《22.1直線和圓的位置關(guān)系》講義

《22.1直線和圓的位置關(guān)系》講義22.1直線和圓的位置關(guān)系講義一、引言同學(xué)們，咱們今天要一起探索直線和圓的那些事兒。這就好比我們?cè)谏钪校撕腿说年P(guān)系有遠(yuǎn)有近，直線和圓也有不同的相處模式呢。我給你們講個(gè)我自己的經(jīng)歷，有一次我去公園玩，看到一個(gè)圓形的花壇，旁邊有幾條直直的小路。有的小路離花壇老遠(yuǎn)，有的小路剛好擦著花壇邊兒，還有的小路直接就伸進(jìn)花壇里面去了。這其實(shí)就有點(diǎn)像我們今天要學(xué)的直線和圓的位置關(guān)系。二、直線和圓的位置關(guān)系1、相離概念：當(dāng)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)的時(shí)候，就說(shuō)直線和圓相離。這就好比公園那條離花壇老遠(yuǎn)的小路，和花壇根本不沾邊兒，這就是直線（小路）和圓（花壇）相離的情況。從圓心到直線的距離（d）和圓半徑（r）的關(guān)系：在相離的情況下，圓心到直線的距離d大于圓的半徑r。咱們可以想象一下，如果把圓心看成是花壇的中心，半徑就是從花壇中心到花壇邊緣的距離，那離得老遠(yuǎn)的小路（直線）到花壇中心的距離肯定比花壇半徑大呀。2、相切概念：當(dāng)直線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候，直線和圓相切。就像那條剛好擦著花壇邊兒的小路，只和花壇有一個(gè)接觸點(diǎn)，這就是相切啦。d和r的關(guān)系：此時(shí)圓心到直線的距離d等于圓的半徑r。這也好理解，因?yàn)閯偤貌林厓?，那從花壇中心到小路的距離可不就正好是花壇半徑嘛。3、相交概念：當(dāng)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)的時(shí)候，直線和圓相交。就像那條伸進(jìn)花壇里面去的小路，它和花壇有兩個(gè)交點(diǎn)，這就是相交的情況。d和r的關(guān)系：在相交的時(shí)候，圓心到直線的距離d小于圓的半徑r。因?yàn)樾÷范忌爝M(jìn)花壇里面了，那從花壇中心到小路的距離肯定比花壇半徑小呀。為了讓大家更好地理解，我們來(lái)看個(gè)例子。假設(shè)我們有一個(gè)圓，它的方程是\（（x2)＾2+（y3)＾2＝9\），半徑r＝3。有一條直線方程是\（y＝2x+1\）。我們?cè)趺磁袛嗨鼈兊奈恢藐P(guān)系呢？首先，我們要算出圓心\（（2,3)＼）到直線\（y＝2x＋1\）的距離d。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式\（d=＼frac{＼vertAx_0+By_0+C\vert}｛＼sqrt{A^2+B^2}｝＼）（這里\（A＝2\），＼（B=－1\），＼（C＝1\），＼（x_0＝2\），＼（y_0=3\）），計(jì)算出來(lái)\（d=＼frac{＼vert2\times21\times3+1\vert}｛＼sqrt{2^2+（－1)＾2}｝＝＼frac{2}｛＼sqrt{5}｝＼）。因?yàn)閈（＼frac{2}｛＼sqrt{5}｝＼lt3\），所以直線和圓是相交的關(guān)系。三、切線的性質(zhì)1、切線的定義回顧咱們剛剛說(shuō)了，相切的時(shí)候直線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。這條和圓相切的直線就叫做圓的切線。就像擦著花壇邊兒的那條小路，對(duì)于花壇來(lái)說(shuō)，它就是一條切線。2、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。還是拿花壇和小路舉例，如果把從花壇中心到切點(diǎn)（小路和花壇接觸的那個(gè)點(diǎn)）的連線看成半徑，那這條小路（切線）肯定是和這個(gè)半徑垂直的。這就好比你在那個(gè)切點(diǎn)的地方豎了一根垂直于小路的桿子，這根桿子就是半徑啦。證明：我們可以用反證法來(lái)證明這個(gè)性質(zhì)。假設(shè)圓的切線不垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。設(shè)圓\（O\），切線\（l\）與圓相切于點(diǎn)\（A\），如果\（OA\）不垂直于\（l\），那么過(guò)點(diǎn)\（O\）作\（OB\perpl\）于點(diǎn)\（B\），則\（OB\ltOA\）（因?yàn)榇咕€段最短）。這樣的話，直線\（l\）就會(huì)和圓\（O\）還有另外一個(gè)交點(diǎn)，這就和直線\（l\）是圓\（O\）的切線（只有一個(gè)公共點(diǎn)）矛盾了。