第八章立體幾何初步2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷（人教A版2019）

第八章立體幾何初步單元檢測B卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．可使平面和重合的條件是它們的公共部分中有（

）A．三個點 B．1個點和一條直線 C．無數(shù)個點 D．兩條平行直線【答案】D【分析】根據(jù)過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，分析判斷即可.【詳解】對于A：若三個點共線，則兩個平面可能相交于三點共線的直線，故A錯誤；對于B：若點在直線上，則兩面可能相交于這條直線，故B錯誤；對于C：若無數(shù)個點共線，則兩個平面可能相交于無數(shù)個點共線的直線，故C錯誤；對于D：因為過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，所以它們的公共部分中有兩條平行線時一定存在不共線三點，故D正確．故選：D．2．對于平面和兩條直線，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若與所成的角相等，則C．若，，則 D．若，，n在平面α外，則【答案】D【分析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系即可判斷A,B,C,利用線面平行的判定定理可判斷D.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若與所成的角相等，則相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若，，則相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若，，n在平面α外，則由線面平行的判定定理得，故D正確.故選:D.3．已知一個正四棱柱所有棱長均為3，若該正四棱柱內(nèi)接于半球體，即正四棱柱的上底面的四個頂點在球面上，下底面的四個頂點在半球體的底面圓內(nèi)，則半球體的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】作出半球體的截面圖，求出半球的半徑，即可求得答案.【詳解】設(shè)正四棱柱的底面在半球的底面圓上，則球心O為的中心，作出半球體的截面圖如圖，四邊形為正四棱柱的對角面，連結(jié)，正四棱柱所有棱長均為3，所以，即半球的半徑，所以半球體的體積為，故選：A4．M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直．以下判斷正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題； B．①為真命題，②為假命題；C．①為假命題，②為真命題； D．①為假命題，②為假命題；【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可知①為真命題，利用線面垂直可得②為真命題.【詳解】因為M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，所以，因為平面ABD，平面ABD，所以①直線MN恒與平面ABD平行正確；如圖，取中點，則（菱形對角線垂直），又，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，所以②正確；故選：．5．如圖所示，P是正方體中棱上異于端點的一個內(nèi)點，聯(lián)結(jié)并延長，則與直線（

）A．相交 B．相交 C．相交 D．相交【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的含義可判斷；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷B；說明四邊形為梯形，可判斷D.【詳解】由題意，P是正方體中棱上異于端點的一個內(nèi)點，聯(lián)結(jié)并延長，則平面，而平面，故與為異面直線，A錯誤；因為平面，平面，故平面，則與直線不可能相交，B錯誤；平面，平面，故與為異面直線，C錯誤；由題意知,且，故四邊形為梯形，故與相交，D正確，故選：D6．正方體的棱長為，點為的中點，一只螞蟻從點出發(fā)，沿著正方體表面爬行，每個面只經(jīng)過一次，最后回到點．若在爬行過程中任意時刻停下來的點與點的連線都與垂直，則爬行的總路程為（

）A． B．6 C． D．3【答案】B【分析】由題意可知螞蟻從點出發(fā)，沿著與垂直的正方體的截面爬行，回到M點，作出螞蟻爬行得路線，求得相關(guān)線段長度，即可求得答案.【詳解】由題意可知螞蟻從點出發(fā)，沿著與垂直的正方體的截面爬行，回到M點，設(shè)為的中點，連接,連接,則,而,即四邊形為平行四邊形，故,所以,故四邊形為梯形，則延長必交于一點，設(shè)為N,則確定一平面，設(shè)為，同理可證，,,而,故,同理可證,即共面,該平面即為；又平面,平面,故,又,而平面，故平面,平面，故，同理可證,而，故，即平面即為過點M和垂直的平面，則螞蟻沿著爬行，由題意可得，故爬行的總路程為6，故選：B7．已知圓錐DO的軸截面為等邊三角形，是底面的內(nèi)接正三角形，點P在DO上，且．若平面PBC，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨設(shè)，由圓錐DO的軸截面為等邊三角形，是底面的內(nèi)接正三角形，得到，，然后根據(jù)平面PBC，得到，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示；不妨設(shè)，則，，．因為平面PBC，平面PBC，所以，在中，由勾股定理有，即，解得．故選：D．8．河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為，高為2，體積為，則該“方斗”的側(cè)面積為（

