?yàn)閑1＞e2，故①更扁．【即學(xué)即練5】焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D．x2＋eq\f(y2,4)＝1【解析】依題意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故選A【即學(xué)即練6】與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1【解析】橢圓9x2＋4y2＝36可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(5))，故可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,6)＝1.故選B【即學(xué)即練7】若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為________．【解析】∵橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴eq\r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq\f(1,4).【即學(xué)即練8】橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】由題可知，即，所以橢圓的離心率.故選：A.【即學(xué)即練9】已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【即學(xué)即練10】已知點(diǎn)(2,3)在橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1上，則下列說法正確的是()A．點(diǎn)(－2,3)在橢圓外 B．點(diǎn)(3,2)在橢圓上C．點(diǎn)(－2，－3)在橢圓內(nèi) D．點(diǎn)(2，－3)在橢圓上【解析】D【即學(xué)即練11】已知直線l過點(diǎn)(3，－1)，且橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,36)＝1，則直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1 B．1或2C．2 D．0【解析】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)(3，－1)且eq\f(32,25)＋eq\f(－12,36)＜1，所以點(diǎn)(3，－1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn)．故選C知識(shí)點(diǎn)3直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離．【即學(xué)即練12】對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置關(guān)系．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得eq\f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．當(dāng)－eq\r(5)<m<eq\r(5)時(shí)，Δ>0，直線與橢圓相交；當(dāng)m＝－eq\r(5)或m＝eq\r(5)時(shí)，Δ＝0，直線與橢圓相切；當(dāng)m<－eq\r(5)或m>eq\r(5)時(shí)，Δ<0，直線與橢圓相離．【即學(xué)即練13】若直線y＝kx＋2與橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，則斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)【解析】把y＝kx＋2代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由題意知Δ＝0，∴k2＝eq\f(2,3)，∴k＝±eq\f(\r(6),3).故選C知識(shí)點(diǎn)4直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式1．定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2．求弦長(zhǎng)的方法(1)交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．(2)根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).注：（1）已知弦是橢圓（）的一條弦，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故（2）弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：【即學(xué)即練14】已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，過橢圓的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.【解析】易求得a＝5，b＝4，所以|AB|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(2×42,5)＝eq\f(32,5).【即學(xué)即練15】已知F是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF的面積最大值為()A．6 B．15C．20 D．12【解析】由題意知，S△ABF＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq\f(1,2)|OF|·2b＝12.故選D【即學(xué)即練16】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點(diǎn)，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A【即學(xué)即練17】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為________.【解析】由題意可得，整理可得，設(shè)，則，兩式相減可得，的中點(diǎn)為，，則直線斜率.故答案為：.考點(diǎn)一由標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)解題方略：用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定焦點(diǎn)位置；(3)求出a，b，c；(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì)．注：長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是a，b，c的兩倍．【例11】已知橢圓C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上．(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)．【解析】(1)由橢圓C1：eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，(－6,0)，離心率e＝eq\f(3,5)；(2)橢圓C2：eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,64)＝1，性質(zhì)：①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②對(duì)稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；③頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，－10)，短軸端點(diǎn)(－8,0)，(8,0)；④焦點(diǎn)：(0,6)，(0，－6)；⑤離心率：e＝eq\f(3,5).【例12】橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2 B．4 C． D．【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以有，解得．故選：C.變式1：已知橢圓的焦距為，則m的值不可能為（

）A．1 B．7 C． D．【解析】由題知，.若，則，，所以，即；若，則，，即.故選：D【例13】【多選】已知橢圓，則（

）A．的焦點(diǎn)都在x軸上 B．的焦距相等C．沒有公共點(diǎn) D．比更接近圓【解析】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的焦點(diǎn)在y上，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)闄E圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；對(duì)于C，作出橢圓的圖象，由圖象可知，橢圓沒有公共點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)闄E圓的離心率為，的離心率為，所以，所以D正確.故選：BCD.變式1：已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率相等【解析】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距．故選：C．考點(diǎn)二利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程解題方略：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．注：（1）與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：（2）有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）【例21】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是eq\f(4,5)；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5.又∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.變式1：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過P(－5,4)，則橢圓的方程為________________．【解析】∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a>0)，∵橢圓過點(diǎn)P(－5,4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1.解得a2＝45.∴橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.答案：eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1變式2：若直線過橢圓短軸端點(diǎn)和左頂點(diǎn)，則橢圓方程為（

