2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第一章-推理與證明-1.3-反證法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版選修2-2

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版選修2-22020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版選修2-22021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版選修2-22020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)北師大版選修2-2年級(jí)：姓名：課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)五反證法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾.其中正確的為 ()A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④【解析】選D.利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.①與已知條件矛盾；正確.②與假設(shè)矛盾；正確.③與定義、公理、定理矛盾；正確.④與事實(shí)矛盾.正確.2.小方，小明，小馬，小紅四人參加完某項(xiàng)比賽，當(dāng)問到四人誰得第一時(shí)，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小紅沒得第一名”；小馬：“小明沒得第一名”；小紅：“我得第一名”.已知他們四人中只有一人說真話，且只有一人得第一名.根據(jù)以上信息可以判斷出得第一名的人是 ()A.小明 B.小馬 C.小紅 D.小方【解析】選A.假設(shè)第一名是小方，則小方、小明、小馬說的都是真話，小紅說的是假話，不合題意；假設(shè)第一名是小明，則只有小明說的是真話，另外三人說的都是假話，符合題意；假設(shè)第一名是小馬，則小方、小紅說的都是假話，小馬、小明說的是真話，不合題意；假設(shè)第一名是小紅，則小方、小明說的是假話，小馬和小紅說的是真話，不合題意.3.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為()A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.4.已知x1>0，x1≠1且xn+1=QUOTE(n=1，2，…)，試證：數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn+1，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為 ()A.對(duì)任意的正整數(shù)n，有xn=xn+1B.存在正整數(shù)n，使xn=xn+1C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn+1D.存在正整數(shù)n，使xn≤xn+1【解析】選D.任意的否定為存在，xn>xn+1的否定為xn≤xn+1.二、填空題(每小題5分，共10分)5.命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________.

【解析】“至少有一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”.答案：沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形6.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的否定是__________________.

【解析】“最多”的反面是“最少”，故本題的否定是：三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角.答案：“三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角”三、解答題(每小題10分，共20分)7.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù).求證f(x)=0無整數(shù)根.【證明】設(shè)f(x)=0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2+bk=-c.①又因?yàn)閒(0)=c，f(1)=a+b+c均為奇數(shù)，所以a+b為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與①式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1(n∈Z)，則ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)為偶數(shù)，也與①式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)=0無整數(shù)根.8.已知函數(shù)f(x)=ax+QUOTE(a>1)，用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【證明】假設(shè)方程f(x)=0有負(fù)數(shù)根，設(shè)為x0(x0≠-1).則有x0<0，且f(x0)=0.所以QUOTE+QUOTE=0，所以QUOTE=-QUOTE.因?yàn)閍>1，所以0<QUOTE<1，所以0<-QUOTE<1.解上述不等式，得QUOTE<x0<2.這與假設(shè)x0<0矛盾.故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.(15分鐘·30分)1.(5分)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是 ()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根【解析】選A.結(jié)論“方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根.”2.(5分)設(shè)x，y，z均為正數(shù)，a=x+QUOTE，b=y+QUOTE，c=z+QUOTE，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2【解析】選C.假設(shè)a，b，c都小于2，則a+b+c<6，而a+b+c=x+QUOTE+y+QUOTE+z+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2+2+2=6，與a+b+c<6矛盾，所以a，b，c都小于2錯(cuò)誤.所以a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.3.(5分)若a，b，c，d都是有理數(shù)，QUOTE，QUOTE都是無理數(shù)，且a+QUOTE=b+QUOTE，則a與b，c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_________.

【解析】假設(shè)a≠b，令a=b+m(m是不等于零的有理數(shù))，于是b+m+QUOTE=b+QUOTE，所以m+QUOTE=QUOTE，兩邊平方整理得QUOTE=QUOTE.左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾，因此a=b，從而c=d.答案：a=b，c=d4.(5分)某班有49位學(xué)生，用反證法證明：至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月.完善下列證明過程：【證明】假設(shè)至多只有_________位學(xué)生的生日在同一個(gè)月，即生日同在1，2，3，…，12月的學(xué)生人數(shù)都不超過_________人，所以該班學(xué)生總數(shù)m≤_________人，與該班有49位學(xué)生的條件矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

【解析】“至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月”的否定為“至多只有4位學(xué)生的生日在同一個(gè)月”，即生日同在1，2，3，…，12月的學(xué)生人數(shù)都不超過4人，所以該班學(xué)生總數(shù)m≤4×12=48人.答案：44485.(10分)已知f(x)=x2+px+q.(1)求證：f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE.【證明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE不成立，則|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于QUOTE，則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2，這與|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾，從而假設(shè)不成立，原命題成立，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE.1.某市在今年高中學(xué)生足球聯(lián)賽分組中，通過抽簽方式，把甲、乙、丙、丁四支隊(duì)伍分到編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小組中作為種子隊(duì)(每組有且只有一個(gè)種子隊(duì)).A，B，C，D四位學(xué)生進(jìn)行如下預(yù)測(cè)：A預(yù)測(cè)：乙隊(duì)在第1小組，丙隊(duì)在第3小組；B預(yù)測(cè)：乙隊(duì)在第2小組，丁隊(duì)在第3小組；C預(yù)測(cè)：丁隊(duì)在第4小組，丙隊(duì)在第2小組；D預(yù)測(cè)：甲隊(duì)在第4小組，丙隊(duì)在第3小組.如果A，B，C，D四位學(xué)生每人的預(yù)測(cè)都只對(duì)了一半，那么在第3小組和第4小組的種子隊(duì)分別是 ()A.丁在第3小組，丙在第4小組或甲在第3小組，丁在第4小組B.丙在第3小組，丁在第4小組或甲在第3小組，丁在第4小組C.丁在第3小組，丙在第4小組或丁在第3小組，甲在第4小組D.丙在第3小組，丁在第4小組或丁在第3小組，甲在第4小組【解析】選D.A，B，C，D四位學(xué)生每人的預(yù)測(cè)都只對(duì)了一半，假設(shè)丁在第3小組，由B的預(yù)測(cè)可得乙不在第2小組，由C的預(yù)測(cè)可得丙在第2小組，由A的預(yù)測(cè)可得乙在第1小組，由D的預(yù)測(cè)可得甲在第4小組，符合題意，可得甲在第4小組，乙在第1小組，丙在第2小組，丁在第3小組；假設(shè)丁在第4小組，由B的預(yù)測(cè)可得乙在第2小組，由C的預(yù)測(cè)可得丙不在第2小組，由A的預(yù)測(cè)可得丙在第3小組，由D的預(yù)測(cè)可得甲不在第4小組，符合題意，可得甲在第1小組，乙在第2小組，丙在第3小組，丁在第4小組.2.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式.(2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1+a1+…+a1=na1.當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn，②由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn所以Sn=QUOTE，綜上所述，Sn=QUOTE(2)假設(shè)