2024-2025學(xué)年安徽師大附中高二數(shù)學(xué)第上學(xué)期期中考查試卷附答案解析

-2025學(xué)年安徽師大附中高二數(shù)學(xué)第上學(xué)期期中考查試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知，則（）A. B. C. D.2.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 B.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱C點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 D.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱4.已知直線的斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.或B.C.D.或5.已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（）．A. B.C. D.6.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線和直線，下列說(shuō)法正確的是（）A直線始終過(guò)定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或 D.當(dāng)時(shí)，不過(guò)第四象限10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.兩個(gè)圓的公切線有2條B.的取值范圍為C.兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圓上D.兩個(gè)圓的公共弦所在直線的方程為11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為B.點(diǎn)到平面的距離為C.點(diǎn)到所在直線的距離為2D.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面12.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知曲線為一條雙紐線，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之積為4，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.面積的最大值為1C.點(diǎn)在橢圓上，若，則點(diǎn)也在曲線上D.的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線l過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為______．14.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.15.加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓，若直線上存在點(diǎn)，過(guò)可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是______.16.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的斜率.18.已知圓的方程為.（1）過(guò)點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）過(guò)直線上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，求的最小值.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.21.如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.知橢圓分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn).過(guò)的直線與橢圓交于的最小值為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.若直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).記直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值.安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考查高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加減法的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得.故選：B2.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴.故選：B.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 B.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱C.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱 D.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律解題.【詳解】由于,坐標(biāo)不變，其他互為相反數(shù).則兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.故選：B.4.已知直線的斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.或B.C.D或【答案】D【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：或.故選：D5.已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（）．A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可得是直角三角形，求出圓的圓心與半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【詳解】由題得是直角三角形，且，所以圓的半徑為，圓心為，所以外接圓的方程為.故選：B.6.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，由已知條件可得出的值，由此可得出的值，進(jìn)而可得出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)所求橢圓方程為，則.又，即，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，要注意分析橢圓焦點(diǎn)的位置，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用橢圓定義和焦距性質(zhì)可解.【詳解】根據(jù)題意，焦距，.根據(jù)橢圓定義，周長(zhǎng)為，解得.則離心率為.故選：C8.已知是圓上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)知，.設(shè)為中點(diǎn)，所以.求出點(diǎn)的軌跡方程.設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，求出，得到.求出點(diǎn)到直線的距離，得出的范圍即可解決.【詳解】由題設(shè)知，圓圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)?，所?設(shè)為的中點(diǎn)，所以.所以點(diǎn)的軌跡方程為.其軌跡是以為圓心，半徑為的圓.設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以.所以的取值范圍為.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線和直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線始終過(guò)定點(diǎn) B.若，則或C.若，則或 D.當(dāng)時(shí)，不過(guò)第四象限【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，直接求出直線的定點(diǎn)，即可判斷A，再結(jié)合直線平行、垂直的性質(zhì)判斷B、C，將直線方程化為斜截式，即可判斷D【詳解】對(duì)于A：直線，即，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)0,1，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則與重合，故舍去，當(dāng)時(shí)，易得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，解得或，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線始終過(guò)點(diǎn)0,1，且斜率為負(fù)，故該直線過(guò)第一、二、四象限，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.兩個(gè)圓的公切線有2條B.的取值范圍為C.兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圓上D.兩個(gè)圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)和半徑可判斷出兩圓外離，即A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；利用圓上點(diǎn)最值關(guān)系可得B正確，易知直線即為兩圓對(duì)稱軸，可得C正確.