微積分 第3版 課件 第二章 極限與連續(xù)

2.1數(shù)列無窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡記為例如,簡記為簡記為簡記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無限集,沒有最大正整數(shù).

即對任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個動點,

數(shù)列的變化過程包含兩個相關的無限過程:n的主動變化過程是自變量n的主動變化過程和因變量的被動變化過程.即n從1開始,不斷增大(每次加1,無限重復).我們將n的這種變化過程稱為n趨于無窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢.對于數(shù)列我們主要研究當時的是一個確定的正數(shù),對任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無限多個,

我們從中任意選定一個,記之為N,即等價于都存在正整數(shù)N,于是當時,有即數(shù)列從某一項(第N+1項)開始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱為無窮小,對任意給定的,使得

每一項與常數(shù)0的距離都小于

也說它的極限是

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當時,不等式成立,記作設為數(shù)列,或稱數(shù)列是無窮小.

則稱當時數(shù)列的極限是0,

如果存在某個常數(shù)A,使得

則稱當時數(shù)列的極限是A,

或稱數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱數(shù)列沒有極限,

或稱數(shù)列發(fā)散.

定理2.1(無窮小比較定理)

證正整數(shù)

n,

由定義,如果存在正數(shù)C,設則故對任意的使得對于所有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有證及無窮小比較定理,有練習證明證注意到及無窮小比較定理,有由

練習證明幾何解釋:只有有限個

(至多有N個)落在其外.2.2函數(shù)無窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點極限

在數(shù)軸上,常量對應于定點,變量對應于動點.我們用表示自變量x無限接近但不等于

即且動點x到定點的距離無限接近0.考察函數(shù)和

當時,

無限接近0,無限接近1,我們說當時函數(shù)的極限是

0,是無窮小,也稱當時而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無窮小比較定理顯然,

即當時,是無窮小.例2.3證明證因由有例2.4設證因由

有

證明練習證明證因而所以例2.5證因不妨設,

顯然有,

證明即,

故.

對,

有

而所以我們用表示點x從的

右側無限接近但不等于的過程.我們用表示點x從的

左側無限接近但不等于的過程;單側極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義,

分別稱為f(x)在點的左極限與右極限.等價于

定理2.2(極限與左、右極限的關系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無窮遠的極限考察函數(shù)

我們用表示x無限地遠離坐標原點,即無限增大的過程.

當時,無限增大,因此無限接近0,

我們說當時函數(shù)的極限是0,也稱當時是無窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無窮小.

記作假設當時,

則稱當時的極限是0,

或稱當時,如果A是常數(shù),且

則稱當時的極限是A,

記作的幾何意義:之內.函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無窮時由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設

當時,因例2.8證明證由有當時,不妨設

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學定義.

等價于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質證設取有即在

的空心鄰域內有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個空心鄰域內有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號性)

證只需證第一部分.

不妨設(1)若因即于是設則在

的某個空心鄰域內與A同號.(2)如果在

的某個空心鄰域內2.2.4

無窮大考察函數(shù)

當時的變化趨勢.

任意給定的正數(shù)M,無論M多么大,

就有

我們稱當時是無窮大量,簡稱無窮大.是無窮大,

是正無窮大,

定義2.4記作如果則稱當時

不會和任意一個固定的常數(shù)無限接近,因而極限不存在.注意:當時是無窮大,

如果且,

則稱當時

記作是負無窮大,

如果且,

記作則稱當時

證不妨設

因于是只要證所以故例2.9證明2.3極限的運算法則證設且于是

定理2.6兩個無窮小之和為無窮小.即有

定理2.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.定理2.7其實是比較法的直接推論.都是無窮小.例如,當解練習求由有界,有由有界,有例2.10求解幾個極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運算法則)

則有

證(2)設

故由

再由定理2.6

是無窮小.

所以是無窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.有,都是無窮小,且在附近有界.有利用極限的運算法則及我們可以求解一些簡單的極限問題:

例如,對任意的多項式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個函數(shù).

