742超幾何分布精講2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019選擇性）

7.4.2超幾何分布(精講）一、必備知識分層透析知識點(diǎn)1：超幾何分布（1）超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．（2）對超幾何分布的理解①在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時概率分布是二項(xiàng)分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.②若隨機(jī)變量滿足：試驗(yàn)是不放回地抽取次；隨機(jī)變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機(jī)變量服從超幾何分布.③超幾何分布的特點(diǎn)：不放回抽樣；考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考察其中某類個體個數(shù)的概率分布列.（3）超幾何分布的均值若隨機(jī)變量服從超幾何分布，則(是件產(chǎn)品的次品率).知識點(diǎn)2：二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布.這兩個分布的關(guān)系是，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.超幾何分布的概率計算是古典概型問題，二項(xiàng)分布的概率計算是相互獨(dú)立事件的概率問題.（2）聯(lián)系二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.當(dāng)總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時，不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣，即對于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時，每抽取一次后，對的影響很小，超幾何分布可以近似為二項(xiàng)分布.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:對超幾何分布的理解1．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為，求的概率分布；（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為，求的概率分布；（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為，求的概率分布；（4）某班級有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的概率分布；（5）現(xiàn)有100臺播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的播放器的個數(shù)記為，求的概率分布．【答案】答案見解析(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒有給出不合格品數(shù)，無法計算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．題型2：超幾何分布1．（2021·全國·高二課時練習(xí)）某大學(xué)志愿者協(xié)會有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如下表，表中部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為.專業(yè)性別中文英語數(shù)學(xué)體育男11女1111現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會公益活動（每名同學(xué)被選到的可能性相同）.（1）求，的值；（2）求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；（3）設(shè)為選出的3名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列.【答案】（1），；（2）；（3）分布列見解析.（1）設(shè)事件為“從10名同學(xué)中隨機(jī)選取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)”.由題意，可知數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)共有名，則，解得.因?yàn)椋?（2）設(shè)事件為“選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生”，則事件包含兩種情況：一是從數(shù)學(xué)專業(yè)的3人中選1人，再從剩下的三個專業(yè)中選2人，有種方法，二是選出除數(shù)學(xué)外的3個專業(yè)的3人，有1種選法，所以.（3）由題意，可知這10名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)為7，的取值范圍為.，，，，所以的分布列為01232．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著我國國民消費(fèi)水平的不斷提升，進(jìn)口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國：泰國的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車?yán)遄?，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進(jìn)了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個等級：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進(jìn)口商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取500個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級特等一等二等三等等外個數(shù)501002506040（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機(jī)抽取6個，求恰好有3個水果是二等級別的概率．（2）若水果進(jìn)口商進(jìn)口時將特等級別與一等級別的水果標(biāo)注為優(yōu)級水果，則用分層抽樣的方法從這500個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，表示抽取的優(yōu)級水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．解：（1）設(shè)從500個水果中隨機(jī)抽取一個，抽到二等級別水果的事件為，則，隨機(jī)抽取6個，設(shè)抽到二等級別水果的個數(shù)為，則，所以恰好抽到3個二等級別水果的概率為．（2）用分層抽樣的方法從500個水果中抽取10個，則其中優(yōu)級水果有3個，非優(yōu)級水果有7個．現(xiàn)從中抽取3個，則優(yōu)級水果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為0，1，2，3．則，，，．所以的分布列如下：0123所以．3．（2022·遼寧葫蘆島·高三期末）十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個規(guī)劃綱要．綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”．某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能、特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案．此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn)．該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，該廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的芯片，第一批占60%，次品率為6%；第二批占40%，次品率為5%．為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批芯片混合，工作人員從中抽樣檢查．（1）從混合的芯片中任取1個，求這個芯片是合格品的概率；（2）若在兩批產(chǎn)品中采取分層抽樣方法抽取一個樣本容量為15的樣本，再從樣本中抽取3片芯片，求這3片芯片含第二批片數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）0.944（2）分布列見解析，（1）設(shè)事件“任取一個芯片是合格品”，事件“產(chǎn)品取自第一批”，事件“產(chǎn)品取自第二批”，則且、互斥；由全概率公式可知：，所以.（2）由條件可知：第一批芯片數(shù)：9，第二批芯片數(shù)：6；X的可取值為0，1，2，3；；；；所以X的分布列為：X0123P所以．4．（2021·全國·高二單元測試）為活躍校園文化，豐富學(xué)生的課余生活，某高校社團(tuán)舉辦了“校園音樂節(jié)”，某樂隊(duì)準(zhǔn)備從3首搖滾歌曲和5首校園民謠中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱．（1）求該樂隊(duì)至少演唱1首搖滾歌曲的概率；（2）假設(shè)演唱1首搖滾歌曲，觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為(為常數(shù))，演唱1首校園民謠，觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)為，求觀眾與樂隊(duì)的互動指數(shù)之和的分布列．【答案】（1）；（2）分布列見解析.（1）設(shè)“至少演唱1首搖滾歌曲”為事件A，則事件A的對立事件為“沒有1首搖滾歌曲被演唱”，所以；（2）設(shè)樂隊(duì)共演唱Y首搖滾歌曲，Y的所有可能值為0，1，2，3，則，()，，，，，因?yàn)?，?dāng)時，對應(yīng)，即X的所有可能值為：5a，6a，7a，8a，，，，所以X的分布列為：Y5a6a7a8aP題型3：二項(xiàng)分布與超幾何分布1．（2021·廣東·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中高二期中）在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題．甲能正確完成其中的4道題，乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響．規(guī)定至少正確完成其中2道題便可過關(guān)．（1）記所抽取的3道題中，甲答對的題數(shù)為，求的分布列和期望；（2）記乙能答對的題數(shù)為，求的分布列、期望．【答案】（1）分布列見解析；期望為2；（2）分布列見解析；期望為2．（1）由題意得可取1，2，3，，，，X的分布列為X123P0.20.60.2.（2）由題意得，，，，，Y0123P2．（2021·全國·高二課時練習(xí)）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.（1）質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．（2）重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列為X012P（3）根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，P(Y＝k)＝，所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.∴Y的分布列為Y012P3．（2021·全國·高二課時練習(xí)）為慶祝建軍節(jié)的到來，某校舉行“強(qiáng)國強(qiáng)軍”知識競賽.該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在，兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班委設(shè)計了一個選拔方案：，兩名學(xué)生各自從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學(xué)生能正確回答其中的4個問題，而學(xué)生能正確回答每個問題的概率均為.，兩名學(xué)生對每個問題回答正確與否都是相互獨(dú)立的.（1）分別求，兩名學(xué)生恰好答對2個問題的概率.（2）設(shè)答對的題數(shù)為，答對的題數(shù)為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由.【答案】（1），；（2）選擇學(xué)生，理由見解析.（1）由題意，知恰好答對2個問題的概率為，恰好答對2個問題的概率為.（2）的可能取值為1，2，3，則；；.所以，.易知，所以，.因?yàn)?，，所以與答題的平均水平相當(dāng)，但比更穩(wěn)定.所以選擇學(xué)生.4．（2021·全國·高二課時練習(xí)）一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方式從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)：方法一：一次性隨機(jī)抽取2件；方法二：先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件.記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.記方法二抽取的不合格產(chǎn)品