【詳解】易知圓的圓心為，半徑將化為，可知圓心為，半徑；對(duì)于A，易知兩圓心距，可知兩圓外離，所以兩個(gè)圓的公切線有4條,即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為，即B正確；對(duì)于C，顯然兩圓圓心，都在直線上，因此直線即為兩圓對(duì)稱軸，即可判斷C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知兩圓外離，即不存在公共弦，所以D錯(cuò)誤.故選：BC11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為B.點(diǎn)到平面的距離為C.點(diǎn)到所在直線的距離為2D.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面【答案】BCD【解析】【分析】建系，求平面的法向量.對(duì)于A：利用空間向量求線面夾角；對(duì)于B：利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；對(duì)于C：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離；對(duì)于D：利用空間向量證明線面平行.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，且，則點(diǎn)到所在直線的距離為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知：，則，可得，可知，且平面，所以一定平行于平面，故D正確；故選：BCD12.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知曲線為一條雙紐線，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之積為4，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.面積的最大值為1C.點(diǎn)在橢圓上，若，則點(diǎn)也在曲線上D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A：根據(jù)雙紐線定義，求得其軌跡方程，將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可檢驗(yàn)；對(duì)B：根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合勾股定理，即可容易求得面積最大值；對(duì)C：根據(jù)題意，求得，即可驗(yàn)證是否滿足雙紐線定義；對(duì)D：根據(jù)，結(jié)合余弦定理，即可求得的最大值.【詳解】對(duì)A：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程；把點(diǎn)代入上式，上式顯然成立，故點(diǎn)在曲線上，A正確；對(duì)B：，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，，，此時(shí)，的面積取得最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以點(diǎn)也在曲線上，C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以由余弦定理得，于是有，因此，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，根據(jù)A中所求，結(jié)合對(duì)稱性可知，也即，等號(hào)成立；故的最大值為，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵，一是熟練掌握橢圓、雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的處理方法，從而在雙紐線中借鑒類似的處理手段；二是，緊扣雙紐線定義和軌跡方程，從而處理問(wèn)題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線l過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為______．【答案】或【解析】【分析】利用分類討論，結(jié)合點(diǎn)斜式方程與截距式方程，可得答案.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為，則方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意方程可設(shè)，代入，可得，解得，則方程為.故答案為：或.14.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先求得兩圓的圓心與半徑，然后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距為，且兩圓相交，則，解得.故答案為：15.加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓，若直線上存在點(diǎn)，過(guò)可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先通過(guò)橢圓的四條特殊切線可知道蒙日?qǐng)A的半徑，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與蒙日?qǐng)A有交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式即可求解.【詳解】由橢圓方程可知蒙日?qǐng)A半徑為，所以蒙日?qǐng)A方程為，∵點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，∴直線和蒙日?qǐng)A有公共點(diǎn).∴圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為：.16.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程不同時(shí)為可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為n=a,b,c的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】【解析】【分析】利用題意先得出平面的方程及其一個(gè)法向量，再計(jì)算兩平面與的法向量，設(shè)交線的方向向量結(jié)合線面夾角的向量法計(jì)算即可.【詳解】平面的方程為，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，取，可得，所以為直線的一個(gè)方向向量.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩條直線互相垂直斜率互為相反數(shù)，得出AC所在直線方程，再跟CM所在直線方程聯(lián)立方程即可.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)把M的坐標(biāo)表示出來(lái)，利用點(diǎn)B在直線BH上，點(diǎn)M在直線CM上，列式聯(lián)立方程即可.【小問(wèn)1詳解】邊上的高所在直線方程為，其斜率為，故直線的斜率為，則直線的方程為：，即，聯(lián)立方程與中線所在直線方程，可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線上可得；的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，即；故可得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.則直線的斜率為.18.已知圓的方程為.（1）過(guò)點(diǎn)的直線截圓所得弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）過(guò)直線上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，求的最小值.【答案】（1）或（2）6【解析】【分析】（1）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，再由弦長(zhǎng)公式求得結(jié)果；（2）由切線長(zhǎng)公式可知當(dāng)最小，計(jì)算可得的最小值.【小問(wèn)1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為，直線截圓所得弦長(zhǎng)為，符合題意；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，圓心到直線的距離為根據(jù)垂徑定理可得，即，解得.即直線的方程為或【小問(wèn)2詳解】圓心.因?yàn)榕c圓相切，所以.當(dāng)最小，所以.可得19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到，，由線面垂直的判定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和，利用線面角的向量法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則有，令，則，所以，因?yàn)?，記直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)Ax1,（2）根據(jù)（1）中求出的直線方程和橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可求出長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可求出點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)Ax由是橢圓上兩點(diǎn)得，，兩式相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，即，所以直線的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由得，，則，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.21.如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