例2.11

求

解由函數(shù)商的極限法則,有解消去零因子法時,分子、分母的極限都是零.例2.12

求

一般地,設

則商的法則不能使用.則當時,有解時,分子、分母的極限都是無窮大,例2.13

求

分子、分母同時除以

x的最高次冪.解由無窮小與無窮大的關系,得練習求

一般地,當為非負整數(shù)時,有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式練習求

定理2.9(復合函數(shù)的極限運算法則)則根據(jù)復合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設復合函數(shù)在的某個空心鄰域內有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關系)則

且

例2.16證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設

矛盾。

答案原式練習(1)

求

解原式(2)

求

(3)試確定常數(shù)

a,

使解令則即準則I(夾擠定理)

則2.4

極限存在準則與兩個重要極限

這一節(jié)介紹極限存在的兩個充分條件,稱之為極限存在準則,并用它們證明兩個重要的極限.的某個空心鄰域內有定義,且滿足以下條件:在x0證所以是無窮小，所以由有由有如果數(shù)列及滿足以下條件:則準則I’(數(shù)列夾擠定理)

證有而例2.17證明,為自然數(shù).

所以第一個重要極限:證于是作單位圓O,作單位圓的切線AC,即由夾擠定理因即再由夾擠定理第一個重要極限對于復合函數(shù)有其中的非零無窮小.解例2.18求下列極限:

練習解單調增加單調減少單調數(shù)列幾何解釋:準則II

單調有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿足:第二個重要極限:

(1)數(shù)列形式(2)函數(shù)形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函數(shù)的連續(xù)性2.5.1函數(shù)的連續(xù)性定義2.5(函數(shù)在一點的連續(xù)性)則稱函數(shù)在點連續(xù),稱為的連續(xù)點.如果注意:函數(shù)在一點處連續(xù)性包含以下三個條件:設所以,在點連續(xù)等價于:則顯然,

定義2.6(函數(shù)在一點左、右連續(xù))點左、右連續(xù).例2.21討論函數(shù)在點的連續(xù)性.證因函數(shù)在點左連續(xù)且右連續(xù),所以在該點連續(xù).處右連續(xù),在在處左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義2.7(函數(shù)在區(qū)間連續(xù))則稱它在開區(qū)間內連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù),則稱它在閉區(qū)間上連續(xù).通常把所有區(qū)間I

上的連續(xù)函數(shù)構成的集合記作

如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體記為

如果函數(shù)在開區(qū)間內每一點都連續(xù),證由夾擠定理,

因例2.22證明函數(shù)

內連續(xù).同理,定理2.11(函數(shù)四則運算的連續(xù)性)例如,故在其定義域內連續(xù).定理2.12(復合函數(shù)的連續(xù)性)定理2.13

設函數(shù)在區(qū)間I上單調而且連續(xù),則其反函數(shù)也單調且連續(xù).由此,反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).即注:初等函數(shù)的連續(xù)性提供了極限的簡單求法.例2.23求解因函數(shù)的定義域為

是定義區(qū)間內點.

定理2.14(初等函數(shù)的連續(xù)性)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.例2.24已知

解因求由極限的保號性,在的某個空心鄰域內,有

在這個空心鄰域內有由初等函數(shù)的連續(xù)性,有例2.25求解所以因2.5.2函數(shù)的間斷點的一個間斷點.下列三種情形至少有一種會發(fā)生:

例如,函數(shù)在

點左右極限都存在但不相等,所以,為的間斷點.函數(shù)在

點左右極限都存在且相等,但函數(shù)在點無定義,所以,為的間斷點.如果和中至少一個不存在,例如,函數(shù)因所以,為函數(shù)的間斷點.點是間斷點.函數(shù)在

點左右極限都不存在,另外,也是函數(shù)的間斷點.根據(jù)間斷點的具體情形,可以將其做如下分類:第一類間斷點:第一類間斷點又可以分成兩種情形:

如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點;如果左、右極限不相等,則稱為跳躍間斷點.間斷點.的間斷點,如果和都存在,則稱的第一類例如,為的跳躍間斷點;如果補充定義

為的可去間斷點.在間斷是因為函數(shù)在這個點沒有定義,

這也是把稱為可去間斷點的原因.那么它就在連續(xù)了.第二類間斷點:除去第一類間斷點之外的間斷點,若其中有一個為則稱為無窮間斷點.事實上,和中至少有一個不存在,則點就是第二類間斷點.