）A．24 B．12 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，先計算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計算即可.【詳解】由題意可知，記正四棱臺為，其底面為正方形，側(cè)面為四個等腰梯形，把該四棱臺補(bǔ)成正四棱錐如圖，設(shè)是底面上與的交點，是底面上與的交點則是正四棱錐的高，為正四棱臺的高，設(shè)，，則上、下底面的面積分別為、，由題意，所以，在中，，所以為PA的中點，在中，，所以，所以，又，解得，，所以，所以側(cè)棱長是，由勾股定理可得側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.故選：D選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)線線、面面位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】A選項，若，則可能異面，A選項錯誤.B選項，若，則，B選項正確.C選項，若，則可能相交，C選項正確.D選項，若，則，D選項正確.故選：BD10．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中（

）A．AB與CD平行 B．CD與GH是異面直線C．EF與GH成角 D．CD與EF平行【答案】CD【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖得到直觀圖，然后判斷即可.【詳解】該正方體的直觀圖如下：與是異面直線，故A錯；與相交，故B錯；因為該幾何體為正方體，所以，三角形為正三角形，直線與直線所成角為，則與所成角為，故CD正確.故選：CD.11．在棱長為2的正方體中，與交于點，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A，利用線面垂直判定定理判斷B，利用線面夾角的定義判斷C，根據(jù)等體積法判斷D.【詳解】∵平面平面平面，A對；因為又平面，平面，所以平面平面，B對；因為平面與平面所成角為因為，C錯；因為，D對.故選：.12．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點，為線段上的點，且為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點，使得平面平面B．C．若，則平面D．三棱錐的體積為定值【答案】BCD【分析】由題可得與相交可判斷A，取中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得平面，進(jìn)而判斷C，根據(jù)錐體的體積公式可判斷D.【詳解】因為為的中點，為線段上的點，且，所以與相交，故不存在點，使得平面平面，故A錯誤；取中點，連接，則，所以為平行四邊形，，則，故B正確；若，則，又平面平面，所以，又平面，所以平面，平面，故C正確；因為的面積為定值，點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：BCD.填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知正四面體的棱長為2，，分別為，的中點，則的長為__________．【答案】【分析】連接,利用勾股定理求解.【詳解】如圖，連接,在等邊三角形中,在等邊三角形中,所以，所以,所以,故答案為:.14．在正方體中，、分別是面和的中心，則和所成的角是______________．【答案】【分析】連接、，則點為的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出，從而可知和所成的角為，即為所求.【詳解】連接、，則點為的中點，如下圖所示：易知點為的中點，又因為為的中點，所以，，所以，和所成的角為.故答案為：.15．我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.也就是說“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為______.【答案】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓得到圓錐的底面周長，進(jìn)而得到圓錐的底面半徑和高，然后利用圓錐的體積公式求解.【詳解】解：圓錐的底面周長為，所以圓錐的地面半徑為，高為，所以圓錐的體積為，故答案為：16．已知直四棱柱的底面是菱形，，棱長均為4，，的中點分別為、，則三棱錐的體積為______．【答案】【分析】取的中點，連接、、、、、，即可得到，由題意可得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：如圖取的中點，連接、、、、、，顯然且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又是邊長為的菱形且，所以為等邊三角形，則，又，所以，又四棱柱為直棱柱，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，又，所以.故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是的中點，∴.又∵平面，平面，∴直線平面.（2）連接SD，∵分別是的中點，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.18．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因為，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因為，所以，，，．從而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點評】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運算求得矩形的另一個邊長,為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.19．如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時，；（2）點在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得，根據(jù)長方體性質(zhì)得,進(jìn)而可證平面,即得結(jié)果；（2）只需證明即可，在上取點使得,再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因為長方體,所以平面,因為長方體,所以四邊形為正方形因為平面,因此平面,因為平面,所以；（2）在上取點使得,連,因為,所以所以四邊形為平行四邊形，因為所以四點共面，所以四邊形為平行四邊形，，所以四點共面，因此在平面內(nèi)【點睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.20．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點

為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點，所以，根據(jù)題意有，，因為棱柱為直棱柱，所以有平面，所以，所以，設(shè)點C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點C到平面的距離為.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.21．如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【詳解】分析：（1）先證