高等數(shù)學(xué)教程　上冊　第4版 習(xí)題及答案 P177 第7章 多元微積分

第7章多元微積分習(xí)題7.11.設(shè)，證明:.證明：2.求下列各極限(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）令，當(dāng)時(shí)，（3）（4）習(xí)題7．21．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：（1），（2），（3）（4），（5）（6）2、設(shè)，求.解：3、曲線在點(diǎn)處的切線對于軸的傾角是多少？解：曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是所以，曲線在點(diǎn)處的切線對于軸的傾角4．求下列函數(shù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)(4)解：(1)，(2)，(3)，(4)，5．設(shè)，求及．解：，，6．設(shè)，求證：.證明：，7.設(shè)其中可導(dǎo)，證明；.證明：所以習(xí)題7．31．求下列函數(shù)的全微分：(1)(2)(3)（4）解：(1)，(2)(3)，(4)，2、求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分.解：，3.求函數(shù)在時(shí)的全微分.解：，計(jì)算的近似值.解：設(shè)，取，由于習(xí)題7．41．設(shè)，而，求.解：2．設(shè)，而，求.解：3．設(shè)，而，求解：4.求下列全導(dǎo)數(shù)：(1)設(shè)，而，求.解：（2）設(shè)，而，求.解：(3)設(shè)，而，求.解：(4)設(shè)，而，求.解：5．設(shè)，而，驗(yàn)證：.解：6．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：(1)(2)解：（1）設(shè)（2）設(shè)7．設(shè)，而，可微，證明：.證明：8.設(shè)下列方程式確定了變量為的二元函數(shù)，求.（1）（2）(3)（4）解（1）設(shè)（2）設(shè)（3）設(shè)（4）設(shè)習(xí)題7.51.求下列各函數(shù)的駐點(diǎn)和極值：(1)(2)(3)(4)解：（1）先求函數(shù)駐點(diǎn)。解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極大值.(2)先求函數(shù)駐點(diǎn)。解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處無極值.(3)先求函數(shù)駐點(diǎn)。解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極小值.(4)先求函數(shù)駐點(diǎn)。解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極大值.2.要造一個(gè)容積等于定數(shù)的長方形無蓋水池，應(yīng)如何設(shè)計(jì)水池的尺寸，方可使它的表面積最小.解設(shè)水池底邊長為米，寬為米，高為米，則容積。此水池表面積為，作拉格朗日函數(shù)令，即解得由于水池表面積的最小值確實(shí)存在，又因?yàn)榈鸟v點(diǎn)唯一，因此，求得的點(diǎn)距原點(diǎn)最近是最小值點(diǎn)，最小值為3.在平面上求一點(diǎn)，使得它到及三條直線的距離平方之和最小.解：平面上點(diǎn)到及三條直線的距離分別為問題是求函數(shù)的最小值。先求該函數(shù)的駐點(diǎn)。解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極小值.又是唯一的駐點(diǎn)，而根據(jù)該問題，到三直線的距離平方之和最小的點(diǎn)一定存在，故點(diǎn)為所求。4.求半徑為的球中具有最大體積的內(nèi)接長方體.解：設(shè)球面方程為，是它的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)，則此長方體的長、寬、高分別為，體積為作拉格朗日函數(shù)令，即解得它是唯一的駐點(diǎn)，由題意可知這個(gè)長方體必有最大體積，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為時(shí)其體積最大。5.將周長為定數(shù)的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的一個(gè)圓柱體，問矩形的邊長如何設(shè)計(jì)，才能使圓柱體的體積最大.解：設(shè)矩形的周長為，矩形的一邊為在軸上，其長為，則另一邊在軸上，其長為為，矩形繞軸旋轉(zhuǎn)，所得圓柱體的體積為令，求得駐點(diǎn)，由于駐點(diǎn)唯一，由題意可知這種圓柱體體積一定有最大值，所以當(dāng)矩形的邊長分別為和時(shí)，繞短邊旋轉(zhuǎn)所得的圓柱體體積最大。習(xí)題7.61.給定消費(fèi)者對于市場上某種商品G的需求函數(shù) 式子中，，，，求（1）需求的價(jià)格彈性；（2）需求的交叉彈性；其他商品是替代性的還是互補(bǔ)性的？（3）需求的收入彈性；這種商品G是優(yōu)等品還是劣等品？解（1）（2），說明其他商品是替代性的。（3），說明這種商品是優(yōu)等品。2.一個(gè)廠商被容許對家庭和工業(yè)消費(fèi)者采取不同的價(jià)格，如果和表示家庭市場的價(jià)格和需求，那么需求方程為如果和表示工業(yè)市場的價(jià)格和需求，那么需求方程為總成本函數(shù)為其中，確定公司最大化帶有價(jià)格歧視的價(jià)格政策并計(jì)算最大化利潤的值.