）A． B． C． D．【解析】直線交x軸于，交y軸于，依題意，，所以橢圓方程為.故選：B變式3：古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.變式4：已知F(3,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過F且垂直x軸的弦長(zhǎng)為，則該橢圓的方程為（

）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解析】依題意，所以橢圓方程為.故選：C考點(diǎn)三點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系解題方略：點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.（一）點(diǎn)和橢圓位置關(guān)系的判斷【例31】點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．在橢圓上 B．在橢圓內(nèi) C．在橢圓外 D．不能確定【解析】，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)．故選：B.（二）根據(jù)點(diǎn)和橢圓位置關(guān)系求參數(shù)【例32】點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.變式1：若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】，所以，故選：B.（三）點(diǎn)和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用【例33】若直線和圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．不確定【解析】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，可得：，即點(diǎn)在圓內(nèi)，又因?yàn)閳A內(nèi)切于橢圓，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即過點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).故選：C.變式1：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，則．因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，故的取值范圍是．故選：D．考點(diǎn)四求橢圓的離心率解題方略：求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．（一）求橢圓的離心率【例41】若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(6),4)【解析】如圖，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即橢圓的離心率e＝eq\f(1,2)，故選A.變式1：若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))分成5∶3的兩段，則此橢圓的離心率為()A.eq\f(16,17) B.eq\f(4\r(17),17)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)【解析】依題意得eq\f(c＋\f(b,2),c－\f(b,2))＝eq\f(5,3)，∴c＝2b，∴a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(5)b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2b,\r(5)b)＝eq\f(2\r(5),5).故選D.變式2：已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)【解析】如圖，∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝2eq\o(PB,\s\up7(→))，∴OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝eq\f(1,2).故選D變式3：已知橢圓E：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)與直線y＝b相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果△AOB是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)【解析】不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)，b))，由題意知OB的傾斜角是60°，所以eq\f(b,\f(bc,a))＝eq\f(a,c)＝eq\r(3)，則橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故選C.變式4：F是橢圓的左焦點(diǎn)，A，B分別是其在x軸正半軸和y軸正半軸的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，OP∥AB，那么該橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴eq\f(c,a)＝eq\f(m,b)，①又∵P(－c，m)在橢圓上，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(m2,b2)＝1，②將①代入②得eq\f(2c2,a2)＝1，即e2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2)，故選A.變式5：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線交于，，則的離心率（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，可得：.如圖示：.設(shè)，則.由橢圓的定義可得：，即，解得：.所以在中，，所以.在中，，所以.所以，即，所以，所以（舍去）.故選：D變式6：橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.變式7：已知直線l：過橢圓的左焦點(diǎn)F，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q為線段PF的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】直線：過橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：．（二）求橢圓的離心率的取值范圍【例42】已知橢圓的焦距不小于短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率的取值范圍為________．【解析】依題意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，從而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(\r(2),2).又因?yàn)?<e<1，所以橢圓離心率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).變式1：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)是A(a,0)，其上存在一點(diǎn)P，使∠APO＝90°，求橢圓離心率的取值范圍．【解析】設(shè)P(x，y)，由∠APO＝90°知，點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上，圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2.∴y2＝ax－x2.①又P點(diǎn)在橢圓上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②化簡(jiǎn)，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2)，又0<x<a，∴0<eq\f(ab2,a2－b2)<a，即2b2<a2.由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)<e<1.變式2：已知橢圓，對(duì)于C上的任意一點(diǎn)P，圓上均存在點(diǎn)M，N使得，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】如上圖，當(dāng)P位于右端點(diǎn)（做端點(diǎn)也相同），如果，則對(duì)于C上任意的點(diǎn)P，在圓O上總存在M，N點(diǎn)使得，此時(shí)，