所以圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。3、推論經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。想象一下，從花壇中心作一條垂直于小路（切線）的直線，那這條直線肯定會(huì)經(jīng)過(guò)小路和花壇接觸的那個(gè)點(diǎn)（切點(diǎn)）。經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。這也很好理解，在切點(diǎn)那里作一條垂直于小路的直線，這條直線肯定是指向花壇中心（圓心）的。咱們來(lái)做個(gè)練習(xí)題鞏固一下。已知圓\（O\）的半徑為\（5\），直線\（l\）是圓\（O\）的切線，切點(diǎn)為\（A\），＼（OA＝5\），在直線\（l\）上取一點(diǎn)\（P\），連接\（OP\），若\（OP＝13\），求\（AP\）的長(zhǎng)。因?yàn)橹本€\（l\）是切線，＼（OA\）是半徑，所以\（OA\perpl\）。在直角三角形\（OAP\）中，根據(jù)勾股定理\（AP=＼sqrt{OP^｛2}OA^｛2}｝＼），＼（OA＝5\），＼（OP＝13\），所以\（AP=＼sqrt{13^｛2}－5^｛2}｝＝＼sqrt{16925}＝＼sqrt{144}＝12\）。四、切線的判定1、判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。這就好比我們要判斷一條小路是不是花壇的切線，我們先看它是不是經(jīng)過(guò)花壇半徑的外端（也就是花壇邊緣上的一點(diǎn)），然后再看它是不是垂直于這個(gè)半徑，如果這兩個(gè)條件都滿足，那它就是花壇（圓）的切線（就像擦著邊兒且垂直于半徑的小路）。例如，已知圓\（O\），半徑\（OA\），有一條直線\（l\），＼（A\）在直線\（l\）上，且\（OA\perpl\），那么直線\（l\）就是圓\（O\）的切線。2、證明切線的一般步驟第一步，連接圓心和直線上的一點(diǎn)（假設(shè)為點(diǎn)\（A\））。這就像是找到從花壇中心到小路上一點(diǎn)的連線。第二步，證明這條連線（半徑）和直線垂直。就像證明從花壇中心到小路的連線垂直于小路。咱們來(lái)做個(gè)例子。已知圓\（O\）的直徑\（AB＝6\），點(diǎn)\（C\）在圓\（O\）上，＼（AC＝3\），過(guò)點(diǎn)\（C\）作圓\（O\）的切線\（l\），求切線\（l\）的長(zhǎng)。首先連接\（OC\），因?yàn)閈（AB\）是直徑，＼（C\）在圓上，所以\（OC=＼frac{AB}｛2}＝3\）。又因?yàn)閈（AC＝3\），所以三角形\（AOC\）是等邊三角形，＼（＼angleAOC＝60^｛＼circ}＼）。因?yàn)閈（l\）是切線，所以\（OC\perpl\）。在直角三角形\（OCL\）中（設(shè)切點(diǎn)為\（C\）），＼（OC＝3\），根據(jù)三角函數(shù)\（＼sin\angleAOC=＼frac{CL}｛OC}＼），＼（＼sin60^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），所以\（CL=＼frac{3\sqrt{3}｝｛2}＼），切線\（l\）的長(zhǎng)為\（3\sqrt{3}＼）。五、三角形的內(nèi)切圓1、概念與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。我們可以把三角形想象成一個(gè)特殊的“花壇”，這個(gè)內(nèi)切圓就像是剛好和三角形三條邊都相切的一個(gè)特殊的“小路”。2、三角形內(nèi)心的概念三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。這個(gè)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。為什么是角平分線的交點(diǎn)呢？我們可以這樣想，因?yàn)閮?nèi)切圓和三角形三邊相切，從內(nèi)心到三邊的距離都相等（這個(gè)距離就是內(nèi)切圓的半徑），而角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以內(nèi)心就是三條角平分線的交點(diǎn)。3、三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算對(duì)于一般三角形\（ABC\），設(shè)其面積為\（S\），周長(zhǎng)為\（C\），內(nèi)切圓半徑為\（r\），則有\(zhòng)（S=＼frac{1}｛2}Cr\）。這個(gè)公式是怎么來(lái)的呢？