線性代數(shù)總復習教案

線性代數(shù)（本）總復習試卷題型及分數(shù)分配：選擇題10分，填空題20分，計算題60分，證明題10分各章分數(shù)分配：第1章15分，第2-3章30分，第4章30分，第5章25分重要習題：P26：1(1),2(2,4),3,4(1,2),10P53:3,4(1,2,4,5),10,11(1,3),15,16,17,20,23,29P79:1(3,4),3(1),4(1),9(3),12(2),13(4),16P108:3,4,6,12,14(2),22(1),28(2),29,30,36,39P138:1(1),2(1),5(1),11,12,16(1),17,18,19,27(1),30(1),32(1)第一章行列式1.二階、三階行列式:計算(=-7)，2.逆序數(shù):。如：3.n階行列式的定義:D=|aij|=，確定行列式中項的符號4行列式的性質(zhì)(見教材p9-11)例:計算（D=31）5行列式按行（列）展開：或6或7克萊姆法則:AX=b當時，8如果方程組AX=0的系數(shù)行列式，則它僅有零解。例：當k為何值時，方程組有非零解。解：系數(shù)行列式∴k=2或-1第二章矩陣及其運算1矩陣的乘法：，其中:例：設(shè)，求AB,BA注意(1)一般地，ABBA,(2)AC=BC，不一定有A=B.2陣的轉(zhuǎn)置:3對稱矩陣.4:,(2),(3)5逆矩陣Δ為可逆的充要條件是且，例:求的逆矩陣例：解方程：AX=B，，()第三章矩陣的初等變換與線性方程組1矩陣的初等變換：（1）（2）（3）2、矩陣的等價(A經(jīng)過有限次初等變換變成B)Δ行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形例:化矩陣為行最簡形3初等矩陣：單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣4n階方陣A可逆的充分必要條件為Δ若A為n階可逆矩陣，則5利用初等變換求解矩陣方程，例設(shè),,試求解方程解:由∴6特別地，當B=E時,7矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)Δ若，則,例:求矩陣的秩。第四章向量組的線性相關(guān)性1.向量概念:n維列向量；n維行向量:。2向量的線性組合Δb是的線性表示有解3向量組的線性表示(及)ΔB能由A線性表示(B中每個向量都能由A組向量線性表示)B=AKR(A)=R(A,B)即4A、B兩向量組等價A,B能相互線性表示R(A)=R(B)=R(A,B)5向量組線性相關(guān)方程組有非零解6向量組線性無關(guān)方程組只有零解Δ線性相關(guān)其中至少有一向量是其余向量的線性組合例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，問k為和值時b,，線性向關(guān),并用，線性表示b。解：由行列式為0得k=5，令,得由，得，例：設(shè)線性無關(guān),證明：,,也線性無關(guān)證：令,則：∵線性無關(guān)∴∴∴也線性無關(guān)結(jié)論(P90定理5)向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān);反之,向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)（2）當向量維數(shù)n小于向量個數(shù)m時，向量組一定線性相關(guān)；特別地：n+1個n維向量線性相關(guān)（3）若線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則b可由向量組A線性表示，且表示法唯一7向量組A的極大線性無關(guān)組A0：(1)向量組線性無關(guān)，(2)A中而任意個向量都線性相關(guān)Δ說明：A的極大線性無關(guān)組有多個，但每個極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)相等ΔA0所含向量個數(shù)叫做A的秩，記例:,,,,求該組向量的一個最大無關(guān)組,并用該最大無關(guān)組表示其余向量解∴,,是,,,的極大線性無關(guān)組,且8對線性方程組有解的充要條件為(1)當時有唯一解;(2)當時有無窮多組解。(自由變量個數(shù)為n-r)9對齊次線性方程組:AX=0(1)當時，有唯一解：零解；(2)當時，有無窮多組解，即有非零解。(自由變量數(shù)為n-r)10AX=0的通解結(jié)構(gòu)：,其中S0：一個基礎(chǔ)解系(最大線性無關(guān)組)()11Ax=b的通解為：++…+(一個特解)例：用基礎(chǔ)解系表示如下非齊次線性方程組的通解:()11向量空間的有關(guān)概念(1)向量集構(gòu)成向量空間的條件,會判斷給出的向量集是否為向量空間(2)知道向量空間的基的概念,并能由基來表示給出的向量.(3)會判斷給出的向量組是否為一個基.例：設(shè)，驗證是的一個基第五章相似矩伸和二次型一.內(nèi)積與正交性內(nèi)積：;向量的范數(shù)：，當[x，y]=0時，稱x與y正交2正交向量組一定線性無關(guān)4施密特正交化:設(shè)是一個基，?。海涸囉檬┟芴卣换瘜⒁?guī)范正交化.(,然后單位化即可)5．正交矩陣：若n階矩陣A滿足（即），A為正交陣的充分必要條件為A的列向量組是兩兩正交的單位向量二.方陣的特征值與特征向量則稱為A的特征值，x為A的特征向量2.A的特征多項式：Δ特征值的性質(zhì)：（1）n個特征值的和，（2）n個特征值的積Δ特征向量的求法：先求特征值，再由得非零解，則就是A的與對應(yīng)的特征向量3設(shè)是A的特征值，則(1)是的特征值,(2)是的特征值設(shè)是方陣A的m個各不相等特征值，則與之對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)三.相似B、A相似，若A與B相似，則A與B有相同的特征多項式和特征值3、若A與相似，則是A的n個特征值4、A與對角陣相似的充要條件為A有n個線性無關(guān)的特征向量5、若A有n個不相等的特征值，則A與對角陣相似四.對稱矩陣的對角化1、對稱陣的特征值為實數(shù)2、設(shè)是對稱陣A的特征值，則對應(yīng)的特征向量與正交3、設(shè)A對稱陣，則有正交陣P，使）4、設(shè)λ是對稱陣A的k重特征根，而λ恰有k個線性無關(guān)的特征向量5、對稱陣對角化的一般步驟：求出A的全部特征值及重數(shù)求出與對應(yīng)的個線性無關(guān)的特征向量，并將特征向量正交化單位化將這n個兩兩正交的單位向量構(gòu)成正交矩陣P，則有例：求的特征值與特征向量,解：=0得對，解方程，由得基礎(chǔ)解系：.與對應(yīng)的所有特征向量為對解方程，由得基礎(chǔ)解系：，與對應(yīng)的所有特征向量為五.二次型:如：，1標準形：2范形：稱為二次型的3次型，（是A的特征值）例:已知二次型的特征值為，特征向量為，，試求正交變換將二次型化為標準形將，，正交化得