，

；故選：A.變式3：已知橢圓C：（）的左?右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．.【解析】由題設(shè)，以線段為直徑的圓為，與直線相交，所以，可得，即，又，所以.故選：B變式4：已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)N是的中點(diǎn)，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠椒郑?，因?yàn)椋?，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：A．（三）由橢圓的離心率求參數(shù)（范圍）【例43】已知橢圓eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的離心率e＝eq\f(1,2).求k的值．【解析】分兩種情況進(jìn)行討論．(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1.∵e＝eq\f(1,2)，∴eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.∵e＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4).解得k＝－eq\f(5,4).綜上可得，k＝4或k＝－eq\f(5,4).變式1：已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：D變式2：設(shè)e是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的離心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(0,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)【解析】當(dāng)0＜k＜4時(shí)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－k),2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即eq\f(1,2)＜eq\f(\r(4－k),2)＜1?1＜4－k＜4，即0＜k＜3；當(dāng)k＞4時(shí)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(k－4),\r(k))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即eq\f(1,2)＜eq\f(\r(k－4),\r(k))＜1?eq\f(1,4)＜eq\f(k－4,k)＜1?eq\f(1,4)＜1－eq\f(4,k)＜1?0＜eq\f(4,k)＜eq\f(3,4)?k＞eq\f(16,3).綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)).故選C考點(diǎn)五直線與橢圓的位置關(guān)系解題方略：判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．【例51】直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解析】，在橢圓內(nèi)，恒過點(diǎn)，直線與橢圓相交.故選：A.變式1：若直線y＝kx＋1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．【解析】∵直線y＝kx＋1過定點(diǎn)A(0,1)．由題意知，點(diǎn)A在橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1內(nèi)或橢圓上，∴eq\f(02,5)＋eq\f(12,m)≤1，∴m≥1.又橢圓焦點(diǎn)在x軸上∴m<5，故m的取值范圍為[1,5).變式2：若直線與焦點(diǎn)在軸的橢圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍_____．【解析】直線恒過定點(diǎn)，要保證直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，定點(diǎn)需在橢圓內(nèi)，∴，又∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∴．故答案為：(2，4)﹒變式3：已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【解析】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：B考點(diǎn)六弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題解題方略：解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；(2)點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).（一）弦長(zhǎng)問題【例61】已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長(zhǎng)為.故選：C.變式1：已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積為（

）A． B．4 C． D．【解析】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點(diǎn)到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.變式2：已知直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，求k的值．【解析】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并化簡(jiǎn)得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(32,9)，即(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,1＋2k2)))2＝eq\f(32,9).化簡(jiǎn)得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.變式3：過橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為________．【解析】過橢圓焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)度為2a＝4；最短弦為垂直于長(zhǎng)軸的弦，因?yàn)閏＝1，將x＝1代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得eq\f(12,4)＋eq\f(y2,3)＝1，解得y2＝eq\f(9,4)，即y＝±eq\f(3,2)，所以最短弦的長(zhǎng)為2×eq\f(3,2)＝3.答案：4,3（二）中點(diǎn)弦問題【例62】若直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B,線段的中點(diǎn)為,則直線l的方程為(

)A． B． C． D．【解析】設(shè).則兩式相減得即因?yàn)?線段AB的中點(diǎn)為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A變式1：若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)弦被點(diǎn)平分，弦的兩個(gè)端點(diǎn),為，則，，兩式作差變形可得,即，而，故，即弦的斜率為1，所以弦的方程為，即，故選：B.變式2：已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為________.【解析】由題意可得，整理可得，設(shè)，則，兩式相減可得，的中點(diǎn)為，，則直線斜率.故答案為：.變式3：直線過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.考點(diǎn)七求橢圓的參數(shù)或范圍問題【例71】已知橢圓上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，消元可得，，，，，，，又點(diǎn)在直線上，，，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C變式1：已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以為______．【解析】設(shè)，由題意可知，即．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，所以，解得，可以取1（只要在內(nèi)即可）．故答案為：1（答案不唯一）．變式2：已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，滿足：，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)樯洗嬖跓o數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足：，所以以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：D變式3：橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，【解析】由題意得：由橢圓可知其左頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)．