高等數(shù)學(xué)教程　上冊　第4版 習(xí)題及答案 P146 第6章 定積分及其應(yīng)用

第六章定積分及其應(yīng)用習(xí)題6.11.利用定積分的定義計(jì)算：(1)解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù),定積分存在。將分成等分，不妨設(shè)分點(diǎn)為，小區(qū)間的長度為，取。則當(dāng)時(shí)(2)解：因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù),定積分存在。將分成等分，不妨設(shè)分點(diǎn)為，小區(qū)間的長度為，取。則2.利用定積分表示下列和式極限：(1)解：上式可看成函數(shù)在區(qū)間上將區(qū)間等分，并取小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值與對應(yīng)區(qū)間長度乘積的和，所以(2)解：3．利用定積分的幾何意義，求出下列定積分的值：(1)解：可以表示由直線，所圍成的三角形的面積，所以(2)解：可表示單位圓在第一象限內(nèi)的面積，所以(3)解：可表示函數(shù)及軸所圍的面積的代數(shù)和（軸上方取正，下方取負(fù)），所以4．一根長20cm的細(xì)直桿OA，其上任一點(diǎn)P處的線密度與OP的長度成正比，比例系數(shù)為，試用定積分表示此細(xì)桿的質(zhì)量。解：將細(xì)直桿置于軸上，直桿一頭和原點(diǎn)重合，則細(xì)桿的質(zhì)量可表示為5.比較下列每組兩積分的大小關(guān)系（1）_____解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。（2）_____解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。（3）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以（4）_______解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。（5）_______解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。（6）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以。6.估計(jì)下列各定積分的值：(1)解：令，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是單調(diào)增加的，故由定積分的估值定理得：即(2)解：函數(shù)在[0,2]上單調(diào)增加，所以

利用積分中值公式證明：解：由積分中值公式有，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，習(xí)題6.21.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。解：等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，得：即(6)設(shè)，求。解：，2.計(jì)算下列各定積分：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解:(6)解：(7)解：（8）解：（9）解：(10)解：(11)解：(12)解：(13)其中解：3.求下列極限：(1)解:該極限是型的未定式，由羅比達(dá)法則得：(2)解:該極限是型的未定式，由羅比達(dá)法則得：(3)解：該極限是型的未定式，由羅比達(dá)法則得：(4)解:該極限是型的未定式，由羅比達(dá)法則得：4.求的極值。解：先求一階導(dǎo)數(shù),,令一階導(dǎo)數(shù)為零，得駐點(diǎn)。又,所以，函數(shù)在處取得極小值。5．求下列函數(shù)在所給點(diǎn)區(qū)間上的最大值和最小值：（1），。解：求一階導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)等于零，有得駐點(diǎn)。，，，。。比較以上各值，得當(dāng)?shù)淖畲笞钚≈捣謩e為和。（2），。解：求一階導(dǎo)數(shù)，令一階導(dǎo)數(shù)等于零，有得駐點(diǎn)。，，，，比較以上各值，得當(dāng)?shù)淖畲笞钚≈捣謩e為和。6．設(shè)，求的最小值和最大值。解：令，得為惟一駐點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).的最小值是,無最大值。7．設(shè)函數(shù)，求．解：對關(guān)系式，兩邊取定積分（注意到是常數(shù)），有所以，習(xí)題6.31.計(jì)算下列定積分：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)QUOTE解:(8)解:(9)解:(10)解:=-12?23(2-(11)解:令,當(dāng)，則(12)解：令,當(dāng)，則(13)解：令,當(dāng)，則(14)解：令,當(dāng)，則(15)解：(16)解：(17)解：(18)解：（19）解：（20）解：習(xí)題6.41.計(jì)算廣義積分的值：(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)解:是瑕點(diǎn).(8)解：是瑕點(diǎn).習(xí)題6.51求由下列曲線所圍成的圖形的面積。（1）與解：曲線與的交點(diǎn)是和。所求面積為（2）與解：曲線與的交點(diǎn)是和。所求面積為（3）與直線解：（4）與直線及解：（5），與直線解：（6）與直線，解：（7）與直線及解：（8）與直線，及解：2．求由曲線及其在點(diǎn)和處的切線所圍成的圖形的面積。解：因?yàn)?，所以，曲線及其在點(diǎn)和處的切線方程分別為和兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所求面積為3．求的值，使得曲線與所圍圖形的面積是。解：曲線與的交點(diǎn)為和。所圍面積為4．設(shè)曲線與直線及所圍圖形面積為，曲線與直線及所圍圖形面積為，試求的值，使得最小，最小值是多少？解：令有，，所以，當(dāng)時(shí)，最小，最小值是。5.給定需求函數(shù)為,求時(shí)的消費(fèi)者剩余。解：6.給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，在完全競爭的假設(shè)下，計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余。解：在完全競爭的假設(shè)下，商品市場滿足供需平衡，即，因此解得均衡價(jià)格，均衡數(shù)量從而消費(fèi)者剩余生產(chǎn)者剩余綜合習(xí)題6一、選擇或填空題1.定積分的值與（D）無關(guān)。A.積分下限B.積分上限C.對應(yīng)關(guān)系“”D.積分變量的記號2.設(shè)，則=（B）A.B.C.D.3.若，則（B）A.B.C.D.4.若，則（A）A.B.C.D.5.定積分（C）。A.B.C.D.6.已知函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)，則當(dāng)（C）時(shí)，定積分的值不一定等于零。A.B.C.D.7.下列等式成立的是（D）A.B.C.D.8.已知函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)，則由曲線與直線所圍平面圖形的面積為（C）。A.B.C.D.二、計(jì)算或證明題1.已知,求。解:,2.求函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間。解:令,有,.當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(1,+∞)3.設(shè),求。解:

4.設(shè),求。解:5.求函數(shù)的極值和拐點(diǎn)。解：，令，得駐點(diǎn)，令，有又所以當(dāng)時(shí)，取得極小值。當(dāng),,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)的拐點(diǎn)為6.已知，試用分段函數(shù)表示。解：當(dāng)