解：由家庭市場的需求方程有，家庭市場的總收益是 由工業(yè)市場的需求方程有，工業(yè)市場的總收益是這兩個(gè)市場的總收益是生產(chǎn)這些產(chǎn)品的總成本為因此公司的利潤函數(shù)為求利潤函數(shù)的駐點(diǎn)，解方程組得駐點(diǎn)。再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極大值.又是唯一的駐點(diǎn)，而根據(jù)該問題，最大化利潤存在，此時(shí)，（元）（元）即當(dāng)家庭市場和工業(yè)市場的價(jià)格分別是元和元時(shí)，公司獲得最大化利潤元。3.兩種產(chǎn)品和的一個(gè)生產(chǎn)者，有總成本函數(shù)其中分別表示生產(chǎn)和的量.如果和分別表示相應(yīng)的價(jià)格，那么需求函數(shù)為如果廠商的總成本固定為100，求最大利潤.解：產(chǎn)品和收益分別為 這兩個(gè)市場的總收益是生產(chǎn)這些產(chǎn)品的總成本為利潤函數(shù)為問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)滿足的最大值。作拉格朗日函數(shù)令，即解得，，唯一駐點(diǎn)。而根據(jù)該問題，最大化利潤存在，此時(shí)兩種產(chǎn)品和的價(jià)格分別為，，而最大化利潤為。4.某公司通過電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式作銷售某商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入（萬元）與電臺(tái)廣告費(fèi)（萬元）和報(bào)紙廣告費(fèi)（萬元）間的關(guān)系為求（1）在廣告費(fèi)不受限制情況下的最優(yōu)廣告策略.在廣告費(fèi)限制2（萬元）時(shí)，其相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.解：（1）銷售利潤為解方程組求得駐點(diǎn).再求二階偏導(dǎo)數(shù)，得，，在駐點(diǎn)，有，因此，在點(diǎn)處取極大值.又是唯一的駐點(diǎn)，而根據(jù)該問題，最優(yōu)廣告策略存在，故電臺(tái)廣告費(fèi)和報(bào)紙廣告費(fèi)分別為（萬元）、（萬元）時(shí)銷售收入最大。（2）限定時(shí)，令，即，解出。即相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略是：報(bào)紙廣告費(fèi)用萬元。習(xí)題7.71.畫出下列積分的區(qū)域，并按兩種不同的次序,將二重積分化為二次積分,其中積分區(qū)域是:(1)由拋物線與直線所圍成.(2)由軸和左半圓所圍成.(3)由直線及曲線所圍成.解：（1）畫出積分區(qū)域示意圖，并計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)。解方程組交點(diǎn)為和。（一）先對積分 表示為—區(qū)域：于是=（二）先對積分。表示為兩個(gè)—區(qū)域：與的并：于是（2）畫出積分區(qū)域示意圖。（一）先對積分 表示為—區(qū)域：于是=（二）先對積分。表示為—區(qū)域：于是（3）畫出積分區(qū)域示意圖，并計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)。解方程組，得交點(diǎn)為和（一）先對積分。表示為兩個(gè)—區(qū)域與的并：于是=（二）先對積分。表示為兩個(gè)—區(qū)域與的并：于是2.計(jì)算下列二重積分：(1),其中是由和所圍成.解：和的交點(diǎn)為和。是—區(qū)域：先對積分。

=21+23(2),其中為.解：(3),其中為.解：(4)，其中是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.解：(5),其中是由和所圍成.解：(6),其中是由和軸所圍成的右半閉區(qū)域.解：(7),其中是以為頂點(diǎn)的矩形區(qū)域.解：(8),其中是由直線，及所圍成.解：3.已知區(qū)域求由曲線與所圍成的圖形，求（1）區(qū)域的面積.（2）二重積分.解：（1）（2）綜合習(xí)題7填空或選擇題1.函數(shù)的定義域是（D）．A．B．C．D．且2.已知函數(shù)，則（C）．A．B．C．D．3.二元函數(shù)的極小值點(diǎn)是（A）．A．B．C．D．4.二元函數(shù)的全微分（B）．A．B．C．D．5.（D）．A．B．C．D．二．計(jì)算或證明題1.設(shè)，和具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求.解：2.證明曲面上任何點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積為常數(shù).證明：設(shè)切點(diǎn)為，令曲面在點(diǎn)處的切平面為即因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲面上，所以切面方程即為或切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為在切點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積為（常數(shù)）3.設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：.證明：4.計(jì)算下列二重積分：(1),其中是由和所圍成.解：(2),其中是由及軸、軸圍成的在第一象限的閉區(qū)域.解：(3),其中是由直線及所圍成.解：(4),其中是由直線及所圍成.解：5.若在區(qū)域上連續(xù)，且求函數(shù)。解：設(shè)，則（*）對（*）式兩邊在區(qū)域上作二重積分，有又所以，有解得，再由（*）式，