設(shè)，，則得．記直線的斜率為，直線的斜率為，則直線斜率的取值范圍是，，直線斜率的取值范圍是，故選：A考點(diǎn)八求橢圓的最值問題解題方略：求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．【例81】橢圓上的點(diǎn)到直線：的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由，設(shè)，設(shè)點(diǎn)到直線：的距離，所以有，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，故選：C變式1：已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)坐標(biāo)為，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，即為直角三角形，即，要使得最小，則最小，，則的最小值為，即的最小值為.故選：D變式2：已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得，由,得，則,設(shè)()，由，得，則，又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以的最小值為.故選：C.考點(diǎn)九橢圓的定點(diǎn)、定值問題【例91】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值【解析】（1）由題意橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，可得，解得，故橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，由，可得，由于直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則，解得，設(shè),則，，故，即為定值.變式1：已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點(diǎn)到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.變式2：已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時(shí)直線AD恒過點(diǎn)（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y＝0，也過點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．考點(diǎn)十橢圓的實(shí)際應(yīng)用問題解題方略：解決和橢圓有關(guān)的實(shí)際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實(shí)際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實(shí)際問題．【例101】(多選)中國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器，簡(jiǎn)稱“四號(hào)星”，是世界首個(gè)在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)的航天器.2019年9月25日，中國(guó)科研人員利用嫦娥四號(hào)數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號(hào)的著陸位置，并再現(xiàn)了嫦娥四號(hào)的落月過程，該成果由國(guó)際科學(xué)期刊《自然·通訊》在線發(fā)表．如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號(hào)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則下列式子正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C.eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2) D.eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)【解析】由圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時(shí)平方得，aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，所以aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由圖可得，beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，所以2a1c2<2a2c1，eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選BD變式1：神舟五號(hào)飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人民的航天夢(mèng)想．某段時(shí)間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示．假設(shè)航天員到地球的最近距離為d1，最遠(yuǎn)距離為d2，地球的半徑為R，我們想象存在一個(gè)鏡像地球，其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個(gè)焦點(diǎn)上，上面住著一個(gè)神秘生物發(fā)射某種神秘信號(hào)，需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球人才能接收到，則傳送神秘信號(hào)的最短距離為()A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2【解析】設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距為c，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，飛行中的航天員為點(diǎn)P，由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))則2a＝d1＋d2＋2R，故傳送神秘信號(hào)的最短距離為|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.故選D變式2：某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心F為焦點(diǎn)的橢圓(地球看作是球體)，測(cè)得近地點(diǎn)A距離地面mkm，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距離地面nkm，地球半徑為Rkm，關(guān)于這個(gè)橢圓有下列說法：①焦距為n－m；②短軸長(zhǎng)為eq\r(m＋Rn＋R)；③離心率e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R).其中正確說法的序號(hào)為________．解析：由題意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝eq\f(m＋n＋2R,2)，∴2b＝2eq\r(a2－c2)＝2eq\r(m＋Rn＋R)，e＝eq\f(n－m,m＋n＋2R)，故①③正確，②不正確．答案：①③考點(diǎn)十一與橢圓有關(guān)的綜合問題解題方略：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、定點(diǎn)定值、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．【例111】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，均在橢圓上，且均在軸上方，滿足條件，，則（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，由，得，解得（舍），，則，即，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，，所以（舍?故選：D變式1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則使得成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，∵分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，∴，，∵，∴，即①，又∵為橢圓上任意一點(diǎn)，∴②，聯(lián)立①②得，或，∴使得成立的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.故選：B.變式2：如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.變式3：阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C． D．【解析】橢圓的面積，即①.因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以.因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡(jiǎn)得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6.故選：B題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1、橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(±10,0) B．