統(tǒng)稱第二類間斷點.初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點;分段函數(shù)的分段點是可能的間斷點,需要討論.求函數(shù)的間斷點的方法:并判斷其間斷點的類型.解函數(shù)的定義域為

由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)在其定義區(qū)間內連續(xù).例2.26

討論函數(shù)的連續(xù)性,所以函數(shù)的間斷點是所以,x

=0為可去間斷點.所以,x

=1為第二類無窮間斷點.2.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質設在區(qū)間I有定義,則稱是函數(shù)在區(qū)間I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)設在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若區(qū)間是開區(qū)間或區(qū)間內有間斷點,定理不一定成立.推論2.1

(有界性定理)設在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有界.

顯然,函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個上界和一個下界.定理2.16(零點定理)

設函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),使得則至少有一點證由零點定理,所以,方程使得例2.27設證明方程至少有一個小于的正實根.證由零點定理,得證.使得例2.28證明方程至少有一個小于的正根.令練習

證明方程證由零點定理,一根.所以,方程使得練習設函數(shù)證由零點定理,使得即定理2.17

(介值定理)

設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),若則至少有一點使得證設由零點定理,故推論2.2

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.證則如果例2.29設在上連續(xù)，且證明：至少存在一點，使得不妨設則結論成立.如果則由介值定理,至少存在一點,使得得證.例如,當不可比.下面我們對無窮小趨于零的速度進行比較.觀察各極限極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

無窮小的比較定義2.8

(無窮小的階的比較)

記作記作等價無窮小;是同階無窮小;的高階無窮小;例2.30證明當

證(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等價無窮小:證明當

證(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

證因定理2.18

(無窮小的等價代換)意義:利用等價無窮小代換,可以簡化極限的計算.

所以故解注意:無窮小的等價代換適用于乘、除情形,代數(shù)和的情形需慎用.例2.32

用無窮小的等價代換求解解錯例2.33求性質:一個無窮小例如,當特別地,如果當時,是無窮小,習慣將同冪函數(shù)進行比較.

例2.34當時,試確定下列無窮小的階數(shù):

解(1)注:

如果用表示任意一種極限,包括六種情況下函數(shù)的極限和數(shù)列極限,

則可以用代替定義2.8和定理2.18中的即無窮小的等價代換仍然成立.解分子、分母同乘以因子

則練習1.求解故2.求1.三個基本無窮小第一章習題課(極限部分)一、重點內容2.

關于無窮小的比較定理且在點a的某個空心鄰域內

如果成立，其中

C為常數(shù).3.設q為常數(shù),則4.

常用等價無窮小證因二、典型例題例1證明數(shù)列是無窮小.

而是無窮小,根據(jù)比較定理,數(shù)列是無窮小.例2證明證因當時,

是無窮小

.例3證明證因由比較定理,例4求極限解由夾擠定理得

例5設解令由夾擠定理則求例6設解顯然求且例7已知求常數(shù)a,b.解例8設解分子、分母同乘以因子

則求解例9設解原極限例10已知求常數(shù)a,b.故例11當是

x的幾階無窮小?解設其為

x

的

k

階無窮小,所以,當則證因一、證明數(shù)列是無窮小.

而是無窮小,練習題根據(jù)比較定理,數(shù)列是無窮小.二、證明證因由比較定理,三、求下列極限:

四、已知極限