微積分 第3版 課件 5.4 幾種特殊類型函數(shù)的不定積分_第1頁
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文檔簡介

前面例題中所求的不定積分,都得到了原函數(shù)的解析表達(dá)式,因而都是初等函數(shù).5.4

有理函數(shù)的不定積分

但有相當(dāng)多的初等函數(shù)雖然存在原函數(shù),原函數(shù)卻不是初等函數(shù).例如

等不定積分都“積不出來”.兩個多項式之商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).即其中

m、n都是非負(fù)整數(shù);及都是實數(shù),并且

下面我們介紹簡單有理函數(shù)的不定積分.假定分子與分母之間沒有公因式.稱為有理真分式；稱為有理假分式.

利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式與一個真分式之和.例如,難點:將有理函數(shù)化為部分分式之和.(1)分母中若有因式

則可以分解為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律:特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).(2)分母中若有因式，其中則可以分解為特殊地：分解后為其中都是待定系數(shù).真分式化為部分分式之和的方法為待定系數(shù)法.任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),分別討論上述幾種類型的不定積分.并且四種典型部分分式的積分之和.k為大于1的正整數(shù).用遞推公式綜上所述,所有有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

例5.27

計算

解比較等式兩端x項系數(shù)得代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將

值代入解例5.28

計算

故整理得解例5.29

計算

故所以常見類型解決方法

作代換去掉根號.

某些無理函數(shù)的積分,通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,可以化為有理函數(shù)的積分.

分別令解

令例5.30

計算

解

令

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