(±eq\r(69)，0)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))【解析】由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(69))．故選D2、橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意過點(diǎn)，故，，橢圓方程為，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，橢圓方程為，故選：C.3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)(3,0)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)；(2)過點(diǎn)M(1,2)，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同離心率．【解析】(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意，得a＝3，因?yàn)閑＝eq\f(\r(6),3)，所以c＝eq\r(6)，從而b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由題意，得b＝3，因?yàn)閑＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(6),3)，把b＝3代入，得a2＝27，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝k1或eq\f(4,12)＋eq\f(1,6)＝k2，解得k1＝eq\f(3,4)，k2＝eq\f(1,2)，故eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝eq\f(3,4)或eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝eq\f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1或eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.4、若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度與焦距的和等于短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【解析】由題意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝(a＋c)2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2,3a2－2ac－5c2＝0,5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f(3,5)(負(fù)值舍去)．故選B5、已知橢圓的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，則橢圓的離心率.故選：C.6、圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)的值是__________.【解析】因?yàn)閳A錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：7、直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解析】由題意，橢圓，可得，則橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，又由直線恰好過點(diǎn)，所以直線與橢圓有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).故選：C.8、已知橢圓與坐標(biāo)軸依次交于A，B，C，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積為_____.【解析】由題意，橢圓，可得，可得，所以橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，此時(shí)構(gòu)成的四邊形為菱形，則面積為.故答案為：.9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由e＝eq\f(\r(2),2)知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，從而eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.題組B能力提升練10、(多選)已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為()A．4 B.eq\r(34)C．6 D.eq\r(33)【解析】∵2c＝6，∴c＝3.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq\r(34).綜上可知，實(shí)數(shù)m的值為4或eq\r(34).11、已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【解析】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B12、過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為________．【解析】過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線l方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,5)x－3，,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1))得x2－3x－8＝0.設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝3，y1＋y2＝eq\f(4,5)(x1＋x2)－eq\f(24,5)＝－eq\f(12,5)，∴直線被橢圓所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5)))13、已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若的焦點(diǎn)F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】如圖根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)D在直線y=x上，可設(shè)，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.14、橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A． B． C． D．【解析】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)．①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±．故選：A．15、若點(diǎn)(x，y)在橢圓4x2＋y2＝4上，則eq\f(y,x－2)的最小值為()A．1 B．－1C．－eq\f(2\r(3),3) D．以上都不對(duì)【解析】設(shè)eq\f(y,x－2)＝k，則y＝k(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝4，,y＝kx－2))消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±eq\f(2\r(3),3)，∴kmin＝－eq\f(2\r(3),3).選C.16、過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【解析】顯然過橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時(shí)，，所以過橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長(zhǎng)是.故選：A17、已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m，若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為eq\f(2\r(10),5)，求直線的方程．【解析】把直線方程y＝x＋m代入橢圓方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)則Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，解得－eq\f(\r(5),2)＜m＜eq\f(\r(5),2).設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－1,5).根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得eq\r(1＋12)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))2－4×\f(m2－1,5))＝eq\f(2\r(10),5)，解得m＝0.因此，所求直線的方程為y＝x.18、已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程．【解析】(法一：根與系數(shù)關(guān)系法)由題意可設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－4)，而橢圓的方程可以化為x2＋4y2－36＝0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.所以x1＋x2＝eq\f(8k4k－2,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq\f(1,2