我們可以把三角形分成三個(gè)小三角形，分別是\（＼triangleAOB\）、＼（＼triangleBOC\）和\（＼triangleAOC\）（＼（O\）為內(nèi)心），這三個(gè)小三角形的面積分別是\（＼frac{1}｛2}AB\cdotr\）、＼（＼frac{1}｛2}BC\cdotr\）和\（＼frac{1}｛2}AC\cdotr\），加起來(lái)就是三角形\（ABC\）的面積\（S=＼frac{1}｛2}（AB＋BC+AC)＼cdotr=＼frac{1}｛2}Cr\）。例如，已知三角形\（ABC\），＼（AB＝5\），＼（BC＝6\），＼（AC＝7\），其面積\（S＝6\sqrt{6}＼），根據(jù)\（S=＼frac{1}｛2}Cr\），先求周長(zhǎng)\（C=5＋6+7＝18\），則\（r=＼frac{2S}｛C}＝＼frac{2\times6\sqrt{6}｝｛18}＝＼frac{2\sqrt{6}｝｛3}＼）。六、直線和圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用1、幾何證明中的應(yīng)用在幾何證明題中，經(jīng)常會(huì)用到直線和圓的位置關(guān)系的知識(shí)。比如證明兩條線段相等或者兩個(gè)角相等的時(shí)候，如果涉及到圓和直線，我們就要考慮是否可以利用切線的性質(zhì)、判定，或者直線和圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的\（d\）和\（r\）的關(guān)系來(lái)證明。例如，已知圓\（O\），直線\（AB\）是圓\（O\）的切線，切點(diǎn)為\（B\），連接\（OB\），在圓\（O\）上取一點(diǎn)\（C\），連接\（OC\）、＼（BC\），過(guò)點(diǎn)\（C\）作\（CD\perpAB\）于點(diǎn)\（D\），求證\（BC\）平分\（＼angleOCD\）。因?yàn)閈（AB\）是切線，＼（OB\）是半徑，所以\（OB\perpAB\）。又因?yàn)閈（CD\perpAB\），所以\（OB\parallelCD\），＼（＼angleOBC=＼angleBCD\）。因?yàn)閈（OB＝OC\），所以\（＼angleOBC=＼angleOCB\），所以\（＼angleOCB=＼angleBCD\），即\（BC\）平分\（＼angleOCD\）。2、實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用在生活中也有很多直線和圓位置關(guān)系的應(yīng)用。比如在建筑設(shè)計(jì)中，圓形的建筑結(jié)構(gòu)和周圍的直線型通道或者支撐結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系就涉及到直線和圓的位置關(guān)系。又比如在機(jī)械制造中，圓形的零件和直線型的工具或者軌道之間的關(guān)系也會(huì)用到這些知識(shí)。比如說(shuō)要設(shè)計(jì)一個(gè)圓形的噴泉，周圍要修幾條直的石板路。我們要根據(jù)噴泉的半徑和石板路與噴泉的理想位置關(guān)系（相離、相切或者相交）來(lái)確定石板路的位置和長(zhǎng)度等參數(shù)。如果我們希望石板路剛好擦著噴泉邊兒，那就是相切的關(guān)系，我們就要根據(jù)噴泉的半徑來(lái)確定石板路到噴泉中心的距離等。七、重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)直線和圓的三種位置關(guān)系（相離、相切、相交）以及對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離\（d\）和圓半徑\（r\）的關(guān)系，這是整個(gè)章節(jié)的基礎(chǔ)，同學(xué)們一定要牢記。就像我們要記住不同小路和花壇的不同關(guān)系以及它們之間距離的比較規(guī)則一樣。切線的性質(zhì)和判定定理。這是非常重要的內(nèi)容，在很多幾何證明和計(jì)算中都會(huì)用到。同學(xué)們要理解切線和半徑的垂直關(guān)系以及如何判定一條直線是切線。三角形的內(nèi)切圓相關(guān)概念，包括內(nèi)心的概念和內(nèi)切圓半徑的計(jì)算。這部分知識(shí)在解決三角形相關(guān)的幾何問(wèn)題和一些實(shí)際應(yīng)用中很有用。2、難點(diǎn)切線的判定定理的應(yīng)用。有些題目中要準(zhǔn)確地找到半徑并且證明直線垂直于半徑是比較困難的，需要同學(xué)們多做練習(xí)，提高解題的敏感度。在綜合應(yīng)用直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)解決